数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 章末小结 Word版含解析

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k2∈Z),则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1,显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数,故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”, 判断该命题的真假．解：当a＝5, b＝－5时, a, b都是无理数, 但5×(－5)＝－5是有理数, 故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题, 一般要有严格的证明或有事实依据, 比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题, 只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假, 并说明理由．(1)形如a＋6b的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时, 该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题, 反例：a 是有理数且b ＝0, 则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列, 且a 1＝－1, q ＝2, 则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除, 但不能被4整除．命题的综合问题试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时, a , b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解, 要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0, 只有当b ≠0时, 方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程, 方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上知, 当a ＝0, b ≠0或a ≠0, b 2－4a ≥0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题, 关键在于能否判断其成立或不成立．一般地, 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的, 要么是假的, 二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号, 则ca >0C ．如果M ⊆N , 那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中, 若AB ―→·BC ―→>0, 则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2, T ＝2π2＝π, 故A 为假命题；当M ⊆N 时, M ∪N ＝N , 故C 为假命题；在三角形ABC 中, 当AB ―→·BC ―→>0时, 向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角, B 应为钝角, 故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧, 智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a , 那么x >1”是真命题, 求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a , 那么x >1”是真命题, 则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a , 得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题, ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1, ＋∞)． ∴1＋a5≥1, 即a ≥4. 即a 的取值范围是[4, ＋∞)．1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》, 这首诗中, 在当时条件下, 可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 所述事件在唐代是事实, 所以本句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题, 故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2, 则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的． 答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”, 则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3解析：方程无实根时, 应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件． 答案：C4．设a, b, c是任意的非零平面向量, 且相互不共线, 则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中, 是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a, b, c相互不共线,所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0, 所以①③为假命题, 易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0, 那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题, ②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题, 求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x, ∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1,∴x的取值范围是(2, ＋∞)∪(－∞, 1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句, 不是命题, C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题, 那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中, 为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍, 则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等, 不是矩形, 故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B 中命题为真命题；C中命题为假命题, 如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等, 但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1, 故直线与圆相交, 所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α, 直线m⊥平面α, 则l⊥m；②若a, b都是正实数, 则a＋b≥2ab；③若x2>x, 则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中, 显然l∥m或l与m重合, 所以①是假命题；由基本不等式, 知②是真命题；③中, 由x2>x, 得x<0或x>1, 所以③是假命题；④中, 函数y＝x3是幂函数, 不是指数函数, 所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等； ④若m ＞0, a ＞b ＞0, 则b ＋m a ＋m ＞ba. 其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错, 可能没交点；③正确, 若A ⊆B , B ⊆A , 则A ＝B ；④显然正确, 可以证明．答案：③④ 6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x , 若x －2＝0, 则x －2≤0； ③若p ＞0, 则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________, 假命题是________．解析：①假, 因Δ＜0；②真；③假, p ＝12时, p 2＜p ；④假, 正方形是菱形, 也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A , 若当x 1, x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时, 总有x 1＝x 2, 则称f (x )为单函数．例如, 函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22, 未必有x 1＝x 2, 故①为假命题；对于f (x )＝2x , 当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2, 故②为真命题；当函数在其定义域上单调时, 一定有“若f (x 1)＝f (x 2), 则x 1＝x 2”, 故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题, 则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立, ∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时, －3≤0恒成立；当a ≠0时, 则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.综上, －3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题, 若是, 判断其真假, 并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边．(3)x＋y是有理数, 则x, y也都是有理数．(4)求证x∈R, 方程x2＋x＋1＝0无实根．解：(1)是假命题, 1不是合数, 也不是质数．(2)是假命题, 必须在同一个三角形或全等三角形中．(3)是假命题, 如x＝2, y＝－ 2.(4)祈使句, 不是命题．10．判断命题：“若a＋b＝2, 则直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的真假．解：由已知a＋b＝2,圆心(a, b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|2＝22＝2＝r,所以直线与圆相切, 即命题为真.1．1.2命题的四种形式[读教材·填要点]1．四种命题结构2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性, 有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题, 它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有关系．[小问题·大思维]1．命题a 的否命题是b , 命题b 的逆否命题是c , 命题c 的逆命题是d , 则命题a 与命题d 的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知a 与d 是一个命题．2．如果一个命题的逆命题为真命题, 这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题, 所以它们的真假性相同．3．在四种命题中, 真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题, 逆命题和否命题互为逆否命题, 它们同真同假, 所以真命题的个数可能为0,2,4.四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝π2, 则sin α＝cos β；(2)对任意非正数c , 若有a ≤b ＋c 成立, 则a ≤b . [自主解答] 逆命题：若sin α＝cos β, 则α＋β＝π2.否命题：若α＋β≠π2, 则sin α≠cos β.逆否命题：若sin α≠cos β, 则α＋β≠π2.(2)逆命题：对任意非正数c , 若有a ≤b 成立, 则a ≤b ＋c . 否命题：对任意非正数c , 若有a >b ＋c 成立, 则a >b . 逆否命题：对任意非正数c , 若有a >b 成立, 则a >b ＋c .四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论, 所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论, 所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论, 并且同时否定, 所得命题是原命题的逆否命题．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线垂直于平面．解：(1)原命题改写成“若一个数是负数, 则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数, 则它是负数．否命题：若一个数不是负数, 则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数, 则它不是负数．(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面, 那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面, 那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．四种命题真假的判断判断下列命题的真假, 并说明理由．(1)“若x2＋y2≠0, 则x, y不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m>0, 则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；(4)“若x－2是有理数, 则x是无理数”的逆否命题．[自主解答](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0, 则x, y全为零”．真命题(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似, 则这两个三角形是正三角形”．假命题(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根, 则m≤0”．∵方程无实根,∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－14≤0.真命题(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数, 则x－2不是有理数”．∵x不是无理数, ∴x是有理数．又2是无理数,∴x－2是无理数, 不是有理数．真命题若本例(3)改为判断“若m>0, 则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假, 则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根, 则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根, 则m≠0, 所以判别式Δ＝1＋4m<0, 则m<－14, 故m≤0, 为真命题．在判断一个命题的真假时, 可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论, 直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题, 而是根据命题之间的等价关系进行判断, 即原命题和逆否命题同真同假, 逆命题和否命题同真同假．2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p, 则q”的形式, 并写出它的逆命题、否命题和逆否命题, 同时判断它们的真假．解：“若p, 则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线, 则这两条直线平行, 是真命题；逆命题：若两条直线平行, 则这两条直线平行于同一条直线, 是真命题；否命题：若两条直线不平行于同一条直线, 则这两条直线不平行, 是真命题；逆否命题：若两条直线不平行, 则这两条直线不平行于同一条直线, 是真命题．等价命题的应用证明：已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b), 则a＋b≥0.[自主解答]法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若a＋b<0, 则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0, 则a<－b, b<－a.又∵f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a),∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a.又∵f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立, 故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题．3．证明：若m2＋n2＝2, 则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2, 则m＋n≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m＋n>2, 则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2, 则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2,所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题, 从而原命题也为真命题．解题高手多解题条条大路通罗马, 换一个思路试一试判断命题“已知a, x为实数, 若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空, 则a≥1”的逆否命题的真假．[解]法一：逆否命题：已知a, x为实数, 若a＜1, 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上,令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0,则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a＜1, 所以4a－7＜0,即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故逆否命题为真命题．法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空, 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0.即4a－7≥0, 解得a≥74≥1.所以原命题为真, 故其逆否命题为真．法三：利用集合的包含关系求解．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空, 命题q ：a ≥1, 所以p ：A ＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74；q ：B ＝{a |a ≥1}．因为A ⊆B , 所以“若p , 则q ”为真命题． 所以原命题的逆否命题为真．[点评] 因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性, 所以判断某个命题真假时, 可以改为判断它的逆否命题的真假．当命题与不等式的解集有关时, 也可以利用集合的包含关系．1．设m ∈R, 命题“若m >0, 则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根, 则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根, 则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m ≤0解析：根据逆否命题的定义, 命题“若m >0, 则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m ≤0”．故选D.答案：D2．已知a , b , c ∈R, 命题“若a ＋b ＋c ＝3, 则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3, 则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3, 则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3, 则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3, 则a ＋b ＋c ＝3解析：a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3, a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：A3．命题“若a >－3, 则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：“若a >－3, 则a >－6”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题, 所以真命题的个数为2.故选C.答案：C4．命题“若a>b, 则2a>2b－1”的否命题为________．解析：“a>b”的否定是“a≤b”, “2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．答案：若a≤b, 则2a≤2b－15．有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0, 则x, y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1, 则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B, 则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是______________(填上你认为正确的命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B, 应该得出B⊆A, 原命题为假命题, 所以逆否命题为假命题．答案：①②③6．写出下列原命题的其他三种命题, 并分别判断真假．(1)在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B；(2)若ab＝0, 则a＝0；(3)若x∈A, 则x∈A∪B.解：(1)逆命题：在△ABC中,若∠A>∠B, 则a>b, 真命题；否命题：在△ABC中, 若a≤b, 则∠A≤∠B, 真命题；逆否命题：在△ABC中, 若∠A≤∠B, 则a≤b, 真命题．(2)逆命题：若a＝0, 则ab＝0, 真命题；否命题：若ab≠0, 则a≠0, 真命题；逆否命题：若a≠0, 则ab≠0, 假命题．(3)逆命题：若x∈A∪B, 则x∈A, 假命题；否命题：若x∉A, 则x∉A∪B, 假命题；逆否命题：若x∉A∪B, 则x∉A, 真命题．一、选择题1．命题“若a>b, 则a＋1>b”的逆否命题是()A．若a＋1≤b, 则a>b B．若a＋1<b, 则a>bC．若a＋1≤b, 则a≤b D．若a＋1<b, 则a<b解析：把条件与结论交换, 再否定．答案：C2．命题“若f(x)是奇函数, 则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数, 则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数, 则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数, 则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数, 则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数, 则f(－x)不是奇函数”．答案：B3．下列说法中错误的是()A．命题“a, b, c中至少有一个等于0”的否命题是“a, b, c中没有一个等于0”B．命题“若x>1, 则x－1>0”的否命题是“若x<1, 则x－1<0”C．命题“0, －2,0.4都是偶数”的否命题是“0, －2,0.4不都是偶数”D．命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”解析：命题“若x>1, 则x－1>0”的否命题应该是“若x≤1, 则x－1≤0”．答案：B4．命题“函数f(x)·g(x)在定义R上, h(x)＝f(x)·g(x), 若f(x), g(x)均为奇函数, 则h(x)为偶函数”的逆命题, 否命题, 逆否命题中正确的命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：由f(x)·g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数, 反之则不成立, 如h(x)＝x2是偶函数, 但函数f(x)＝x2x2＋1, g(x)＝x2＋1都不是奇函数, 故逆命题不正确, 故其否命题也不正确, 即只有逆否命题正确．答案：B二、填空题5．命题“若A∪B＝B, 则A⊆B”的否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________, 逆否命题是________________________________________________________．解析：命题“若A∪B＝B, 则A⊆B”的否命题是“若A∪B≠B, 则A B”, 逆否命题是“若A B, 则A∪B≠B”．答案：若A∪B≠B, 则A B若A B, 则A∪B≠B6．给定下列命题：①“若k ＞0, 则方程x 2＋2x －k ＝0”有实根； ②“若a ＞b , 则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题． 其中真命题的序号是________． 解析：①Δ＝4＋4k ＞0, ∴是真命题．②否命题为“若a ≤b , 则a ＋c ≤b ＋c ”, 是真命题． 答案：①②7．已知命题“若m －1<x <m ＋1, 则1<x <2”的逆命题为真命题, 则m 的取值范围是________．解析：由已知得, 若1<x <2成立, 则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补, 则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形, 则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补, 则它不内接于圆”, 再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：③和⑥, ②和④ ①和⑥, ②和⑤ ①和③, ④和⑤ 三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断其真假． (1)若x ≠1时, 则x 2－3x ＋2≠0； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若x 2－3x ＋2≠0, 则x ≠1, 是真命题； 否命题：若x ＝1, 则x 2－3x ＋2＝0, 是真命题； 逆否命题：若x 2－3x ＋2＝0, 则x ＝1, 是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧, 则这条直线是弦的垂直平分线, 是假命题； 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不平分弦所对的弧, 是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分线, 是真命题．10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}, B＝{x|x<0}, 若命题“A∩B＝∅”是假命题, 求实数m的取值范围．解：因为A∩B＝∅是假命题,所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0},则U＝⎩⎨⎧m⎪⎪⎭⎬⎫m≤－1或m≥32.假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1, x2都非负, 则有⎩⎪⎨⎪⎧m∈U，x1＋x2≥0，x1x2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m∈U，4m≥0，2m＋6≥0.解得m≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪m≥32在全集U中的补集是{m|m≤－1},所以实数m的取值范围是(－∞, －1]．1．1.3充分条件和必要条件[读教材·填要点]充分条件与必要条件命题真假“若p, 则q”是真命题“若p, 则q”是假命题“若p, 则q”和“若q,则p”都是真命题推出关系p⇒q p q p⇔q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充分必要条件, p和q称为互相等价[小问题·大思维]1．如果p是q的充分条件, 则p是唯一的吗？提示：不唯一, 如x>3是x>0的充分条件, x>5, x>10等都是x>0的充分条件．2．若“x∈A”是“x∈B”的充要条件, 则A与B的关系怎样？提示：A＝B.3．p是q的充要条件, q是s的充要条件, p是s的充要条件吗？提示：是．∵p是q的充要条件, ∴p⇔q.又q是s的充要条件, ∴q⇔s.故p⇔s, 即p是s的充要条件．充分条件、必要条件的理解下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题中的p是q的充分条件：(1)若x＝1, 则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x, 则f(x)在(－∞, ＋∞)上为增函数；(3)若x为无理数, 则x2为无理数；(4)若两条直线平行, 则这两条直线的斜率相等．[自主解答](1)当x＝1时, x2－4x＋3＝1－4＋3＝0, 因此命题是真命题, 即p⇒q, 故p 是q的充分条件．(2)易知函数f(x)＝x在(－∞, ＋∞)上是增函数, 因此命题是真命题, 即p⇒q, 故p是q 的充分条件．(3)当x＝2时, x2＝(2)2＝2不是无理数, 因此命题是假命题, 即p q, 故p不是q的充分条件．(4)两条垂直于x轴的直线平行, 但是斜率都不存在, 因此命题是假命题, 即p q, 故p 不是q的充分条件．p是q的充分条件是由命题“若p, 则q”为真来定义的, 因此理解时也需回归定义, 从相应命题入手, 若命题“若p, 则q”为真, 则p是q的充分条件, q是p的必要条件；若命题“若p, 则q”为假, 则p不是q的充分条件, q不是p的必要条件．1．下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若b2＝ac, 则a, b, c成等比数列；(2)若有且只有一个实数λ, 使a ＝λb , 则a ∥b ； (3)若l ∥α, 则直线l 与平面α所成角大小为0°； (4)若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1), 则f (x )是单调增函数．解：命题(2)(3)是真命题, 命题(1)(4)是假命题, 所以命题(2)(3)中的q 是p 的必要条件．充分条件与必要条件的判断(1)(2017·天津高考)设x ∈R, 则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m , n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)如果x , y 是实数, 那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[自主解答] (1)由2－x ≥0, 得x ≤2, 由|x －1|≤1, 得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2, x ≤2⇒/ 0≤x ≤2,故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn , ∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0, n ≠0时, m ·n <0.反之, 由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m , n 〉<0⇔cos 〈m , n 〉<0⇔〈m , n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π, 当〈m , n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时, m , n 不共线．故“存在负数λ, 使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x ≠y , 则cos x ≠cos y ”等价于命题“若cos x ＝cos y , 则x ＝y ”, 这个命题是假命题, 故x≠y cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y, 则x≠y”等价于命题“若x＝y, 则cos x＝cos y”, 这个命题是真命题, 故cos x≠cos y⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案](1)B(2)A(3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件, 哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}, 利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时, 要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法, 图形形象、直观, 能简化解题过程, 降低思维难度．2．在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理, 得asin A＝b sin B,故a≤b⇔sin A≤sin B, 选A.答案：A3．指出下列各组命题中, p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等, q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0, q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0,而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0,∴p是q的充分不必要条件．。

1. 命题的概念及真假命题的判断(1) 命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成•命题分为真命题和假命题.(2) 判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“ p或q” “ p 且q” “非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假.2. 四种命题及其关系(1) 四种命题的构成：原命题：若p,则q；逆命题：若q,则p(结论和条件“换位”); 否命题：若非p,则非q(条件和结论都否定“换质” )；逆否命题：若非q,则非p(条件和结论“换质”后又“换位” ).(2) 四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题.3. 充分条件与必要条件(1)若p? q,贝U p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q,贝U p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.因此，给定p, q,贝U p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.⑵判断方法：①定义法：分别寻找“ p? q”“q? p”“ p ] q”“ q ' p”中哪两个成立.②命题法：分别判断命题“若q,则p”与“若p,则q”的真假.③集合法：p, q能用集合A, B表示时，判断集合关系“ A B” “ B A” “ A = B” 是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件.4. 逻辑联结词命题p, q的运算“或”“且” “非”与集合P, Q的运算“并”“交” “补”有如下的对应关系：p或q? PU Q; p且q? PA Q 非p? ?U P.5. 全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点.有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词.(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题•而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断.屮命题及其关系［例1］给出下列命①已知a= (3,4), b= (0, - 1)，贝y a在b方向上的投影为一 4.②函数y= tan x+n的图象关于点n，0成中心对称.③命题“如果a b= 0,则a丄b”的否命题和逆命题都是真命题.④若a丰0,贝U a b= a c是b= c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是 _________ .(将所有正确的命题序号都填上)［解析］①••• |a|= 5, |b|= 1, a b=- 4,4••• cos〈a b>=—.5• a在b方向上的投影为|a| cos〈a, b>=—4,①正确.②当x 时，tan x + ；无意义，由正切函数y= tan x的图象的性质知，②正确.③•••原命题的逆命题为“若a丄b,则a b= 0”为真，•••其否命题也为真.•••③正确.④当a丰0, b= c时，a b= a c成立.(当a丰0, a b= a c时不一定有b= c.)•••④正确.［答案］①②③④惜题蛊挥判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断.跟］踪演练1. 下列命题中为真命题的是()A .命题“若a>b,则3a>3b”的逆命题B.命题“若x2w 1,则x w 1 ”的否命题C .命题“若x= 1,则x2—x = 0”的否命题1 1D •命题“若a>b,则-<二”的逆否命题a b解析：对于A,逆命题是“若3a>3b,则a>b” ,是真命题；对于B,否命题是“若x2>i, 则x>1 ”，是假命题，因为x2>1 ? x>1或XV—1；对于C,否命题是“若X M 1,则X2—X M 0”，是假命题，因为当x= 0时，x2—x= 0;对于D，逆否命题是“若丄》1，则a w b”，是假命a b题，女口 a = 1, b=— 1.故选 A.答案：A2. 下列说法中错误的个数是（）①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x>1，贝U x—1>0”的否命题是“若x w 1,贝U x—1w 0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“ x=—4是方程x2+ 3x—4 = 0的根”的否命题是“ x=—4不是方程x2+ 3x —4 =0的根”A. 1B. 2C . 3D . 4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是—4,则它不是方程x2+ 3x—4= 0的根”.答案：C［例2］（1）（2017浙江高考）已知等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n，则d>0”是“ S4 + S6>2S5 ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件n n 1（2）（2017天•津高考）设张R，则“0——<在”是“ sin 的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件［解析］⑴因为｛a n｝为等差数列，所以S4 + S6= 4a1+ 6d+ 6a1+ 15d= 10a1 + 21d,2S5 =10a1 + 20d, S4+ S6 —2S5= d,所以d>0? S4+ S6>2S5.（2）法一:由0—n <击得0<鹉121 1 7 n n故sin (X-.由sin 0<-，得一一+ 2k n<0<- + 2k n, k € Z,推不出2 2 6 6n0- 12n”<故“ 0-：n < —是“ sin以”的充分而不必要条件•12 12 2法二：0- 12 <12? 0<吟？sin 0<1,而当sin X*时，取0=- n, ―£—谥=》$故“ 0—活<n是“ sin 01”,的充分而不必要条件•12 12 2［答案］(1)C (2)A借题发挥本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决.［例3］已知p：x2—8x—20>0, q： x2—2x+ 1—a2>0,若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.［解］p：x2—8x —20>0? x v—2 或x> 10,•/ a> 0,••• q：x v 1 —a 或x> 1 + a.由题意p? q且p q,a> 0, a > 0,应有*1 + a<10, 或彳 1 + a< 10, ? 0<a<3.J —a> —2 J —a> —2,•正实数a的取值范围为(0,3］.借圜发挥将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法.跟:踪演练3. a>b>0”是“ ab<aj+b”的（）解析：由基本不等式知当a, b€R 时，a2+ b2>2ab,其中当a= b时，等号成立a>b>0 时，a2+ b2、》ab< 2 ，反之不成立.答案：A4.设a, B是两个不同的平面，m是直线且m? a, “ m I 3”是“ a.// 3” 的（A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当m II B时，过m的平面a与B可能平行也可能相交，因而m II 3 a IC .充要条件D .既不充分也不必要条件A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件// B时，a内任一直线与B平行，因为m? a,所以m // B综上知，“ m// B”是“a//B”的必要不充分条件.答案：B［例4］已知命题p：关于x的方程x2—ax+ 4 = 0有实根；命题q：关于x的函数y= 2x2 + ax+ 4在［3,+^ ）上是增函数•若“ p或q”是真命题，“ p且q”是假命题，求实数a的取值范围.2［解］p真：△= a —4X 4> 0,/• a< —4或a > 4.q真：-4三3，二a》一12.由“ p或q”是真命题，“ p且q”是假命题得：p, q两命题一真一假.当p真q假时，a v—12;当p假q真时，一4v a v 4.综上，a的取值范围为（一R,—12）U （—4,4）.惜:题发挥先求出命题p, q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法.跟］踪演练5.设集合A= {x| —2 —a<x<a, a>0}，命题p：1€ A,命题q：2€ A.若p V q 为真命题, p A q为假命题，求a的取值范围.解：若p为真命题，则一2 —a<1<a,解得a>1.若q为真命题，则—2—a<2< a，解得a>2.依题意，得p假q真或p真q假，0<a< 1, a>1,即/ 或乍••• 1<a< 2,a>2 0<a< 2.• a的取值范围为（1,2］.［例5］在下列四个命题中，真命题的个数是（）①？x€ R, x2+ x+ 3> 0;②？x€ Q fx2+ ^x+ 1是有理数；③？a, R，使sin（a+ sin a+ sin 3；④？x, y€ Z,使3x —2y= 10.2 / 1 \ 11 11［解析］①中x + x+ 3= x++ -4》7>0，故①是真命题.②中，x€ Q 1x2+ 1x+ 1 一定是有理数，故②是真命题.③中a= n, 3=-n时，sin(a+ 3)= 0, sin a+ sin 3= 0,故③是真命题.④中x = 4, y= 1时，3x —2y= 10成立，故④是真命题.［答案］D惜题发挥利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法.跟;踪演练6. 命题“ ？n € N +，f(n)€ N +且f(n)< n”的否定形式是()A. ? n € N+，f(n) ?N +且f(n)>nB. ? n€ N +，f(n)?N + 或f(n)>nC. ? n€ N+，f(n)?N +且f(n)>nD. ? n€ N+，f(n)?N +或f(n)>n解析：写全称命题的否定时，要把量词？改为？，并且否定结论，注意把“且”改为“或”答案：D7. 已知命题p：“ ? x€ ［1,2］，x2—a> 0”，命题q：“ ? x € R，x2+ 2ax+ 2 —a= 0”，若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________ .解析：命题p：“ ? x€ ［1,2］，x2—a> 0” 为真，则a w x2，x€ ［1,2］恒成立，所以a w 1.命题q：“? x€ R，x2+ 2ax+ 2—a= 0” 为真，贝U “4a2—4(2 —a) > 0，即a?+ a —2》0”，解得a w —2或a》1.若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(一R，—2］U {1}.答案：(一R，—2］U {1}(时间120分钟，满分150分)、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1 •命题“若x 2<1，则—1VXV1 ”的逆否命题是( )A .若 x 2> 1，则 x > 1，或 x <— 1B .若一1<x<1，贝V x 2<12C .若 x>1 或 x< — 1,贝U x >12D .若 x > 1 或 x <— 1，贝U x 》1解析：“若p,则q ”的逆否命题是“若綈q ,则綈p ” , V ”的否定是“》”.故选 D.答案：D2.命题“若 x =— 1，贝U x 2 + 3x + 2 = 0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真 命题的个数是()解析：•• •原命题为真命题，.••逆否命题也是真命题. 又它的逆命题是：若 x 2+ 3x + 2= 0,则x =— 1,是假命题, •••它的否命题也是假命题 答案：B1 13. 已知命题①若 a>b ,贝U <，②若一2< x < 0,则(x + 2)(x — 3)< 0,则下列说法正确a b 的是()A .①的逆命题为真B .②的逆命题为真C .①的逆否命题为真D .②的逆否命题为真解析：①的逆命题为」<£则，a>b ,若a =— 2, b = 3,则不成立.故 A 错；②的逆命题 a b 为若(x + 2)(x — 3)w 0,则—2< x < 0是假命题，故 B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命 题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确.答案：D4. 已知 f(x) = e x + x — 1,命题 p ： ? x € (0,+s ), f(x)>0，则( )A . p 是真命题，綈 p ： ? x € (0,+s ), f(x)<0防段检測B . p 是真命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ), f(x) W 0C . p 是假命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ), f(x)<0D . p 是假命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ),f(x)W 0解析：由于函数y = e x 和y = x - 1在R 上均是增函数，则f(x) = e x + x — 1在R 上是增函 数，当 x>0 时，f(x)>f(0) = 0,所以 p 为真命题， 綈 p ： ? x € (0 ,+s ), f(x)w 0，故选 B.答案：B5.已知命题p ：若实数x , y 满足x 3 + y 3= 0,则x , y 互为相反数；命题 q ：若a>b>0, …1 1 则a<b.下列命题P Aq ，P V q,綈P ,綈q 中，真命题的个数是()A . 1B . 2C . 3D . 4解析：易知命题p , q 都是真命题，则 p A q , p V q 都是真命题，綈p ,綈q 是假命题. 答案：B6•设 x , y € R ，则“ x > 2 且 y 》2”是“ x 2+ 卜 4” 的( )A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件解析：因为x > 2且 泸2? x 2+ y 2> 4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如 x = y=7，满足x 2 + y 2> 4,但不满足x > 2且y 》2，所以“ x > 2且y 》2”是“x 2+ y 2 > 4”的充4 分而不必要条件.答案：Aa c7•命题甲：“ a , b , c 成等差数列”是命题乙：“ b + b = 2”的( )A •必要而不充分条件 C •充要条件解析：当a , b , c 成等差数列时, 若b =°,则b +討2不成立, 反之当即 a + c = 2b 时，b — a = c — b , 所以a , b, c 成等差数列. 答案：A8.下列命题是真命题的是 ( )A. “若x = 0，则xy = 0”的逆命题B.“若x = 0,贝U xy = 0”的否命题C .若 x > 1,贝y x > 2D .“若x = 2，则(x — 2)(x — 1) = 0”的逆否命题B .充分而不必要条件 D .既不充分也不必要条件=2,解析：D中，x= 2时，(x—2)(x—1) = 0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题.答案：D9. 命题甲：1 x,21—x,2x2成等比数列，命题乙：lg x, lg(x + 1), lg(x+ 3)成等差数列，则甲是乙的()A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：由gr21x，2x2成等比数列可得x=—2或x= 1，由lg x, lg(x+ 1), lg(x+ 3)成等差数列可得x= 1，所以甲是乙的必要而不充分条件.答案：B10. 设x€ R，贝U “1<v2”是“ |x —2|<1 ”的()A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：|x —2|<1? 1<x<3.由于｛x|1<x<2｝是｛x|1<x<3｝的真子集，所以1<x<2"是“ |x—2|<1”的充分而不必要条件.答案：A11. 已知p(x)：x2+ 2x —m>0,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为()A. [3 ,+^ )B.(―汽8)C.(―汽3] U (8,+^ )D. [3,8)解析：因为p(1)是假命题，所以1+ 2—m W 0,解得m> 3;又p(2)是真命题，所以4 +4—m >0，解得m v 8.故实数m的取值范围为[3,8).答案：D12. 已知命题p：存在x € R，使tan x= 2，命题q：x2—3x + 2v 0的解集是｛x|1v x v 2｝,下列结论：①命题“ p且q”是真命题；②命题“ p且綈q”是假命题；③命题“綈p 或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()A .②③B .①②④C .①③④D .①②③④解析：T p, q都是真命题，•••①②③④均正确.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 )13. 命题"若x>y ,则x 3>y 3— 1”的否命题为 ____________•解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x < y,则x 3w y 3— 1 ”. 答案：若 x < y ,贝U x 3w y 3— 114. _________________________________________________________________ 若“？ x € R , x 2— 2x — m>0 ”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______________________ .解析：•/ ? x € R , x 2— 2x — m>0是真命题，••• △= (— 2)2+ 4m<0 恒成立.二 m< — 1.答案：(—8, — 1)15. 设 p ： 2x 2 — 3x + 1 w 0, q ： x 2— (2a + 1)x + a(a + 1)w 0若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 __________ .1解析：当命题p 为真时，由2x 2— 3x + 1 w 0得x < 1;当命题q 为真时，可知a < x w a + 1,又綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于p 是q 的充分不必要条件，所以 :，1丨[a , a + 1], a € 0,.16.有下列四个命题：①“若 xy = 1,贝U x , y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若 b w — 1,则方程x 2— 2bx + b 2+ b = 0有实根”的逆否命题； ④若p V q 为假命题，则p, q 均为假命题.其中真命题的序号是 _________ .(把所有正确命题的序号都填上 )解析：对①，逆命题“若x , y 互为倒数，则xy = 1”是真命题；对②，否命题 “不相 似的三角形的周长不相等 ”是假命题；对③，A= 4b 2— 4(b 2+ b) > 0,即b w 0, • b w — 1时, 方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p V q 假时，p , q 一定均假，•④正确.故①③④正确.答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (本小题满分10分)写出命题“若 v'x — 2 + (y + 1)2= 0，贝V x = 2且y =— 1”的逆命 题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解：逆命题：若x = 2且y =— 1,^U .x — 2+ (y + 1)2= 0,真命题.答案:否命题：若.x —2+ (y+ 1)2工0,贝U x丰2或y z—1，真命题.逆否命题：若 X M 2或 萨一1,则・x — 2 + (y + 1)2工0，真命题.18. (本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“ p 或q ” “ p 且q ” “非p”形式的 命题，并判断它们的真假.(1) p ： 3是素数，q ： 3是偶数；(2) p ： x =— 2 是方程 x 2+ x — 2 = 0 的解，q ： x = 1 是方程 x 2+ x — 2= 0 的解. 解：(1)p 或q ： 3是素数或3是偶数；p 且q ： 3是素数且3是偶数；非p ： 3不是素数.因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“ p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题.(2)p 或q ： x = — 2是方程x 2+ x — 2 = 0的解或x = 1是方程x 2+ x — 2= 0的解； p 且q ： x =— 2是方程x 2+ x — 2 = 0的解且x = 1是方程x 2 + x — 2= 0的解； 非p ： x =— 2不是方程x 2+ x — 2 = 0的解.因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“ p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题.1 119. (本小题满分12分)已知c>0,设命题p ： y = c x 为减函数，命题q ：函数f(x)= x +- x c1在x € , 2上恒成立.若p V q 为真命题，p A q 为假命题，求c 的取值范围.解：由p V q 真，p A q 假，知p 与q 为一真一假，对 p , q 进行分类讨论即可.若p 真，由y = c x 为减函数，得0<c<1.当x € £ 2时，由不等式x +1 > 2(x = 1时取等号)知，f(x) = x +1在1, 2上的最小值为 2 x x 22.若q 真，则【<2，即c>1. c 2若 p 真 q 假，则 0vcv1, c <2，所以 0<c w 2；1若p 假q 真，贝U c > 1, c>2，所以c > 1.(1)求直线I// 12的充要条件;⑵当x € [— 1,2]时，直线I 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围.r k = 1I 2= k — 1，解：（1）由题意得 .d c 解得k = 2. i 0，—k 半 1,1综上可得，c € 0, ?U [1,+).20.(本小题满分 k12分)已知k € R 且k 丰1,直线11： y =* +1和12： y =1 k — 1 x — k.当 k = 2 时，l i : y = x + 1, I 2： y = x — 2，此时 I 1//I 2, •••直线l i / I 2的充要条件为k = 2.解得—1vk<2.，2X 2+ 1>0 ,• k 的取值范围是(—1,2).21.(本小题满分12分)已知a > 0且a 丰1,设命题p ：函数y = log a (x + 1)在区间(—1, + m )内单调递减；q ：曲线y = x 2 3 + (2a — 3)x +1与x 轴有两个不同的交点，如果 p V q 为真 命题，求a 的取值范围.解：由y = log a (x + 1)在区间(一1,+ g )上单调递减知 0<a<1 ,•••曲线y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于两个不同的点，1 5• △= (2a — 3)4 5 — 4X 1X 1>0，解得 avg 或 a>[• p 真对应集合 A = {a|0va<1},由于p V q 真，即p , q 中至少有一个为真命题.1p 真q 假时，g a<1;2q 真q 真时，0<a<2.综上得，a 的取值范围为(一g, 1) U 5,+ g .22.(本小题满分12分)已知命题：“ ？ x € {x|— 1w x < 1}，都有不等式 x 2— x — m<0成 立”是真命题.(1) 求实数m 的取值集合B ;⑵设不等式(x — 3a)(x — a — 2)<0的解集为 A ,若x € A 是x € B 的充分不必要条件，求 实数a 的取值范围.解：(1)命题：“？ x € {x|— 1w x < 1},都有不等式 x 2 — x — m<0成立”是真命题，得x 2 —x — m<0在—1 w x < 1时恒成立，• m>(x 2 — x)max ，得 m>2，即 B = {m|m>2}.k(2)设f(x)=尹+ 1.由题意，得 f2>0,q 真对应集合5p假q真时，a>6或a w 0;①当3a>2 + a,即a>1时，解集A= {x|2 + a<x<3a}，若x€ A是x€ B的充分不必要条件，则A B,••• 2+ a>2,此时a€ (1, );②当3a= 2+ a,即a= 1时，解集A = ?，若x € A是x€ B的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a<2 + a,即a<1时，解集A= {x|3a<x<2 + a}，若x€ A是x€ B的充分不必要条件，贝U A B成立，2•- 3a> 2,此时 a €( —, 1).32综上①②③可得 a €( 3,+ a).3(2) 不等式(x—3a)(x —a —2)<0,。

1到两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( )．A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )． A ．3 2 B ．4 3 C ．3 3 D ．4 23已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹为双曲线的是( )．A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±44已知方程x 2k －5－y 2|k |－2＝1的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )． A ．k ＞5B ．k ＞5，或－2＜k ＜2C ．k ＞2，或k ＜－2D ．－2＜k ＜25设P 为双曲线x 2－y 212＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )．A ．6 3B ．12C ．12 3D ．246如图，从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为__________．7在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，点A 运动时满足sinB －sinC ＝12sinA ，则点A 的轨迹方程是__________．8经过P (3，154)和Q (163，5)两点的双曲线的标准方程是__________． 9某单位需挖一个横断面为半圆的柱形坑，挖出的土只能沿着道路AP ，BP 运到P 处．如图，|PA |＝100米，|PB |＝150米，∠APB ＝60°，试说明，怎样运土才能最省工．参考答案1. 解析：∵||MF 1|－|MF 2||＝6，而F 1(－3,0)，F 2(3,0)之间距离为6，即|F 1F 2|＝6， 故||MF 1|－|MF 2||＝|F 1F 2|.∴M 点的轨迹为分别以F 1，F 2为端点的射线．答案：D2. 解析：由c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，得2c ＝43.答案：B3. 解析：由题意知|F 1F 2|＝4，由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，观察选项，只有A 项符合．答案：A4. 解析：∵方程的图形是双曲线，∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧ k －5>0，|k |－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5<0，|k |－2<0. 解得k ＞5，或－2＜k ＜2.故选B ．答案：B5. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ ||PF 1|－|PF 2||＝2，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝4， ∵|F 1F 2|＝2c ＝213，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|＝12. 答案：B6. 解析：设双曲线的右焦点为F ′，连PF ′，OT .在Rt △OTF 中，|FO |＝c ，|OT |＝a ，∴|TF |＝b .由三角形中位线定理及双曲线定义，知|MO |－|MT |＝12|PF ′|－(12|PF |－b )＝b －12(|PF |－|PF ′|)＝b －a . 答案：相等7. 解析：∵sin B －sin C ＝12sin A ， ∴由正弦定理得b －c ＝12a ， 即|AC |－|AB |＝12|BC |， ∴|AC |－|AB |＝4.∴点A 的轨迹是以C ，B 为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为x 24－y 212＝1(x ＞2)． 答案：x 24－y 212＝1(x ＞2)． 8. 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9m ＋15216n ＝1，1629m ＋25n ＝1.解得⎩⎨⎧ m ＝－116，n ＝19. ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 答案：y 29－x 216＝1 9. 解：如题图，以直线AB 所在直线为x 轴，以圆心O 为坐标原点建立平面直角坐标系，设Q 是界线上的任意一点，根据题意，有|QA |＋|PA |＝|QB |＋|PB |，∴|QA |－|QB |＝|PB |－|PA |.∵|PB |＝150，|PA |＝100，∴|QA |－|QB |＝50.根据双曲线的定义，得第三类点(即沿AP ，BP 一样远近的点)在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．在△APB 中，由余弦定理，知|AB |2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |cos 60°，∴|AB |2＝17 500.根据求双曲线的标准方程的方法，求的界线为双曲线的右支，即x 2625－y 23 750＝1(x ≥25)． 答：运土时，将此双曲线弧左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工．。

1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2 |v1|·|v2|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则[例1]M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .则有，(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP ―→＝(0,0，a )，AD ―→＝(0，a,0)， ∴MN ―→＝12AD ―→＋12AP ―→.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：PC ―→＝(b ，a ，－a )，PM ―→＝⎝⎛⎭⎫b2，0，－a ， PD ―→＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM ―→＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC ―→＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD ―→＝0⇒ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面PMC ⊥平面PDC .(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l ∥平面α，只需证l ＝λa ，l ⊄α，其中l 是直线l 的方向向量，a ⊂α；如果要证l ⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m ，n ，证明⎩⎪⎨⎪⎧l ·m ＝0，l ·n ＝0，即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ， 则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0， A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12(a ＋b )，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→ ＝OC ―→ ＋CG ―→ ＝12(AB ―→＋AD ―→ )＋12CC 1―→＝12(a ＋b )－12c ，∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0，∴A 1O ―→⊥BD ―→.∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→.∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1，1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)， DG ―→＝(0,2,1)，则A 1O ―→·DB ―→＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0， A 1O ―→·DG ―→＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A 1O ―→⊥DB ―→，A 1O ―→⊥DG ―→.即A 1O ⊥DB ，A 1O ⊥DG . 又DB ∩DG ＝D ，故A 1O ⊥平面GBD .法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1,1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)，DG ―→＝(0,2,1)． 设向量n ＝(x ，y ，z )为平面GBD 的一个法向量， 则n ⊥DB ―→，n ⊥DG ―→. 即n ·DB ―→＝0，n ·DG ―→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2， 所以n ＝(1，－1,2)． 所以A 1O ―→＝－n .即A 1O ―→∥n . 所以A 1O ⊥平面GBD .2.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；(2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，B 1D 1―→＝A 1D 1―→－A 1B 1―→， 又∵AD ―→＝A 1D 1―→，AB ―→＝A 1B 1―→，∴BD ―→＝B 1D 1―→， ∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1， 所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12(CB ―→＋BB 1―→)＝12AB ―→＋AD ―→＋12(－AD ―→＋AA 1―→) ＝12AB ―→＋12AD ―→＋12AA 1―→.设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝12(a ＋b ＋c )．又BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ， ∴MN ―→·BD ―→＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝12(b 2－a 2＋c ·b －c ·a )． 又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. 又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2.∴b 2－a 2＝0. ∴MN ―→·BD ―→＝0.∴MN ⊥BD . 同理可证MN ⊥A 1B . 又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD .[例2] 四棱锥＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P -AM -N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0，2,0)， ∴PC ―→＝(2,2，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)． 设M (x 1，y 1，z 1)，PM ―→＝λPD ―→， 则(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)． ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2. ∴M (0,2λ，2－2λ)．∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ―→⊥AM ―→， ∴PC ―→·AM ―→＝0.∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0. ∴λ＝12.∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，PN ―→＝t PC ―→， 则(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)．∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2. ∴N (2t,2t,2－2t )．∵PC ―→⊥AN ―→，∴AN ―→·PC ―→＝0. ∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0. ∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0， ∴t ＝13.∴N ⎝⎛⎭⎫23，23，43. (1)∵cos 〈AM ―→，PD ―→〉＝(0，1，1)·(0，2，－2)0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB ―→，PC ―→分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量． ∵AB ―→·PC ―→＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4， |AB ―→|＝2，|PC ―→|＝23， ∴cos 〈AB ―→，PC ―→〉＝443＝33.∴二面角P -AM -N 的余弦值为33. (3)∵PC ―→是平面AMN 的法向量，∴CD 与平面AMN 所成角即为CD 与PC 所成角的余角． ∵CD ―→·PC ―→＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4， ∴cos 〈CD ―→，PC ―→〉＝－42×23＝－33.∴直线CD 与PC 所成角的正弦值为63， 即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n 1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求二面角的大小：如图，设平面α，β的法向量分别为n 1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.3.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好落在AB 上，求这时二面角B -AC -D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H .在Rt △ADC 中， AC ＝AD 2＋DC 2＝5， cos ∠DAC ＝AD AC ＝35.在Rt △AGD 中，AG ＝AD ·cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝9－8125＝125. 同理，cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125.AD ―→·BC ―→＝(AE ―→＋ED ―→)·BC ―→＝AE ―→·BC ―→＋ED ―→·BC ―→＝0， GD ―→·HB ―→＝(GA ―→＋AD ―→)·(HC ―→＋CB ―→) ＝GA ―→·HC ―→＋GA ―→·CB ―→＋AD ―→·HC ―→＋AD ―→·CB ―→ ＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD ―→|·|HB ―→|＝14425，∴cos 〈GD ―→，HB ―→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.4.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)二面角C 1-BD -C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：建立空间直角坐标系D -xyz ，如图．设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )，∴BD ―→＝(－a ，－a,0)，AC ―→＝(－a ，a,0)，CC 1―→＝(0,0，b )， ∴BD ―→·AC ―→＝0，BD ―→·CC 1―→＝0. ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1.又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于点O ，连接C 1O ， 则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，OC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，b . ∵BD ―→·OC 1―→＝0，∴BD ⊥C 1O . 又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD -C 的平面角， ∴∠C 1OC ＝60°， ∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b22a ＝3， ∴b ＝62a . ∵AC ―→＝(－a ，a,0)，BC 1―→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC ―→，BC 1―→〉＝AC ―→·BC 1―→|AC ―→|·|BC 1―→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A2．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为( )A ．AB ―→B ．2BD ―→C ．0D ．2DE ―→解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE ―→＝DF ―→. ∵12BC ―→＝BF ―→，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→－AD ―→＝AF ―→＋FD ―→－AD ―→＝AD ―→－AD ―→＝0.答案：C3．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基； ⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C4．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ―→＝a ，CB ―→＝b ，CC 1―→＝c ，则A 1B ―→＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B ―→＝CB ―→－CA 1―→＝CB ―→－(CA ―→＋CC 1―→)＝b －a －c . 答案：D5．已知四面体ABCD 的各边长都是a ，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF ―→的值是( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：由已知得ABCD 为正四面体，因为AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，AF ―→＝12AD ―→，所以AE ―→·AF―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C6．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A (1,0,0)，则B (0,1,0)，D (0，－1,0)，AB ＝2，SD ＝2，∴SO ＝1，∴S (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，AE ―→＝－1，12，12，SD ―→＝(0，－1，－1)．∴cos 〈AE ―→， SD ―→〉＝AE ―→·SD ―→|AE ―→||SD ―→|＝－12－1262×2＝－33， ∴AE 与SD 所成角的余弦值为33. 答案：C7．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，若AC ′―→＝x AB ―→＋2y BC ―→＋3zC ′C ―→，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23解析：如图，AC ′―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC ′―→＝AB ―→＋BC ―→－C ′C ―→，所以x ＝1,2y ＝1，3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线P Q 与AM 所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM ―→＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，Q P ―→＝(0，－1,2)，所以Q P ―→·AM ―→＝0，所以Q P 与AM 所成角为π2.答案：D9．如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1―→＝(－2,0,1)，AC ―→＝(－2,2,0)，且AC ―→为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→|·|AC ―→|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：D10．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A ―→·Q B ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则Q A ―→＝(1－x ，2－x,3－2x )， Q B ―→＝(2－x,1－x,2－2x )．∴Q A ―→·Q B ―→＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，Q A ―→·Q B ―→取得最小值，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：C11.如图，在四面体P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC ―→＝BD ―→＋DE ―→＋EC ―→，∴BC ―→2＝BD ―→2＋DE ―→2＋EC ―→2＋2BD ―→·DE ―→＋2DE ―→·EC ―→＋2EC ―→·BD ―→， ∴EC ―→·BD ―→＝－14，∴cos 〈BD ―→，EC ―→〉＝－77.故二面角B -AP -C 的余弦值为77. 答案：C12.如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，且底面边长与侧棱长都等于2，O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，则平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离为( )A.355B.255C.55D.510解析：如图，连接OO 1，根据题意，OO 1⊥底面ABC ，则以O 为原点，分别以OB ，OC ，OO 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AO 1∥OC 1，OB ∥O 1B 1，AO 1∩O 1B 1＝O 1，OC 1∩OB ＝O ，∴平面AB 1O 1∥平面BC 1O .∴平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离即为O 1到平面BC 1O 的距离．∵O (0，0,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)，∴OB ―→＝(3，0,0)，OC 1―→＝(0,1,2)，OO 1―→＝(0,0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BC 1O 的法向量，则n ·OB ―→＝0，∴x ＝0.又n ·OC 1―→＝0，∴y ＋2z ＝0，∴可取n ＝(0,2，－1)．点O 1到平面BC 1O 的距离记为d ，则d ＝|n ·OO 1―→||n |＝25＝255.∴平面AB 1O 1与平面BC 1O间的距离为255.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q )共线，则p ＋q ＝________. 解析：由已知得AB ―→＝(1，－1,3)，AC ―→＝(p －1，－2，q ＋2)，因为AB ―→∥AC ―→，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，所以p ＝3，q ＝4，故p ＋q ＝7.答案：714.已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝3GN ―→，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OG ―→，并设OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的和为________．解析：OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋34MN ―→＝12OA ―→＋34⎝⎛⎭⎫－12 OA ―→＋OC ―→＋12 CB ―→＝12OA ―→－38OA ―→＋34OC ―→＋38OB ―→－38OC ―→＝18OA ―→＋38OB ―→＋38OC ―→， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为______________．解析：由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上， 可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 16.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量． 又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ―→⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE ―→＝OA ―→＋AE ―→＝OA ―→＋t AB ―→ ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )． 若OE ―→⊥b ，则OE ―→·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ―→⊥b ， 此时E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝60°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝45°.(1)求|BD 1―→|；(2)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. 解：(1)∵BD 1―→＝BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→∴|BD 1―→|2＝(BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→)2＝BA ―→2＋BC ―→2＋BB 1―→2＋2(BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BB 1―→＋BC ―→·BB 1―→)＝1＋1＋1＋2⎝⎛⎭⎫－12－22＋22＝2，∴|BD 1―→|＝ 2.(2)证明：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→， ∴AA 1―→·BD ―→＝AA 1―→·(AD ―→－AB ―→)＝0， ∴BD ⊥AA 1，又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)如图，已知点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA ―→＝(1,0,0)，CC 1―→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH ―→＝(m ，m,1)(m ＞0)， 由已知〈DH ―→，DA ―→〉＝60°，由DH ―→·DA ―→＝|DA ―→||DH ―→|cos 〈DA ―→，DH ―→〉， 可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH ―→＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH ―→，CC 1―→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH ―→，CC 1―→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC ―→＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH ―→，DC ―→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH ―→，DC ―→〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 解：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ―→，AD ―→，AA 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ―→＝(0,1,0)．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD ―→是平面ABB 1A 1的一个法向量， 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BE ―→·AD ―→||BE ―→|·|AD ―→|＝132×1＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，连接B 1F ，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)， 又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角． 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC ―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0， 可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77.由图知二面角D -AE -C 为锐角， 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD ， 故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点， HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.故sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.。

1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。

2．1.2　椭圆的简单几何性质第一课时　椭圆的简单几何性质[读教材·填要点]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2范围－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c对称性对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝(0＜e ＜1)ca2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系(1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；(2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．[小问题·大思维]1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？x 225y 29提示：根据椭圆的标准方程＋＝1，x 225y 29得a ＝5，b ＝3，则c ＝＝4.25－9因此，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.离心率e ＝＝＝0.8.c a 45焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)，顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．2．如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝得e 2＝＝，c a c 2a 2a 2－b 2a 2∴e ＝.1－(b a)2∴e ＝.1－b 2a23．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c .由椭圆方程研究简单几何性质求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[自主解答]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝＝6x 281y 2981－9，2所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝＝.c a 223两个焦点的坐标分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，22A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)．已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．1．已知椭圆C 1：＋＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭x 2100y 264圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，x 2100y 264离心率e ＝；35(2)椭圆C 2：＋＝1，y 2100x 264性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝.35由椭圆的简单几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e ＝；63(2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．[自主解答]　(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝，63所以c ＝.从而b 2＝a 2－c 2＝3，6所以椭圆的标准方程为＋＝1；x 29y 23当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝，63所以＝.所以a 2＝27.a 2－b 2a 63所以椭圆的标准方程为＋＝1.y 227x 29综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 29y 23y 227x 29(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2由已知，得c ＝3，b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 218y 29(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.3解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2∵椭圆过点A (2,0), ∴＝1，a ＝2.4a 2∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1.∴方程为＋y 2＝1.x 24若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为＋＝1(a >b >0)，y 2a 2x 2b 2∵椭圆过点A (2,0)，∴＋＝1.02a 24b 2∴b ＝2,2a ＝2·2b .∴a ＝4.∴方程为＋＝1.y 216x 24综上所述，椭圆方程为＋y 2＝1或＋＝1.x 24y 216x 24(2)由已知Error!∴Error!从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 212y 29x 29y 212求椭圆的离心率设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥x 2a 2y 2b2F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.B. C. D.36131233[自主解答]　法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝m ，故3离心率e ＝＝＝＝＝.c a 2c 2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±，所b 2a 以|PF 2|＝.又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝|PF 2|，故2c ＝·，变形可得(a 2－c 2)＝b 2a 33b 2a 32ac ，等式两边同除以a 2，得(1－e 2)＝2e ，解得e ＝或e ＝－(舍去)．3333[答案]　D若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2.∴e 2＝>，c 2a 212∴e >.故C 的离心率的取值范围为.22(22，1)椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地：(1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝求解；ca (2)若已知a ，b ，则由e ＝求解；1－(b a)2(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．已知椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的端点B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解：如图，|F 1F 2|＝2c ，∵|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，且△BF 1F 2为等腰直角三角形．∴|BF 1|＝|BF 2|＝a ＝c .2∴离心率e ＝＝.ca 22解题高手 妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆的x 2a 2y 2b2离心率的取值范围．[巧思]　由∠APO ＝90°可知：点P (x ，y )在以OA 为直径的圆上，且P 点又在椭圆上．然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P 点的横坐标．利用0<x <a 建立关于a ，b ，c 的不等关系．[妙解]　设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知：P 点在以OA 为直径的圆上．圆的方程是：2＋y 2＝2⇒y 2＝ax －x 2.①(x －a 2)(a 2)又P 点在椭圆上，故＋＝1.②x 2a 2y 2b 2 把①代入②得：＋＝1⇒(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，x 2a 2ax －x 2b 2故(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，x ≠a ，x ≠0⇒x ＝.又0<x <a ，ab 2a 2－b 2∴0<<a ⇒2b 2<a 2⇒a 2<2c 2⇒e >.ab 2a 2－b 222又∵0<e <1，故所求的椭圆离心率的取值范围是.(22，1)1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±)69解析：由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝ ＝.a 2－b 269答案：D2．椭圆＋＝1的离心率为( )x 216y 28A. B.1312C. D.3322解析：由＋＝1可得a 2＝16，b 2＝8，x 216y 28∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝＝.∴e ＝.c 2a 21222答案：D3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m 等于( )A.B ．212C ．4D.14解析：由条件可知＝2，解得m ＝.1m14答案：D4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆＋＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离x 2a 2y 2b 2心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1.∴a ＝＝.∴e ＝＝.b 2＋c 25c a 255答案：2555．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的32两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析：e ＝，2a ＝12，a ＝6，b ＝3，32∴椭圆方程为＋＝1.x 236y 29答案：＋＝1x 236y 296．已知椭圆＋＝1(m ＞0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、x 22m ＋1y 2m 32焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程为＋＝1，x 22m ＋1y 2m ∴a 2＝2m ＋1，b 2＝m .∴c ＝＝.a 2－b 2m ＋1由e ＝，得＝，解得m ＝，32m ＋12m ＋13212∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 22y 212∴a ＝，b ＝，c ＝.22262∴椭圆的长轴长为2，短轴长为，22两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－62，0)(62，0)顶点坐标分别为A 1(－，0)，A 2(，0)，B 1，B 2.22(0，－22)(0，22)一、选择题1．已知椭圆C 1：＋＝1，C 2：＋＝1，则( )x 212y 24x 216y 28A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为4；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长322为4，焦距为4.故选D.22答案：D2．椭圆＋＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x 225y 29A ．8,2 B ．5,4C ．5,1D ．9,1解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1.答案：D3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C2263的方程为( )A.＋y 2＝1B ．x 2＋＝1x 23y 23C.＋＝1D.＋＝1x 23y 22x 22y 23解析：∵＝，且c ＝，ca 632∴a ＝，b ＝＝1.3a 2－c 2∴椭圆方程为＋y 2＝1.x 23答案：A4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以x 2a 2y 2b 2线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A. B.6333C.D.2313解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝ ＝.2abb 2＋a21－b 2a 263答案：A 二、填空题5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．x 24y 23解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y 2＝，即y ＝±，所以最短弦的长为2×＝3.x 24y 23124y 23943232答案：4,36．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若∠ABF ＝90°，则椭圆的离心离为________．解析：由已知|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a 2＋b 2)＋a 2＝(a ＋c )2.∴a 2＋b 2＝2ac ＋c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0.∴e ＝.5－12答案：5－127．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形，因此其面积为S ＝·2a ·2b ＝2ab ＝40，12∴ab ＝20.又c ＝3，且a 2－b 2＝c 2.∴a 2－＝9，a 4－9a 2－400＝0.400a2∴a 2＝25或a 2＝－16(舍去)．∴a ＝5，b ＝4，所求方程为＋＝1.x 225y 216答案：＋＝1x 225y 2168．若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则x 24y 23·的最大值为________．OP ―→ FP ―→解析：由椭圆＋＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则·x 24y 23OP ―→ ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3＝x 2＋x ＋3＝(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，·FP ―→ (1－x 24)1414OP ―→ FP ―→ 取得最大值6.答案：6三、解答题9．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率e ＝，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点x 2a 2y 2b 263的距离为，求椭圆的标准方程．32解：e ＝＝＝，∴＝.c a a 2－b 2a 63a 2－b 2a 223∴a 2＝3b 2，即a ＝b .3过A (0，－b )，B (a,0)的直线为－＝1，x a yb 把a ＝b 代入，即x －y －b ＝0.333又由点到直线的距离公式得＝，解得b ＝1，∴a ＝.|－3b |1＋(－3)2323∴所求方程为＋y 2＝1.x 2310.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，则x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)．直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程＋＝1，得y ＝±，∴P .x 2a 2y 2b 2b 2a (－c ，b 2a )∵PF 2∥AB ，且k PF ＝＝，2b 2a－c －c －b 22ac 又k AB ＝－，∴由k PF ＝k AB ，得－＝－.b a 2b 22ac ba ∴b ＝2c .∴a ＝＝c.b 2＋c 25∴e ＝＝，即椭圆离心率为.ca 5555第二课时　直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系：x 2a 2y 2b2点P 在椭圆上⇔＋＝1；x 20a 2y 20b 2点P 在椭圆内部⇔＋<1；x 20a 2y 20b 2点P 在椭圆外部⇔＋>1.x 20a 2y 20b22．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立Error!消去y 得一x 2a 2y 2b 2个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0[小问题·大思维]1．若点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a 的取值范围是什么？x 24y 22提示：∵点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，x 24y 22∴＋<1，解得－<a <，a 241222即a 的取值范围为(－，)．222．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆＋y 2＝1各有什么样的位置3x 22关系？提示：(1)由Error!得3x 2＋4x ＝0.∵Δ＝16＞0，∴直线与椭圆相交．(2)由Error!得3x 2＋4x ＋4＝0.3∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0，3∴直线与椭圆相切．(3)由Error!得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线与椭圆相离．直线与椭圆位置关系对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆＋y 2＝1的位置关系．x 24[自主解答]　由Error!消去y ，得＋(x ＋m )2＝1，x 24整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－<m <时，Δ>0，直线与椭圆相交；55当m ＝－或m ＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；55当m <－或m >时，Δ<0，直线与椭圆相离．55判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由Error!消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6，即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0.Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.当Δ＝72k 2－48>0，即k <－或k >时，6363直线和曲线有两个公共点．当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝或k ＝－时，6363直线和曲线有一个公共点．当Δ＝72k 2－48<0时，即－<k <时，6363直线和曲线没有公共点．弦长问题已知斜率为1的直线l 过椭圆＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求x 24弦AB 的长．[自主解答]　∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝＝.∴右焦点F (，0)．a 2－b 233∴直线l 方程为y ＝x －.3由Error!消去y 并整理得5x 2－8x ＋8＝0.3设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，83585∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－3－x 2＋3)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝＝.2[(835)2－4×85]85即弦AB 的长为.85当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴|AB |＝，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝＝ ·(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)21＋k 2(x 1－x 2)2＝·.1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为.求椭圆方程．1625解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上，∴设椭圆方程为＋＝1.x 24b 2y 2b2联立Error!得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴Error!∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝· 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝.4255b 2－41625∴5b 2－4＝16.∴b 2＝4，即b ＝2.∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为＋＝1.x 216y 24中点弦问题已知椭圆＋y 2＝1，求过点P 且被P 平分的弦所在直线的方程．x 22(12，12)[自主解答]　法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －＝k12，(x －12)即y ＝kx ＋－k .1212由Error!得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0，设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－＝1，4k (1－k )2＋4k 2解得k ＝－.12∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.由Error!得y －y ＝－(x －x )，21212212∴＝－·＝－，y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 212即k ＝－，12∴直线方程为y －＝－，1212(x －12)即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆＋＝x 2a 2y 2b 21(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则Error!由①－②，得(x －x )＋(y －y )＝0，变形得＝－·＝－·，即k AB ＝－1a 22121b 2212y 1－y 2x 1－x 2b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2b 2a 2x 0y 0.b 2x 0a 2y 03．设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为.x 2a 2y 2b 235(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．45解：(1)将(0,4)代入C 的方程得＝1，16b 2∴b ＝4.又e ＝＝得＝，c a 35a 2－b 2a 2925即1－＝，∴a ＝5.16a 2925∴C 的方程为＋＝1.x 225y 216(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y ＝(x －3)，4545设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝(x －3)代入C 的方程，得45＋＝1，x 225(x －3)225即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标＝＝，x x 1＋x 2232＝＝(x 1＋x 2－6)＝－，y y 1＋y 222565即中点坐标为.(32，－65)解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆＋＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求mx 24y 23的取值范围．[妙解]　法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－.14设P Q 所在直线方程为y ＝－＋b .x4由Error!消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0.解得b 2<.①134x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.8b 1316b 2－4813设P Q 中点为M (x ，y )，则有x ＝＝，y ＝－·＋b ＝.x 1＋x 224b 13144b 1312b 13∵点M 在直线y ＝4x ＋m 上，(4b 13，12b13)∴＝4·＋m .∴b ＝－m .②12b 134b 13134把②代入①，得：2<，(－134m )134解得－<m <.2131321313故m 的取值范围为.(－21313，21313)法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上的两点，M (x ，y )是P Q 的中点．则有Error!两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴＝－＝－k P Q .3x 4y y 1－y 2x 1－x 2∵k P Q ＝－，14∴y ＝3x .由Error!解得Error!∴M (－m ，－3m )．∵点M 应在椭圆C 的内部，∴＋<1.(－m )24(－3m )23解得－<m <.2131321313故m 的取值范围为.(－21313，21313)[点评]　P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )x 24A ．相交 B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入＋y 2＝1x 24得＋(3－x )2＝1，x 24即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离．答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k 的值是( )x 23y 22A.B ．－6363C ．±D ．±6333解析：把y ＝kx ＋2代入＋＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δx 23y 22＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±.63答案：C3．直线y ＝kx ＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )x 25y 2m A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.答案：D4．直线y ＝a 与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．x 23y 24解析：由＋＝1得－2≤y ≤2，x 23y 24∴－2<a <2.答案：(－2,2)5．椭圆＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.x 23解析：由Error!得交点坐标(0,1)，，(－32，－12)则|AB |＝ ＝.(32)2＋(1＋12)2322答案：3226．过点P (2,1)的直线l 与椭圆＋y 2＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．x 22解：设直线l 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中x 22点M (x ，y )，则Error!由①－②得＝－·＝－·.y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 212xy 又∵直线l 的斜率为k PM ＝，y －1x －2∴＝－.y －1x －2x 2y整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.(在椭圆x 22＋y 2＝1内的部分)一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )x 29y 24A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.x 29y 24x 29y 24答案：B 2．已知椭圆x 2＋＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取y 22值范围是( )A.(0，322)B.∪(0，322)(822，＋∞)C.(0，13)D.(322，822)解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋＞a 2，解得0＜a ＜；(2)B 点在椭圆内，16＋12322＜a 2，解得a ＞.92822答案：B3．经过椭圆＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐x 22标原点，则·＝( )OA ―→ OB ―→A ．－3B ．－13C ．－或－3D ．±1313解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴·＝x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→把y ＝x －1代入＋y 2＝1得，3x 2－4x ＝0.x 22∴A (0，－1)，B .(43，13)∴·＝－.OA ―→ OB ―→ 13答案：B4．已知椭圆C ：＋x 2＝1，过点P 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB y 29(12，12)被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵点A ，B 在椭圆上，∴＋x ＝1，①y 21921＋x ＝1.②y 292①－②，得＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9∵P 是线段AB 的中点，(12，12)∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得＝－9，即直线AB 的斜率为－9.y 1－y 2x 1－x 2故直线AB 的方程为y －＝－9，12(x －12)整理得9x ＋y －5＝0.答案：B二、填空题5．已知点A ，B 是椭圆＋＝1(m >0，n >0)上两点，且＝λ，则λ＝________.x 2m 2y 2n 2AO ―→ BO ―→ 解析：由＝λ知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.AO ―→ BO ―→答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点，则实数m 的取值范围为________．解析：由Error!得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－≤m ≤.5252答案：[－52，52]7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝x ＋1截得的弦长为________．12解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝ ＝ ＝.54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]54(4＋24)35答案：358．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ，又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝c .3∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋)c ＝2a .3∴e ＝＝＝－1.c a 21＋33答案：－13三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：＋＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：x 24y 22(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组Error!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－3<m <3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组22不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同2的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－3或m >3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数22解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，x 22消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，解得－<b <.33所以b 的取值范围为(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.43相应地y 1＝1，y 2＝－.13所以|AB |＝＝.(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2423。

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x ∈R,2x －3>1”的否定是( )A ．∃x ∈R,2x －3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x ∈R,2x －3>1答案：C2．已知椭圆E ：x24＋y23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，M 是平面内任一点．则“|MF 1|＋|MF 2|＝4”是“点M 在椭圆E 上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长2a ＝4，根据椭圆的定义知，C 选项正确．答案：C3．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－3)，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－y22＝1 B.x22－y 2＝1 C.y22－x 2＝1 D ．y 2－x22＝1 解析：依题意可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，将M (2，－3)代入双曲线方程，得λ＝－1.故所求双曲线方程为y 2－x22＝1. 答案：D4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.5 32 B.212 C.372 D.3 52解析：由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0.∴2n ＝5，n ＝52.∴|a |＝ 1＋4＋254＝3 52. 答案：D6．一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆 解析：圆C 的方程即(x －3)2＋y 2＝1，圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R . ∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1，又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．答案：A7．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1 C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1 解析：双曲线x24－y212＝－1化为y212－x24＝1， 其焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)． 所以对椭圆y2a2＋x2b2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12. ∴b 2＝4，因此方程为y216＋x24＝1. 答案：D8．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d。

1已知5错误!＝|3x＋4y－12｜是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是（)．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对2抛物线过点（－2，3），则它的标准方程是（)．A．x2＝－错误!y或y2＝错误!xB．y2＝－错误!x或x2＝错误!yC．x2＝错误!yD．y2＝－错误!x3抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为（)．A．错误!B．错误!C．错误!D．04抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )．A．错误!B．错误!C．错误!D．35以双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．6经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为__________．7已知圆的方程为x2＋y2＝4,若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．8直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM｜＝错误!，｜AN|＝3，且｜BN|＝6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程．9过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1,y1），B（x2，y2）．(1）求该抛物线上纵坐标为错误!的点到其焦点F的距离;（2)当P A与P B的斜率存在且倾斜角互补时,求y1＋y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．参考答案1.解析：由题意得错误!＝错误!，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点（0，0）的距离．由抛物线定义可知,动点M的轨迹是以原点（0,0）为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．答案:C2.解析：抛物线过点(－2，3），点(－2,3）在第二象限，由图象可知，方程可设为x2＝2py或y2＝－2px，代入点(－2, 3）求得p 的值分别为错误!和错误!，故y2＝－错误!x或x2＝错误!y。

1．框图的分类框图包括流程图和知识结构图，流程图主要包括程序框图和工序流程图．2．框图的画法(1)流程图的画法：①分解步骤：将整个过程分解为若干个基本单元；②理清关系：分析各个基本单元之间的逻辑关系；③表述关系：将各个基本单元用简洁的语言或符号表述出来；④画图连线：绘制框图，并用流程线连接起来．(2)知识结构图的画法：①确定基本元素：确定组成结构图的基本元素；②确定关系：确定基本元素之间的先后顺序或从属关系；③画图连线：绘制框图，并用连线或方向箭头连接．3．对框图的理解(1)框图是自然语言的直观、明确的表示，根据需要，可以从左到右，也可以从上到下．(2)流程图具有时间特征，是动态过程，而结构图则是静态的．(3)连线可以用线段，也可以用箭头．当流程图或结构图具有一定的方向性时，一定要用箭头．程序框图和工序流程图[例1]法的程序框图．[解]x的值依次取－3，－3＋0.6，－3＋0.6×2，－3＋0.6×3，…，－3＋0.6×9,3，共11个值，恰好是公差为0.6的等差数列，可用循环结构实现．程序框图如图所示．画此类程序框图时，一定要弄清用哪种结构能实现题目中要求的功能，其循环的次数一定要不多不少，输出的结果是循环几次之后而得出的，这些都是很容易出错的地方．[例2]某大型公司的职工招聘流程如下：(1)公司有用人要求或公司出现新职位，则申请公司批准招聘职工，否，则终止；是，则看是否有工作说明书；(2)工作说明书，有，则修订；无，则形成工作说明书；(3)再看公司内部是否有合适人选，是，则内部招聘；否，则外部招聘．试根据以上说明画出该公司的职工招聘流程图．[解]流程图如图所示．␃␃׆Āໄໄ桤āໄĤ⑇䤀Ŧ2愀Ĥ摧ໄRໄໄ׆Āໄ가Ꚅໄ桤ā䜀䑗È葠Ʀ摧ໄ。