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第二章平面向量章末小结【本章知识体系】
【题型归纳】
专题一、平面向量的概念及运算
包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( )
A ．3A
B → B.AB →
C.BA →
D.CA →
2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( )
A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0
B ．a －b ＋c －d ＝0
C ．a ＋b －c －d ＝0
D ．a －b －c ＋d ＝0
3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，
则DE →·DF →＝( )
A ．－3
B ．－4
C ．－8
D ．－6
4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，
b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，
c 为基底时，AC →可表示为
________．
5、下列说法正确的是( )
A ．两个单位向量的数量积为1
B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c
C ．AB →＝OA →－OB →
D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b
专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算
向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。
6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )
A ．1 B. 2
C ．2
D ．4
7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。
9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )
A.43a ＋23b
B.23a ＋43
b C.23a －43b D ．－23a ＋43
b
10、在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件
为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和
OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3, 1)，P 2(－1,3)，且向量OP 3→与向量a ＝(1,1)垂直，
则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )
A ．－3
B ．3
C ．1
D ．－1
11、已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，
(1)用OA →，OB →表示OC →；
(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．
解：
12、如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 的中点，BC 上点F 使
BF ＝13
BC . (1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →；
(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.
专题四、平面向量的数量积
求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角；另一个是根据坐标法，坐标法是a ＝(1x ，1y )，b ＝(2x ，2y )时，a ·b ＝1x 2x ＋1y 2y 。利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决．
13、在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则
k 的可能值个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14、A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC
的形状是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
15、已知|a |＝3，|b |＝4，|c |＝23，且a ＋b ＋c ＝0，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
16．已知|a |＝1，|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为________．
17．如图所示，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，
则AB →·AN →的最大值是________．
18、设平面上向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝(－12，32
)，a 与b 不共线． (1)证明向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)当两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求角α.
