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第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用知识整合与阶段检测[对应学生用书P36][对应学生用书P36](1)柯西不等式取等号的条件实质上是：a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n.这里某一个b i 为零时，规定相应的a i 为零．(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组．(3)可以利用向量中的|α||β|≥|α·β|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义．[例1] 若n 是不小于2的正整数，求证： 47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22. [证明] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22. 由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋...＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋...＋2n ]≥n 2， 于是1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)≥n 2n ＋＋n ＋＋…＋2n ＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜ 2＋12＋…＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋2＋1n ＋2＋…＋1n2＜ n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. [例2] 设a ，b ，c ∈R＋，且满足abc ＝1，试证明：1a3b ＋c ＋1b3a ＋c ＋1c 3a ＋b≥32. [证明] ∵abc ＝1，则所求证的不等式变为b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ＋a 2b 2ac ＋bc ≥32. 又(ab ＋bc ＋ca )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ac ＋bc ·ac ＋bc ＋bc ab ＋ac ·ab ＋ac ＋ac ba ＋bc ·ba ＋bc 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc [(ac ＋bc )＋(ab ＋ac )＋(ba ＋bc )]，∴a 2b 2ac ＋bc ＋b 2c 2ab ＋ac ＋a 2c 2ba ＋bc ≥12(ac ＋bc ＋ab )≥ 12·33a 2b2c 2＝32， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 原不等式得证.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．[例3] 若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A ．78215B ．15782C ．3D ．253[解析] ∵⎝⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，∴3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.[答案] B[例4] 等腰直角三角形AOB 的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P ，过P 分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P 的位置．[解] 分别取OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．则AB 的方程为x ＋y ＝1，记P 点坐标为P (x P ，y P )，则以P 为公共顶点的三个三角形的面积和S 为S ＝12x 2P ＋12y 2P ＋12(1－x P －y P )2，2S ＝x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2. 由柯西不等式，得[x 2P ＋y 2P ＋(1－x P －y P )2](12＋12＋12) ≥[x P ＋y P ＋(1－x P －y P )]2，即2S ×3＝6S ≥1，所以S ≥16.当且仅当x P 1＝y P 1＝1－x P －y P1时，等号成立，即x P ＝y P ＝13时，面积和S 最小，且最小值为16.从而P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13时，这三个三角形的面积和取最小值16.[例5] 已知实数x 、y 、z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[解] 由柯西不等式：[x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7，所以7a 6＝7，得a ＝36，当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．(2)注意等号成立的条件．[例6] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.[证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，①又由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有 0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.②由①、②得原不等式成立.1．求函数的最值在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．[例7] 已知0＜x ＜13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )，∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0，x ＞0. ∴y ＝x (1－3x )＝13×3x ×(1－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－3x 22＝112.当且仅当3x ＝1－3x 即x ＝16，y 有最大值112.[例8] 若a >b >0，则代数式a 2＋1ba －b 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 依题意得a －b >0，所以代数式a 2＋1ba －b≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b >0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4，选C.[答案] C[例9] 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[对应学生用书P38]一、选择题1．若α为锐角，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α的最小值为( )A ．2＋3 3B ．3＋2 2C ．2D ．3解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝⎛⎭⎪⎫1＋1cos α≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin αcos α2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2.答案：B2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625解析：2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.答案：B3．设x 、y 、z ，满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.322 D ．6 解析：构造两组数：x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式得[x 2＋(2y )2＋(3z )2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤18，∴x ＋2y ＋3z ≤32，当且仅当x ＝y ＝z ＝22时取等号．答案：A4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品3件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )A ．17元B ．19元C ．21元D ．25元解析：由排序原理可知：花钱最少为：1×5＋2×3＋3×2＝17(元)． 答案：A 二、填空题5．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 解析：设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则0<1a n ≤1a n －1≤…≤1a 1，∵反序和≤乱序和≤顺序和，∴最小值为反序和a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n＝n .答案：n6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的总时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41. 答案：417．函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________．解析：y ＝2x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222x ＋321－2x [2x ＋(1－2x )] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ×2x ＋31－2x ×1－2x 2＝25，当且仅当x ＝15时取等号．答案：258．已知a ，b ，x ，y ＞0，且 ab ＝4，x ＋y ＝1，则(ax ＋by )·(bx ＋ay )的最小值为________．解析：[(ax )2＋(by )2]·[(bx )2＋(ay )2]≥(ax ·bx ＋by ·ay )2＝(ab ·x ＋ab ·y )2＝ab (x ＋y )2＝ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：4 三、解答题9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值． 解：由柯西不等式得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时等号成立，此时最小值为16.10．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值． 解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·3＋2b ·1＋3c ·132＝(3a ＋2b ＋c )2. ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13.∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋3z 对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．解：根据柯西不等式，有(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)≥(x ＋2y ＋3z )2， ∴(x ＋2y ＋3z )2≤1×14＝14， 则－14≤x ＋2y ＋3z ≤14. 又∵|a －1|≥x ＋2y ＋3z 恒成立， ∴|a －1|≥14.则a －1≥14或a －1≤－14， 即a ≥1＋14或a ≤1－14. 所以a 的取值范围为(－∞，1－14]∪[1＋14，＋∞)．[对应学生用书P51](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知a ，b 均为正实数，且a ＋2b ＝10，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．30解析：根据柯西不等式有 (a 2＋b 2)(1＋22)≥(a ＋2b )2＝100.∴a 2＋b 2≥20，当且仅当a ＝b2＝2时取等号．答案：C2．已知x >0，y >0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由4x ＋3y ≥212xy ，∴12xy ≤6，∴xy ≤3，故选C. 答案：C3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4D ．－4解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝ log 2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案：B4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2C ．116D ．4936解析：设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116当且仅当x 1＝1，x 2＝2，x 2＝3时取等号．答案：C5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1 B ．10 C ．11D ．21解析：∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24时取等号．答案：D6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ． 2D ．16解析：因为(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，因此若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则a ≤4，故应选B.答案：B7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．65 B ．635 C ．3635D ．6解析：由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635当且仅当x ＝y 3＝z 5＝635时取等号．答案：C8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5] 解析：|3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10∴－10≤3x ＋2y ≤10. 答案：C9．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A ． 5 B ． 3 C ．2 3D ．32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3， 即所求最大值为 3. 答案：B10．若a >0，b >0，c >0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．3－1 B ．3＋1 C ．23＋2D ．23－2解析：∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23，且a ＋b >0，a ＋c >0，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2a ＋b a ＋c＝24－23＝23－2＝2(3－1)(当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立)，∴2a ＋b ＋c 的最小值为23－2，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3 ≤22＋－2x ＋2x －＝3，当且仅当x ＝53时取等号．答案： 312．(湖南高考)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.答案：1213．已知x 2＋2y 2＝1，则x 2y 4－1的最大值是________． 解析：∵x 2＋2y 2＝1，∴x 2＋y 2＋y 2＝1. 又x 2·y 4－1＝x 2·y 2·y 2－1，∵x 2·y 2·y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋y 233＝127， ∴x 2y 4－1≤127－1＝－2627.即x 2y 4－1≤－2627当且仅当x 2＝y 2＝13时取等号．∴x 2y 4－1的最大值是－2627.答案：－262714．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________． 解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤ 12＋22×x －52＋6－x2＝ 5.答案： 5三、解答题(本大题共有4小题，共50分) 15．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，求证： 1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1abc. 证明：设a ≥b ≥c >0，则a 3≥b 3，∴a 3＋b 3＝a 2·a ＋b 2·b ≥a 2b ＋b 2a ＝ab (a ＋b )， 同理：b 3＋c 3≥bc (b ＋c )，c 3＋a 3≥ac (c ＋a )， ∴1a 3＋b 3＋abc ＋1b 3＋c 3＋abc ＋1c 3＋a 3＋abc ≤1aba ＋b ＋abc ＋1bc b ＋c ＋abc＋1ca c ＋a ＋abc＝1a ＋b ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ＝1abc.16．(本小题满分12分)已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解：(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， ∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫132＝12. ∴－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3.17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.18．(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝22－α1＋22－α2＋…＋22－αn－n的最小值．解：为了利用柯西不等式，注意到(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，所以(2n－1)⎝⎛⎭⎪⎫12－α1＋12－α2＋…＋12－αn＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·⎝⎛12－α1＋⎭⎪⎫12－α2＋…＋12－αn≥⎝⎛2－α1·12－α1＋2－α2·⎭⎪⎫12－α2＋…＋2－αn·12－αn2＝n2，所以y＋n≥2n22n－1，y≥2n22n－1－n＝n2n－1.当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝1n时等号成立，从而y有最小值n2n－1.。
第二章章末总结一、内接法、外接法指电流表的接入电路的两种形式。
(1)概念解析：内外接：指电流表接在电压表所测范围内。
特点：电流表分得一小部分电压（称分压作用），电压表读数为电流表跟待测元件的电压之和。
外接法：指电流表在电压表接线点之外。
特点：电压表分得一小部分电流（称分流作用），电流表读数为电压表跟待测元件的电压之和。
（2）选择原则： 伏安电路待测设为Rx ，若Rx 相对较大，则安培表内接，若Rx 相对较小，则外接，若 不大不小，则内外接均可。
若给出电流表内阻R A 以及电压表内阻R V ，则可以计算中值阻值V A R R 进行比较。
Rx>>V A R R ,内接法，测量值比实际偏大，Rx<<V A R R ，外接法，测量值比实际偏小，概括为：大内大，小外小。
(这里的远大于远小于指的是不能相差一点点，精确的式子是A Rx R >用内接，2AR Rx ≤用外接。
)二、限流式、分压式指的是变阻器接入电路的两种形式 （1）概念解析：限流接法，即变阻器串联入电路，变阻器内电流处处相等，则称为限流接法。
分压接法：变阻器一部分阻值跟待测电路并联，变阻器内电流不相等，则称为分压接法。
（2）选择原则：a.没特殊要求，则一般使用限流接法，因为接法方便，省电b.要求电压变化范围大，则使用分压式 c ．要求电压从零开始调节，则使用分压式 d ．当变阻器阻值较小，比所连接的外电阻小，选分压接法能方便调节变化的读数 e ．当限流式变阻器调至最大时，电流电压仍大于电路元件承受范围，用分压式。
具体见下表：三、仪器读数规则一、10分度仪表读数：电压表、电流表若用0~3V、0~3A量程，其最小刻度（精确度）分别为0.1V、0.1A，为10分度仪表读数，读数规则较为简单，只需在精确度后加一估读数即可。
二、5分度仪表读数：电压表若用0~15V量程，则其最小刻度为0.5V，为5分度仪表读数，所读数值小数点后只能有一位小数，也必须有一位小数。
［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。
当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。
（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。
【金版学案】2021-2021学年高中物理（知识结构+学习测评）第一章章末知识整合粤教版选修1-1一、单项选择题Ⅰ(每题3分，共60分)1．关于摩擦起电、传导起电、感应起电，以下说法错误的选项是( )A．这是起电的三种不同方式B．这三种方式都产生了电荷C．这三种起电方式的实质是一样的，都是电子在转移D．这三种方式都符合电荷守恒定律答案：B2．真空中有两个静止的点电荷q1、q2.假设它们之间的距离变成原先的2倍，而把它们的电荷量都变成原先的4倍，那么两电荷间的库仑力将变成原先的( )A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍答案：C3．关于点电荷的以下说法中不正确的选项是( )A．体积较大的带电体也可能看成点电荷B．足够小(例如体积小于1 mm3)的电荷，必然能够看做点电荷C．点电荷是一种理想化模型D．一个带电体可否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和大小对彼此作使劲的阻碍是不是能忽略不计答案：B4．以下现象中，与静电现象无关的是( )A．干燥的冬季脱化纤服装时常常听到响声B．利用太阳能电池的计算器在光线照射下能正常利用C．运油料的油罐车后有一条拖地的铁链D．高大建筑物上装有避雷针答案：B5．如下图是电场中某区域的电场线散布，a、b是电场中的两点，那么( )A．电荷在a点受到电场力方向必然与场强方向一致．B．同一点电荷放在a点受到的电场力比放在b点受到电场力小．C．正电荷放在a点静止释放，在电场力作用下运动的轨迹与电场线一致．D．a点的电场强度较大．解析：正电荷在电场受力方向与电场方向相同，负电荷受电场力方向与电场方向相反，a点的电场线较密，a点的电场较强．选D.答案：D6．以下关于磁感线说法不正确的选项是( )A．磁感线能够形象的描述磁场的强弱与方向B．沿磁感线方向，磁场愈来愈弱C．所有磁感线都是闭合的D．磁感线与电场线一样都不能相交答案：B7．关于磁场和磁感线的描述，以下说法中正确的选项是( )A．磁感线只能形象地描述各点磁场的方向B．磁极之间的彼此作用是通过磁场发生的C．磁感线是磁场中客观存在的线D．磁感线老是从磁体的北极动身、到南极终止答案：B8．关于磁通量，以下说法中正确的选项是( )A．过某一平面的磁通量为零，该处磁感应强度不必然为零B．磁通量不仅有大小，而且有方向，因此是矢量C．磁感应强度越大，磁通量越大D．磁通量确实是磁感应强度解析：磁通量Φ＝BS⊥，磁通量由磁感应强度与垂直于磁场的面积一起决定，当磁场与面积平行时，磁通量为零，磁通量是标量．选A.答案：A9．关于垂直于磁场方向的通电直导线所受磁场作使劲的方向，正确的选项是( )A．既与磁场方向垂直，又与电流方向垂直B．既与磁场方向平行，又与电流方向平行C．跟磁场方向垂直，跟电流方向平行D．跟磁场方向平行，跟电流方向垂直答案：C10．以一个点电荷为球心，在其周围空间中画出一个球面，关于球面上的各点( ) A．电场强度的大小相同，方向不同B．电场强度的大小相同，方向相同C．电场强度的大小不同，方向不同D．电场强度的大小不同，方向相同答案：A11．以下说法正确的选项是( )A．摩擦起电是制造了电荷B．静电排除是电荷消失了C．用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电D．静电老是有害的答案：C12．关于电场线和磁感线，以下说法正确的选项是( )A．电场线和磁感线都是闭合的曲线B．磁感线是从磁体的N极动身，终止于S极C．电场线和磁感线都不相交D．电场线和磁感线都是现实中存在的答案：C13．关于如下图的实验，以下说法正确的选项是( )A．它第一是由法拉第完成的B．它证明了运动的磁针能产生感应电流C．它揭露了电与磁之间存在彼此作用D．以上说法都不对解析：奥斯特发觉电流的磁效应．答案：C14．如下图，一导体棒放置在处于匀强磁场中的两条平行金属导轨上，并与金属导轨组成闭合回路．当回路中通有电流时，导体棒受到安培力作用．要使安培力增大，可采纳的方式有( )A．减小导体棒的长度B．减小磁感应强度C．改变电流方向D．减小电流强度解析：由F＝BIL知，假设增大安培力F，选项C正确．答案：A15．如下图，带箭头的直线是某一负点电荷形成的电场中的一条电场线，在这条直线上有a、b两点，用E a和E b表示a、b两处的场壮大小，有( )A．a、b两点场强方向相同B．电场线从a点指向b点，因此E a>E bC．电场线是直线，因此E a＝E bD．不知a、b周围的电场线散布，E a和E b的大小关系不能确信解析：电场线是负点电荷产生，b点比a点靠近电荷，因此b点的电场较大，选A.答案：A16．将面积为0.50 m2的线圈放在磁感应强度为2.0×10－3 T的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，那么穿过线圈的磁通量是( )A．1.0×10－3 Wb B．0.50×10－3 WbC．0.25×10－3 Wb D．0答案：A17．磁感应强度是一个矢量，磁场中某点磁感应强度的方向是( )A．正电荷在该点所受力方向B．沿磁感线由N极指向S极C．小磁针N极或S极在该点的受力方向D．在该点的小磁针静止时N极所指方向答案：D18．两个等量点电荷P、Q在真空中产生电场的电场线(方向未标出)如下图．以下说法中正确的选项是( ) A．P、Q是两个等量正电荷B．P、Q是两个等量负电荷C．P、Q是两个等量异种电荷D．P、Q产生的是匀强电场答案：C19．如下图，表示磁感应强度B，电流强度I和安培力F三者彼此关系图，哪个图是不正确的( )答案：D20．如右图所示，一小段通电直导线AB放在磁场中，其受力方向是( )A．水平向左B．水平向右C．竖直向上D．竖直向下答案：A二、单项选择题Ⅱ(每题4分，共24分)21．有ABC三个带电塑料小球，A和B、B和C、C和A都是彼此吸引的，若是A带正电，那么( ) A．B、C均带负电B．B带负电，C不带电C．B、C中有一个带负电，另一个不带电D．B、C都不带电解析：A带正电，A和B彼此吸引，B有两种带电的可能，一是带负电，二是不带电，B和C彼此吸引，C 也有两种带电的可能，一是带正电，二是不带电，考虑C和A彼此吸引，可得B和C中有一个带负电，另一个不带电．选C.答案：C22．如下图，在水平匀强磁场中，用两根相同的细绳水平悬挂一条粗细均匀的直导线，导线中通以从左到右的电流，现在两根细绳受力都是T.为使T＝0可采纳以下方式中的( )A．把电流强度增大到某一值B．把电流强度减小到某一值C．使电流I反向D．使磁场B反向解析：由左手定那么可判定导体受安培力的方向向上，与绳索拉力方向相同，假设减小绳索拉力，增大安培力即可，由式F安＝BIL可得A对．答案：A23．如下图，一束负电粒子自下而上垂直进入一磁场区域．发觉该粒子发生如图的偏转．以下说法正确的选项是( )A．磁场方向可能水平向左B．磁场方向可能水平向右C．磁场方向可能垂直纸面向里D．磁场方向可能垂直纸面向外答案：C24．绝缘细线上端固定，下端悬挂一轻质小球a，a的表面镀有铝膜，在a的近旁有一绝缘金属球b，开始时a、b都不带电，如下图．现使b带电，那么( )A．ab之间不发生彼此作用B．b将吸引a，吸住后不放开C．b当即把a排斥开D．b先吸引a，接触后又把a排斥开解析：b带电后，吸引a直至接触b，ab接触时，a带上与b同性质的电荷，因此，ab之间产生排斥作用而离开．选D.答案：D25．如以下图所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其中正中央的上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通一垂直纸面向外的电流，那么( )A．磁铁对桌面的压力减小，不受桌面的摩擦力作用B．磁铁对桌面的压力减小，受到桌面的摩擦力作用C．磁铁对桌面的压力增大，不受桌面的摩擦力作用D．磁铁对桌面的压力增大，受到桌面的摩擦力作用解析：通电导线所在处的磁场由左指向右，导线受到安培力作用，由左手定那么可判定安培力的方向向下，磁铁受导线的反作使劲，方向向上，因此，磁铁受到的支持力减小．磁铁没有水平运动的趋势，故不受摩擦力的作用．答案：A26．四种电场的电场线如下图，一正电荷q 仅在电场力作用下由M 点向N 点加速运动，且加速度愈来愈大．那么该电荷所在的电场是图中的( )解析：电场线的疏密表示电场的强弱，由M 到N 加速度愈来愈大，要求N 的电场较强，电场线较密，因此选D.答案：D三、多项选择题(每题4分，共16分)27．两个相同的金属小球，带电量之比为1∶7，相距为r ，二者彼此接触后再放回原先的位置上，那么它们间的库仑力可能为原先的( )A.47B.37C.97D.167解析：①假设两球原带异种电荷，接触后各带3q 电量，F ′∶F ＝q 1′2q 1q 2＝9∶7；②假设两球原带同种电荷，接触后各带4q 电量，F ″∶F ＝q 1″2q 1q 2＝16∶7.答案：CD 28．关于地磁场，以下说法正确的选项是( )A ．地磁的两极与地理的两极重合B ．指南针的两极必然指向地理的两极C ．地磁的南北与地理的南北大致相反D ．地磁的北极在地理的南极周围答案：CD29．选项所示的各电场中，A 、B 两点场强方向不相同的是( )答案：AD30．某电场区域的电场线如下图，a 、b 是其中一条电场线上的两点，以下说法正确的选项是( )A ．点a 的电场强度方向必然沿着过点a 的电场线向右B ．点a 的电场强度必然大于点b 的场强C ．正电荷在点a 受到电场力必然大于它在点b 受到的电场力D．负电荷在点a受到的电场力必然小于它在点b受到的电场力答案：ABC。
点囤市安抚阳光实验学校【金学案】2015-2016高中物理 第二章 探究匀变速直线运动规律章末知识整合 必修1探究匀变速直线运动⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧自由落体运动⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1.义：从静止开始，仅受重力的作用的运动2.特点⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝0a ＝g 3.运动规律⎩⎪⎨⎪⎧v t＝gt s ＝12gt 2匀变速直线运动⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧义：速度均匀变化的直线运动特点：加速度的大小和方向恒不变基本公式⎩⎪⎨⎪⎧v t ＝v 0＋at s ＝v 0t ＋12at 2导出公式⎩⎪⎨⎪⎧v 2t－v 20＝2ass ＝v －·t ＝v 0＋v t2t ＝v t 2t Δs ＝aT 2匀变速直线运动规律用：安全行驶、追及相遇问题专题一 匀变速直线运动规律的理解及用1.对匀变速直线运动公式中物理量正、负号的规：公式涉及的物理量a 、v t 、v 0、s 都是矢量，可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，我们规初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v 0＝0时，一般以a 的方向为正方向.2.灵活选用匀变速直线运动的规律解决实际问题：描述匀变速直线运动规律的公式比较多，由两个基本公式和若干个推论公式，但描述匀变速直线运动的方程只有两个是的，而且推论公式具有明显的特点，因此，根据实际问题选用最简便的公式来解决会简化解题过程.例1（多选）物体运动的初速度为6 m/s ，经过10 s 速度的大小变为20 m/s ，则加速度大小可能是（ ）A.0.8 m/s 2B.1.4 m/s 2C.2.0 m/s 2D.2.6 m/s 2解析：经10 s 后物体的速度大小变为20 m/s ，速度的方向有两种可能，与初速度方向相同或相反，由加速度的义式a ＝v t －v 0t可知，B 、D 正确. 答案：BD ►变式训练1.（多选）一质点做匀加速直线运动，第三秒内的位移2 m ，第四秒内的位移是2.5 m ，那么可以知道（BD ）A.这两秒内平均速度是2.15 m/sB.第三秒末的瞬时速度是2.25 m/sC.质点的加速度是0.25 m/s 2D.质点的加速度是0.5 m/s 2例2 以20 m/s 的速度做匀减速直线运动，刹车时的加速度为5 m/s 2，那么开始刹车后2 s 与开始刹车后6 s 通过的位移之比为（ ）A.1∶4B.3∶5C.3∶4D.5∶9解析：的停车时间t 0＝v 0－va＝4 s ，刹车后2 s 的位移为s 1＝v 0·t 1－12at 21＝30 m.刹车后6 s 的位移于4 s 的位移，刹车后4 s 的位移可看作反向匀加速直线运动， s 2＝12at 22＝40 m ，另解：s 2＝v 22a ＝40 m.答案：C点睛：①在解决的刹车类问题时，要注意物体实际的运动时间，可先求出停车时间，再确物体的实际运动时间.②当物体做匀减速直线运动直到停止时，可把物体的运动看做初速度为零的反向匀加速直线运动来处理.③运动学的公式比较多，根据题设的条件及要求的物理量不同选择恰当的公式可大大简化解答过程.►变式训练2.某乘客用手表估测火车的加速度.他先观测3分钟，发现火车了540 m ；隔3分钟后又观测1分钟，发现火车了360 m.若火车在这7分钟内做匀加速直线运动，则这列火车加速度大小为（B ）A.0.03 m/s 2B.0.01 m/s 2C.0.5 m/s 2D.0.6 m/s 2解析：方法一 设从观测时刻起的初速度为v 0， 则3分钟内的位移s 1＝v 0t ＋12at 2，①隔3分钟后的1分钟内位移s 2＝（v 0＋a ·2t ）t 2＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32，②联立方程①②可解得a ＝0.01 m/s 2.方法二 以观测时刻为计时起点，则1.5分钟末时刻的速度v 1＝s 1t 1＝5403×60m/s ＝3 m/s ，第6.5分钟末时刻的速度v 2＝s 2t 2＝3601×60 m/s ＝6 m/s.则加速度a ＝v 2－v 1t 2－t 1＝⎝⎛⎭⎪⎫6－35×60m/s 2＝0.01 m/s 2. 例3 （多选）一个物体以v 0＝8 m/s 的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s 2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动.则（ ）A.1 s 末的速度大小为6 m/sB.3 s 末的速度为零C.2 s 内的位移大小是12 mD.5 s 内的位移是16 m解析：由t 上＝v 0－v a＝4 s ，即物体冲上最高点的时间为4 s ，又根据v t＝v 0＋at 得物体1 s 末的速度为6 m/s ，A 对B 错.根据s ＝v 0t ＋12at 2，物体2 s内的位移是12 m ，4 s 内的位移是16 m ，第5 s 内，物体沿斜面返回，仍可用上述公式求得5 s 的位移是15 m ，亦可求第5 s 内下滑1 m ，得5 s 内位移为15 m ，所以C 对，D 错.正解答案为A 、C.答案：AC点睛：物体先做匀减速直线运动，速度减为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况的运动可以将全程看做匀变速直线运动，用基本公式求解比较方便.例4 从斜面上某一位置，每隔0.1 s 释放一个相同的小球，在连续放下n 个小球后，给在斜面上滚动的小球拍摄照片，如图所示，测得AB ＝15 cm ，BC ＝20 cm ，试求：（1）小球滚动的加速度；（2）拍摄时B 球的速度；（3）D 与C 之间的距离；（4）A 球上面正在滚动的球还有几个？解析：因为每隔0.1 s 放下一个相同的小球，所以斜面上任何相邻两球的运动时间差都相，都是0.1 s ，这些小球所构成的运动情景与打点计时器在纸带上留下的物体运动的点迹相似，因此可以用相同的方法处理数据.（1）令T ＝0.1 s ，由公式Δs ＝aT 2得：小球滚动的加速度：a ＝Δs T 2＝BC －AB T 2＝20－150.12 cm/s 2＝500cm/s 2＝5 m/s 2. （2）此时B 球的速度：v B ＝v －AC ＝AB ＋BC 2T ＝15＋202×0.1cm/s ＝175 cm/s ＝1.75m/s.（3）此时C 球的速度：v C ＝v B ＋aT ＝1.75 m/s ＋5×0.1 m/s ＝2.25 m/s ；同理，此时D 球的速度：v D ＝v C ＋aT ＝2.25 m/s ＋5×0.1 m/s ＝2.75 m/s ；D 与C 间的距离s CD ＝v －t ＝T （v C ＋v D ）2＝0.1×2.25＋2.752m ＝0.25 m. （4）由v B ＝v A ＋v C2得，此时A 球的速度：v A ＝2v B －v C ＝2×1.75 m/s －2.25m/s ＝1.25 m/s ，所以A 已运动的时间t A ＝v A a ＝1.255s ＝2.5T ，因此在A 球上在滚动的还有两个球.答案：（1）5 m/s 2（2）1.75 m/s （3）0.25 m （4）2点睛：①对于一些有关相时间类问题的求解，可以灵活用匀变速直线运动的推论来处理，（如匀变速直线运动中点时刻的速度于相时间内的平均速度、连续相时间的位移差于加速度与相时间平方的乘积，）会简化分析问题的过程.②解决匀变速直线运动问题的方法有：基本公式法、推论公式法、比例公式法、图象法、逆向思维法，根据实际问题灵活选用解题方法是处理运动学问题的关键.专题二 对纸带问题的处理打点计时器打出的纸带，记录了物体的运动情况，研究纸带可获取物体运动的信息，研究纸带可直接测量不同时刻的位移情况，通过计算可求解出速度、加速度物理量.同时，还可利用“纸带问题”处理方法来处理时间间隔记录的匀速直线运动、匀变速直线运动物体位置变化的情况.1.判断物体的运动性质：若物体做匀变速直线运动，则物体在任意两个连续相时间内的位移差都相，我们根据匀变速直线运动的特点可以分析判断物体的运动性质.如图中若s 2－s 1＝s 3－s 2＝s 4－s 3＝…成立，则该物体的运动是匀变速直线运动.2.求物体的瞬时速度：匀变速直线运动在某段时间内的平均速度于这段时间内的中点时刻的速度.如上图中C 点的瞬时速度v C ＝s 2＋s 32T. 3.求物体的加速度：常用的方法是利用匀变速直线运动的特点关系式Δs ＝aT 2求解.例5 在“测匀变速直线运动加速度”的中得到的一条纸带，纸带上每相邻的两计数点间都有4个点未画出，按时间顺序取0、1、2、3、4、5、6共7个计数点，测出1、2、3、4、5、6点到0点的距离，如图所示（单位：cm ）.由纸带数据计算可得：（1）计数点4所代表时刻的瞬时速度大小v 4＝ m/s ；（2）小车的加速度大小为 m/s 2.（保留2位有效数字）解析：（1）相邻计数点之间都还有4个点未画出，说明相邻计数点之间的时间间隔是0.1 s.由全程的平均速度于中间时刻的瞬时速度得v 4＝（14.55－6.45）×10－22×0.1m/s ≈0.41 m/s.（2）由Δs ＝aT 2得：a ＝（19.70－6.45）－6.459×0.12×10－2 m/s 2≈0.76 m/s 2. 答案：（1）0.41 （2）0.76点睛：①在求解瞬时速度时，选取所求的时间越短误差越小，如例题5中求第4点的速度就选第3至第5点之间的平均速度而不选其他.②在利用匀变速直线运动的特点Δs ＝aT 2求加速度时，可灵活选时间间隔，如例题5中，选取0～3段，即选3T 作为时间单位进行计算，但一要注意所选取的两段是连续且时间相.►变式训练3.如图所示是某同学在“研究匀变速直线运动”的中获得的一条纸带.（1）已知打点计时器电源频率为50 Hz ，则纸带上打相邻两点的时间间隔为 s.（2）A 、B 、C 、D 是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出.从如图中求出C 点对的速度是 m/s ，运动的加速度是 m/s 2.（计算结果保留三位有效数字）答案：（1）0.02 （2）0.21 0.6专题三 运动图象问题运动图象主要指st 图象和vt 图象，对运动图象的理解和运用，关键在于弄清图象的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的物理意义.1.匀速直线运动的位移时间图象.（1）位移时间图象的特点：图象是一条倾斜的直线.①直线可以不过原点，这时在s 轴上的“截距”表示0时刻的位移. ②直线只表示运动物体的位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹. （2）对匀速直线运动的位移图象的认识和用. ①图象的坐标表示某一时刻及对的位移.②图象的斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向.③两条图线相交的交点，表示两物体在这时刻相遇.2.匀变速直线运动的速度时间图象.（1）匀变速直线运动的速度时间图象的特点：图象是一条倾斜的直线.①直线可以不通过原点，这时在v 轴上的“截距”表示物体的初速度.②直线只表示运动物体的速度随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹.（2）对匀变速直线运动速度图象的认识.①图象的坐标表示某一时刻及对的速度，速度的正负表示其方向.②图象的斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向.③两条图线相交的交点，表示两物体在这时刻速度相，不是相遇.④图线与时间轴所围成的面积表示物体运动的位移，时间轴上方的面积表示位移为正，时间轴下方的面积表示位移为负.如下是st图象和vt图象的比较.例6 如图所示为一物体沿南北方向（规向北为正方向）做直线运动的vt 图象，由图可知下列说法正确的是（）A.3 s末物体距离初始位置最远B.3 s末物体的加速度方向将发生变化C.物体加速度的方向先向南后向北D.6 s末物体返回初始位置答案：AD点睛：①物体运动方向从速度的正负进行判断，速度是正时表示物体运动方向与选的正方向相同，速度是负时，表示速度与选的正方向相反.②加速度的正负反映了速度的变化趋势，在本例中加速度为正时，物体做加速运动，反之做减速运动.但是，加速度为负时，物体不一做减速运动，可能做反向的加速运动.►变式训练4.（多选）某物体运动的速度图象如图所示，根据图象可知（AC）A.0～2 s内的加速度为1 m/s2B.0～5 s内的位移为10 mC.第1 s末与第3 s末的速度方向相同D.第1 s末与第5 s末加速度方向相同解析：vt图线在时间轴的上方，故第1 s末与第3 s 末的速度方向相同，C正确.图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小，正负表示加速度的方向，故0～2 s内的加速度a1＝2－02m/s2＝1 m/s2，方向为正，A正确.第1 s末加速度的大小和方向与0～2 s内的相同，第5 s末加速度的大小和方向与4～5 s内的相同，而4～5 s内的加速度a2＝0－21m/s2＝－2 m/s2，方向为负，D错误.0～5 s内的位移s＝12×（2＋5）×2 m＝7 m，B错误.例7 （多选）B在平直公路上行驶，发现前方沿同方向行驶的A速度较小，为了避免相撞，距A车25 m处B车制动，此后它们的v－t图象如图所示，则（）A.B的加速度大小为3.75 m/s2B.A、B在t＝4 s时的速度相同C.A、B在0～4 s内的位移相同D.A、B两车不会相撞解析：B的加速度大小为a＝156m/s2＝2.5 m/s2，故A错误；根据图象知，t＝4 s时A、B的速度相同，故B正确；在速度图象中，图线与时间轴围成的面积表示物体的位移，故C错误；当它们速度相时，A的位移s A＝5×4 m＝20 m，B的位移s B＝12×（15＋5）×4 m＝40 m，因为s B<s A＋25 m，故B追不上A，即不会相撞，D正确.答案：BD点睛：①注意st图象和vt图象的交点物理意义不同，st图象的交点表示位移相同，而vt图象的交点表示速度相同.②运用图象解决追及相遇问题比较方便，但要注意由图象求得的“面积”只表示物体运动的位移.►变式训练5.小球从空中自由下落，与水平地面第一次相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，（g取10 m/s2）则下列说法正确的是（D）A.小球下落过程与上升过程的加速度大小相同，方向相反B.碰撞时速度的改变量为2 m/sC.小球是从2.5 m高处自由下落的D.小球反弹起的最大高度为0.45 m。
