二阶欠阻尼动态性能

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二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型

t
n
1
n2 e 1 2
entsinnt
sidnt
dtn101
2
2
e n t
cos d t
h' (t)
1
2n2 edstipnntsindntpd(tn
0 n
01,
1,2e2,nt
si)n
d
t
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所
过阻尼二阶系统调节时间特性
二阶系统的时域分析
临界阻尼二阶系统的暂态响应
当ζ=1时,临界阻尼二阶系统T1=T2,
1 T1
1 T2
n
则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为
c(s)
s
n2
n 2
1 s
1 s
s
n
n 2
s
1 n
h(t ) 1 (1 nt )ent 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。
结论
无阻尼系统属于临界稳定系统，不属于稳定系统
临界阻尼和过阻尼系统虽无超调量，但反应迟钝
欠阻尼系统虽有超调量，但反应迅速
因此控制系统就是性能指标之间的均衡，一般设计成欠阻尼系统。
阻尼比一般取0.4~0.8，此时系统反应迅速，而且超调量也不大
二阶系统的时域分析
阻尼比ζ是二阶系统的一个重要参量，由值ζ的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼（ζ>1）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当 ζ≤0 ，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。
不易求出ts，但可得出ωnts与 ζ的关系曲线

线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差

ess lim sE ( s) lim s
s 0 s 0
r (t ) t
1 r (t ) t 2 2
R( s)
1 s2
Ts 1 2 T Ts 1 s
1 R( s) 3 s
Ts 1 ess lim sE ( s) lim s 3 s 0 s 0 Ts 1 s
H (s )
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析和设计中，一般采用按输入端定义误差。稳态误差是指误差信号的稳态值，即： ess lim e(t ) t 若系统的误差传递函数为Φ e(s)，则E(s)=Φ e(s)R(s)，若E(s) 满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即
a1 a0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0
1 a1
a1 3 a 0 0
2
a3 a2 a1
a1 a0
a3 a2
a5 a4 a3
n
例
设线性系统特征方程式为：
D(s) s 4 2s 3 3s 3 4s 5 0
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r (t ) sin t R( s)

s2 2
Ts 2 Ts 1 s 2 T 1 T s (T ) 2 2 2 (T ) 2 1 s 1 / T (T ) 2 1 s 2 (T ) 2 1 s 2 E ( s)

自动控制原理第三章3.3

Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3

% e % e
tg tg 75
e ss 0
例已知系统的闭环传递函数，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线

2 1 ,2 n n
）可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上升的指数曲线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1

欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算

1+ lim k s→0 sν r(t)=Rt R(s)=R/s2 R ess= k lim s ν s s→0 r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3 ess= R
lim
s→0
s2
k sν
取不同的 ν
R1(t)
0型 Ⅰ型 Ⅱ型
Rt
Rt2/2
R1(t)
Rt
Rt2/2
R 1+ k
∞
R k
∞ ∞
R k R
1 右移一位降两阶 2 每两行个数相等 3 行列式第一列不动 +8 ε -8(2ε+8)7 4 次对角线减主对角线 -7 ε 分母总是上一行第一个元素 5 2 ε 6 一行可同乘以或同除以某正数 7 第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代
劳斯判据
系统稳定的必要条件: s6 1 特征方程各项系数均大于零!
ξ ωn ωn
传递函数：
A Φ(s)= S+a
运动模态1
K(t)=Ae-at
零极点分布图：
j
-a
0 0
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)=(S+a)2+b2
运动模态2
K(t)=Ae-atsin(bt+α)
零极点分布图：
j b -a 0 0
t
运动模态3
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)= S2+b2
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算动态性能指标定义1100ba峰值时间tp间trb调节时间ts动态性能指标定义2调节时间ts上升时间tr动态性能指标定义3brabtrtpts一阶系统时域分析无零点的一阶系统ts1画图时取k1t05ht0632hh2t0865hh3t095h二阶系统单位阶跃响应定性分析21200s12212n2112ht0112ncosnt0欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算1取其解中的最小值s121sindt欠阻尼二阶系统的tsht1ent取误差带为005则有ent005ln201235由此解出ts运动模态1ktaeat零极点分布图

二阶欠阻尼系统阻尼比和固有频率

二阶欠阻尼系统中的阻尼比和固有频率是控制系统工程中非常重要的概念。

它们在系统动态特性分析中起着至关重要的作用，对系统的稳定性和性能有着决定性的影响。

本文将从简单到复杂，由表面到深入，逐步探讨二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率，希望能帮助读者更深入地理解这一概念。

1. 什么是二阶欠阻尼系统？在控制系统中，二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，它具有两个特征的物理量，比如位移和速度。

在动态系统中，二阶系统常常出现，比如弹簧振子系统、RLC电路等。

二阶系统的传递函数通常可以表示为一个二次方程。

2. 阻尼比和固有频率的概念阻尼比是描述系统阻尼程度的一个重要参数，它是实际阻尼比与临界阻尼比的比值。

固有频率则是系统自由振荡的频率，在没有受到外界干扰的情况下，系统将以固有频率进行振荡。

3. 阻尼比和固有频率的影响阻尼比和固有频率对于二阶系统的动态特性有着重要的影响。

在阻尼比小于1的情况下，系统呈现欠阻尼振荡的特性；而在阻尼比大于1的情况下，系统则呈现着过阻尼的特性。

固有频率则决定了系统振荡的频率，它越高表示系统越“硬”、振荡的速度越快。

4. 个人观点和理解在控制系统工程中，对于二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率的理解是非常重要的。

它们直接关系到系统的稳定性和性能，因此在系统设计和分析中必须充分考虑这些因素。

阻尼比和固有频率的合理选取不仅能保证系统的稳定性，还能够提高系统的响应速度和抑制振荡，从而更好地实现控制的目标。

总结与回顾：通过本文的阐述，相信读者对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。

在实际控制系统工程中，我们需要根据具体的需求和要求来选择合适的阻尼比和固有频率，从而实现系统的稳定性和性能优化。

希望本文可以为读者对这一主题的理解和应用提供一些帮助。

通过以上的介绍，相信您已经对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。

在实际工程中，合理选择阻尼比和固有频率将对系统的控制性能产生重要影响。

欠阻尼二阶系统动态过程分析

3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
d n
1 2
依定义，令c(t)=1， c(tr ) 1
因为
entr
1 2
0
，有s in( d t
r
若 lim c(t) 0 t
（渐近）稳定
若 lim c(t)
t
系统不稳定
若 lim c(t) A
t
临界稳定
非零常数
设若n阶全系部统特表征达根式有为负实部，则
(sl)im t
CcR(((tss)))
0ba00ssmn
b1s m 1 a1s n 1
（渐近bamn）11ss 稳 ab定mn
（2）K=16，T=0.25，得
0.25 n 8
将n 、代入动态性能指标公式得
tr
d
0.24(s)
p % e / 1 2 100% 44%
tp
d
0.41(s)
ts
3.5
n
1.75(s)
( 0.05)
例3.7 系统及阶跃响应曲线如图示,求K1、K2和a。
R(s) k1 _
有
e nt
1
2
sin(d t
)
(t ts )
所以
ent
1 2
sin(d t
)
ent
1 2
即
取 =0.707得
因为ts
3.5
snin((d t=5% ))

胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】

第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。

一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。

表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。

二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。

表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。

三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。

2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。

欠阻尼

开环增益 K 0
( s)
K B K0 KB T 2 1 s(Ts 1) K 0 s s 1 K0 K0
KB
K 0 变化→特征多项式系数变化→特征根变化→ h(t ) 变 Nhomakorabea→性能变化
开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对 K 0 的要求往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。
2
sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )

n s s n 2 (n 1 2 ) 2 s n 2 (n 1 2 ) 2

s n n 1 2 2 s s n d s n 2 d 2
增加极点是削弱了阻尼结论1：还是增加了阻尼？结论2：增加的极点越靠近原点越怎样？
0 j
0
两种控制方案的比较
两种控制方案兼顾了系统的响应的快速性和平稳性
（1）微分控制作用于系统输入，速度反馈作用于系统输出，在相同阻尼程度下，微分控制将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调量。（2）微分作用对输入噪声有明显的放大作用，当输入端噪声严重时，
例
给定典型二阶系统的设计指标：超调量 % 5% 调节时间 t s 3s 峰值时间 t p 1s
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解：依题
% 5%
0.707 ( 45)
ts 3.5
n

3
，
n 1.05
1 2 n 3.14
；
tp
1 2n
1
06年
上升时间tr
y (tr ) 1

3.3二阶系统的动态性能(上)解析

s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]

s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t

1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加而变大，在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n

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§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
)2()(2n n
s s s G ξωω+=
2
2
22)(n
n n
s s s ωξωω
++=Φ
)10(<≤ξ
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
（1）直角坐标表示
n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±=
（2） “极”坐标表示
⎩
⎨⎧=∠=βλωλn
⎩
⎨⎧-==21sin cos ξβξ
β
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s
s s s R s s C n n n 1
2)()()(2
22
⋅++=Φ=ωξωω
)
2()2(]2[2222
n n n n
n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 2
22)1()(21n
n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n
n n n n n s s s s ωξξωωξξξ
ωξξωξω-++-⋅---+++-= 利用复位移定理
[]
)()(a s F e t f L at
+=⋅- 系统单位阶跃响应为
t e t e
t h n t n t
n n ωξξξ
ωξξωξω22
2
1sin 11cos 1)(---
--=--
[]
t t e n n t n ωξξωξξ
ξξω222
2
1sin 1cos 111-+----
=-
[]
t t e n n t n ωξβωξβξξω222
1sin cos 1cos
sin 11-⋅+-⋅--
=-
()
βωξξ
ξω+---
=-t e
t h n t
n 22
1sin 11)( )10(<≤ξ
()t
t t h n n ωωcos 190sin 1)(-=︒+-=
)90,
0(︒==βξ
()
βωξξ
ξω+---
=-t e t h n t n 22
1sin 11)( )10(<≤ξ
系统单位脉冲响应为
[]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++=Φ='=--222
112)()()(n n n
s s L s L t h t k ωξωω
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-++-⋅-=-22222
1)1()(11n n n n
s L ωξξωωξξω t e n t n
n ωξξωξω22
1sin 1--=
-
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
（1）峰值时间p t
)()(t k t h ='01sin 122
=--=
-t e
n t
n
n ωξξωξω
01sin 2=-t n ωξ
,3,2,,012πππωξ=-t n
由峰值时间定义
n
p t ωξπ
21-=
（2）超调量0
0σ
()
βωξξ
ξω+---
=-p n t p t e
t h p
n 22
1sin 11)(
()βπξ
ξξπ
+--
=--sin 112
12
e
2
11ξξπ
--+=e
0σ
0100)
()
()(⨯∞∞-=
h h t h p 0011002
⨯=--ξξπ
e
2
10000100e
ξπ
ξσ--=⨯
超调量0
σ
与阻尼比ξ之间的关系
（3）调节时间 s t
s t 对ξ的不连续性
调节时间的实际计算方法
2
2
110.05
11n n s
t
t e
e
-ξω-ξω+
-=
=-ξ
-ξ
n
n
s t ξωξωξ5
.3)1ln(21
05.0ln 2≈-+-= （8.03.0<<ξ）
n
s t ξω5
.3=
)5(0000=∆
n
p t ωξπ
21-=
2
10000100e
ξπ
ξσ--=⨯
00003.5
(5)
s n
t ξω=
∆=
例1 控制系统结构图如图所示
（1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标；
（2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。

解（1） )11.0()(+=s s K
s G
10=K 时
10010100)(1)()(2++=+=Φs s s G s G s 2222n
n n
s s ωξωω++=
10100==n ω
5.010
210=⨯=ξ )60(︒=β
363.010
5.0112
2
=⨯-=
-=
π
ωξπ
n
p t
2
10
ξξπ
σ
--=e
005.01/5.03.162
==--πe
7.010
5.05
.35
.3=⨯==n s t ξω
(2) K s s K
s 101010)(2
++=Φ
⎪⎩
⎪
⎨⎧==K K n 10210
10ξω
令 707.0=ξ
得 510
42
100=⨯⨯=
K 4．“最佳阻尼比” ξ=0.707 ( ωn 确定时，t s 实际最小 )
● 极点实部 ξωn =C 时
● 无阻尼自然频率 ωn = C 时
例2 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图(a),(b)所示。

试确定系统参数a K K ,,21的值。

解由结构图可得系统闭环传递函数
2221221)(/1)()(K as s K K a s s K a s s K K s ++=+++=Φ ⎩
⎨⎧==n n
a K ξωω22
2 由单位阶跃响应曲线有
12
22
100lim )()(lim 2)(K K as s K K s R s s h s s =++=Φ==∞→→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==-==-=--2
1/
00209.02218.275.01ξξπσωξπe t n p
联立求解得 ⎩⎨⎧==278.5608
.0n
ωξ
.....22K 52782785a 206085278642⎧===⎨=⨯⨯=⎩
2
n n ω2ξω= 因此有 42.6,85.27,221===a K K 。

5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
[ 计算演示]
欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结0
σ 2σωd
2ωd
j [ s ]
从直角坐标变化： 002003.5 3.51s n n s n n t t ξωξωβξσξωξωβξσ⎧=↓⎪↑⇒⎨⎪↓⇒↑⇒↓⎩
⎧=→⎪-↑⇒⎨⎪↑⇒↓⇒↑
⎩
从“极”坐标变化： ⎪⎩⎪⎨⎧→⇒→⇒→↓=⇒↑⇒↑⎪⎩
⎪⎨⎧↑⇒↓⇒↑↑=⇒↓↑00005.35.3σβξξωξωωσξβξωξωβn s n n n s n t t
例3 典型欠阻尼二阶系统
要求 ⎩
⎨⎧≤<<≤523.1650
00000n ωσ 试确定满足要求的系统极点分布范围。

解．依题意有
⎩
⎨⎧≤<>≥525.0707.0n ωξ ⎩⎨⎧≤<︒<≤︒526045n ωβ
[s] j
0.5 0 -0.5-1 2
4。