二阶欠阻尼动态性能

t
n
1
n2 e 1 2
entsinnt
sidnt
dtn101
2
2
e n t
cos d t
h' (t)
1
2n2 edstipnntsindntpd(tn
0 n
01,
1,2e2,nt
si)n
d
t
二阶系统的时域分析
欠阻尼二阶系统阶跃响应的性能指标
2.峰值时间tp tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所
过阻尼二阶系统调节时间特性
二阶系统的时域分析
临界阻尼二阶系统的暂态响应
当ζ=1时,临界阻尼二阶系统T1=T2,
1 T1
1 T2
n
则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为
c(s)
s
n2
n 2
1 s
1 s
s
n
n 2
s
1 n
h(t ) 1 (1 nt )ent 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用 的控制系统一般不采用过阻尼系统。
结论
无阻尼系统属于临界稳定系统，不属于稳定 系统
临界阻尼和过阻尼系统虽无超调量，但反应 迟钝
欠阻尼系统虽有超调量，但反应迅速
因此控制系统就是性能指标之间的均衡，一 般设计成欠阻尼系统。
阻尼比一般取0.4~0.8，此时系统反应迅速， 而且超调量也不大
二阶系统的时域分析
阻尼比ζ是二阶系统的一个重要参量，由值ζ的大小 可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼 （ζ>1）情况下，暂态特性为单调变化曲线，没有 超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当 ζ≤0 ，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳 定工作。
不易求出ts，但 可得出ωnts与 ζ的关系曲线

ess lim sE ( s) lim s
s 0 s 0
r (t ) t
1 r (t ) t 2 2
R( s)
1 s2
Ts 1 2 T Ts 1 s
1 R( s) 3 s
Ts 1 ess lim sE ( s) lim s 3 s 0 s 0 Ts 1 s
H (s )
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。 对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析 和设计中，一般采用按输入端定义误差。 稳态误差是指误差信号的稳态值，即： ess lim e(t ) t 若系统的误差传递函数为Φ e(s)，则E(s)=Φ e(s)R(s)，若E(s) 满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有 极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即
a1 a0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0
1 a1
a1 3 a 0 0
2
a3 a2 a1
a1 a0
a3 a2
a5 a4 a3
n
例
设线性系统特征方程式为：
D(s) s 4 2s 3 3s 3 4s 5 0
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r (t ) sin t R( s)

s2 2
Ts 2 Ts 1 s 2 T 1 T s (T ) 2 2 2 (T ) 2 1 s 1 / T (T ) 2 1 s 2 (T ) 2 1 s 2 E ( s)

Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3

% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1

2 1 ,2 n n
） 可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上 升的指数曲 线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上 升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1

1+ lim k s→0 sν r(t)=Rt R(s)=R/s2 R ess= k lim s ν s s→0 r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3 ess= R
lim
s→0
s2
k sν
取不同的 ν
R1(t)
0型 Ⅰ型 Ⅱ型
Rt
Rt2/2
R1(t)
Rt
Rt2/2
R 1+ k
∞
R k
∞ ∞
R k R
1 右移一位降两阶 2 每两行个数相等 3 行列式第一列不动 +8 ε -8(2ε+8)7 4 次对角线减主对角线 -7 ε 分母总是上一行第一个元素 5 2 ε 6 一行可同乘以或同除以某正数 7 第一列出现零元素 时， 用正无穷小量ε代
劳斯判据
系统稳定的必要条件: s6 1 特征方程各项系数 均大于零!
ξ ωn ωn
传递函数：
A Φ(s)= S+a
运动模态1
K(t)=Ae-at
零极点分布图：
j
-a
0 0
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)=(S+a)2+b2
运动模态2
K(t)=Ae-atsin(bt+α)
零极点分布图：
j b -a 0 0
t
运动模态3
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)= S2+b2
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算动态性能指标定义1100ba峰值时间tp间trb调节时间ts动态性能指标定义2调节时间ts上升时间tr动态性能指标定义3brabtrtpts一阶系统时域分析无零点的一阶系统ts1画图时取k1t05ht0632hh2t0865hh3t095h二阶系统单位阶跃响应定性分析21200s12212n2112ht0112ncosnt0欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算1取其解中的最小值s121sindt欠阻尼二阶系统的tsht1ent取误差带为005则有ent005ln201235由此解出ts运动模态1ktaeat零极点分布图

二阶欠阻尼系统中的阻尼比和固有频率是控制系统工程中非常重要的概念。

它们在系统动态特性分析中起着至关重要的作用，对系统的稳定性和性能有着决定性的影响。

本文将从简单到复杂，由表面到深入，逐步探讨二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率，希望能帮助读者更深入地理解这一概念。

1. 什么是二阶欠阻尼系统？在控制系统中，二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，它具有两个特征的物理量，比如位移和速度。

在动态系统中，二阶系统常常出现，比如弹簧振子系统、RLC电路等。

二阶系统的传递函数通常可以表示为一个二次方程。

2. 阻尼比和固有频率的概念阻尼比是描述系统阻尼程度的一个重要参数，它是实际阻尼比与临界阻尼比的比值。

固有频率则是系统自由振荡的频率，在没有受到外界干扰的情况下，系统将以固有频率进行振荡。

3. 阻尼比和固有频率的影响阻尼比和固有频率对于二阶系统的动态特性有着重要的影响。

在阻尼比小于1的情况下，系统呈现欠阻尼振荡的特性；而在阻尼比大于1的情况下，系统则呈现着过阻尼的特性。

固有频率则决定了系统振荡的频率，它越高表示系统越“硬”、振荡的速度越快。

4. 个人观点和理解在控制系统工程中，对于二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率的理解是非常重要的。

它们直接关系到系统的稳定性和性能，因此在系统设计和分析中必须充分考虑这些因素。

阻尼比和固有频率的合理选取不仅能保证系统的稳定性，还能够提高系统的响应速度和抑制振荡，从而更好地实现控制的目标。

总结与回顾：通过本文的阐述，相信读者对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。

在实际控制系统工程中，我们需要根据具体的需求和要求来选择合适的阻尼比和固有频率，从而实现系统的稳定性和性能优化。

希望本文可以为读者对这一主题的理解和应用提供一些帮助。

通过以上的介绍，相信您已经对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。

在实际工程中，合理选择阻尼比和固有频率将对系统的控制性能产生重要影响。

3.3.3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
d n
1 2
依定义，令c(t)=1， c(tr ) 1
因为
entr
1 2
0
，有s in( d t
r
若 lim c(t) 0 t
（渐近）稳定
若 lim c(t)
t
系统不稳定
若 lim c(t) A
t
临界稳定
非零常数
设若n阶全系部统特表征达根式有为负实部，则
(sl)im t
CcR(((tss)))
0ba00ssmn
b1s m 1 a1s n 1
（ 渐 近bamn）11ss 稳 ab定mn
（2）K=16，T=0.25，得
0.25 n 8
将n 、 代入动态性能指标公式得
tr
d
0.24(s)
p % e / 1 2 100% 44%
tp
d
0.41(s)
ts
3.5
n
1.75(s)
( 0.05)
例3.7 系统及阶跃响应曲线如图 示,求K1、K2和a。
R(s) k1 _
有
e nt
1
2
sin(d t
)
(t ts )
所以
ent
1 2
sin(d t
)
ent
1 2
即
取 =0.707得
因为ts
3.5
snin((d t=5% ))

第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。

一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。

表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。

二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。

表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。

三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。

2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。

开环增益 K 0
( s)
K B K0 KB T 2 1 s(Ts 1) K 0 s s 1 K0 K0
KB
K 0 变化→特征多项式系数变化→特征根变化→ h(t ) 变 Nhomakorabea→性能变化
开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对 K 0 的要求 往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。
2
sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )


n s s n 2 (n 1 2 ) 2 s n 2 (n 1 2 ) 2

s n n 1 2 2 s s n d s n 2 d 2
增加极点是削弱了阻尼 结论1： 还是增加了阻尼？ 结论2： 增加的极点越靠近原点 越怎样？
0 j
0
两种控制方案的比较
两种控制方案兼顾了系统的响应的快速性和平稳性
（1）微分控制作用于系统输入，速度反馈作用于系统输出，在相同 阻尼程度下，微分控制将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调 量。 （2）微分作用对输入噪声有明显的放大作用，当输入端噪声严重时，
例
给定典型二阶系统的设计指标：超调量 % 5% 调节时间 t s 3s 峰值时间 t p 1s
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解 ： 依题
% 5%
0.707 ( 45)
ts 3.5
n

3
，
n 1.05
1 2 n 3.14
；
tp
1 2n
1
06年
上升时间tr
y (tr ) 1

s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]

s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t

1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n

二阶欠阻尼系统冲激响应曲线二阶欠阻尼系统冲激响应曲线一、引言在探讨二阶欠阻尼系统冲激响应曲线之前，我们首先需要了解什么是二阶系统，欠阻尼系统以及冲激响应曲线。

在工程控制系统中，二阶系统是一种常见的动态系统，而欠阻尼系统则是指系统的阻尼比较小的情况。

冲激响应曲线则是描述系统对冲激信号的输出响应情况。

通过本文的深入探讨，我们将更好地理解二阶欠阻尼系统冲激响应曲线的特性和意义。

二、二阶系统的基本特性1. 二阶系统的定义在控制工程中，二阶系统是指系统的传递函数具有二次项的动态系统。

它可以用以下的微分方程表示：\[M\ddot{x} + C\dot{x} + Kx = F(t)\]其中，\(M\)、\(C\)、\(K\)分别表示系统的质量、阻尼和刚度，\(F(t)\)表示外部输入信号。

传递函数通常可以表示为：\[G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{Ms^2 + Cs + K}\]2. 二阶系统的特性二阶系统具有的特性包括：共振频率、阻尼比以及自然频率。

在理解二阶系统的基本特性后，我们可以更好地探讨欠阻尼系统对其冲激响应曲线的影响。

三、欠阻尼系统的特性1. 欠阻尼系统的定义欠阻尼系统是指系统的阻尼比较小的情况，通常表现为振荡幅值较大、持续时间较长的特点。

在二阶系统中，欠阻尼将对系统的响应产生重要影响。

2. 欠阻尼系统的影响欠阻尼系统对系统响应的影响主要表现在振荡频率、振荡幅值以及响应持续时间上。

在冲激响应曲线中，我们将看到欠阻尼系统的特殊表现。

四、冲激响应曲线的特性1. 冲激响应曲线的定义冲激响应曲线是描述系统对冲激信号的响应情况的曲线。

通过冲激响应曲线，我们可以了解系统的动态特性和稳定性。

2. 冲激响应曲线的特性冲激响应曲线的特性包括：初始值、幅值、振荡频率以及响应持续时间。

在二阶欠阻尼系统中，冲激响应曲线将表现出特殊的形态和特征。

五、二阶欠阻尼系统冲激响应曲线的特点分析1. 冲激响应曲线的形态在二阶欠阻尼系统中，冲激响应曲线将呈现出振荡幅值较大、持续时间较长的特点。

−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
（3-14）
式（3-12）~式（3-14）给出了典型欠阻
尼二阶系统动态性能指标的计算公式。
可见，典型欠阻尼二阶系统超调量 σ
0 0
只取决于阻尼比 ξ
，而调节时间 ts
则与阻尼比 ξ
和自
然频率ω n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间 ts 偏于保守。ξω n 一定时，调节时间 ts
s2
+
2ξω
n
s
+
ω
2 n
=
(s
+1
T1 )(s
+1
T2 )
可解出ξ = 1 ຫໍສະໝຸດ (T1 T2 ) 2 T1 T2
（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
5733二阶系统的时间响应及动态性能331二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图36所示其中k分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率是二阶系统重要的特征参数
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
ts
=
3.5 ξω n
=
3.5 0.5 × 10
= 0.7
相应的单位阶跃响应如图 3-18 所示。

自动控制原理实验报告实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析一、实验目的1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响；3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质；4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。

二、实验内容1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。

2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。

3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响；4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响；5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。

三、实验步骤1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节ωωξω)()()()(2C C C C s C C 22262154232154232154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。

n 67.5 8.21
34.5 2.1 2n
峰值时间：t p ?
超调量：％ 0
无
四、改善二阶系 统响应的措施
1. [0,t1]误差信号为正，产生正向 c ( t ) 修正作用，以使误差减小，但因 系统阻尼系数小，正向速度大， 造成响应出现正向超调。 2. [t1,t2]误差信号为负，产生反向 修正作用，但此时反向修正作用 不够大，经过一段时间才使正向 e ( t ) 速度为零，此时输出达到最大值。 3. [t2,t3]误差信号为负，此时反向 修正作用增大，使输出返回过程 中又穿过稳态值，出现反向超调。 (t ) 4. [t3,t4]误差信号为正，产生正向 c 修正作用，但开始正向修正作用 不够大，经过一段时间才使反向 速度为零，此时输出达到反向最 (t ) e 大值。
t1 t2
t3
t4
归纳如下：
c (t )
1. [0,t1] 正向修正作用太大，特 别在靠近t1 点时。 2. [t1,t2] 反向修正作用不足。 减小二阶系统超调的思路 1. [0,t1] 减小正向修正作用。附 e ( t ) 加与原误差信号相反的信号。 2. [t1,t2] 加大反向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。 3. [t2,t3]减小反向修正作用。附加 与原误差信号相反的信号。 (t ) c 4. [t3,t4] 加大正向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。即 在[0,t2] 内附加一个负信号， (t ) e 在[t2,t4]内附加一个正信号。 5. 综上所述采用比例微分控制。
n An Ai A1 A2 C ( s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
R
5K A s( s 34.5)

§3 时域分析法3.1 重点知识一、一、二阶系统的动态响应1、一阶系统设一阶系统的传递函数为：()1Ks Ts Φ=+，则一阶系统的单位阶跃响应为： /()(1)t T h t K e -=-其中，T 为一阶系统的时间常数。

2、二阶系统设二阶系统的传递函数为：222()2n n ns s s ωξωωΦ=++，则二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应为：()1)n t d h t t ξωωβ-=-+其中，ξ-阻尼比，n ω-无阻尼振荡频率，d ω-阻尼振荡频率，n σξω=衰减系数，且d ωω=arccos βξ=。

二、二阶系统运动形态三、一、二系统的动态性能四、系统的稳定性1、概念：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它受到某一扰动作用而偏离原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。

反之，系统为不稳定2、稳定性条件1、必要条件：系统特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数”。

2、充要条件：1）脉冲响应函数收敛；2）闭环特征方程式的根需都位于S 的左半平面。

3、劳斯判据如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S 的左半平面，相应的系统是稳定的。

4、劳斯判据特殊情况1）劳斯表某一行中的第一项等于零 2）劳斯表中出现全零行 五、系统稳态误差1、定义：稳定系统误差的最终值。

稳态误差表示系统的控制精度。

2、计算：0()lim ()lim ()ss ss t s e e t sE s →∞→∞==系统稳态误差：1lim ()lim ()()lim v s ssvs s s R s esG s H s K s+→→→⎡⎤⎣⎦==+表3.3 一、二阶系统稳态性能3.2 基本要求1、了解一阶系统的数学模型和典型响应的特点，会计算一阶系统动态性能指标。

2、理解二阶系统的数学模型和典型响应的特点，熟练掌握二阶欠阻尼系统动态性能指标的计算和系统特征参数确定。

K1 2, K 2 27.85, a 6.42 。
5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
js d
d
2
0
[ 计算演示 ] 欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结
从直角坐标变化： 从“极”坐标变化：
3.5 ts
n
n
0 0
1
2 n
3.5 ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
n
0 0
例 3 典型欠阻尼二阶系统
500
0 0
16.3 00
要求
2 n5
试确定满足要求的系统极点分布范围。
解．依题意有
0.707
0.5
45
2 n5
2
60 n5
[s] j
4 2
-1
-0.5
0
0.5
n
s2 2 n s
2 n
n 100 10
10 0.5 (
2 10
60 )
tp
1
2 n
0.363 1 0.52 10
0 0
e
12
e 0.5 / 1 0.5 2
16.3 00
3.5 3.5
ts
0.7 n 0.5 10
10 K
(2)
( s) s2 10s 10 K
n 10K 10
2 10K
令
0.707
得
C( s)
2
(s)R( s)
s2
n
2 ns
1
2 n
s
[ s2 2 ns
2 n
]
s( s

自动控制原理实验报告实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析一、实验目的1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响；3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质；4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。

二、实验内容1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。

2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。

3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响；4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响；5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。

三、实验步骤1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节ωωξω221)()()()(2C C C C s C C 222621542321542322154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值 当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。