欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式

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自动控制原理二阶系统的响应

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1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )

自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解

n t
(cosd t +

1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +

1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的（等幅）振荡。单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1

自动控制原理第三章3.3

Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3

% e % e
tg tg 75
e ss 0
例已知系统的闭环传递函数，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线

2 1 ,2 n n
）可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上升的指数曲线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1

欠阻尼

开环增益 K 0
( s)
K B K0 KB T 2 1 s(Ts 1) K 0 s s 1 K0 K0
KB
K 0 变化→特征多项式系数变化→特征根变化→ h(t ) 变 Nhomakorabea→性能变化
开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对 K 0 的要求往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。
2
sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )

n s s n 2 (n 1 2 ) 2 s n 2 (n 1 2 ) 2

s n n 1 2 2 s s n d s n 2 d 2
增加极点是削弱了阻尼结论1：还是增加了阻尼？结论2：增加的极点越靠近原点越怎样？
0 j
0
两种控制方案的比较
两种控制方案兼顾了系统的响应的快速性和平稳性
（1）微分控制作用于系统输入，速度反馈作用于系统输出，在相同阻尼程度下，微分控制将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调量。（2）微分作用对输入噪声有明显的放大作用，当输入端噪声严重时，
例
给定典型二阶系统的设计指标：超调量 % 5% 调节时间 t s 3s 峰值时间 t p 1s
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解：依题
% 5%
0.707 ( 45)
ts 3.5
n

3
，
n 1.05
1 2 n 3.14
；
tp
1 2n
1
06年
上升时间tr
y (tr ) 1

自动控制原理第3章习题及解析

自动控制原理（上）习题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。

考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。

解由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。

3-2 设用11Ts +描述温度计特性。

现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。

如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。

考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。

由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。

解一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。

自动控制原理第09讲

C 2 mK
系统的阶跃响应：
Fi ( s )
1 s
X (s) Fi (s)G(s)
14
解题思路：（1）根据Mp表达式求出ξ；（2）根据tp表达式求出wn；（3）根据虎克定律，求出K；（4）对系统变形，使之成为标准型，求出m 和C。
15
例题3－3:
已知系统的单位阶跃响应为：
16
X o ( s) 600 600 ( s ) 2 X i ( s) ( s 60)(s 10) s 70s 600
2）对比二阶系统的标准形式：
2 n ( s ) 2 2 s 2n s n
有：
2 n 600 2 n 70
n 24.5rad / s 1.429
ss lim s
s0
1 1 1 X i ( s) lim 2 2 s0 s s G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s) Ka
s0
其中， Ka lim s 2G(s) H (s)
称为稳态加速度误差（偏差）系数。
30
1 1 易知： ess H (0) K a
s0
ss
ss
1 1 Kv K
1 Ka
Ka lim s G(s) H (s) 0
2 s0
35
Ⅱ型系统
G( s) H ( s) K (1s 1)( 2 s 1)( m s 1) s 2 (T1s 1)(T2 s 1)(Tnv s 1)
6
7
（4）调整时间ts 对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量1的指数曲线
8

欠阻尼二阶系统

欠阻尼二阶系统
欠阻尼二阶系统是一种典型的线性动力系统的理论形式，它是在其参数将恒定的情况下使系统的物理运动在特定条件下达到最佳状态的现象。

欠阻尼二阶系统由一个位移x、一个加速度a以及一个定位移x_0构成，组成线性运动方程如下：
x＇＋2ζω_0 x+ω_0^2 x=ω_0^2 x_0
其中，ζ是阻尼因子，ω_0是自然频率，x_0为定位移量。

欠阻尼二阶系统的特征有三类，即回归性、振荡特性和收敛特性。

回归性是欠阻尼二阶系统的核心性能，在给定的驱动条件下，它可以实现一次性的位移，即系统的位移可以返回到初始位置。

振荡特性指的是给定的激励条件下，系统会有一定程度的振荡运动，具有不断反复循环的动态变化特征。

收敛特性指的是系统对某些激励条件有一定程度的调节和收敛，从而能够从原来的状态一段时间内达到另一种状态，实现状态的改变。

欠阻尼二阶系统的实际应用是广泛的，在工程实现过程中，多个欠阻尼二阶系统可以通过微分方程、状态空间及模型匹配等方法组合成更大的系统，并应用到汽车电子悬挂系统和智能穿着裤子等领域。

其中，汽车电子悬挂系统应用欠阻尼二阶系统是为了补偿汽车受到外力时造成的位移变化，可以实现极佳的稳定性；以及智能穿着裤子，其动态行为可以实时识别衣服的身体变形，实现舒适的穿着体验。

此外，欠阻尼二阶系统还可以应用到家庭智能安防系统中，其在建筑结构中安装的灵活的行程传感器系统实现自动检测和控制楼层的安全，提高安全性与便利性。

综上，欠阻尼二阶系统是一种强大的理论形式，被广泛应用于许多工程领域，对一些具有复杂动态行为的系统实现实时控制和调节，具有许多特性优势，特别是在反应能力和抗干扰方面，具有得天独厚的技术优势，为提高系统性能提供了宝贵的参考依据。

自动控制_03b二阶系统计算举例

2 n C ( s) 2 2 s 2 n s n
1
根据 e
t
sin t L [ ] 2 2 对上式取拉氏反变换得： (P )
1. 欠阻尼（0
1 ）时的脉冲过渡函数 n t 2 k (t ) c(t ) e sin 1 t n 1 2
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )

n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
e( )
2
所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大 n 或减小，但减少会使超调量增大，因此需折中考虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.
n
图3.3-16 二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线
例:已知单位反馈系统的传递函数为
在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比ξ t增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。