四年级数学《因数与质数》

《因数》认识因数、质数、合数，教材设计了两个学习活动。

活动一，认识因数。

要求把12写成两个数相乘的形式，学生写完后，说明乘数也叫因数和哪些数是12的因数。

然后通过“试一试”分别写出写出18、24的所有因数，加深对因数概念的理解。

活动二，认识质数和合数。

首先让学生找出1-10各数的所有因数。

在讨论交流的基础上，根据一个数的因数的个数的多少，将这些数分成两类，进而揭示出质数、合数的概念，同时指出：1既不是质数也不是合数，练习中，设计了判断质数、合数和在一定的数域内找质数练习。

分解质因数，教材设计了“把60写成几个因数相乘的形式”的活动，让学生写出后进行交流，在学生交流的基础上，教学质因数的概念。

接着教材设计了把35、42和54分解质因数。

最后，“试一试”，要求小组合作，验证“任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式”是否正确。

在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数；知道质数、合数，会判断一个数是质数还是合数，能找出100以内所有的质数；知道质因数，会把一个合数分解质因数。

【过程与方法目标】在自主写算式和找1—10所有因数的活动中，经历认识质数与合数的过程，学习分解质因数的方法。

【情感态度价值观目标】能积极参加数学活动，在小组合作中积极与他人交流，愿意把自己发现的结果告诉他人，体验合作学习的收获与快乐。

【教学重点】在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数；知道质数、合数，会判断一个数是质数还是合数，能找出100以内所有的质数；知道质因数。

【教学难点】准确辨别质数合数、因数倍数，会把一个合数分解质因数。

多媒体课件。

（一） 认识因数、质数、合数1、认识因数。

师：大家看，老师写了12这个数，看到12你能想到什么？想一想最近我们学习了哪些关于12的知识？学生可能会说：12是自然数，它是2的倍数，3的倍数4的倍数，6的倍数。

如果学生说出12是1和12的倍数，教师提出表扬。

师：请同学们把12写成两个数相乘的形式。

教学目标:《认识因数、质数、合数》教学建议、在自主写算式以及找〜各数所有因数的活动中，经历认识因数、质数、合数的过程。

、了解因数，在〜的自然数中，能找出某个自然数的所有因数；了解质（素）数、合数, 会判断一个数是质数还是合数，能找出以内所有的质数。

、能积极主动参加学习活动，验。

教学建议：♦认识因数、提出例的要求，让学生自己完成。

、交流学生写出的乘法算式。

如果学生没有写全三个算式，教师补充并板书三个算式。

然后告诉学生：在乘法算式中乘数也叫因数。

这些数都是的因数。

、提出“试一试”的要求，鼓励学生按照一定的顺序找出的所有因数，做到不遗漏、不重复。

交流时，说一说是怎样找的，教师板书出结果。

♦认识质数、合数、提出例的要求，让学生独立完成。

交流时，教师按照〜的顺序板书出来。

、提出蓝灵鼠的问题，让学生认真观察写出的因数，然后，充分交流学生发现的结果。

除教材上的说法外，学生还可能说：愿意与他人交流自己的做法和发现的结果，获得成功的体晁川帕帖斫右IM tt.拌玛出案*AHtH 1, 2. 3. 4.共有1和巨卜吓阿t■闵粽的散叫融馬散（世叫做紊数儿離『1和它本晞外、违疗八他国栽的懿叫曲合獻执下鋼務叢中拔出贡有112131412122232竝313233343555L05123666661234717273747919293949818283861C2030机501,卜砒丼St叩哪奘M曲蠶■舞些垦存啟?旳72 的餡直找出50-100的中的所布蚯裁■冋吐讨谯1.听有的偶戦仪足住戟吗？7.呜有的青戟然是质靴鸣？1 /24.-协皆It爻夕挥凡歩网豔"除以外，每个数的因数都有和这个数本身。

、师生一起根据因数的个数，把〜各数分成两类，然后教师讲解质数、合数的概念。

最后告诉学生：既不是质数，也不是合数。

、让学生自己试着举出质数和合数的例子。

♦试一试、出示〜的自然数表，让学生用自己的方法从这些数中找出所有质数。

、交流学生找质数的方法和结果。

数学中的质数与因数质数和因数是数学中常见的概念，在数论中扮演着重要的角色。

本文将介绍质数和因数的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、质数的定义和性质质数，也叫素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，没有其他因数的数。

换句话说，质数只有两个因数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

质数有以下几个重要的性质：1. 质数的因数只有1和它本身。

2. 任何一个大于1的自然数都可以表示成质数的乘积。

3. 无穷多个质数存在。

4. 任意两个质数互质，即它们的最大公因数为1。

二、因数的定义和性质因数指的是能够整除一个数的数。

例如，数a能够整除数b，那么a 是b的因数。

因数有以下几个重要的性质：1. 每个数至少有两个因数：1和它本身。

2. 一个因数不能大于数的一半。

3. 互质的两个数的乘积，它们的因数集合是两个集合的并集。

4. 两个数的最大公因数，是两个数的因数集合的交集。

三、质因数分解质因数分解是指将一个数分解成质数的乘积。

这种分解的好处是能够简化计算和研究数的性质。

质因数分解的步骤：1. 从最小的质数2开始，判断它是否是给定数的因数。

2. 如果是，那么将该质数从给定数中除去，得到一个新的数。

3. 重复以上步骤，直到给定数无法再分解为质数为止。

例如，我们将72进行质因数分解：72 ÷ 2 = 3636 ÷ 2 = 1818 ÷ 2 = 99 ÷ 3 = 3得到的质因数分解为：2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72。

四、质数和因数在数学中的应用质数和因数在数学中有广泛的应用，以下介绍其中两个应用：1. RSA加密算法：质数的乘积难以分解，利用此性质，RSA加密算法可以保证信息的安全性。

2. 最大公因数和最小公倍数：利用因数的性质，可以求解最大公因数和最小公倍数，这在数学问题和实际生活中都有重要的应用。

总结质数和因数是数学中的重要概念，对于理解数的性质和解决实际问题具有重要作用。

冀教版四年级数学上册《认识因数、质数和合数》说课稿一、教材分析本节课属于冀教版四年级数学上册的内容，主题为《认识因数、质数和合数》。

本节课的教学目标主要包括：•了解因数的概念和性质；•掌握如何求一个数的因数；•掌握质数和合数的概念，并能区分它们；•运用所学知识解决实际问题。

本节课的内容主要涉及因数、质数和合数的概念和性质，并通过一些例题和练习来巩固学生对这些概念的理解和运用能力。

通过本节课的学习，学生将能够更好地认识因数、质数和合数，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点和难点本节课的教学重点和难点主要包括：•因数的概念和性质的理解；•如何求一个数的因数；•质数和合数的概念的区分。

这些内容是学生理解和掌握的重点，也是他们在学习过程中可能遇到的难点。

因此，在教学中要着重引导学生理解这些概念，并通过一些具体的例子和实际问题来加深他们对这些概念的理解。

三、教学准备为了保证课堂教学的顺利进行，我准备了以下教学资源和教学工具：•冀教版四年级数学上册教材；•彩色白板笔和擦子；•数学练习册和作业本；•幻灯片或投影仪。

准备了这些教学资源和教学工具，可以帮助学生更好地理解课堂内容，提高他们的学习效果。

四、教学步骤步骤一：导入新课为了导入新课，我可以提出一个问题：“小明有5个苹果，他能把苹果分成几堆？”请学生思考并回答。

然后我可以通过让学生互相交换意见来引导学生，最终引出因数的概念。

步骤二：引入因数的概念在导入新课的基础上，我将引入因数的概念。

我可以给学生举例，如“小明有10个苹果，他可以把苹果分成几堆？每一堆有几个苹果？”然后，我可以引导学生思考并总结出“10的因数是1、2、5和10”。

步骤三：探究因数的性质在引入因数的概念之后，我将带领学生探究因数的性质。

我可以通过给出多个数字，让学生找出它们的因数，并让他们发现因数的性质。

例如，我可以给出数字8、9、15，让学生找出它们的因数，并总结因数的性质。

步骤四：质数和合数的引入在学生理解因数的性质之后，我将引入质数和合数的概念。

质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：⎪⎩⎪⎨⎧合数质数单位正整数1质数，合数有下面常用的性质：1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．2．若质数p │ab ，则必有p │a 或p │b ．3．若正整a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p ．4．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：k k p p p N αααΛ2121=其中k p p p Λ<<21，i p 为质数，i a 为非负整数，(i ＝1，2，…k)．【例1】 已知三个不同的质数a ，b ，c 满足ab b c+a=2000，那么a 十b 十c= ．思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a 的值．+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l ，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1．【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．A ．3B ．1C ．7D ．9思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．【例3】 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．思路点拨 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．【例4】(1)将l ，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N ．求证：N 一定是合数；(2)若n 是大于2的正整数，求证：2n 一1与2n +1中至多有一个是质数．思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n 一1与2n +1中必有一个是合数，不能同为质数即可．【例5】 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选田边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，y 、n 都是正整数．且(x ，y)＝1．试问这块地有多少平方米?思路点拨 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式．寻找解题的突破口．【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( )A ．质数B ．合数C 奇合数D ．偶合数思路点拨 ∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C ．注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x ，、y 、n 都是正整数，且(x ，y)=1．试问：这块地有多少平方米?思路点拨 设这块地的面积为S ，则S=nx 2=(n+124)y 2，得n (x 2—y 2)=124y 2．∵ x>y ，(x ，y)=1，∴．(x 2－y 2，y 2)=l ，得(x 2－y 2)│124．∵124=22×31，x 2－y 2=(x 十y)(x －y)，x 十y>x －y ，且x 十y 与x －y 奇偶性相同， ⎩⎨⎧=-=+131y x y x 或⎩⎨⎧=-⨯=+2312y x y x 解之得x=16，y=15，此时n=900．故这块地的面积为S=nx 2=900×162=230400(cm 2)=23．04(m 2) ．注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x 、y 、n 的等式，寻找解题的突破口．【例8】p 是质数，p 4+3仍是质数，求p 5+3的值．思路点拨 ∵ p 是质数，∴p 4+3 >3又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p 必为偶数．又∵p 是质数，∴p=2，∴p 5+3=25+3=35．【例9】已知正整数p 和q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值． 思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq 为偶数，而数p 、q 均为质数，故p=2或q=2．当p=2时，有14+q 与2q+11均为质数．当q=3k+1(k ≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数； 当q==3k+2(k ∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k ，且q 为质数，故q=3． 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k ≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k ∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k ，当p 为质数，故p=3． 故p q +q p =23+32=17．【例10】若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．思路点拨 我们知道，n 除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．若余数为0，即n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n 除以3所得的余数只能为1．注：一个整数除以m 后，余数可能为0，1，…，m —1，共m 个，将整数按除以m 所得的余数分类，可以分成m 类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．【例11】设a 、b 、c 、d 都是自然数，且a 2+b 2=c 2+d 2，证明：a+b+c+d 定是合数． 思路点拨 ∵a 2+b 2与a+b 同奇偶，c 2+d 2与c+d 同奇偶，又a 2+b 2=c 2+d 2，∴a 2+b 2与c 2+d 2同奇偶，因此a+b+c+同奇偶． ∴ a+b+c+d 是偶数，且a+b+c+d ≥4， ∴a+b+c+d 一定是合数．注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d ≥4在本题中是不能缺少的．【例12】正整数m 和m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是p ，求222p n m +的值． 思路点拨 要使p 的值最小，而m 和n 都是质数，则m 和n 分别取2和3，于是p=m+n+mn=11，故12113222=+pn m ． 注：要使p 值最小，别m 和n 尽可能取较小的值，而m 、n 是两个不同的质数，故m 和n 分别取2和3，从而p 值可求．【例13】若a 、b 、c 是1998的三个不同的质因数，且a ＜b ＜c ，则(b+c)a 的值是多少? 思路点拨 ∵1998=2×3×3×37，而a 、b 、c 为质数，∴a 、b 、c 的值分别为2、3、37．a ＜b ＜c ，故a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600．【例14】n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和．思路点拨 因为n 是不小于40的偶数，所以，n 的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n 的个位数字分类：(1)若n 的个位数字为0，则n=15+5k(k ≥5为奇数)；(2)若n 的个位数字为2，则n=27+5k(k ≥3为奇数)；(3)若n 的个位数字为4，则n=9+5k(k ≥7为奇数)；(4)若n 的个位数字为6，则n=21+5k(k ≥5为奇数)；(5)若n 的个位数字为8，则n=33+5k(k ≥3为奇数)；综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意．【例15】 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．思路点拨 (1)能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．(2)不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．注 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．【例16】写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420．思路点拨 设这5个正整数为54321x x x x x 、、、、，则7532420254321⨯⨯⨯==⋅⋅⋅⋅x x x x x ，而2054321=++++x x x x x ，故知这5个数分别为1、4、3、5、7．注： 在420的分解式中，把22看作2×2(即两个数相乘)还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察．【例17】若自然数n+3与n+7都是质数，求n 除以6的余数．思路点拨 不妨将n 分成六类，n=6k ，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论．当n=6k 时，n+3=6k+3=3(2k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+1时，n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为质数矛盾；当n=6k|+2时，n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为质数矛盾；当n=6k+3时，n+3=6k+6=6(k+1)与n+3为质数矛盾；当n=6k+5时，n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为质数矛盾．所以只有n=6k+4，即n 除以6的余数为4．本题利用分类讨论进行．学力训练1．在l ，2，3，…，n 这n 个自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 个奇数，m 个偶数，则(q 一m)十(p 一k)＝ ．2．p 是质数，并且p+3也是质数，则p 11一52＝ ．3．若a 、b 、c 、d 为整数，且(a 2+b 2)(c 2+d 2)=1997，则a 2+b 2+c 2+d 2= ．4．已知a 是质数，b 是奇数，且a 2+b ＝2001，则a+b ＝ ．5．以下结论中( )个结论不正确．(1) 1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．A ．1B ．2C ． 3D ．46．若p 为质数，p 3+5仍为质数，p 5+7为( )．A ．质数B ．可为质数也可为合数C ．合数D ．既不是质数也不是合数7．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一1，这个质数的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．7D ．98．若正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，a 为质数，那么b 、c 两数( )．A ．同为奇数B ．同为偶数C ． 一奇一偶D ．同为合数9．设n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数．10．试证明：形如11111l 十9×10n (n 为自然数)的正整数必为合数．11．若p 、q 为质数，m 、n 为正整数，p ＝m+n ，q ＝mn ，则mn qp n m q p ++= ． 12．若质数，m 、n 满足5m+7n ＝129，则m+n ＝ ．13．已知三个质数m 、n 、p 的积等于这三个质数的和的5倍，则m 2+n 2+p 2＝ ．14．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 ．15．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是 ．16．证明有无穷多个n ，使多项式n 2+n 十41(1)表示合数；(2)为43的倍数．17．已知正整数p 、q 都是质数，且7p+q 与pq+1l 也都是质数，试求pq q p +的值．18． 1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，……请你回答：在这串数中有多少个质数?并证明你的结论．19．41名运动员所穿运动衣号码是l ，2，…，40，41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请单一例；若不能办到，请说明理由．参考答案。

因数教学内容：冀教版《数学》四年级上册第55、56页。

教学目标：1、在自主写算式以及找1~10各数所有因数的活动中，经历认识因数、质数、合数的过程。

2、了解因数，在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数；了解质（素）数、合数，会判断一个数是质数还是合数，能找出100以内所有的质数。

3、能积极主动参加学习活动，愿意与他人交流自己的做法和发现的结果，获得成功的体验。

教学方案：一、认识因数1、师：这段时间我们一直在学习有关自然数的知识，12就是一个自然数。

看到12你能想到什么？学生可能会说：12是自然数，是一个偶数，它是2的倍数，3的倍数，4的倍数，6的倍数。

如果学生说出12是1和12的倍数，教师提出表扬。

师：你能把12写成两个数相乘的形式吗？师：谁愿意说一说你写的算式？生：1×12=12师：对，我们可以把12写成1×12的形式。

也就是12=1×12。

还有吗？学生可能出现六种情况：12＝1×12，12＝12×1，12＝2×6，12＝6×2， 12＝3×4， 12＝4×3。

2、通过讨论可把出的算式整合为三个算式。

师：同学们写出了六种情况。

看看这两个算式（12＝1×12和12＝12×1）生：它们两个乘法算式的乘数相同，都是1和12，这两个算式可以算一种情况。

12＝2×6和12＝6×2，可以看成一种情况，12＝3×4和12＝4×3可以看成是同一种情况。

师：既然它们一样，我们就可以把这几个擦掉。

先看这个算式（12=1×12），我们以前学习乘法时知道在乘法算式中1和12叫乘数，其实乘法中的乘数也叫因数。

（板书课题）像1、12就是12的因数。

师：再看看，12还有哪些因数？生略。

（指导学生按从大到小的顺序说。

）师：谁能完整的说一遍12的因数都有哪些？生说。