【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第十章 算法初步、复数与选为考内容 第1讲 程序框图及简单的

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练复数与框图2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。

一、复数1、（2015年全国I 卷）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（3）2、（2014年全国I 卷）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 3、（2013年全国I 卷）1＋2i（1－i ）2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i4、（佛山市2015届高三二模）若复数z 满足(1)i z i -=，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、（广州市2015届高三一模）已知i 为虚数单位，复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部b 记作Im ()z ，则Im 11i ⎛⎫=⎪+⎝⎭A ．12-B ．1-C ．12D ．16、（华南师大附中2015届高三三模）设i 为虚数单位,若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =(***)A ．4-B ．4-或2C ．-2或4D ．27、（潮州市2015届高三上期末）复数()()11z i i =+-在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()1,0 B ．()0,2 C ．()0,1 D ．()2,08、（东莞市2015届高三上期末）设复数z 满足2z i i =-，i 是虚数单位，则z ＝（ ） A 、2－i B 、1＋2i C 、－1＋2i D 、－1－2i9、（江门市2015届高三上期末）已知 i 是虚数单位，若复数bi a Z +=（a ，R b ∈）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 i Z ⋅在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10、（清远市2015届高三上期末）若a，b∈R，i是虚数单位，若（1＋i）i＝a＋bi，则（）A、a＝1，b＝1B、a＝－1，b＝1C、a＝－1，b＝－1D、a＝1，b＝－1二、框图1、（2015年全国I卷）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t=，则输出的n=（）（A）5（B）6（C）10（D）122、（2014年全国I卷）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.1583、（2013年全国I卷）如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )图1－1A．[－3，4]B．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]4、（佛山市2015届高三二模）某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示 的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一轮 输入的值。

第十章　算法初步、复数与选考内容第1讲　程序框图及简单的算法案例1．(2017年北京)执行如图X10­1­1所示的程序框图，输出s 的值为( )图X10­1­1A ．2 B.32C. D.53852．(2016年北京)执行如图X10­1­2所示的程序框图，输出的s 值为( )图X10­1­2A ．8B ．9C ．27D ．363．(2015年天津)阅读程序框图(图X10­1­3)，运行相应的程序，则输出S 的值为( )图X10­1­3A ．－10B ．6C ．14D ．184．(2017年广东调研)执行如图X10­1­4所示的程序框图后输出S 的值为( )图X10­1­4A ．0B ．－ C. D.33325．(2016年天津)阅读下面的程序框图(如图X10­1­5)，运行相应的程序，则输出S 的值为________．图X10­1­5 图X10­1­66．(2017年江南名校联考)某程序框图如图X10­1­6所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出S ＝26，则判断框内的n ＝________.7．(2017年广东惠州三模)执行如图X10­1­7所示的程序框图，如果输出y 的结果为0，那么输入x 的值为( )图X10­1­7A. B ．－1或1 C ．1 D ．－1198．(2017年广东深圳二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷．卷中有一问题：“今有方物一束外周，一市有三十二枚，问：积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一市的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图X10­1­8，是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝40，则输出S 的结果为________．图X10­1­89．(2017年广东深圳一模)执行如图X10­1­9所示的程序框图，若输入p ＝2017，则输出i 的值为( )图X10­1­9A ．335B ．336C ．337D ．33810．(2017年江西南昌二模)执行如图X10­1­10程序框图，输出S 为( )图X10­1­10A. B. C. D.17274767第2讲　复数的概念及运算1．(2017年天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为________．a －i2＋i 2．(2017年新课标Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )A ．1－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．3＋3i3．(2015年山东)若复数z 满足＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )z1－i A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i4．若i 为虚数单位，图X10­2­1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数的点是( )z1＋i图X10­2­1A ．EB ．FC ．GD ．H5．(2017年广东深圳一模)若复数(a ∈R )为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a ＝( )a ＋i1＋2i A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－36．(2017年新课标Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A. B. C. D ．2122227．(2012年新课标)下面是关于复数z ＝的四个命题：2－1＋i p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 48．(2017年广东广州一模)复数(1＋i)2＋的共轭复数是( )21＋i A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i9．(2017年广东广州一模)复数的虚部是( )21＋i A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．210．(2016年北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.11．(2016年天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则的值为ab ________．12．(2017年江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．13．(2017年浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.14．(2017年江西南昌二模)若＝t i(i 为虚数单位，a ，t ∈R )，则t ＋a ＝( )a ＋i1＋2i A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2第3讲　坐标系与参数方程第1课时　坐标系1．(2017年湖北八校联考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，13得曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋y ＋1＝0与曲线C 的两交点分别为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．2．(2017年广东华附执信深外联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：Error!(α为参数，α∈R )，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C 2：ρsin＝－，曲线C 3：ρ＝2cos θ.(θ＋π4)22(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．3．(2014年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.[0，π2](1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参3数方程，确定D 的坐标．4．(2015年新课标Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋ (y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的 π4面积．5．(2017年广东汕头一模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程)；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2 ，求直线l 的倾斜角α的值．76．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝.(θ－π4)2(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．7．(2017年广东深圳一模)在平面直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为Error!(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；(2)若直线l 与曲线E 相交于点A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求证：＋为定值，1|OA |21|OB |2并求出这个定值．第2课时　参数方程1．(2016年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2017年广东广州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为x －y －2＝0，曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)已知点P 在曲线C 上运动，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．3．(2017年广东东莞二模)已知在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为Error!(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝(ρ∈R )与曲线C 1交于P ，Q 两点，求线段PQ 的长度．π64．(2015年湖南)已知直线l ：Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．35．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ(ρ>0,0≤θ<2π)．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 sin θ.5(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设点P (3，)，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求＋的值．51|PA |1|PB |7．(2017年广东梅州一模)已知曲线C1的参数方程是Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积(O为坐标原点)．8．已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为Error!(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin θtan θ＝4m(m>0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|＝|MN|，求实数m的值．第4讲　不等式选讲第1课时　不等式的证明1．(2016年江苏)设a ＞0，|x －1|＜，|y －2|＜，a 3a 3求证：|2x ＋y －4|＜a .2．(2017年广东揭阳二模)已知函数f (x )＝|2|x |－1|.(1)求不等式f (x )≤1的解集A ；(2)当m ，n ∈A 时，证明：|m ＋n |≤mn ＋1.3．(2017年广东华附执信深外联考)设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝2时，解不等式：f (x )≥6－|2x －5|；(2)若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[－1,7]，且两正数s 和t 满足2s ＋t ＝a ，求证：＋≥6.1s 8t 4．(2013年新课标Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a 5．(2017年广东东莞二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为m .(1)求m 的值以及此时的x 的取值范围；(2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝m ，证明：q (p ＋r )≤2.6．(2014年新课标Ⅰ) 若a >0，b >0，且＋＝.1a 1b ab (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．7．(2015年新课标Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则＋＞＋；a b c d (2)＋＞＋是|a －b |＜|c －d |的充要条件．a b c d 8．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝＋，M 为不等式f (x )<2的解集．|x －12||x ＋12|(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.第2课时　绝对值不等式1．(2017年新课标Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求实数m的取值范围．2．(2017年广东广州一模)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.(1) 若f(1)<3，求实数a的取值范围；(2) 若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|2x－1|(a∈R)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；(2)若f (x )≤2x 的解集包含，求实数a 的取值范围．[12，1]4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2.(1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围．5．(2017年广东深圳二模)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R .(1)若f (a )≤2|1－a |，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解，求实数a 的取值范围．6．(2017年广东汕头一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －2|.(1)求关于x 的不等式f (x )<3的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．7．(2017年广东深圳一模)已知f(x)＝|x＋a|，g(x)＝|x＋3|－x，记关于x的不等式f(x) <g(x)的解集为M.(1)若a－3∈M，求实数a的取值范围；[－1，1](2)若⊆M，求实数a的取值范围．8．(2017年广东珠海二模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝－1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝2x有三个不同的解，求实数a的取值范围．第十章　算法初步、复数与选考内容第1讲　程序框图及简单的算法案例1．C 解析：k ＝0时，0<3成立，第一次进入循环k ＝1，s ＝＝2；1<3成立，1＋11第二次进入循环k ＝2，s ＝＝；2<3成立， 第三次进入循环k ＝3，s ＝＝；当2＋123232＋13253k ＝3时不满足进行循环条件，输出s ＝.故选C.532．B3．B 解析：输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1，S ＝20－2＝18，2>5不成立；i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14,4>5不成立；i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6,8>5成立；输出6.故选B.4．A 解析：第一次循环后S ＝＝－，i ＝2；0－33×0＋13笫二次循环后S ＝＝，i ＝3；－3－33×(－3)＋13第三次循环后S ＝＝0，i ＝4……3－33×3＋1依次下去，S 的值变化周期为3.因为2016＝3×672，所以最后输出S 的值为0.故选A.5．4　解析：第一次循环，S ＝8，n ＝2；第二次循环，S ＝2，n ＝3；第三次循环，S ＝4，n ＝4；结束循环，输出S ＝4.6．4　解析：依题意，执行题中的程序框图，第一次循环，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；第二次循环，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；第三次循环，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26.因此当输出S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.7．D 解析：程序框图表示y ＝Error!所以Error!解得x ＝－1.Error!解集为空．所以x ＝－1.故选D.8．121　解析：第一次循环，n ＝40－8＝32，S ＝40＋32＝72；第二次循环，n ＝32－8＝24，S ＝72＋24＝96;第三次循环，n ＝24－8＝16，S ＝96＋16＝112;第四次循环，n ＝16－8＝8，S ＝112＋8＝120;第五次循环，n ＝8－8＝0，S ＝120＋0＝120，此时，n ＝0，满足题意，结束循环，输出S ＝120＋1＝121.9．C 解析：第1步，n ＝1，r ＝1，s ＝1；第2步，n ＝2，r ＝0，s ＝2；第3步，n ＝3，r ＝1，s ＝0；第4步，n ＝4，r ＝0，s ＝1；第5步，n ＝5，r ＝1，s ＝2；第6步，n ＝6，r ＝0，s ＝0；此时，i ＝1，依此类推，当n 为6的倍数时，i 增加1，当n ＝2016时，共有336个6的倍数，继续循环，可得当n ＞p 时，i ＝337.故选C.10．A 解析：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i ＝1时，有S ＝；当i ＝227时，有S ＝；当i ＝3时，有S ＝；当i ＝4时，有S ＝；当i ＝5时，有S ＝；当i ＝6时，47172747有S ＝.所以输出S ＝.故选A.1717第2讲　复数的概念及运算1．－2　解析：＝＝＝－i 为实数，则a －i2＋i (a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )(2a －1)－(a ＋2)i52a －15a ＋25＝0，a ＝－2.a ＋252．B 解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i ＋2i －1＝1＋3i.故选B.3．A 解析：因为＝i ，所以＝i(1－i)＝1＋i.所以z ＝1－i.故选A.z1－i z 4．D 解析：由题图知，复数z ＝3＋i ，∴＝＝＝＝2－i.∴表z 1＋i 3＋i 1＋i (3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )4－2i2示复数的点为H .z 1＋i 5．C 解析：因为＝＝＋i 为纯虚数，所以a ＝－2.故a ＋i1＋2i (a ＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )a ＋25－2a ＋15选C.6．C 解析：由题意可得z ＝.由复数求模的法则＝，可得|z |＝＝＝ .故2i1＋i |z 1z 2||z 1||z 1||2i||1＋i|222选C.7．C 解析：z ＝＝＝－1－i.p 1：|z |＝，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的2－1＋i 2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )2共轭复数为－1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.8．B 解析：(1＋i)2＋＝2i ＋1－i ＝1＋i ，共轭复数为1－i.21＋i 9．B 解析：＝1－i ，故虚部为－1.21＋i 10．－1　解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1，故填－1.11．2　解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则Error!所以＝2.故答案为2.ab 12.　解析：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝×＝.10251013．5　2　解析：(a ＋b i)2＝3＋4i ⇒a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ⇒Error!解得Error!∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2.14．A 解析：因为＝t i ⇒a ＋i ＝t i·(1＋2i)＝t i －2t ，则Error!⇒a ＝－2.所以a ＋i1＋2i t ＋a ＝－1.故选A.第3讲　坐标系与参数方程第1课时　坐标系1．解：(1)由坐标变换公式Error!得Error!代入x 2＋y 2＝1中，得9x ′2＋y ′2＝1.故曲线C 的参数方程为Error!(2)由题意知，P 1，P 2(0，－1)．(－13，0)线段P 1P 2的中点M ，kP 1P 2＝－3.(－16，－12)故P 1P 2线段中垂线的方程为y ＋＝，1213(x ＋16)即3x －9y －4＝0，即极坐标方程为3ρcos θ－9ρsin θ－4＝0.2．解：(1)由C 1：Error!得y ＝－＋1－cos 2α＝－－(x －1)2.9454∴曲线C 1的普通方程为y ＝－－(x －1)2(0≤x ≤2)．54由C 2：ρsin＝－，得曲线C 2的直角坐标系普通方程为x ＋y ＋1＝0.(θ＋π4)22由Error!得4x 2－12x ＋5＝0.解得x ＝，y ＝－.12(x ＝52舍)32∴点M 的直角坐标为.(12，－32)(2)由C 3：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.∴曲线C 3的直角坐标系普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1.则曲线C 3的圆心(1,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝.|1＋0＋1|22∵圆C 3的半径为1，∴|AB |min ＝－1.23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为Error!(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知，C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．则tan t ＝，t ＝.3π3故D 的直角坐标为，即.(1＋cos π3，sin π3)(32，32)4．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，π4得ρ2－3 ρ＋4＝0.2解得ρ1＝2 ，ρ2＝.|MN |＝ρ1－ρ2＝.222因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积为××1×sin 45°＝.122125．解：(1)由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ.∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)将Error!代入圆的方程，得(t cos α－2)2＋(t sin α)2＝9.化简，得t 2－4t cos α－5＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝＝2 .(t 1＋t 2)2－4t 1t 216cos2α＋207∴16cos 2α＝8.解得cos α＝±.22∵α∈[0，π)，∴α＝或.π43π46．解：(1)圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由ρcos＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝2.(θ－π4)2∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线l ：x ＋y －2＝0的距离为d ＝＝，|3－4－2|23 22由于M 是直线l 上任意一点，则|MC |≥d ＝.3 22∴四边形AMBC 面积S ＝2××|AC |×|MA |＝|AC |·12|MC |2－|AC |2＝2≥2＝.|MC |2－4d 2－42∴四边形AMBC 面积的最小值为.27．(1)解：曲线E 的普通方程为＋＝1，x 24y 23极坐标方程为ρ2＝1，(14cos2θ＋13sin2θ)∴所求的极坐标方程为3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12.(2)证明：不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ，(ρ2，θ＋π2)则Error!即Error!∴＋＝，即＋＝(定值)．1ρ211ρ27121|OA |21|OB |2712第2课时　参数方程1．解：直线l 的参数方程化为普通方程为x －y －＝0，33椭圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋＝1，y 24联立方程组，得Error!解得Error!或Error!∴A (1,0)，B .(－17，－8 37)故AB ＝＝.(1＋17)2＋(0＋8 37)21672．解：(1)曲线C 的普通方程为＋＝1.x 212y 24将直线x －y －2＝0代入＋＝1中消去y ，得x 2－3x ＝0.x 212y 24解得x ＝0，或x ＝3.所以点A (0，－2)，B (3,1)．所以|AB |＝＝3 .(3－0)2＋(1＋2)22(2)在曲线C 上求一点P ，使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入＋＝1整理，得4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0.x 212y 24令Δ＝(6b )2－4×4×3(b 2－4)＝0，解得b ＝±4.将b ＝±4代入方程4x 2＋6bx ＋3(b 2－4)＝0，解得x ＝±3.易知当点P 的坐标为(－3,1)时，△PAB 的面积最大．且点P (－3,1)到直线l 的距离为：d ＝＝3 .|－3－1－2|12＋122所以△PAB 的最大面积为S ＝×|AB |×d ＝9.123．解：(1)因为Error!故(x －)2＋(y ＋1)2＝9.3故x 2＋y 2－2 x ＋2y －5＝0.3故曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2 ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.3因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0[或写成(x －1)2＋y 2＝1]．(2)设P ，Q 两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将θ＝(θ∈R )代入ρ2－2 ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0中，整理，得ρ2－2ρ－5＝0.π63故ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5.故|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝＝2 .(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ264．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ，　①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.　②(2)将Error!代入②，得t 2＋5 t ＋18＝0.3设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.5．解：(1)将直线l 的参数方程：Error!消去参数t ，得普通方程x －y －2 ＝0.33将Error!代入x －y －2 ＝0，33得ρcos θ－ρsin θ－2 ＝0.33化简，得ρcos＝.(注意解析式不进行此化简也不扣步骤分)(θ＋π6)3(2)方法一，C 的普通方程为x 2＋y 2－4x ＝0.由Error!解得Error!或Error!所以直线l 与直线C 交点的极坐标分别为，.(2，5π3)(2 3，π6)方法二，由Error!得sin＝0.(2θ－π3)又因为ρ≥0,0≤θ<2π，所以Error!或Error!所以交点的极坐标分别为，.(2，5π3)(2 3，π6)6．解：(1)由Error!得直线l 的普通方程为x ＋y －3－＝0.5又由ρ＝2 sin θ，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2 y ＝0，即x 2＋(y －)2＝5.555(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t 2－3 t ＋4＝0.(3－22t )(22t)2由于Δ＝(3 )2－4×4＝2>0，2故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根．所以Error!所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，5所以|PA |＝t 1，|PB |＝t 2.所以＋＝＋＝＝.1|PA |1|PB |1t 11t 2t 1＋t 2t 1t 2 3 247．解： (1)由Error!得Error!所以(x ＋2)2＋y 2＝4.又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ.所以x 2＋y 2＝4y .把两式作差，得y ＝－x .代入x 2＋y 2＝4y ，得交点为(0,0)，(－2,2)．(2)如图D187，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大．图D187此时|AB |＝2 ＋4.2O 到AB 的距离为，2∴△OAB 的面积为S ＝(2 ＋4)×＝2＋2 .122228．解：(1)∵Error!(t 为参数)，即Error!∴直线l 的普通方程为x －y －1＝0.∵ρsin θtan θ＝4m ，∴ρ2sin 2θ＝4mρcos θ.由Error!得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4mx (m >0)．(2)∵ y 2＝4mx ，∴x ≥0.设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是t 1，t 2(t 1>0，t 2>0)，则|PM |＝t 1，|PN |＝t 2.∵|PM |＝|MN |，∴|PM |＝|PN |.∴t 2＝2t 1.12将Error!代入y 2＝4mx ，化简，得t 2－4 (m ＋1)t ＋8(m ＋1)＝0.2∴Error!又t 2＝2t 1，解得m ＝－1，或m ＝.18∵m >0，∴m ＝.18第4讲　不等式选讲第1课时　不等式的证明1．证明：由a ＞0，|x －1|＜，得|2x －2|＜.a32a3又|y －2|＜，a 3∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜＋＝a ，2a 3a 3即|2x ＋y －4|＜a .2．(1)解：由|2|x |－1|≤1，得－1≤2|x |－1≤1，即|x |≤1.解得－1≤x ≤1.所以A ＝.[－1，1](2)证明：证法一，|m ＋n |2－(mn ＋1)2＝m 2＋n 2－m 2n 2－1＝－(m 2－1)(n 2－1)，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1，m 2－1≤0，n 2－1≤0.故－(m 2－1)(n 2－1)≤0，|m ＋n |2≤(mn ＋1)2.又显然mn ＋1≥0，故|m ＋n |≤mn ＋1.证法二，因为m ，n ∈A ，故－1≤m ≤1，－1≤n ≤1, 而m ＋n －(mn ＋1)＝(m －1)(1－n )≤0.m ＋n －＝(m ＋1)(1＋n )≥0，[－(mn ＋1)]即－(mn ＋1)≤m ＋n ≤mn ＋1，故|m ＋n |≤mn ＋1.3．(1)解：当a ＝2时，不等式可化为|x －2|＋|2x －5|≥6，∴①Error!或②Error!或③Error!由①，得x ≥；由②，得x ∈∅；由③，得x ≤.13313∴原不等式的解集为∪.(－∞，13][133，＋∞)(2)证明：不等式f (x )≤4，即－4≤x －a ≤4，∴a －4≤x ≤a ＋4.∴a －4＝－1，且a ＋4＝7.∴a ＝3.∴＋＝(2s ＋t )＝≥＝6.1s 8t 13(1s＋8t )13(10＋t s ＋16s t )13(10＋2 t s ·16s t )即＋≥6，当且仅当s ＝，t ＝2时取等号．1s 8t 124．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设，得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a 故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a 即＋＋≥a ＋b ＋c Error!a 2b b 2c c 2a Error!.所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a 5．(1)解：依题意，得f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|x ＋3－x ＋1|＝4，故m 的值为4.当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为.[－3，1](2)证明：因为p 2＋2q 2＋r 2＝m ，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4.因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，所以(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr .故q (p ＋r )≤2，当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立．6．解：(1)由＝＋≥，得ab ≥2，ab 1a 1b 2ab 当且仅当a ＝b ＝时等号成立．2故a 3＋b 3≥2≥4 ，a 3b 32当且仅当a ＝b ＝时等号成立．2所以a 3＋b 3的最小值为4 .2(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 ·≥4 .6ab 3由于4 >6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.37．证明：(1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.a b c d a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2.即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)，得＋>＋.a b c d ②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2.a b c d a b c d 即a ＋b ＋2>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.综上所述，＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d 8．(1)解：f (x )＝Error!当x ≤－时，由f (x )<2，得－2x <2.12解得x >－1，∴－1<x ≤－.12当－<x <时，f (x )<2，∴－<x <.12121212当x ≥时，由f (x )<2，得2x <2.12解得x <1，∴≤x <1.12∴f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2.因此|a ＋b |<|1＋ab |.第2课时　绝对值不等式1．解：(1)f (x )＝Error!当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1.解得1≤x ≤2.当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－2＋≤，(|x |－32)5454且当x ＝时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝.3254故实数m 的取值范围为.(－∞，54]2．(1)解：因为f (1)<3，所以|a |＋|1－2a |<3.①当a ≤0时，得－a ＋(1－2a )<3.解得a >－.23所以－<a ≤0;23②当0<a <时，得a ＋(1－2a )<3.解得a >－2.12所以0<a <；12③当a ≥时，得a －(1－2a )<3.解得a <.1243所以≤a <.1243综上所述，实数a 的取值范围是.(－23，43)(2)证明：因为a ≥1，x ∈R,所以f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|(x ＋a －1)－(x －2a )|＝|3a －1|＝3a －1≥2.3．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2.①当x ≥时，不等式为3x ≥2，12解得x ≥.故x ≥；2323②当－1≤x <时，不等式为2－x ≥2，12解得x ≤0.故－1≤x ≤0；③当x <－1时，不等式为－3x ≥2，解得x ≤－.故x <－1.23所以原不等式的解集为Error!.(2)因为f (x )≤2x 的解集包含，则当x ∈时，f (x )≤2x 恒成立．[12，1][12，1]不等式可化为|x ＋a |≤1，解得－a －1≤x ≤－a ＋1.由已知，得Error!解得－≤a ≤0.32所以实数a 的取值范围是.[－32，0]4．解：(1)①当x ≤－时，－1－2x ＋x ≥2⇒x ≤－3，所以x ≤－3；12②当－<x <0时，2x ＋1＋x ≥2⇒x ≥，所以为∅；1213③当x ≥0时，x ＋1≥2⇒x ≥1，所以x ≥1.综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，即|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇒－|x |≤1＋.|x ＋12|a 2则min ≤1＋，[|x ＋12|－|x |]a 2由绝对值的几何意义，得－＝－≤－|x |≤＝，12|x ＋12－x ||x ＋12||x ＋12－x |12只需－≤1＋⇒a ≥－3.12a 25．解：(1)因为f (a )≤2|1－a |，所以|1－a |＋|a －a 2|≤2|1－a |，即(|a |－1)|1－a |≤0.当a ＝1时，不等式成立．当a ≠1时，|1－a |>0，则|a |－1≤0.解得－1≤a <1.综上所述，实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤1}．(2)若关于x 的不等式f (x )≤1存在实数解，则f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，所以(a －1)2≤1，解得0≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}．6．解：(1)f (x )<3，即|x |＋|x －2|<3，原不等式可化为Error!或Error!或Error!解得－<x ≤0或0<x <2或2≤x <.1252∴不等式的解集为Error!.(2)f (x )＝|x |＋|x －2|≥|x －(x －2)|＝2，若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，则a >2.∴实数a 的取值范围是(2，＋∞)．7．解：(1)依题意，有|2a －3|<|a |－(a －3)．若a ≥，则2a －3<3.∴≤a <3.3232若0<a <，则3－2a <3.∴0<a <.3232若a ≤0，则3－2a <－a －(a －3)，无解．综上所述，实数a 的取值范围为(0,3)．(2)由题意可知，当x ∈[－1,1]时，f (x )<g (x )恒成立，∴|x ＋a |<3恒成立，即－3－x <a <3－x .当x ∈[－1,1]时恒成立，∴－2<a <2.8．解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为|2x ＋1|－|x |－1≥0，∴Error!或Error!或Error!解得x ≤－2，或x ≥0.∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．(2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|.令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝Error!作出函数y ＝g (x )的图象，如图D188，图D188易知A ，B (0，－1)，(－12，－12)结合图象知，当－1<a <－时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同的交点，12即方程f (x )＝2x 有三个不同的解．∴实数a 的取值范围为.(－1，－12)。

热点十 算法初步 复数 推理与证明【考点精要】考点一. 程序框图的结构，以及有关的简单运算。

考点二. 复数的运算和复数性质。

如：1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= （ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i -D. 1i --考点三. 复数在坐标系数内与点的对应关系如：在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位第 象限。

考考点四. 复数的除法运算以及共轭复数的有关知识。

如：复数31ii--等于 。

考点五. 以数列、函数等知识为依托考查归纳推理。

如：在数列n a 中，,,22,1*11N n a a a a nnn ∈+==+猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由。

考点六. 类比推理。

通过对点与线，线与面，圆与球，三角形与三棱锥，角与二面角等的类比进而考查类比推理。

如：已知O 是ABC ∆内任意一点，连结CO BO AO ,,并延长交对边于''',,C B A ，则1''''''=++CC OC BB OB AA OA ，请运用类比思想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论？考点七. 演绎推理。

以函数知识为载体，利用函数的相关知识考查演绎推理。

如：已知函数bx xax f +=)(，其中),0(,0,0+∞∈>>x b a ，试确定)(x f 的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性。

考点八. 分析法、综合法、反证法。

考查分析法、综合法、反证法等的证明方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合解决问题的能力。

巧点妙拨1. 对于框图应注意：（1）不同的框图表示不同的作用，各框图的作用容易混淆，应注意区别；（2）流程线的方向指向容易漏掉；（3）判断框是根据不同的条件，选择一条且仅有一条路径执行下去，不要搞错；（4）解决一个问题的算法从开始到结束是完整的，其流程的表示也要完整。