南方新课堂高考数学文科一轮总复习配套课件8.3平面向量.ppt

解：(1)∵|a－b|＝ 2，
∴|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.
又∵a2＝|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝|b|2＝cos2β＋sin2β＝1， ∴2－2ab＝2.∴ab＝0.∴a⊥b.
(2)∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1),
cosα＋cosβ＝0， ∴ sinα＋sinβ＝1， cosα＝－cosβ，① 即 sinα＝1－sinβ.②
1→ → 1→2 → 2 即2AB· AD－2AB ＋AD ＝1. 1→ 1→2 ∴ |AB|cos60° － AB ＋1＝1， 2 2 1→2 1→ 1 1 → 2|AB| －4|AB|＝0.解得|AB|＝2，即 AB＝2.
1 答案：2
【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
解析：|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，|a＋b|2＝a2＋2a· b＋b2＝1＋1＋ 1 2a· b＝1，则 a· b＝－2.
→ ⊥a， 3．已知点 A(－1,0)，B(1,3)，向量 a＝(2k－1,2)．若AB 则实数 k＝( B )
A．－2 C．1
B．－1
D．2
4．(2013 年北京延庆一模)已知|a|＝1，|b|＝2，向量 a 与 b
2π π ∴sin2α＋ 3 ＝sin2 α＋3 π π 4 3 24 ＝2sinα＋3cosα＋3＝2×5×－5＝－25.
【规律方法】以向量为载体研究三角函数中的最值、单调 性、周期等三角函数性质及三角恒等变换问题是高考中常见的 考查形式，向量仅仅作为一个工具提供某种条件；解题时一般 根据向量的模|a|＝ x 2 y 2 、数量积a· b＝x1x2＋y1y2、平行与

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[解题技法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题 思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件 等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者 向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角 函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
第四 节
平面向量的综合应用
[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形 ABCD 中，|―A→B |＝12返，回
|―A→D |＝8.若点 M，N 满足―BM→＝3―M→C ，―D→N ＝2―N→C ，则―AM→·―NM→＝
()
A．20 [解析]
法一：由B．―B1M→5 ＝3―M→C ，C―．D→N36＝2―N→C D知．，6点 M 是 BC
故|―PA→＋―P→B ＋―P→C |＝ －12a ＋37，
所以当 a ＝－1 时，|―PA→＋―P→B ＋―P→C |取得最大值 49＝7. [答案] B
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[解题技法] 向量在解析几何中的 2 个作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类
载体 问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”， 作用 导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜
＝c(R 为△ABC 外接圆半径)，且 a cos B＋b cos A＝csin C，所 以 c＝csin C，所以 sin C＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝π2，所 以 B＝π－π3－π2＝π6. 答案：C
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[典例] 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.
若点 P 的坐标为(2,0)，则|―PA→＋―P→B ＋―P→C |的最大值为 ( )

不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)， ∴C→A＝(－2,2)，C→E＝(－2,1)，D→B＝(1,2)，
∵C→A＝λC→E＋μD→B，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
∴λ－＋22λ＋ μ＝μ2＝，－2，
解得λ＝65， μ＝25，
故 λ＋μ＝85.
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，
则实数λ的值为
2 A.3
√B.43
7 C.4
7 D.5
由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)， ∵(a＋2b)∥(a－b)， ∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得 λ＝43.
√A.(2,4) B.(－14,16)
C.(6,1) D.(22，－11)
设 P(x，y)，则P→N＝(10－x，－2－y)，P→M＝(－2－x,7－y)， 由P→N＝－2P→M⇒1－0－ 2－x＝y＝－－22－7－2－yx， ⇒xy＝ ＝24， .
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 平面向量基本定理的应用
例1
(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且
→ AE
＝2E→O，则E→D等于
A.13A→D－23A→B
√C.23A→D－13A→B
B.23A→D＋13A→B D.13A→D＋23A→B
因为四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且A→E＝2E→O，
得3＝λ－12μ，

则实数 m＝( C ) A．－ 2
B. 2
C．－ 2或 2
D．0
解析：a∥b，有m2＝2，m＝±.
4．(2012 年广东广州调研)已知向量 a＝(2,1)，b＝(x，－2)，
若 a∥b，则 a＋b＝( A )
A．(－2，－1) B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1)
解析：因为a∥b，有 2×(－2)＝1×x，x＝－4，则a＋b＝ (－2，－1)．
(2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法：向量 b 与 非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa， 即 b∥a⇔b＝λa(a≠0)．
(3)O→P＝xO→A＋yO→B，P，A，B 三点共线⇔x＋y＝1； 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
【互动探究】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b，
m－1＝－t1，
∴n＝t21.
消去 t1，得 m－1＝－2n.
∴m＋2n＝1.①
又∵C→M＝O→M－O→C＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b，
又∵C，M，B 三点共线，∴C→M与C→B共线．
∴存在实数 t2，使得C→M＝t2C→B. ∴m－14a＋nb＝t2－14a＋b.
第四章 平面向量
第 1 讲 平面向量及其线性运算
1．平面向量的实际背景及基本概念． (1)了解向量的实际背景． (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算． (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． (2)掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．

索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

∵B 为锐角，∴2B∈(0，π)，
∴2B＝23π，即 B＝π3. 方法二，由 m∥n 得 3cos 2B＝－2sin Bcos B，
即 3cos 2B＝－sin 2B， ∴sin 2B＋ 3cos 2B＝0，即 2sin2B＋π3＝0， ∴2B＋π3＝kπ，k∈Z，即 B＝－π6＋k2π，k∈Z， ∵B 为锐角，∴B＝π3.
题型一 三角函数和解三角形 有关三角函数与解三角形的综合是全国各地的高考题中的 一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦 定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角函数知 识来处理.
[例 1]在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，在 ①bcos Acos C＝asin Bsin C－12b；②bsin Bcos C＋12csin 2B＝
即 cos(A＋C)＝－12， 因为 B＝π－(A＋C)，所以 cos(A＋C)＝－cos B＝－12， 即 cos B＝12， 因为 0<B<π，所以 B＝π3. 若选择②，由正弦定理得
sin2Bcos C＋12sin Csin 2B＝ 3sin Acos B， 即 sin2Bcos C＋sin Csin Bcos B＝ 3sin Acos B，
∴BD＝4 5 7，AD＝BD·sin B＝4 5 7× 1241＝2 5 3，
∴△ABD 的周长为 2＋2 5 3＋4 5 7＝10＋2
3＋4 5
7 .
题型四 三角中的范围问题 [例 4](202X 年浙江)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，且 2bsin A＝ 3 a. (1)求角 B； (2)求 cos A＋cos B＋cos C 的取值范围.
【规律方法】利用向量的运算性质将向量间关系化为三角 形中的边角关系是解题关键.

• (6)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首 指向尾”． • 向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是 “同始连终，指向被减”．
• 一、“数形结合”思想 • 数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意 义，充分体现了数形结合思想． • [例] 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． • 已知：AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC与BD互相平 分． • 求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方 向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
• 分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四 边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系 数．
1→ 1 1 → → 解析：BA＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b， 1 5 → → → → ＝a＋b， OM＝OB＋BM＝6a＋6b，OD 1→ 1→ → → → ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD 2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3 1 1 → → → MN＝ON－OM＝2a－6b.
②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a. ③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 (2)减法 ①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O， → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．