南方新课堂高考数学文科一轮总复习配套课件8.3平面向量.ppt

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[解题技法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题 思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件 等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者 向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角 函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
第四 节
平面向量的综合应用
[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形 ABCD 中，|―A→B |＝12返，回
|―A→D |＝8.若点 M，N 满足―BM→＝3―M→C ，―D→N ＝2―N→C ，则―AM→·―NM→＝
()
A．20 [解析]
法一：由B．―B1M→5 ＝3―M→C ，C―．D→N36＝2―N→C D知．，6点 M 是 BC
故|―PA→＋―P→B ＋―P→C |＝ －12a ＋37，
所以当 a ＝－1 时，|―PA→＋―P→B ＋―P→C |取得最大值 49＝7. [答案] B
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[解题技法] 向量在解析几何中的 2 个作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类
载体 问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”， 作用 导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜
＝c(R 为△ABC 外接圆半径)，且 a cos B＋b cos A＝csin C，所 以 c＝csin C，所以 sin C＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝π2，所 以 B＝π－π3－π2＝π6. 答案：C
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[典例] 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.
若点 P 的坐标为(2,0)，则|―PA→＋―P→B ＋―P→C |的最大值为 ( )

• (6)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首 指向尾”． • 向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是 “同始连终，指向被减”．
• 一、“数形结合”思想 • 数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意 义，充分体现了数形结合思想． • [例] 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． • 已知：AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC与BD互相平 分． • 求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方 向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
• 分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四 边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系 数．
1→ 1 1 → → 解析：BA＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b， 1 5 → → → → ＝a＋b， OM＝OB＋BM＝6a＋6b，OD 1→ 1→ → → → ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD 2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3 1 1 → → → MN＝ON－OM＝2a－6b.
②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a. ③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 (2)减法 ①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O， → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

与 a－2b 平行，∴(2m－1)×(－1)－4×(3m＋2)＝0，解得 m＝
－12.故选 D.
【互动探究】 5.(2017 年山东)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若 a∥b， 则λ＝ ____－__3____. 解析：由 a∥b，得 2λ＋6＝0，解得λ＝－3.
易错、易混、易漏 ⊙利用方程的思想求解平面向量问题 例题：如图 4-2-1，在△ABO 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B， AD 与 BC 相交于点 M，设O→A＝a，O→B＝b，试用 a 和 b 表示向 量O→M.
【互动探究】
1.设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB， BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为
1 ____2___.
解析：D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(B→A＋A→C)＝ －16A→B＋23A→C，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
考点 2 平面向量的坐标运算 例 2：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C
＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A.(－7，－4)
B.(7,4)
C.(－1,4)
D.(1,4)
解析：∵A→B＝O→B－O→A＝(3,1)，∴B→C＝A→C－A→B＝(－7，
－4).故选 A.
答案：A
(2)(2015 年江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为__________.
解析：由题意，得 2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5， ∴m－n＝－3.

索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

是( D )
A.[0,1]
1
B.[- ,1]
2
1 3
C.[- , ]
2 2
1 3
D.[ , ]
2 2
1
x=- 时,y 的取值范围
2
解析 因为 OD∥AB,=x+y,
由向量加法的平行四边形法则,可知 OP 为平行四边形的对角线,该四边形应
1
是以直线 OA 与 OB 为两邻边所在直线的四边形,作 =- ,CF∥AO 交 OD
2
1
于点 E,交 BA 于点 F,所以当 x=-2时,要使点 P 落在指定区域内,点 P 应落在线
段 EF
1
3
上,CE= OA,CF= OA,因此
2
2
y
1 3
的取值范围为[ , ].故选
2 2
D.
考向2向量的线性运算
例 3(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,BD=2DA.记C=m,CD=n,
运算律
—
向量b的相反向
量
数乘
法则(或几何意义)
三角形法则
当λ>0时,向量λa的方向与向
求实数λ与向量
量a的方向 相同 ;当λ<0时,
a的乘积的运算
向量λa的方向与向量a的方
称为向量的数
向 相反 ;当λ=0时,
乘
0a=0;
|λa|= |λ||a|
λ(μa)= (λμ)a ;
(λ+μ)a= λa+μa ;
考向3根据向量线性运算求参数
例 4(2024·江苏南通等八市模拟)在平行四边形 ABCD 中,E =
1
E.若 =mD+nE(m,n∈R),则