统计学第4章 参数估计和假设检验[精]

简单随机抽样、不重复抽样时，样本均值
抽样分布的方差略小于重复抽样的方差，
等于
2 Nn
n N 1
N n 这一系数称为有限总体校正系数。
N 1
当抽样比（n/N）<0.05时可以忽略有限总 体校正系数。
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4.2 总体均值和比例的区间估计
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2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
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抽样分布的一个演示：重复抽 样时样本均值的抽样分布（3）
各样本的均值如下表，并给出样本均值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1 2 3 4
1 1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
n
(xi x)2
2 i1 x
M
பைடு நூலகம்
M为样本数目
(1.02.5)2
(4.02.5)2
2
0.625
16
n
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n
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样本均值的抽样分布与总体分布的 比较
总体分布
.3 .2 .1 0
1
N
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234
抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布（2）
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复
抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表.
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
相关理论
是
否
总体正态？
σ2已知？
是
否
n≥30？
是
否

x Z 2 n
s x t 2
n

x Z 2 n
增大n？数学 变换?
实际中总体方差总是未知的， 因而这是应用最多的公式。在 大样本时t值可以用z值来近似。
根据中心极限定理得 到的近似结果。 σ未知时用s来估计。
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点估计
点估计: 用估计量的数值作为总体参数的估 计值。
一个总体参数的估计量可以有多个 。例如， 在估计总体方差时，
n
(xi x)2 和
i 1
n 都可以作为估计量。
n
(xi x)2
i 1
n 1
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点估计量的常用评价准则：无偏性
抽样分布：几个要点
抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的 分布。
在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可 观测的（常常被假设为正态分布）。
样本数据的统计分布是可以直接观测的，最直 观的方式是直方图，可以用来对总体分布进行 检验。
抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出， 在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数 可能完全不同于总体或样本数据的分布。
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( x )
抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
样本均值的抽样分布
x 2.5
2 x
0.625
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样本均值的抽样分布
一般的，当总体服从 N(μ,σ2 )时，来自该总体 的容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的 期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)。
参数估计与假设检验
4.1参数估计 4.2假设检验
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4.1 参数估计
4.1.1参数估计的基本概念 4.1.2总体均值和比例的区间估计 4.1.3必要样本容量的确定
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4.1.1 参数估计的基本概念
总体
样本
参数
?
统计量
算术平均数 x
用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator), 其取值称 为估计值（estimate) 。 同一个参数可以有多个不同的估计量。 参数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确 定的。
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抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布（1）
设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
均值和方差
总体的频数分布
N
Xi
.3
i1 2.5
N
.2
N
.1
(Xi )2
0
2 i1
1.25
小样本
x
X
标准误（Standard Error）
简单随机抽样、重复抽样时，样本均 值抽样分布的标准差等于 ，这
n
个指标在统计上称为标准误。 统计软件在对变量进行描述统计时一
般会输出这一结果。
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有限总体校正系数
Finite Population Correction Factor
无偏性：估计量的数学期望与总体待估参 数的真值相等： E(ˆ)
P(ˆ )
无偏
有偏
A
B

ˆ
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区间估计
根据事先确定的置信度1 - 给出总体参数 的一个估计范围。
置信度1 - 的含义是：在同样的方法得到 的所有置信区间中，有100(1- )% 的区间 包含总体参数。
抽样分布是区间估计的理论基础。
置信区间
置信下限
估计值(点估计)
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置信上限
抽样分布 Sampling Distribution
从总体中抽取一个样本量为n的随机样本， 我们可以计算出统计量的一个值。
如果从总体中重复抽取样本量为n的样本， 就可以得到统计量的多个值。
统计量的抽样分布就是这一统计量所有可 能值的概率分布。
=10
n=4
x 5
n =16
x 2.5
= 50 X
总体分布
x 50
X
抽样分布
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中心极限定理
从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量 为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近 似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。
x
n
f(X)
大样本(n 30)
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
.3 P ( x ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
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所有样本均值的均值和方差
n
xi M 1xi 1.01.5 1 64.02.5