湖南省株洲市南方中学高一数学入学考试试题湘教版

株洲市2024年下学期高一年级开学考试试卷数学试题（B 卷）（答案在最后）命题人：时量：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A.{3|x x ≤-或3}x ≥ B.{|33}x x -≤≤ C.{|3}x x ≤- D.{|3}x x ≥【答案】B【解析】【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x |≤3的集合．【详解】由题意，满足|x |≤3的集合，可得：{|33}x x -≤≤，故选：B2.下列运算正确的是（）A.623a a a ÷= B.426a a a ⨯=C.()325a a = D.336a a a +=【答案】B【解析】【分析】根据幂指运算的性质，可得答案.【详解】对于A ，624a a a ÷=，故A 错误；对于B ，426a a a ⨯=，故B 正确；对于C ，236()a a =，故C 错误；对于D ，3332a a a +=，故D 错误.故选：B.3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个数是（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】根据俯视图可知该组合体共2行､4列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是8，故选：B ．4.下列方程中两根之和为6的是（）A .26150x x -+= B.21260x x -+=C.22630x x --= D.2318170x x -+=【答案】D【解析】【分析】先判断每个方程的∆是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数的关系求解即可得结论.【详解】对于A ：26150x x -+=，2(6)4115240∆=--⨯⨯=-<，所以方程无实数根，故A 不满足题意，对于B ：21260x x -+=，2(12)4161200∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不等实数根且两根之和为12b a-=，故B 不符合题意；对于C ：22630x x --=，2(6)42(3)600∆=--⨯⨯-=>，所以方程有两个不等实数根且两根之和为3b a-=，故C 不符合题意；对于D ：2318170x x -+=，2(18)43171200∆=--⨯⨯=>，所以方程有两个不等实数根且两根之和为6b a -=，故D 符合题意.故选：D.5.设集合{}22,1,2A a a a =--+，若4A ∈，则a =（）A.3-或1-或2B.3-或1-C.3-或2D.1-或2【答案】C【解析】【分析】分14a -=和224a a -+=讨论，即得解.【详解】当14a -=时，3a =-，符合题意；当224a a -+=时，2a =或1a =-.当2a =时，符合题意；当1a =-时，12a -=，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故3a =-或2a =.故选：C【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.函数22y kx =-与()0k y k x =≠在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据0,0k k ><，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当0k >时，反比例函数k y x=，在一､三象限，而二次函数22y kx =-开口向上，与y 轴交点为()0,2-，都不符；②当0k <时，反比例函数k y x=，在二､四象限，而二次函数22y kx =-开口向下，与y 轴交点为()0,2-，C 符合．故选：C ．7.关于x 的不等式组0723x m x +<⎧⎨-≤⎩恰好有5个整数解，则m 的取值范围是（）A.76m -<-≤ B.76m --≤≤C.76m -<-≤ D.76m -<<-【答案】A【解析】【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围.【详解】解不等式0x m +<，得x m <-；解不等式723x -≤，得2x ≥，而不等式组0723x m x +<⎧⎨-≤⎩有解，则2m ->，其解为2x m ≤<-，由不等式组0723x m x +<⎧⎨-≤⎩恰好有5个整数解，得67m <-≤，解得76m -<-≤，所以m 的取值范围是76m -<-≤.故选：A8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线1:3l y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，一组抛物线的顶点()()()1122331,,2,,3,B y B y B y ，(),n n B n y ⋯（n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()()1122,0,,0A x A x ，()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯（n 为正整数）．若1(01)x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A .512或712 B.512或1112 C.712或1112 D.712【答案】B【解析】【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又01d <<，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可．【详解】因为直线1:3l y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11043b =⨯+，解得14b =，直线11:34l y x =+，由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以该等腰三角形的高等于斜边的一半，因为01d <<，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），因为当1x =时，1117113412y =⨯+=<，当2x =时，21111213412y =⨯+=<，当3x =时，311531344y =⨯+=>，所以美丽抛物线的顶点只有12,B B ，①若1B 为顶点，由171,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则7511212d =-=；②若2B 为顶点，由2112,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选：B 【点睛】关键点睛：此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知x ，y ，z 为非零实数，代数式xyz x y z x y z +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A.0M∉ B.2M ∈ C.4M -Î D.4M Î【答案】CD【解析】【分析】讨论,,x y z 的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M ，进而确定正确的选项.【详解】当,,x y z 均为负数时，4xyz x y z x y z xyz+++=-；当,,x y z 两负一正时，0xyz x y z x y z xyz+++=；当,,x y z 两正一负时，0xyz x y z x y z +++=；当,,x y z 均为正数时，4xyz x y z x y z xyz +++=；∴{4,0,4}M =-，A 、B 错误，C 、D 正确.故选：CD10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（）A.众数是2.1B.中位数是1.6C.平均数是2.08D.方差大于1【答案】AC【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解．【详解】对A ：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故A 正确；对B ：把这些数从小到大排列为：1.6,1.8,2.1,2.1,2.8，中位数是2.1，故B 错误；对C ：平均数是：()1 2.8 2.1 2.1 1.8 1.6 2.085⨯++++=，故C 正确；对D ：()()()()22222 2.8 2.082 2.1 2.08 1.6 2.08 1.8 2.080.165615s -+⨯-+-+-==<，故D 错误.故选：AC ．11.已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B.若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C.当2m >，且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；D.当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<⎧⎨=--->⎩，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ≤≤时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若2,3a b ab +==-，则式子32232a b a b ab ++的值为______．【答案】12-【解析】【分析】由题意可化简()()232232222a b a b ab ab a ab bab a b ++=++=+，从而可求解【详解】由题意得()()23223222223212a b a b ab ab a ab bab a b ++=++=+=-⨯=-.故答案为：12-.13.如图，一段抛物线()()303y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点O 、1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于点3A 如此进行下去，直至得到13C ．若()37,P m 在第13段抛物线13C 上，则m =______．【答案】2【解析】【分析】结合图象根据图象的变换规律，可得出图象13C 与x 轴的交点坐标，从而得出13C 的表达式，代入求解即可.【详解】由题知图象1C 与x 轴的交点坐标分别为()0,0，()3,0，图象在x 轴上方，图象2C 与x 轴的交点坐标分别为()3,0，()6,0，图象在x 轴下方，图象3C 与x 轴的交点坐标分别为()6,0，()9,0，图象在x 轴上方，⋅⋅⋅以此类推，图象13C 与x 轴的交点坐标分别为()36,0，()39,0，且图象在x 轴上方，13C ∴的表达式为()()133639y x x =---，当37x =时，()()373637392y =--⨯-=，即2m =.故答案为：2.14.给定实数集合A ，B ，定义运算{},,A B x x ab a b a A b B ⊗==++∈∈.设{}0,2,4,,18A =⋅⋅⋅，{}98,99,100B =，则A B ⊗中的所有元素之和为______.【答案】29970【解析】【分析】【详解】由(1)(1)1x a b =++-，则可知所有元素之和为(1319)30031029970+++⨯-⨯= .故答案为：29970.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）若12,x x 满足1232x x =+，求m 的值．【答案】（1）5m ≤（2）4【解析】【分析】（1）根据判别式列不等式来求得m 的取值范围.（2）利用根与系数关系以及对2x 的符号进行分类讨论，由此求得m 的值.【小问1详解】关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根12,x x ，()2(6)442040m m ∴∆=--+=-≥，解得：5m ≤，m ∴的取值范围为5m ≤．【小问2详解】关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根12,x x ，126x x ∴+=①，124x x m =+②．1232x x =+ ，当20x ≥时，有1232x x =+③，联立①③解得：122,4x x ==，84,4;m m ∴=+=当20x <时，有1232x x =-+④，联立①④解得：122,8x x =-=（不合题意，舍去）．∴符合条件的m 的值为4．16.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母,C D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I ．从三个口袋中各随机取出1个小球．（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，,,A E I 是元音字母；,,,B C D H 是辅音字母）【答案】（1）P （1个元音）512=，P （2个元音）14=，P （3个元音）112=；（2）16.【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；（2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可．【小问1详解】如图所示，所有可能出现的情况有12种，记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件,,A B C ,事件A 发生的情况有5种，事件B 发生的情况有4种，事件C 发生的情况有1种，所以5411(),(),()1212312P A P B P C ====.【小问2详解】由树状图知共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为21126=.17.对m ､n 定义一种新运算“◊”，规定：5m n am bn ◊=-+（其中a ､b 均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：56565a b ◊=-+．（1）已知()231,3110◊=◊-=．①求a b ､的值；②若关于x 的不等式组()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩有且只有一个整数解，试求字母t 的取值范围．（2）若运算“◊”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数,m n ，结论“m n n m ◊=◊”都成立，试探索a ､b 所应满足的关系式．【答案】（1）①1,2a b ==；②2023t ≤<；（2）0a b +=【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键．（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t 的不等式组，求出解集即可；（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案．【小问1详解】①()231,3110◊=◊-= ，∴23513510a b z b -+=⎧⎨++=⎩解得：1,2a b ==；②∵()()239,1, 2.36x x a b x t⎧◊-<⎪==⎨◊-≤⎪⎩∴()()2353119365317xa x b x xa b x t⎧--+=-+<⎪⎨--+=+≤⎪⎩即3119317x x t -+<⎧⎨+≤⎩，解得：23173x t x ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩关于x 的不等式组()()239,36x x x t⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩有且只有一个整数解，17123t -∴≤<，解得：2023t ≤<，即字母t 的取值范围是2023t ≤<；【小问2详解】m n n m ◊=◊ ，55ma nb na mb ∴-+=-+，0ma nb na mb ∴--+=，()()0m a b n a b ∴+-+=，()()0a b m n ∴+-=，m n ､为任意数，m n ∴-不一定等于0，0a b ∴+=，即a b ､所应满足的关系式是0a b +=．18.定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集；（1）求集合{3,4}A =的生成集B ；（2）若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值；（3）若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.【答案】（1）387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）1a =±或12a =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义算出x 的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为B 中有2个元素，然后列出等式即可求出a 的值；（3）求出B 的范围即可证明出结论【小问1详解】由题可知，(1)当3m n ==时，3331335x +==+⨯，(2)当4m n ==时，44814417x +==+⨯，（3）当3,4m n ==或4,3m n ==时，34713413x +==+⨯所以387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【小问2详解】（1）当2m n ==时，2241225x +==+⨯，（2）当m n a ==时，22211a a a x a a +==++（3）当2,m n a ==或,2m a n ==时，212a x a+=+B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素，所以24251a a =+或222112a a a a +=++或24125a a +=+，解得1a =±或12a =（2a =舍去）,所以1a =±或12a =.【小问3详解】证明：(),1,1m n A ∀∈-=，()()111011m n m n mn mn++++=>++，()()111011m n m n mn mn---+-=<++，∴111m n mn+<+-<，B A ∴⊆，设任意0x A ∈，取12m =，则12A -∈，所以0012112x n B A x -=∈⊆-，则00000000001121111321122224311111114222211212x x x x x m n x x B mn x x x x -+⎛⎫-+-- ⎪+⎝⎭=====∈+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以A B ⊆；所以A B=19.已知抛物线2y x bx =-+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1．（1）求b 的值；（2）点1,1在抛物线22y x x =-+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上．（i ）若3h t =，且10,0x t ≥>，求h 的值；（ii ）若11x t =-，求h 的最大值．【答案】（1）4（2）（i ）3；（ii ）103【解析】【分析】（1）求出抛物线2y x bx =-+和22y x x =-+的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解；（2）先求出211224h t x t x t =--++，（i ）列出方程，即可求出h 的值；（ii ）求出h 关于t 的方程，结合二次函数的性质，即可求得h 最大值．【小问1详解】由抛物线2y x bx =-+的顶点的横坐标为2b x =，又由抛物线22y x x =-+的顶点的横坐标为1x =，因为抛物线2y x bx =-+的顶点的横坐标比22y x x =-+的顶点的横坐标大1，可得112b -=，解得4b =.【小问2详解】由点1,1在抛物线22y x x =-+上，可得21112y x x =-+，又由点()11,B x t y h ++在抛物线24y x x =-+上，可得()()21114y h x t x t +=-+++，则()()22111124x x h x t x t -++=-+++，所以211224h t x t x t =--++，（i ）因为3h t =，所以2113224t t x t x t =--++，可得()1122t t x t x +=+，因为10,0x t ≥>，可得1t =，则3h =.（ii ）将11x t =-代入211224ht x t x t =--++，可得2382h t t =-+-，即2410333h t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当43t =，即113x =时，h 取最大值103．。

湖南省株洲市高一下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A . （1，2）B . [1，2]C . （1，2]D . [1，2）2. （2分）下列说法正确的是（）A . 幂函数的图象恒过点B . 指数函数的图象恒过点C . 对数函数的图象恒在轴右侧D . 幂函数的图象恒在轴上方3. （2分）sin2016°的值为（）A . 正数B . 负数C . 零D . 不存在4. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A . 7B . 8C . 9D . 105. （2分） (2018高一上·北京期中) 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A .B . （1，2）C . （3，4）D . （4，5）6. （2分）将直线l向左平移个单位，再向上平移1个单位后所得直线与l重合，则直线l的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. （2分） (2019高一上·辽源期中) 下列四组函数中表示同一函数的是（）A . ，B .C . ，D . ，8. （2分）(2017·广州模拟) 将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A . 最大值为1，图象关于直线x= 对称B . 在（0，）上单调递减，为奇函数C . 在（﹣，）上单调递增，为偶函数D . 周期为π，图象关于点（，0）对称9. （2分） (2016高一上·吉安期中) 若a=20.6 ， b=log22，c=ln0.6，则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . c＞a＞bD . b＞c＞a10. （2分）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（）A . 3B . 2C .D .11. （2分） (2019高一下·化州期末) 已知，则（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= 满足对任意的两个不等实数x1 ， x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，4）C . （1，4）D . [2，4）二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·南充期中) 对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函数y=[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值为________14. （1分）函数的最小正周期为________15. （1分）(2017·山东模拟) 对于实数m，n，定义一种运算：，已知函数f（x）=a*ax ，其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是________．16. （1分）函数y=sin2x+cos2x在[0，π]上的单调递减区间为________三、三.解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高一上·酒泉期中) 已知集合A={1，3，5}，B={1，2，x2﹣1}，若A∩B={1，3}，求实数x的值及A∪B．18. （10分） (2019高一上·长沙月考)（1）已知非零向量，不共线.若和共线，求实数的值；（2）已知，求的值.19. （15分） (2017高三下·新县开学考) 已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）证明：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜（n∈N* ， e为自然对数的底数）．20. （10分） (2016高一下·辽宁期末) 某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25 米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB 的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．21. （10分） (2018高一下·广东期中) 设函数，其中，, ．（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）若关于 x 的不等式 f ( x ) − m < 2 在x ∈ [ π 4 , π 2 ] 上有解，求实数 m 的取值范围．22. （10分）函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明．参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、二.填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、三.解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

高一数学湘教版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.如果直线a∥平面，那么直线a与平面内的( )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )A．50B．60C．70D．803.在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为()A．B．C．D．无法计算4.已知平面向量＝,，若与垂直，则＝（）A．－1 B．1 C．－2 D．25.三个数之间的大小关系是（）A． B． C． D．6.一个等差数列的第5项为10，前3项的和为3，则它的首项和公差分别为（）A． B． C． D．7.已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为（）A．6 B． C．8 D．8.在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（）。

A．B．C．D．9.下列命题中，假命题是（）A．a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b平行B．若a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b垂直C．若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b所成角相等D．若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b的距离相等10.将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A．+1 B． C． D．11.从一批产品中取出两件产品，事件“至少有一件是次品”的对立事件是（）A．至多有一件是次品B．两件都是次品C．只有一件是次品D．两件都不是次品12.设集合，则等于A．｛0,2｝ B．｛2, 4｝ C．｛0,2，4｝ D．｛-1,0,2,3,4｝13.下列命题中正确的是（ ） A ．终边在轴负半轴上的角是零角 B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角 C ．不相等的角的终边一定不相同 D ．若（），则与终边相同 14.已知函数，则的值是（ ）A ．B ．9C ．D ．15.等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则=( ).A ．B ．C ．D ．16.已知集合,集合,则( )A ．B ．C ．D ．17.下列命题正确的是( )A ．直线a 、b 互相异面，直线b 、c 相互异面，则直线a 、c 互相异面B ．直线a 、b 互相垂直，直线b 、c 互相垂直，则直线a 、c 也互相垂直C ．直线a 、b 互相平行，直线b 、c 互相平行，则直线a 、c 也互相平行D ．直线a 、b 相交，直线b 、c 也相交，则直线a 、c 也相交 18.已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是A ．l 与AD 平行B ．l 与AB 异面C ．l 与CD 所成的角为30° D ．l 与BD 垂直 19.,则 A ． B ．C ．D ．20. 点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题21.设角a的终边过点P(-4a,3a) (a>0),则2sina+cosa的值是_______。

株洲市2024年上学期高一年级开学考试试卷数学试题（答案在最后）命题人：金晶审题人：杨平安时量：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.设集合{1,3,5,7},{36}A B xx ==≤<∣，则A B = （）A.{}1,3B.{}3,5 C.{}5,7 D.{}1,7【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义求解．【详解】由已知{3,5}A B = ，故选：B ．2.为了得到πsin(5)3y x =-的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A.向右平移π15个单位长度 B.向左平移π15个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向左平移π3个单位长度【答案】A 【解析】【分析】先将π53x -写成5(5π)1x -的形式，根据函数的图像“左加右减”的原则，比较前后变化即得平移变换的方向与长度.【详解】因ππsin(5)sin[5()]135y x x =-=-，将函数sin 5y x =的图象向右平移π15个单位长度即得函数ππsin[5()]sin(5)315y x x =-=-的图像.故选：A.3.已知0a >，且1,0a b ≠>，且1,0,0b M N ≠>>，下列运算正确的是（）A.()log log a a b M bM = B.log log log log a a a a M N M N⋅=+C.log log log ba b MM NN a= D.log log log a aa MM N N=【答案】C 【解析】【分析】根据对数的运算性质，以及换底公式，即可得出答案.【详解】对于A 项，根据对数的运算可知，()log log log ba a ab M M bM =≠，故A 错误；对于B 项，根据对数的运算可知，log log log log log a a a a a M N MN M N +=≠⋅，故B 错误；对于C 项，根据换底公式可知，log log log ba b MM N N a=，故C 正确；对于D 项，根据对数的运算可知，log log log log log a a a a a M MM N N N=-≠，故D 错误.故选：C.4.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC = ，AB AC AB AC +=- ，则AM =（）A.12B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】先根据AB AC AB AC +=- 得AB AC ⊥，由于M 是线段BC 的中点，故()12AM AB AC =+，再结合题意即可求解.【详解】解：AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+ ，∴0AB AC ⋅=，∴AB AC ⊥又∵M 是线段BC 的中点，∴()12AM AB AC =+∴()111===1222AM AB AC AB AC BC =+- .故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积的定义，向量的模的计算，是中档题.5.已知sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=，则cos 2()αβ-=（）A.12B.12-C.78-D.78【答案】C 【解析】【分析】先利用已知条件计算()cos αβ-，再利用二倍角的余弦公式计算即得结果.【详解】由sin 2sin 1αβ+=，cos 2cos αβ+=，两式平方后相加可得，2222sin cos 4cos 4sin 4sin sin 4cos cos 4ααββαβαβ+++++=，即54sin sin 4cos cos 4αβαβ++=，得1sin sin cos cos 4αβαβ+=-，所以()1cos 4αβ-=-，故()()221cos 22cos 121478αβαβ⎛⎫-=--=⨯--= ⎪⎝-⎭.故选：C.6.已知函数f （x ）=()314,1,1a x a x a log x x -+<⎧≥⎨⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()0,1 B.117⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,(17⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，)+∞ D.()11,1,73⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题．【详解】解：根据题意得，（1）若()f x 两段在各自区间上单调递减，则：31001(31)·141a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≤⎩；解得107a <≤；（2）若()f x 两段在各自区间上单调递增，则：3101(31)·141a a a a a log ->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩；解得1a >；∴综上得，a 的取值范围是10,(17⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，)+∞故选C ．【点睛】本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法,属于基础题．7.已知tan ,tan αβ是方程()200ax bx c a ++=≠的两根，有以下四个命题：甲：()1tan 2αβ+=-；乙：tan tan 7:3αβ=；丙：()()sin 5cos 4αβαβ+=-；丁：()()tan tan tan tan 5:3αβαβαβ+-+=.如果其中只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】根据韦达定理可得tan tan ,tan tan b ca aαβαβ+=-⋅=，对乙､丁运算分析可知乙､丁一真一假，分别假设乙､丁是假命题，结合其他命题检验判断．【详解】因为tan ,tan αβ是方程()200ax bx c a ++=≠的两根，所以tan tan ,tan tan b ca aαβαβ+=-⋅=，则甲：()tan tan 1tan 1tan tan 21bb ac c a aαβαβαβ-++====--⋅--；丙：()()sin sin cos cos sin tan tan 5cos cos cos sin sin 1tan tan 41bb ac c a aαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====--++++.若乙､丁都是真命题，则57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-⋅=，所以()5tan tan 53tan 71tan tan 4113b ac a αβαβαβ--++====-⋅--，()()5sin sin cos cos sin tan tan 137cos cos cos sin sin 1tan tan 2113b ac a αβαβαβαβαβαβαβαβ--+++====--++++，两个假命题，与题意不符，所以乙､丁一真一假，假设丁是假命题，由丙和甲得()()2,54a c b a c b -=-+=，所以()()25a c a c -=-+，即730a c +=，所以:7:3c a =-，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由丙和甲得730a c +=，又()2a c b -=，所以35b a =，即:5:3b a =与丙相符，假设成立；故假命题是乙，故选：B ．8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.某扇形的半径为2，圆心角的弧度数为π3，则该扇形的面积为2π3B.已知函数()31f x ax bx =++，若()23f =，则()21f -=C.“29x <”是“1282x <<”的必要不充分条件D.函数()()2ln f x x x =-只有一个零点【答案】AC 【解析】【分析】由扇形的面积公式即可判断A ，由函数的奇偶性即可判断B ，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C ，由函数零点的定义即可判断D【详解】因为扇形的半径为2，圆心角的弧度数为π3，由扇形的面积公式可得21π22π233S =⨯⨯=，故A 正确；函数()31f x ax bx =++，则()31f x ax bx -=+，令()()1g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()()2212g f =-=，则()()222g g -=-=-，即()()2212g f -=--=-，所以()21f -=-，故B 错误；由29x <可得33x -<<，由1282x <<可得13222x -<<，即13x -<<，则33x -<<是13x -<<的必要不充分条件，所以“29x <”是“1282x <<”的必要不充分条件，故C 正确；令()()2ln 0f x x x =-=，可得21x x -=，即210x x --=，显然140∆=+>，所以方程210x x --=有两个不同实根，所以函数()()2ln f x x x =-有两个零点，故D 错误；故选：AC.10.若,0x y >，且22x y +=，则（）A.12xy ≤B.2≤C.1292x y +≥D.2244x y +≥【答案】ABC 【解析】【分析】利用基本不等式及其“1”的代换判断各项正误.【详解】A ：由题设1222x y xy +=≥≤，当且仅当11,2x y ==时取等号，对；B ：由题设22x y +=≥，当且仅当11,2x y ==时取等号，所以02<+≤，对；C ：()12112122192552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当23x y ==时取等号，对；D ：222(2)422x y x y ++≥=，当且仅当11,2x y ==时取等号，错.故选：ABC11.已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-()0,0πA ϕ><<，若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论不正确的是（）A.将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象B.函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.若函数()()0g x θθ+≥为偶函数，则θ的最小值为7π12【答案】CD【解析】【分析】根据图像确定2A =，2π3ϕ=得到()f x 和()g x 的解析式，根据平移法则得到A 正确，代入验证得到B 正确，举反例得到C 错误，计算最小值为π12θ=，D 错误，得到答案.【详解】根据图像()y f x =的最大值为3，且0A >，故2A =，()02cos 12f ϕ=-=，故1cos 2ϕ=-或3cos 2ϕ=（舍），0πϕ<<，故2π3ϕ=，即()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对选项A ：()o 12π2c s 23y f x x ⎪=++⎛⎫= ⎝⎭，向左平移π12得到π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 2123323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，正确；对选项B ：当π6x =-时，2π2π3x -=-，故()y g x =关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，正确；对选项C ：π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对选项D ：()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数，则2ππ2π32k θ-=+，Z k ∈，解得7ππ122k θ=+，Z k ∈，当1k =-时，θ有最小值为π12，错误.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若幂函数2221(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m =__________．【答案】1-.【解析】【详解】分析：利用幂函数的定义和单调性即可得出.详解： 幂函数()22211m m y mm x--=--在()0,+∞上是增函数，∴2211210m m m m --=-->，解得1m =-.故答案为1-.点睛：熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键.13.已知α，β均为锐角，且sin α=cos 10β=，则αβ-的值为__________．【答案】4π-.【解析】【详解】分析：由已知及同角三角函数关系式可求cosα，sinβ，由两角和与差的余弦函数公式即可求sin （α﹣β）的值，结合α﹣β的范围即可得解．详解：∵α，β均为锐角，sinα=5，cosβ=10，∴=5，10，∴sin （α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=5105102⨯-⨯=-，∵﹣2π＜α﹣β<2π，∴可解得：4παβ-=-.故答案为4π-.点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．14.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3sin sin =B C A ，则tan tan tan A B C ++的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】由题意求得tan tan 3tan tan A C A C +=，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，化简tan tan tan A B C ++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由题意知，在锐角ABC 中，sin sin()3sin sin B A C C A =+=，sin cos sin cos 3sin sin A C C A C A +=，等式两边同时除以cos cos A C ，得tan tan 3tan tan A C A C +=，又tan tan tan tan()0tan tan 1A CB AC A C +=-+=>-，所以tan tan tan (tan tan 1)A C B A C +=-，得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，且tan tan 10->A C ，所以tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1A CA B C A C A C +++=⋅-，令tan tan 1-=A C m ，则0m >，故tan tan 3tan tan tan tan tan (1)(1)A C A CA B C m m m m+++=+⋅=+⋅3(1)3(1)63612m m m m m +=+⋅=++≥+，当且仅当33m m=即1m =时等号成立，此时tan tan 2A C =，所以tan tan tan A B C ++的最小值为12.故答案为：12四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，(1)2f -=，当[2,0]x ∈-时的解析式为()42xx a bf x =+(),a b ∈R .（1）写出()f x 在[0,2]上的解析式；（2）求()f x 在[0,2]上的最值.【答案】（1）()24x x f x =-（2）最大值为0，最小值为12-【解析】【分析】（1）先求得参数a b 、，再依据奇函数性质即可求得()f x 在[0,2]上的解析式；（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.【小问1详解】因为()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，即0a b +=，由(1)2f -=，得422a b +=，由4220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，则当[2,0]x ∈-时，函数解析式为11()42x xf x =-设[0,2]x ∈，则[2,0]x -∈-，11()()(2442x xx x f x f x --=--=--=-，即当[0,2]x ∈时，()24x xf x =-【小问2详解】当[]0,2x ∈时，2[1,4]x ∈211()24(224x x x f x =-=--+，所以当21x =，即0x =时，()f x 的最大值为0，当24x =，即2x =时，()f x 的最小值为12-.16.已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()()321f f -=.（1）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值；（2）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4x =或12x =-（2）2,73⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由()()321f f -=结合对数运算可求得a 的值，可得出函数()f x 的解析式，然后解方程3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得出满足条件的x 的值；（2）分析可知，()f x 是()0,∞+上的增函数，根据()()3225f m f m -<+可得出关于实数m 的不等式组，解之即可.【小问1详解】解：因为()log a f x x =，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，所以3322227log log 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得272x x -=，即22740x x --=，解得4x =或12x =-.【小问2详解】解：由（1）知()32log f x x =是()0,∞+上的增函数，又()()3225f m f m -<+，则25320m m +>->，解得273m <<.故实数m 的取值范围是2,73⎛⎫⎪⎝⎭.17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2π03ϕ<<）的最小正周期为π，且()f x 的图象过点π,62⎛ ⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()()()2π4g x f x x f x ⎛⎫=++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，求()g x 的对称中心．【答案】（1）5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）ππ1,,Z 482k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据2πT ω=求出ω，结合图象过的点求出ϕ，进而π()sin(2)3f x x =+，利用整体代换法即可求出函数()f x 的单调区间；（2）根据两角和差公式、辅助角公式和二倍角公式可得1()cos 42g x x =+，利用整体代换法即可求出函数()g x 的对称中心.【小问1详解】由题意知，2ππT ω==，所以2ω=，由函数()f x 图象过点π3(,)62，得ππ(sin()632f ϕ=+=，由2π03ϕ<<，解得π3ϕ=，所以π()sin(2)3f x x =+.令πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z ，得5ππππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],1212k k k -++∈Z ；【小问2详解】由（1）知，22πππππ()[()]()()sin (2))sin(2)43323g x f x x f x x x x =++=+++++2π1cos(4)ππ112π2π3cos(2)cos(4)sin(4)23322323x x x x x -+=+++=-+++2ππ11sin(4)cos 43622x x =+-+=+，令π4π,2x k k =+∈Z ，解得ππ,48k x k =+∈Z ，即函数()g x 的对称中心为ππ1(,)482k +，k ∈Z .18.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan22tan tan OABS OA OBθθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan0θ>，则13tantanθθ+≥，当且仅当3tan3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OABS最小=.【小问2详解】由2AOB OHAπ∠=∠=，可得BOHθ∠=，则tanOHAHθ=，tanBH OHθ=，cosOHOBθ=，由题意BH OB AH+≥，则()2211sin1costan sin1sin cos1sincos tan cos sinθθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin1sin sin2θθθ-⇔≥≥，结合π2θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.19.设a∈R，函数()2sin cosf x x x a=--，π,π2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x的零点个数；（2）若函数()f x有两个零点1x，2x，试证明：12121tan tan31tan tanx xx x--≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=-+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=-+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=-+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得23ππ,π22x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。

高一数学湘教版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（）A． B．8 C． D．82.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个3.已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．4.已知映射，其中集合,集合中的元素都是中元素在映射下的象，且对于任意的,在中和它对应的元素为,则集合中的元素的个数是（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个5.函数的单调递减区间是（）A． B．(-,-1),(3,+) C．(1,3) D．(1,+)6.已知为奇函数，当时，则当时，（）A B C D7.将函数的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值可以是（）A． B． C． D．8.如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9.已知圆：及直线，当直线被截得的弦长为时，则（）A B C D10.对任意实数，定义运算“*”如下：的值域为（）A． B． C． D．11.已知函数（其中），若的图象如图所示，则函数的图像是（）．A．B．C．D．12.（2015秋•凉山州期末）的值是（）A． B．﹣ C．2 D．﹣213.已知向量，若，则实数等于A．B．15C．21D．14.（2014•武汉模拟）一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围是（）A．（﹣3，0） B．（﹣3，0] C．[﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）15.为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则B．，则C．，则D．，则16.已知点P（）在第四象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17.右图中阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．18.已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（）A．B．C．D．19.“a>0”是“方程至少有一个负数根”的 ( ▲ )A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件20.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．二、填空题21.一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝________.22.二次函数在区间上是减函数，则实数k的取值范围为．23.设为从集合A到B的映射，若，则_____________．24.设是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则的值等于25.；26.图中所示的是一个算法的流程图，已知，输出的,则的值是____________27.已知命题“设是正实数，如果，则有”，用类比思想推广“设是正数，如果则有 __________28.已知三点A（1，-1），B（4，P），C（P，0）共线，则P的值为_________。

2020-2021学年湖南省株洲市南方中学新高一入学考试
数学模拟试卷解析版
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣3|等于（）
A．﹣3B．−1
3C．3D．
1
3
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
2．（3分）据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（）A．3.9×1010B．3.9×109C．0.39×1011D．39×109
【解答】解：39000000000＝3.9×1010．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．3x+2y＝5xy B．（x4）3＝x12
C．（x+y）2＝x2+y2D．2x2÷2x2＝0
【解答】解：∵3x+2y≠5xy，
∴选项A不符合题意；
∵（x4）3＝x12，
∴选项B符合题意；
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴选项C不符合题意；
∵2x2÷2x2＝1，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
4．（3分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）
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株洲市南方中学2023级高一第一次月考试试卷一、单选题(共36 分)1.为了研究自由落体的规律，伽利略采用“冲淡”重力的方法，将落体实验转化为沿斜面运动的实验。

关于伽利略的研究，下列说法正确的是（）A.伽利略通过斜面实验验证物体做自由落体运动的加速度的大小跟质量有关B.伽利略思想方法的核心是直接用实验验证了运动速度与下落的时间成正比C.“冲淡”重力是指使铜球的加速度变小了D.实验中铜球位移与时间的平方成正比说明它做变加速直线运动【答案】C【详解】A．伽利略通过斜面实验验证物体做自由落体运动的加速度大小跟质量无关，故A错误；B．伽利略所处的时代技术不够发达，无法直接验证运动速度与下落的时间成正比，故B错误；C．伽利略让铜球沿阻力很小的斜面滚下，小球在斜面上运动的加速度要比竖直下落的加速度小得多，伽利略用此方法冲淡“重力，故C正确；D．实验中铜球位移与时间的平方成正比说明它做匀加速直线运动，故D错误。

故选C。

2.甲、乙两物体沿平直路面做匀变速直线运动，甲的加速度a1=5m/s2，乙的加速度a2=−3m/s2，则有关甲、乙物体运动的说法正确的是（）A.甲一定做匀加速运动，乙一定做匀减速运动B.甲的加速度大，相同时间里速度变化量大小一定大C.甲乙运动方向一定相反D.1s末，甲的瞬时速度一定比乙大【答案】B【详解】AC．若加速度方向和速度方向同向，则做加速运动，若加速度方向和速度方向相反，则做减速运动，题中没有给甲乙的初速度方向，所以甲乙可以做加速运动，也可以做减速运动，故AC错误；B．加速度是描述速度变化快慢的物理量，符号表示方向，根据Δv=aΔt甲的加速度大小更大，则相等时间内速度变化量大小较大，故B正确；D．根据v=v0+at不知道甲乙初速度大小和方向，所以无法比较甲乙1s末的速度大小，故D错误。

故选B。

3.“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其着火后一段时间内的速度—时间图像如图所示（取竖直向上为正方向），其中t0时刻为“笛音雷”起飞时刻、DE段是斜率大小为重力加速度g的直线。

湖南省湘南中学2019-2020学年高一数学入学考试试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若a是集合中的元素，但不是集合中的元素，则a可以是（）A. 3.14B.C.D.2.已知，则等于（）A. B. C. D.3.函数的值域是（）A. B. C. D.4.设函数在区间上都是增函数，则下列说法中：①是增函数；②是增函数；③是增函数；④是增函数.所有正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.下列函数在上是增函数的是（）A. B. C. D.6.已知集合，，则中（）A. 仅有一个元素B. 至多有一个元素C. 至少有一个元素D. 可能有两个元素7.下列六个关系式中正确的个数是（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）A. 1B. 2C. 3D. 48.设，，为非空集合的子集，且，，则与的关系是（）A. B. C. D.9.设集合，那么下面的四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ②10.已知，则使得成立的（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知函数，若有最小值，则的最大值为________.12.植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙（如图），另两边的总长为30m，设垂直于底边的腰长为m，则苗圃面积关于的函数解析式为__________.13.已知，则__________.14.已知A={x|x≤1或x>3}，，则________．15.已知集合，，且，则实数____．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.（6分）用列举法表示集合.17.（8分）设集合，，若，求实数的值．18.（8分）设，，，求：（1）；（2）．19.（8分）求函数的定义域，并用区间表示.20.（10分）如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家多远？（4）11：00到12：00他骑了多少千米？（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？答案和解析1. D2. B3.D4.A5.B6.B7.C8.B9. C 10.C11.1 12. ()() 13.14.15.【答案】116.【答案】解：由.可得满足方程的解有，故方程的解集为．17.【答案】解:因为，所以．因为，所以或．当时，方程无解，此时．当时，此时，则．所以，即有，得．综上，得或．18.【答案】解：由题意可知．（1）因为，所以;（2）又因为，所以．所以．19.【答案】解：要使函数解析式有意义，需满足解得且.所以函数的定义域是{或}.用区间表示为[)(].20.【答案】解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时.(3)第一次休息时，离家17千米.(4)11:00至12:00他骑了13千米.(5)9:00～10:00的平均速度10千米/时；10:00～10:30的平均速度是14千米/时.。

高一数学高中数学湘教版试题答案及解析1.已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣15【答案】B【解析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．解：∵⊥，∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z=4．故选：B．点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．2.已知=（3λ+1，0，2λ），=（1，λ﹣1，λ）若⊥，则λ的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据空间向量垂直的充要条件，可知其数量积为0，从而得解．解：由题意，∵⊥∴3λ+1+2λ2=0∴故选D．点评：本题以空间向量为载体，考查向量的垂直，关键是利用数量积为0解方程．3.过点P（2，3）且以为方向向量的直线l的方程为．【答案】3x﹣y﹣3=0．【解析】若直线与x轴不垂直，则直线的一个方向向量为，其中k是直线的斜率．可以用向量与已知方向向量平行，建立关系式得到直线的斜率，得到直线的点斜式方程，最后化成直线的一般式方程即可．解：设直线l的另一个方向向量为，其中k是直线的斜率可得与互相平行∴⇒k=3，所以直线l的点斜式方程为：y﹣3=3（x﹣2）化成一般式：3x﹣y﹣3=0故答案为：3x﹣y﹣3=0．点评：本题考查了直线的方向向量，属于基础题．方向向量是与直线平行或在直线上的非零向量，如果直线的斜率存在，则它的一个方向向量为，其中k是直线的斜率．4.直线3x﹣y+2=0的单位法向量是．【答案】【解析】由直线3x﹣y+2=0可得法向量=（1，3），可得其单位法向量=±．解：由直线3x﹣y+2=0可得法向量=（﹣3，1），因此其单位法向量=±=．故答案为：．点评：本题考查了直线的单位法向量的求法，属于基础题．5.（2009•奉贤区二模）（理）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在A1C1上，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．解：由题意，，故选D．点评：本题的考点是空间向量的基本定理及其意义，考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．6.（2014•东莞二模）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的渐近线方程解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴，∴，故选D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解．7.（2014•焦作一模）已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A．2B．C．D．﹣2【答案】A【解析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．解：∵复数（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键．8.（2014•烟台三模）在复平面内，复数的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数===﹣1+2i，∴复数对应的点的坐标是（﹣1，2）∴复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，一般在高考题的前几个题目中．9.（2015•重庆一模）复数所对应的点位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得到复数对应点的坐标即可．解：∵．∴复数所对应的点（）在第二象限．故选B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基础题．10.（2011•安徽模拟）i是虚数单位，复数z=i2011的虚部是（）A．0B．﹣1C．1D．﹣i【答案】B【解析】利用虚数单位i 的幂运算性质，z=i2011 =i4×502+3=i3=﹣i，再利用复数的实部和虚部的定义求出z的虚部．解：z=i2011 =i4×502+3=i3=﹣i，∴虚部为﹣1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，复数的实部和虚部的定义．11.（2010•绵阳三模）已知集合A={i，i2，i3，i4}（i为虚数单位），给出下面四个命题：①若x∈A，y∈A，则x+y∈A；②若x∈A，y∈A，则x﹣y∈A；③若x∈A，y∈A，则xy∈A；④若x∈A，y∈A，则∈A．其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】把所给的集合中的四个元素进行验证，根据虚数的单位的性质，得到前两个正确，后两个错误，本题因为集合的数字较少，可以采用逐个验证的方法．解：∵集合A={i，i2，i3，i4}①若x∈A，y∈A，则x+y∈A，不正确，可以取x=1，y=﹣1，则x+y=0不属于A，故①不正确，②若x∈A，y∈A，则x﹣y∈A；同样取第一个中出现的两个数字验证，故②不正确，③若x∈A，y∈A，则xy∈A；分别取集合中的4个数字进行验证，故③正确，④若x∈A，y∈A，则∈A，分别取集合中的4个数字进行验证，故④正确，总上所述有两个说法是正确的．故选B．点评：本题考查复数的虚数单位性质，是一个基础题，包括复数的加减乘除运算，这种题目一般不会出成解答题，而是以选择和填空形式出现．12.（2014•梅州一模）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55【答案】C【解析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值．解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．13.（2005•上海模拟）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间（单位：毫秒）．信息由结点A传输到结点B所需的最短时间为毫秒．【答案】4.8．【解析】信息从A到B传递有四条途径，分别是A﹣D﹣E﹣M﹣B，A﹣D﹣F﹣M﹣B，A﹣C﹣F﹣M﹣B，A﹣C﹣K﹣N﹣B，每长路径信息由结点A传输到结点B所需的时间分别是5.1，4.9，4.8，21.1，由此能得到信息由结点A传输到结点B所需的最短时间．解：如图，信息从A到B传递有四条途径，分别是A﹣D﹣E﹣M﹣B，A﹣D﹣F﹣M﹣B，A﹣C﹣F﹣M﹣B，A﹣C﹣K﹣N﹣B，每长路径信息由结点A传输到结点B所需的时间分别是5.1，4.9，4.8，21.1，所以信息由结点A传输到结点B所需的最短时间为4.9毫秒．故答案为：4.8．点评：本题考查工程流程图的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意全面统筹．14.（2014•河南二模）从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A．2097B．2112C．2012D．2090【答案】C【解析】设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，根据题意求和验证．解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=2012，得a=212，是自然数．故选C．点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．15.（2013•三门峡模拟）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设出该队员的每次罚球命中率为p，则两次罚球中至多命中一次的概率为1﹣p2，结合已知条件，构造关于p的方程，可得答案．解：设该队员的每次罚球命中率为p，则两次罚球中至多命中一次的概率为1﹣p2=，解得p=，故选B．点评：本题考查的知识点是独立重复试验的概率，其中分析出两次罚球中至多命中一次的概率为1﹣p2，是解答的关键．16.（2014•西藏一模）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】C【解析】由直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，知1×（a+1）+a×（﹣2）=0，由此能求出a．解：∵直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，∴1×（a+1）+a×（﹣2）=0，解得a=1．故选C．点评：本题考查直线的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17.（2014•东城区二模）已知点A（2，0），B（﹣2，4），C（5，8），若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是（）A．（6，7）B．（7，6）C．（﹣5，﹣4）D．（﹣4，﹣5）【答案】A【解析】设D（x，y），由题意可得CD的中点在AB的垂直平分线且CD∥AB，可得x和y的方程组，解方程组可得．解：设D（x，y），∵A（2，0），B（﹣2，4），∴AB点E（0，2），AB的斜率k==﹣1，∴AB的垂直平分线的斜率为1，∴AB的垂直平分线的方程为y=x+2，∴CD的中点F（，）在y=x+2上，∴=+2，①又CD的斜率=﹣1，②联立①②解得，即D（6，7）故选：A．点评：本题考查线段的中点公式、两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属基础题．18.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件，当每件商品的定价为元时，利润最大．【答案】115．【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：利润为S（x）=（x﹣30）（200﹣x）=﹣x2+230x﹣6000，S′（x）=﹣2x+230，由S′（x）=0得x=115，这时利润达到最大．故答案为：115．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．19.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系为R=R（x）=，则总利润最大时，每年生产的产品数量是．【答案】300．【解析】先根据题意得出总成本函数，从而写出总利润函数，它是一个分段函数，下面求其导数P′（x），令P′（x）=0，从而得出P的最大值即可．解析：由题意，总成本为C=20000+100x．∴总利润为：P=R﹣C=，P′=．令P′=0，即可得到正确答案，即x=300．故答案：300．点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．20.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为．【答案】32米，16米．【解析】要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁的周长，利用基本不等式可求周长的最小值，从而可求砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽．解：设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L=2x+（x＞0），则L′=2﹣．令L′=0得x=±16，又x＞0，∴x=16，则当x=16时，L=64，min∴长为=32（米）．故堆料场的长为32米，宽为16米时，砌墙所用的材料最少．故答案为：32米，16米．点评：本题重点考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是求出新的墙壁的周长．21.（3分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．【答案】【解析】对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．22.（3分）函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则函数g（x）=在区间[1，+∞）上一定有（填最大或最小值）．【答案】最小值【解析】先由二次函数的性质可得a＜1，则g（x）==x+﹣2a，再考虑函数g（x）在（1，+∞）上单调性即可得出答案．解析：由函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，可得a的取值范围为a＜1．g（x）==x+﹣2a，则g′（x）=1﹣．知在x∈[1，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）为增函数，故g（x）在区间[1，+∞）上一定有最小值．故答案为：最小值．点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，及基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及基本方法．23.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+△x，2+△y），则为．【答案】△x+2．【解析】先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值，再化简即可求得．解：==△x+2．则为△x+2．故答案为：△x+2．点评：本题主要考查变化的快慢与变化率．通过计算函数值的变化来解，比较简单．24.（5分）探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是 cm．【答案】【解析】先设出抛物线的标准方程，把点（40，30）代入抛物线方程求得p，进而求得即光源到反射镜顶点的距离．解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，∴900=2p×40．∴p=．∴=．因此，光源到反射镜顶点的距离为cm．点评：本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．考查了对抛物线基础知识的掌握．25.（2012•湘潭三模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为．【答案】2【解析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．属于基础题．26.已知直线l：y=kx+1与椭圆+y2=1交于M、N两点，且|MN|=．求直线l的方程．【答案】y=x+1或y=﹣x+1．【解析】将直线代入椭圆方程，通过消元转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，利用弦长公式求直线的斜率，从而得直线方程．解：设直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，所以，由|MN|=，得，所以，即，所以，化简得k4+k2﹣2=0，解得k2=1，所以k=±1，所以所求直线l的方程是y=x+1或y=﹣x+1．点评：本题主要考查直线与椭圆相交时，利用弦长公式求直线方程，综合性较强，运算量较大．27.已知三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则①过A点的中线长为；②过B点的中线长为；③过C点的中线长为．【答案】2；；【解析】根据所给的三角形的三个顶点坐标，利用中点坐标公式得到三边中点的坐标，根据中点坐标和三个顶点的坐标，利用两点之间的距离公式，得到结果．解：设AB 的中点E，BC的中点F，AC的中点G，∵三角形A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），∴E（），F（4，1，﹣2），G（，﹣，3）∴|AF|=2，|BG|=，|CE|=，故答案为：2；；点评：本题考查两点之间的距离公式，是一个基础题，注意三角形的中线是一条线段，是指顶点到对边中点的距离，本题是一个送分题目．28.点M（4，﹣3，5）到原点的距离d= ，到z轴的距离d= ．【答案】；5【解析】直接利用空间两点间的距离公式，求出点M（4，﹣3，5）到原点的距离d，写出点M （4，﹣3，5）到z轴的距离d，即可．解：由空间两点的距离公式可得：点M（4，﹣3，5）到原点的距离d=到z轴的距离d==，点M（4，﹣3，5）到z轴的距离d==5故答案为：；5点评：本题是基础题，考查空间两点的距离公式的求法，考查计算能力．29.已知空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C 三点共线，则p= ，q= ．【答案】3；2【解析】根据所给的三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据三个点共线，得到两个向量之间的共线关系，得到两个向量之间的关系，即一个向量的坐标等于实数倍的另一个向量的坐标，写出关系式，得到结果．解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），∴=（1，﹣1，3），=（p﹣1，﹣2，q+4）∵A，B，C三点共线，∴∴（1，﹣1，3）=λ（p﹣1，﹣2，q+4），∴1=λ（p﹣1）﹣1=﹣2λ，3=λ（q+4），∴，p=3，q=2，故答案为：3；2点评：本题考查向量共线，考查三点共线与两个向量共线的关系，考查向量的坐标之间的运算，是一个基础题．30.（2分）若α角与角终边相同，则在[0，2π]内终边与角终边相同的角是．【答案】．【解析】利用角与α为终边相同的角可得，α=2kπ+，k∈z，从而可得与终边相同的角，继而可得答案．解：依题意，α=2kπ+，k∈z，∴=+，k∈z，又∈[0，2π]，∴k=0，α=；k=1，α=；k=2，α=；k=3，α=．故答案为：．点评：本题考查终边相同的角，表示出与终边相同的角是关键，考查分析与转化及运算能力，属于中档题．。

高一数学湘教版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知函数，若正实数，互不相等，且，则的取值范围是（）A．（1,10） B．（5,6） C．（10,12） D．（20,24）2.数列的通项公式，其前项和为，则等于( )A．1006 B．2012 C．503 D．03.若，那么等于（）A． B． C．15 D．304.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是A．垂直相交B．相交但不垂直C．异面但不垂直D．异面且垂直5.函数的图象必经过点（）．A． B． C． D．6.一个棱柱为正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个底面是全等的矩形7.如果，那么正确的结论是．()A． B． C． D．8.若能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9.式子sin3000的值等于（）A． B． C．- D．-10.集合,，则（）A．B．C．D．11.如果函数在区间上是递增的，那么实数的取值范围( )A．a≤－3 B．a≥－3 （ C．a≤5 D．a≥512.设A．0 B．1 C．2 D．313.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A． B． C． D．14.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．15.集合A="{" x | y =" x," y∈R}，B={y|y=x2, x∈R} ，则A∩B=" " ( )A．{0 , 1} B．{(0 , 1)} C．{y|y≥0} D．16.已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是( )A．B．C．D．17.下列函数在区间上为减函数的是( )A． B． C． D．18.sin(-)的值是（）A． B．- C． D．-19.如右程序框图，输出的结果是（）A． B． C． D．20.（2013•绍兴二模）盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（）A． B． C． D．评卷人得分二、填空题21.已知函数满足，且，那么函数有个零点．22.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．23.如图，函数的图象是折线段，其中点的坐标分别为，则 ___.24.已知直线与平行，则的值为 .25.已知两直线与平行，则___________．26.设函数，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊆P，则实数a的取值范围是．27.若全集且，则集合的真子集共有__________个.28.将单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去四个角后得到一个四面体BDA 1C 1，则这个四面体的体积是__________.29.用另一种方法表示集合_______.30.已知函数，若，则的取值范围是 。