专题18 正弦定理、余弦定理、解三角形

正弦定理、余弦定理专题复习

正弦定理、余弦定理专题复习

教师版在下⾯

考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

(1)S＝1

2a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝

1

2ab sin C＝________＝________；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

[常⽤结论]

1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．

2．内⾓和公式的变形

(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.

⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π

6，B＝π4，

a＝1，则b＝()

A．2B．1 C． 3 D．2

2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()

A．⽆解B．两解

C．⼀解D．解的个数不确定

4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝2

3，则b＝()

A. 2

B. 3

C. 2

D. 3

5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．

6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：

考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题

例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，

若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝()

A.π

6 B.

π

3 C.

2π

3 D.

5π

6

规律⽅法：

练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

试卷第1页，总18页 专题18：正弦定理、余弦定理知识点与检测题（中档题）（解析版）

正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆的半径）

2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC．

2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::；

;sinsinBAba ;sinsinCBcb ;sinsinCAca

3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2

4）化角为边： ;sinsinbaBA ;sinsincbCB;sinsincaCA

5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin

二.三角形面积

1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21

三.余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

Abccbacos2222

Baccabcos2222

Cabbaccos2222

2.变形：bcacbA2cos222

acbcaB2cos222

abcbaC2cos222 试卷第2页，总18页 注意整体代入，如：21cos222Bacbca

利用余弦定理判断三角形形状：

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：

①若，，所以为锐角

②若为直角Aabc222

③若， 所以为钝角，则是钝角三角形

三角形中常见的结论

三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

名师预测

1．△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )

A.32 B．34

C.32或3 D．32或34

2． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝ 3bc，sin C＝23sin B，则A＝( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

3． 在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC是( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，∴cos B＝ac，

∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

∴△ABC为直角三角形． 答案：B

4．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b等于( )

A．33 B.3

C.32 D．23

5． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形

D．钝角三角形

6． 已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )

A．75° B．60°

C．45° D．30°

答案： B

解析：本小题主要考查三角形面积公式、三角函数等基础知识．

∵33＝12×4×3sinC，∴sinC＝32， ∴C＝60°，故选B.

7.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )

A．－223 B.223

C．－63

D.63

8． 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(

)

A.32 B.22

C.12

D．－12

9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c:sinC等于( )