解三角形 正弦及余弦定理

正弦定理和余弦定理

【考点梳理】

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容 asin A＝bsin

B＝csin C＝2R.(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；

b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；

c2＝a2＋b2－2ab·cos_C

变形

形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R cos A＝b2＋c2－a22bc；

cos B＝c2＋a2－b22ca；

cos C＝a2＋b2－c22ab

解决

问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边求各角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

2.三角形常用面积公式

(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

【考点突破】

考点一、利用正、余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．

[解析] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4

＝18＋36－(－36)＝90，

所以a＝310.

又由正弦定理得sin B＝bsin∠BACa＝3310＝1010，

由题设知0＜B＜π4，

所以cos B＝1－sin 2B＝1－110＝31010.

在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，

故由正弦定理得

AD＝AB·sin Bsinπ－2B＝6sin B2sin Bcos B＝3cos B＝10.

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

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第七节 正弦定理和余弦定理

一、基础知识

1．正弦定理

asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．

正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；

(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.

2．余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A；

b2＝c2＋a2－2cacos B；

c2＝a2＋b2－2abcos C.

3．三角形的面积公式

(1)S△ABC＝12aha(ha为边a上的高)；

(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；

(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.

4．用余弦定理判断三角形的形状

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．

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第一课时 正弦定理和余弦定理(一)

考点一 利用正、余弦定理解三角形

考法(一) 正弦定理解三角形

[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.

（必修五）解三角形

1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

正弦定理:2sinsinsinabcRABC或变形：::sin:sin:sinabcABC.

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

两内角与其正弦值：在△ABC 中，BABAsinsin，…

2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2．余弦定理： 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 或

222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

注意：

①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；

②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；

类型一：解三角形

在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范围_____________

解析: 设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC

由锐角ABC得0290045oooo，

又01803903060ooooo，故233045cos22oo，

2cos(2,3).AC

1．在△ABC中，3,1ba，∠A=30°，求c的值

解析：

举一反三：

变式1：在△ABC中，已知2,1bc，B=45°，求C和a

变式2：已知△ABC中，3a，1b, A=2B，求角B及边c.