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正弦定理余弦定理解三角形

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1 / 7 第一篇 正弦定理和余弦定理

【知识清单】

一、三角形有关性质

（1）在△ABC中，A＋B＋C＝；a＋bc，a－bb⇔sin Asin B⇔AB；

（2）三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12absin

C＝12acsin B＝1sin2bcA ；

（3）在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或2AB⇔三角形为等腰或直角三角形；

sin(A＋B)＝sin C，coscosABC，sin A＋B2＝cos C2.

二、正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容 2sinsinsinabcRABC 2222sinabcbcA

2222sinbacacB

2222sincababC

变形

形式 ①2sinaRA，2sinbRB，2sincRC；

②sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR；

③::csin:sin:sinabABC；

④sinsin+sinsinabcaABCA. 222cos2bcaAbc；

222cos2acbBac ；

222cos2abcCab

解决

的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角． ①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

三、解斜三角形的类型

（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解；

（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图

形

关系式 sinabA sinabA sinbAab ab ab

解个数 无解 一解 两解 一解 一解

上表中，A为锐角，sinabA时，无解；A为钝角或直角时，ab或ab均无解. 2 / 7 【典例归纳】

考点1 利用正、余弦定理解三角形

【例1】（1）在△ABC中：

（1）10c，75Ao，45Co，求b； （2）20a，28c，30Ao，求sinB；

（3）::2:6:31abc，求角A、B、C；

（4）7a，10b，6c，判断ABC的形状.

解：（1）由正弦定理得sinsinbcBC，又180180754560BACooooo

得，310sin256sin22cBbC.

（2）由正弦定理得，sinsinbaBA，故sin28sin307sin2010bABao

（3）令2ak，6bk，31ck0k，

由余弦定理的推论得2222222263142cos222631kkkbcaAbck

45Ao，同理60Bo，18075CABoo，45Ao，60Bo，75Co.

（4）bacQ， B最大

由余弦定理的推论得22222276105cos0227628acbBac

90180Boo， ABC为钝角三角形.

【变式1】ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知90ACo，2acb，求C.

3 / 7 【变式2】ABC中，,,abc是,,ABC所对的边，且coscos2BbCac.

（1）求B的大小；（2）若72b，ABC的面积332S，求ac的值.

【变式3】已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，cos3sinaCaCb

0c.

（1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3，求b，c.

方法总结：在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当地选取定理，简化运算过程，提高解题速度，同时要挖掘题目中的隐含条件.解题时，要综合、灵活地运用两个定理，认真分析已知条件，选择需要先解的三角形和相关定理，并结合三角形的有关性质，如大边对大角、内角和定理等.注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增解的情况.

4 / 7 考点2 三角形解的情况的判定

【例2】不解三角形，判断下列三角形解的个数

（1）5a，4b，120Ao； （2）5a，10b，150Ao ；

（3）9a，10b，60Ao； （4）18a，24b，44Ao.

解：（1）abQ，且A为钝角， ABC有唯一解；

（2）baQ，且A为钝角， ABC有无解；

（3）3sin10532bAQ， sinbAab， ABC有两解；

（4）sin24sin4424sin45122bAooQ，又1221824，故有两解.

【变式1】ABC中，A、B的对边分别是a、b，且60Ao，6a，4b，那么满足条件的ABC（ ）

A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 不能确定

【变式2】在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）

A． 10b，45A，70C B．60a，48c，60B

C． 7a，5b，80A D．14a，16b，45A

【变式3】不解三角形，下列判断中正确的是（ ）

A. 7a，14b，30Ao有两解 B. 28a，24b，150Ao有两解

C. 6a，9b，45Ao有两解 D. 9b，10c，60Bo有两解

方法总结：已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解.这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断.讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角0180oo:有几个，它与已知角的和是否小于180o. 5 / 7 考点3 三角形形状的判定

【例3】在ABC中，coscoscosaAbBcC，试判断三角形的形状.

解：由余弦定理代入已知条件得2222222220222bcaacbabcabcbcacab，

整理，得2222222222220abcabacbccab，

即2224abc，222abc，即222abc或222bac

根据勾股定理知ABC是直角三角形.

【变式1】在ABC中，已知2abc，2sinsinsinABC，试判断ABC的形状.

【变式2】在ABC中，已知22tantanaBbA，试判断ABC的形状.

方法总结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 6 / 7 考点4 正、余弦定理与其他知识的综合应用

【例4】ABC中，已知45Ao，4cos5B.

（1）求cosC的值；

（2）若10BC，D为AB的中点，求CD的长.

解：（1）4cos5BQ，且0,B，23sin1cos5BB

coscoscos135CABBocos135cossin135sinBBoo

24232252510

（2）由（1）得22272sin1cos11010CC，

由正弦定理得sinsinBCABAC，即10272210AB，解得14AB.

在BCD中，7BD，22247102710375CD，37CD.

【变式】在ABC中，A、B、C为其三个内角，且其对边分别为a、b、c.

若2cos23,2mAur，2cos,1nAr，且//mnurr.

（1）求角A；（2）若3a，3bc，求ABC的面积.

方法总结：正、余弦定理与三角函数、平面向量综合考查出现频率较高.解决此类问题首先要把握题目重点考查知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起，然后，将问题合理转化，特别注意三角形中角范围的限制. 7 / 7 考点5 三角形的范围与最值问题

【例5】在锐角ABC中，1BC，2BA，则cosACA的值等于_________，AC的取值范围为____________.

解：由正弦定理知sin2sinACBCAA，即12sincossinACAAA， 2cosACA

ABCQ是锐角三角形，02A，022A，032A

解得，64A.由2cosACA得AC的取值范围为2,3.

【变式1】锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2CA，则ca的取值范围是（ ）

A. 1,2 B. 1,3 C. 2,2 D. 2,3

【变式2】在ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC，则A的取值范围是（ ）

A. 0,6 B. ,6 C. 0,3 D. ,3

【变式3】设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2sinabA.

（1）求B的大小；

（2）求cossinAC的取值范围.

方法总结：

（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题.

（2）求正弦定理有关的三角函数最值的求法：

①利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量；

②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题.

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正弦定理,余弦定理,解三角形并判断三角形的形状

正弦定理,余弦定理,解三角形并判断三角形的形状

正弦定理,余弦定理,解三角形并判断三角形的形状

嘿，朋友们！今天咱们来聊点数学，但别紧张，不是那种让人头大的数学题，而是关于三角形的那些事儿。咱们要讲的是正弦定理、余弦定理，还有如何用这些定理来解决三角形的问题，顺便还能判断出三角形的形状。听起来是不是有点像侦探破案？哈哈，没错，咱们就是数学界的福尔摩斯！

首先，咱们得知道正弦定理是啥。简单来说，正弦定理就是说在一个三角形里，每条边的长度和它对角的正弦值是成比例的。就像咱们生活中，付出和收获总是成正比一样，数学世界里也有这样的公平交易。用数学语言来说就是：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c是三角形的边长，A、B、C是对应的角，R是外接圆的半径。这公式就像是个万能钥匙，能帮我们打开很多数学问题的大门。

接下来是余弦定理，这个定理就更神奇了。它能告诉我们三角形的任意一边的长度，只要知道其他两边和夹角的大小。就像你虽然不知道朋友的生日，但通过他和他家人的生日，也能推算出来一样。余弦定理的公式是这样的：c² = a² + b² - 2ab*cosC。这里的cosC是角C的余弦值。有了这个公式，就算你不知道三角形的全貌，也能把它拼凑出来。

现在，咱们来实际操作一下，看看怎么用这些定理来解三角形。假设咱们有一个三角形ABC，边长分别是a、b、c，对应的角是A、B、C。如果给定了其中的两边和一个非夹角，比如说a、b和角C，咱们就可以用余弦定理算出c的长度。然后，如果再给定一个角，比如角A，咱们就可以用正弦定理算出角B的大小。这样一来，三角形的边长和角度就都搞定了。

最后，咱们还能用这些信息来判断三角形的形状。比如，如果一个三角形的三个角都相等，那它就是等边三角形，就像三胞胎一样，长得一模一样。如果两边相等，那它就是等腰三角形，就像双胞胎，虽然不是完全一样，但也有相似之处。如果三个角都是直角，那它就是直角三角形，就像那种完美无瑕的人，总是让人羡慕。

用正、余弦定理解三角形

用正、余弦定理解三角形

灵活应用正、余弦定理解三角形

利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC中，0060,30,366BAba，求边c的长。

解：∵ )(1800BAc=090 由正弦定理：CcBbAasinsinsin及等比定理得

0060sin30sin366sinsinsinBAbaCc

∴12)31(21)31(62321366c

二、配凑公式求边和角。

例2：若a，b，c分别表示△ABC的顶点A、B、C所对的边长，且（a+b+c）（a+b－c）=3ab，求cos（A+B）。

解： 由（a+b+c）（a+b－c）=3ab，得abcba3)(22

整理得：abcba222， 故cos（A+B）=－cosC =－2122222abababcba

三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC中，a=1，b=2则c的取值范围是多少？

②设a,a+1, a+2为钝角三角形的三边，则a的取值范围是__________.

解:①由余弦定理得: 2cCCabbacos45cos222

由0

②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos222aaaaaC

30310322aaaa

四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC，已知)sin()()sin()(2222BAbaBAba，判断△ABC的形状。

解：∵)sin()()sin()(2222BAbaBAba

∴)sincoscos)(sin()sincoscossin()(2222BABAbaBABAba

正弦余弦定理解三角形

正弦余弦定理解三角形

1根据下列条件判断三角形ABC的形状：

(1) 若a2tanB=b2tanA； （2）b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;

【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2 BcosBsin= (2RsinB)2 AcosAsin2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B

2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o 或 A – B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴

B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.

2.△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以 ，因为BE+EC=BC，所以，

所以

当，。

3.在△ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求sinA的值.

【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=,,36221xBEAB设在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，,6636223852xx,,2),(37,1BCxx故舍去解得

328cos2222BBCABBCABAC从而.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即

4.在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA.

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形

1． 正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理 正弦定理 余弦定理

内容 asin A＝bsin B＝csin

C＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；

b2＝c2＋a2－2cacos_B；

c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；

(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin

B，asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc；

cos B＝c2＋a2－b22ac；

cos C＝a2＋b2－c22ab

2. S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

3． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 a＝bsin A bsin Ab

解的

个数 一解 两解 一解 一解

4. 实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B． ( √ )

(2)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(3，2)． ( √ )