矩形的性质与判定

1 矩形的性质和判定

【知识梳理】

一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：

①矩形的四个角都是直角

②矩形的对角线相互平分且相等

③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴

④矩形的面积S=长×宽

三、判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形；

④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：

① 相同点

1、两组对边分别平行

2、两组对边分别相等

3、两组对角分别相等

4、对角线相互平分

②区别

1、 有一个角是直角的平行四边形矩形

2、对角线相互平分且相等

【例题精讲】

考点1 矩形的性质

【例1】 已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

2 【例2】如图，在矩形ABCD中，,EF分别是,BCAD上的点，且BEDF。求证：ABE≌CDF。

【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60AOB，2AB，则矩形的对角线AC的长是（ ）

A．2 B．4 C．23 D．43

【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行

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专题15 矩形的性质与判定

【考点归纳】

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

【好题必练】

一、选择题

1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）

A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5

【答案】A

【解析】解：连接CM，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 2 / 15

∴AB＝＝＝5，

∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，

∴四边形CEMF是矩形，

∴EF＝CM，

∵点P是EF的中点，

∴CP＝EF，

当CM⊥AB时，CM最短，

此时EF也最小，则CP最小，

∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，

∴CM＝＝＝2.4，

∴CP＝EF＝CM＝1.2，

故选：A．

2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（ ）

1 / 3 矩形、菱形的性质与判定

教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。掌握矩形的性质定理

2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题。

3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力

教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定

教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用．

节前预习： 1：矩形的四个角都是 ．

2：矩形的对角线 ．

3：直角三角形 等于斜边的一半．

4： 的平行四边形是矩形 的平行四边形是矩形．

5： 的四边形是矩形．

教学过程

一．复习提问：1.什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？

二、引入新课：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形， 堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．

讲解新课：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．

（1）、矩形性质

1：矩形的四个角都是直角．

2：矩形对角线相等．

（2）、矩形的判定．

矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义备注

《2 矩形的性质与判定》教案

教学目标：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明矩形性质定理和判定定理．

3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

教学重点：

掌握矩形的性质和判定以及证明方法．

教学难点：

运用综合法证明矩形的性质和判定．

教学过程：

提问：

1．你了解哪些特殊的平行四边形？

2．这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？

3．能用一张图来表示它们之间的关系吗？

提问：平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系．

1．矩形具有平行四边形的一切性质．

2．矩形四个角都是直角．

3．矩形的对角线相等．

定理矩形的四个角都是直角．

定理矩形的对角钱相等．

随堂练习：

随堂练习1、3

课堂小结：

1．矩形具有平行四边形的一切性质．

2．矩形四个角都是直角．

3．矩形的对角线相等．