正弦定理、余弦定理专题复习
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正弦定理、余弦定理专题复习
正弦定理、余弦定理专题复习
教师版在下⾯
考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
(1)S＝1
2a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝
1
2ab sin C＝________＝________；
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常⽤结论]
1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．
2．内⾓和公式的变形
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.
⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π
6，B＝π4，
a＝1，则b＝()
A．2B．1 C． 3 D．2
2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .
3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()
A．⽆解B．两解
C．⼀解D．解的个数不确定
4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝2
3，则b＝()
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．
6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：
考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题
例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，
若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝()
A.π
6 B.
π
3 C.
2π
3 D.
5π
6
规律⽅法：
练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.
①求A；
②若2a＋b＝2c，求sin C.
考点2 与三⾓形⾯积有关的问题
例2：(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.
若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．
规律⽅法：
练习2 ：(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是⾓A，B，C的对边，且2b cos C＝2a＋c.(1)求B；
(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的⾯积．
考点3 判断三⾓形的形状
例3设△ABC的内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．钝⾓三⾓形D．不确定规律⽅法：
练习3：(变条件1)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC 的形状．(变条件2)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．
三、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于()
A. 1
B. 2
C. 2
D. 22
2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则
b
c＝()
A．6B．5 C．4 D．3
3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积
4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C）＝（b+c）sinB．
（1）求A；
（2）若，求b+c的取值范围．5.(2018·天津⾼考)在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知b sin A＝a cos (B－π6).(1)求⾓B的⼤⼩；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．
正弦定理、余弦定理专题复习
考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理正弦定理余弦定理
内容a
sin A＝
b
sin B＝c
sin C＝2R.
a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；
b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；
c2＝a2＋b2－2ab_cos_C
变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝a
sin A＝2R.
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ac；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
(1)S＝1
2a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝
1
2ab sin C＝
1
2ac_sin_B＝
1
2bc_sin_A；
(3)S＝1
2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常⽤结论]
1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.
⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π
6，B＝π4，
a＝1，则b＝()
A．2B．1 C． 3 D．2
D[由
a
sin A＝
b
sin B得b＝
a sin B
sin A＝
sin
π
4
sin
π
6
＝2
2×2＝ 2.]
2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .
由正弦定理得,即sin B=
因为b3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有() A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b. ∴此三⾓形有两解．]
4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，
cos A＝2
3，则b＝( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,
⼜b>0,解得b=3,故选D.5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．等腰三⾓形或直⾓三⾓形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．] 6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．
23[因为23
sin 60°＝
4
sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，
所以AB＝2，所以S
△ABC ＝
1
2×2×23＝2 3.
三、典例讲解：
考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题
例：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C
＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝( )
A. π
6 B.
π
3 C.
2π
3 D.
5π
6
解析∵a sin B cos C＋c sin B·cos A＝12b，
∴由正弦定理得sin A sin B cos C＋sin C sin B·cos A＝1
2sin B，
即sin B(sin A cos C＋sin C cos A)＝12sin B.
∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1
2，即sin B＝
1
2.∵a＞b，∴A＞B，即B为锐⾓，∴B＝π
6，故选A
规律总结：
练习：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.
①求A；
②若2a＋b＝2c，求sin C.
[解]①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝
1
2.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，
即6
2＋
3
2cos C＋
1
2sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－
2
2.
由于0°＜C＜120°，所以sin (C＋60°)＝2 2，
故sin C＝sin (C＋60°－60°)
＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.a＋b＝2c，求sin C.
考点2 与三⾓形⾯积有关的问题
例.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π
3，则△ABC的⾯积为____________．
63[法⼀：因为a＝2c，b＝6，B＝π
3，所以由余弦定理b
2＝a2＋c2－2ac cos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π
