1正弦定理、余弦定理及解三角形课案

第 1 页 解三角形(1)---正弦定理

【定理推导】

如图1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：

（1）C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

（2）显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大，能否用一个

等式把这种关系精确地表示出来？

如图1-2，在RtABC中，设BC=a、AC=b、AB=c，根据锐角三角函数

中正弦函数的定义，有asinAc，sinbBc，又sin1cCc,

则abccsinAsinBsinC，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC。

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况）

如图1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA，则：sinsinabAB， 同理可得sinsincbCB，从而sinsinabABsincC

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证法二：（向量法）过点A作jAC，由向量的加法可得ABACCB则

()jABjACCB ∴jABjACjCB

00cos900cos90jABAjCBC

∴sinsincAaC，即sinsinacAC

证明三：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴2sinsinaaCDRAD，

同理：sinbB=2R，sincC＝2R

同理，过点C作jBC，可得sinsinbcBC，从而abcsinAsinBsinC

类推：当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单1.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径）RCcBbAa2sinsinsin2.变形：1）．sinsinsinsinsinsinabcabcCCAA 2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::； ;sinsinBAba;sinsinCBcb;sinsinCAca 3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2 4）化角为边： ;sinsinbaBA;sinsincbCB;sinsincaCA 5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sinsinBAba;sinsinCBcb求出b与c;sinsinCAca ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用BAbasinsin正弦定理求出c边CAcasinsin4.△ABC中，已知锐角A，边b，则①时，B无解；AbasinAbsinAb ②或时，B有一个解；Abasinba③时，B有两个解。baAbsin如：①已知,求(有一个解)32,2,60baAB②已知,求(有两个解)32,2,60abAB注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二.三角形面积1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin212. ,其中是三角形内切圆半径.rcbaSABC)(21r3. , 其中,))()((cpbpappSABC)(21cbap4. ,R为外接圆半径RabcSABC45.,R为外接圆半径CBARSABCsinsinsin22三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos22222.变形：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222 abcbaC2cos222注意整体代入，如：21cos222Bacbca3．利用余弦定理判断三角形形状： and All things in their being are good for so设、、是的角、、的对边，则：abcCAAC①若，，所以为锐角②若为直角Aabc222③若， 所以为钝角，则是钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角考点解析题型1 正弦定理解三角形例题1 在△ABC中，已知A=60°，a=2，C=45°，则C= ．例题2 在△ABC中，A=，AC=2，BC=，则AB= ．变式训练1、 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c322、 在△ABC中，(1) 若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．(2) 若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________．2(3) 若AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________．363、在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（ ）　A．30°B．45°C．135°D．45°或135°4、在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ）　A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°5、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小为（ ）　A．B．C．D．6、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于 ．题型2 余弦定理解三角形例题1 在△ABC中，a=1，b=，c=2，则B= ．例题2 已知△ABC中，AB=3，AC=5，A=120°，则BC等于 ． and All things in t 变式训练1、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.求角BcosBcosCb2a＋c的大小2、在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形②若a2=b2+c2+bc，则A为60°③若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形④若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3其中正确的个数为（ ）　A．2B．3C．1D．4在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（ ）　A．B．C．D．题型3 正弦余弦定理求三角形面积例题1、在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（ ）　A．B．2C．D．例题2、△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ． 变式训练1、已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为 ．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（ ）　A．B．C．D．2题型4 三角形形状的判断例题1 在△ABC中，a、b、c满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC一定是（ ）　A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形 例题2 在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．(1) 求B的大小；(2) 若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．10变式训练1、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2+b2＜c2，则△ABC是（ ）　A．锐角三角形B．直角三角形　C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形2、已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.3(1) 求A；(2) 若a＝2，△ABC的面积为，求b、c.3课后作业1、设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．2、A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面π6π4积为________．3、已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．4、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝.34(1) 求tanB的值；(2) 若c＝2，求△ABC的面积． 5、在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.12(1) 求角A的大小；(2) 若a＝，b＝4，求边c的大小．156、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.(1) 若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a、b的值；π33(2) 若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解题技巧1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．(2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角， 再结合正、余弦定理即可求解．

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2备课纸 课时总编号：

备课组别 数学 上课

日期 第 课时 课型 主备

教师

课题： §15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)

教学

目标 1.了解正弦定理在生活中的实用性；

2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解决实际问题；

3.掌握由正弦定理推导的三角形面积公式及运用。

重点 正弦定理

难点 应用正弦定理解决实际问题

教法 讲练结合

教学设备 多媒体一体机

教学

环节 教学活动内容及组织过程 个案补充

教

学

内

容 【课前导学】

1.在我国古代有嫦娥奔月的神话故事，明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的？

【设计意图】：

让学生了解与正弦定理有关的问题，提高学习兴趣。

教学

环节 教学活动内容及组织过程 个案补充

教

学

内

容 一．建构数学：

问题1：设A、B两点在河的两岸，只给你米尺和量角设备，不过河你能测出它们之间的距离吗？

A

B

我们这一节所学的内容就是解决这个问题的有力工具

【设计意图】：

通过实际问题引入本节课题。

我们知道，在直角三角形中有BcbAcasin,sin,由此，我们可以得到CcBbAasinsinsin

A

b c

C B

a

思考，这个结论对于一般三角形还能成立吗？

C

2014—2015七台河市高级中学高一数学必修5导学案 编制：王美玉 编号：03 审核：刘波 时间： 班级： 姓名： 小组： 评价：

导学案：正弦定理和余弦定理应用举例

【使用说明及学法指导】

1.结合问题导学自学课本，用红色笔勾画出疑惑点；独立思考完成合作探究，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上小组讨论交流，答疑解惑。

3.带（*）号的C层可以不做，带（附加）的B、C层可以不做。

【重点难点】

重点：正确应用正、余弦定理解决解三角形、距离、角度、有关三角形面积、底部不可到达的测量物体高度的问题。

难点：会利用数学建模的思想，结合三角形的知识，证明与三角形边角有关的恒等式，解决生产实践中的相关问题。

【学习目标】

1．体会数学建模的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

2.理解并掌握利用正、余弦定理解决一系列问题。

3．提高灵活地选择正余弦定理的解题能力。

4. 引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型。

【问题导学】

1．方位角：指方位角：从指正北方向线按________方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做________

方位角的其他表示：

（1）正南方向 （2）东南方向 （3）北偏东 （4）南偏西

方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式．

2．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_______.

3.正弦定理：在三角形中，

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