命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

第二节命题及其关系、充足条件与必需条件考纲解读1．理解命题的观点.2．认识“若p，则q”形式的命题及其抗命题、否命题与逆否命题，会剖析四种命题的互相关系 .3．理解必需条件、充足条件与充要条件的意义.命题均势研究展望 2015 年高考命题中.本专题所涉考点依旧会以选择题和填空题形式出现，融合代数或几何的详细知识考察充要条件的判断以及四种命题的关系.知识点精讲一、命题能够荆断真假的语句叫做命题.注：判断一个语句能否为命题包括以下两个因素：①一定是陈说句；②一定能判断真假.二、四种命题1．四种命题的表述只有“若 p ，则 q ”形式的命题才有以下四种命题：原命题：若p ，则 q ；抗命题：若 q ，则 p ；否命题：若p ，则q ；逆否命题：若q ，则p .2．四种命题的关系（1）原命题为真 (假 )，其抗命题不必定为真 (假 )；（2）原命题为真 (假 )，其否命题不必定为真《假 )；（3）原命题为真 (假 )，其逆否命题必定为真 (假 )；（4）若命题的抗命题为真 (假 )时，其否命题必定为真（假）（二者互为逆否命题） .如图 1-6 所示，依据互为逆否命题的两个命题的真值同样，可知四种命题中实质不一样的命题只有原命题和抗命题两类.此外两类不过它们的不一样表示形式.原命题：若p 则 q互否否命题：若p 则q互逆抗命题：若q 则 p 互为逆否互否等价关系抗命题：若q 则p 互逆图1-6三、充足条件、必需条件、充要条件1．定义假如命题“若 p ，则 q ”为真(记作p q )，则p是q的充足条件；同时q 是 p 的必需条件. 2．从逻辑推理关系上看（1）若p q 且 q ?p ，则p是q的充足不用要条件；（2）若p ?q 且 q p ，则p是q的必需不充足条件；（3）若 p q 且 q p ，则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；（4）若 p ?q 且 q ?p ，则p不是q的充足条件，也不是q 的必需条件.对充足和必需条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ，则p是q的充足条件，同时 q 是 p 的必需条件.所谓“充足”是指只需 p 建立， q 就建立；所谓“必需”是指要使得p 成立，一定要 q 建立(即假如 q 不建立，则 p 必定不建立).注：依据互为逆否命题等价.如有p q ，则必定有q p .3．从会合与会合之间的关系上看设 A x | p( x) , B x | q( x) .（1）若A B ，则p是 q 的充足条件( p q )， q 是p的必需条件；若 A 躡B ，则p是q 的充足不用要条件，q 是 p 的必需不充足条件，即p q 且 q ?p ；注：对于数集间的充足必需条件知足：“小大”.（2）若B A，则p是q的必需条件，q是p的充足条件；（3）若A B，则p与q互为充要条件 .题型概括及思路提示题型 4四种命题及真假关系思路提示互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，即一个命题与其逆否命题同真同假；一个命题的抗命题和否命题同真同假 .当一个命题的真假不易判断时，能够经过判断其逆否命题的真假来判断 .例 1.12已知函数 f (x) 在 ( ,) 上是增函数，a, b R ，有命题：若 a b 0 ，则f ( a) f ( b) f ( a) f ( b).（1）写出命题的否命题，判断真假，并证明你的结论；（2）写出命题的逆否命题，判断真假，并证明你的结论.剖析：“ 已知函数 f (x) 在 (,) 上是增函数，a,b R ”为大前提，写否命题时，要保证大前提不变 .理清命题的构造，分清命题的条件与结论，写出否命题和逆否命题，而后判断真假，并证明 .分析：（ 1）否命题：已知函数 f (x) 在 ( ,) 上是增函数，a,b R ，若 a b0 ，则f ( a) f (b) f ( a) f (b) .该否命题为真命题，证明以下：因为函数 f ( x) 在 (,) 上是增函数，若 a b 0 ，则 a b,b a所以 f (a) f ( b), f (b) f ( a)所以 f (a) f (b) f ( a) f ( b) ，故否命题为真命题.（ 2 ）逆否命题：已知函数f ( x) 在 (,) 上是增函数， a,b R ，若f ( a) f ( b) f ( a) f (，则b a b0 .该逆否命题为真命题，证明以下：由 f (a) f (b) f ( a) f ( b) ，得 f ( a) f ( a) f (b) f ( b)0 .令 g( x) f ( x) f (x) ，x R ，函数 g ( x) 在R上增的奇函数.由g(a)g(b) 0得 g( a)g( b)g(b) ，所以 a b ，即 a b0 .注：当命有大前提，写命的抗命、否命和逆否命，保持大前担不.式 1命“若 x21， 1 x 1 ”的逆否命是（）A ．若x2 1 ， x1或 x1B．若C．若x 1或x1， x21 D ．若1x 1 ， x2 1x1或 x 1， x2 1式 2 命“若a,b都是奇数， a b 是偶数”的逆否命是()A. 若a b 不是偶数，a, b 都不是奇数B. 若a b 不是偶数，a, b 不都是奇数C.若a b 是偶数，a, b都是奇数D. 若a b 是偶数， a, b 不都是奇数型 5 充足条件、必需条件、充要条件的判断与明思路提示条件与的呈有两种方式：（1）中出“A是B的⋯⋯条件” ，A是条件，B是 .（2）若出“A建立的⋯⋯条件是B”，B是条件，A是 .若由条件能够推出，就是充足性建立；若从能够推出条件，就是必需性建立.例1.13（20134”是“函数f (x) | (ax1)x |在区(0,)内增”的安徽理）“a 0（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C.充足必需条件D. 既不充足也不用要条件剖析：本利用函数的像确立字母的取范，再利用充要条件的定行判断.分析：当 a 0 ， f ( x)| ( ax1)x || x | 在区 (0,) 上增；当 a0 ，合函数 f (x)| (ax1)x | | ax2x | 的像知函数在(0,) 上增，如1-7(a)所示；当a0，合函数 f ( x) | (ax1)x || ax2x | 的像知函数在(0,) 上先增后减再增，不切合条件，如1-7(b) 所示 .所以要使函数 f ( x)| (ax1)x | 在 (0,) 上增，只需a0 ，即“a0”是“函数 f (x)| (ax1)x |在区 (0,) 内增”的充要条件.故C.变式 1 设x R ，则 x 1 是 x3x 的（）A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件变式0 ab 1112若 a, b为实数，则“”是“”的（）a或bb aA ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件变式 3 已知a0 ，则x0知足对于x的方程 ax b 的充要条件是（）A ．x R,1ax2bx1ax02bx0B．22C．x R,1ax2bx1ax02bx0 D ．22x R,1ax 2bx1ax02bx022x R,1ax2bx1ax02bx022题型 6 充足条件、必需条件中的含参数问题思路提示求解充要条件中的含参问题，常常要先求出必需条件所需知足的参数范围，再证明其充足性.例 1.14设非空集合A|x 2x a, B | y 2y3x ,xA，C z | z x2 , x A，求使 C B 的充要条件.剖析：利用会合与命题之间的关系求解.分析：由 2x a 得12x32a 3 ，即B y |1y2a 3当 2 a 0 时， C z | a2z 4 ；当 0 a 2 时，C z | 0 z 4当 a2时， C z |0z a 2所以，当2a 2 时， C B2a31a 2 ，反之亦真42当 a2时，C B a22a32a3，反之亦真所以 C B 1a3，即便 C B 的充要条件是1a 3 . 22变式 1 能否存在实数p ，使4x p 0 是 x2x 2 0 的充足条件？假如存在，求出p 的取值范围 .x 1 | 2, q : x2 2 x 1 m 0( m 0)，且p是q的必需不充足条3变式 2 已知p :|1件，务实数 m的取值范围.最有效训练题2（限时 45 分钟）1．以下命题中：①函数 f ( x)ln x x 2 的图像与x轴有2个交点；②向量 a, b 不共线，则对于x的方程 ax2bx0 有独一实根；③函数y9x2的图像对于 y 轴对称.| x 4 || x3|真命题是（）A ．①③B．②C．③D．②③2．设a, b是向量，命题“若a b ，则 | a | | b | ”的逆否命题是（）A ．若a b ，则 | a | | b |B ．若a b ，则 | a | | b |C．若| a | |b |，则a b D ．若| a | | b |，则a b3．以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若2x1x12x3x20 ，则，则 x3x 20”；”的逆否命题为“②若 p q 为假命题，则p, q 均为假命题；③命题 p :存在x R ，使得 x2x 10 ，则p : 对随意x R ，都有 x2x 1 0 ；④在ABC 中，A B 是sin A sin B 的充足不用要条件.A ． 1B． 2C．3 D ．44．“a c b d ”是“a b 且 c d ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件5．已知会合 Ax R |12x8 , BxR | 1 xm 1 ，若 xB 建立的一个充2分不用要条件是 x A ，则实数 m 的取值范围是（）A ． [2,) B ． (, 2]C ． (2, )D ． ( 2,2)6．已知 a b ，函数 f ( x) sin x, g (x) cos x .命题 p : f ( a) f (b) 0 ，命题 q : g (x) 在( a,b) 内有最值，则命题 p 是命题 q 建立的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件7．给定以下命题 :①若 k0 ，则方程 x 2 2x k 0 有实数根；②“若 a b ，则 a cb c ”的否命题；③“矩形的对角线相等 ”的抗命题；④“若 xy0 ，则 x, y 中起码有一个为0"的否命题 .此中真命题的序号是.8．已知对数函数 f (x) log 2a 1 x ，命题 p : f ( x) log 2 a 1 x 是增函数 .则 p 为真时， a 的取值范围是.9 ． 已 知 不 等 式 | x m | 1成 立 的 充 分 不 必 要 条 件 是1x13， 则 m 的 取 值 范 围2是.10．已知会合 Ax |x1 0 , B x || xb | a ，若 “a1”是 “A B”的充足条x 1件，则实数 b 的取值范围是.11p : (4x 3)21，命题 q : x2(2a 1)x a( a 1) 0，若p 是q 的必需不．设命题充足条件，务实数 a 的取值范围 .12．已知全集 UR ，非空会合 Ax |x20 ， Bx a 22(3ax |x a 0 .x 1)1 （1）当 a时，求 (e U B) A ；2（2）会合 p : x A ，命题 q : x B ，若 q 是 p 的必需条件，务实数a 的取值范围 .参照答案例 1.12 变式 1分析“若，则”的逆否命题形式是“若，则”，由此可知“若，则”的逆否命题为“若，则”。

命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1．下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 易得x ＝y ；由x 2＝1，得x ＝±1；若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 若x ＝－2，y ＝1，虽然x <y ，但x 2>y 2. 所以真命题为A.2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵x >1，∴x 3>1，又x 3－1>0，即(x －1)(x 2＋x ＋1)>0，解得x >1，∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．2．设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键：先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围．的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是s 成立的必要不充分条件，即等价于SP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[破译玄机]解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．4．已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得知－1<x <2，即由p 不能得知q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得知p .因此，p 是q 的必要不充分条件．5．已知集合A ，B ，全集U ，给出下列四个命题： ①若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ； ②若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝B ； ③若a ∈(A ∩∁U B )，则a ∈A ； ④若a ∈∁U (A ∩B )，则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C．3D．4解析：选B①正确；②不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；③正确；④不正确．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－a i，若z位于第四象限，则a>0，反之也成立，所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．2．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题D．“tan x＝1”是“x＝π4”的充分不必要条件解析：选C由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C 正确；由x ＝π4能推得tan x ＝1，但由tan x ＝1推不出x＝π4，所以“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确． 5．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤2C ．a ≥－2D ．a ≤－2解析：选A 因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ，由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2.6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析：选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”. 若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0，所以不是真命题．2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：选A 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

第一讲命题及其关系、充分条件与必要条件教学目标：1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.一、知识回顾课前热身知识点1、命题在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．知识点2、四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点3、充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.例题辨析推陈出新例1、在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)等于()A．1B．2C．3D．4[自主解答]原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.[答案] B变式练习1．设原命题是“当c >0时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．解：“当c >0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a >b ，结论是ac >bc .因此它的逆命题：当c >0时，若ac >bc ，则a >b .它是真命题；否命题：当c >0时，若a ≤b ，则ac ≤bc .它是真命题；逆否命题：当c >0时，若ac ≤bc ，则a ≤b .它是真命题.例2(1)(2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[自主解答] (1)“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充要条件是：由a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或1. 故“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．(2)a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．或用排除法：对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.[答案] (1)A (2)A变式练习2．已知命题p ：函数f (x )＝|x －a |在(1，＋∞)上是增函数，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若命题p 为真，则a ≤1；若命题q 为真，则0<a <1.∵由q 能推出p 但由p 不能推出q ，∴p 是q 的必要不充分条件．例3已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．[自主解答] (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在． (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10， ∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．变式练习3．已知不等式1x －1<1的解集为p ，不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.三、归纳总结 方法在握归纳1个转化——正难则反的转化由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．2个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条件”与“必要条件”的区别(1)否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．(2)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，①A 是B 的充分不必要条件是指：A ⇒B 且B ⇒/ A ；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且A ⇒/ B ，在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误．3种方法——判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法．设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法．从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法．p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件.四、拓展延伸 能力升华例1、 (2011·陕西高考)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.[解析] x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．[答案] 3或4变式练习1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D a ⊥b ⇔a ·b ＝0，a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，∴x ＝0.2．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当m <0，n <0时，mn >0，但mx 2＋ny 2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则m >0，n >0，即mn >0.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 化简得A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x <0}，C ＝{x |x <0，或x >2}．∵A ∪B ＝C ，∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．五、课后作业 巩固提高一、选择题1．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 2．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．3．(2013·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行解析：选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．4．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 依题意得f (x )＝a 2x 2＋2(a ·b )x ＋b 2.由函数f (x )是偶函数，得a ·b ＝0，又a ·b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得，a ·b ＝0，f (x )＝a 2x 2＋b 2，函数f (x )是偶函数．综上所述，“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的充要条件．5．(2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若α⊥β，又α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又因为a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，即不能推出α⊥β.6．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即x >0时，m ≥⎝⎛⎭⎫8x x 2＋4max ，而8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤824＝2，故m ≥2.当p 成立时q 不一定成立，即p 不是q 的充分条件，但如果p 不成立，即m <43时，q 一定不成立，即p 是q 的必要不充分条件．二、填空题7．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③8．(2013·石家庄质检)下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π2(k ∈Z )”，④是假命题．答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .∴m 为4的约数．又∵m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， ∴m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]． 所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。

科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 1.2命题及其关系、充分条件、必要条件考纲定位 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系疑难提示 1、命题真假的判断；2、四种命题的关系的应用；3、两个命题互为逆否命题；4、充要条件的证明应分别证明充分性和必要性两个方面；【考点整合】1、命题及四种命题的相互关系(1)可以判断真假的语句叫命题，由 两部分构成.(2)命题的四种形式：原命题：若p 则q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则(3)四种命题的关系：互为 的命题互为等价命题，它们同真同假.2、充分条件与必要条件(1)若,p q q ⇒⇒p ，则称p 是q 的 ,同时q 是p 的 ；(2)若p ⇒,q q p ⇒，则称p 是q 的 ，同时q 是p 的 ；(3)若,p q q p ⇒⇒，则称p 是q 的 .【真题演练】1、(2012 湖南)命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A.若4πα≠，则tan 1α≠ B.若4πα=，则tan 1α≠ C.若tan 1α≠，则4πα≠ D.若tan 1α≠，则4πα= 2、(2010 天津)命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）A.若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B.若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数C.若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数D.若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数3、(2011 重庆)“1x <-”是“210x ->”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、(2011 福建)若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、(2013 湖南)“12x <<”是“2x <”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【经典例题】一、命题及其相互关系例1、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假.（1）面积相等的两个三角形是全等三角形；（2）若1q <,则方程220x x q ++=有实根.变式训练：1、若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的（ ）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上都不对2、给出命题：“已知,,,a b c d 是实数，若,a b c d a c b d ≠≠+≠+且则”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（ ）A. 0个B.1个C.2个D.4个3、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假.（1）若xy=0，则x=0或y=0；（2）已知a,b,c,d 是实数，若a=b 且c=d,则a+c=b+d.二、充分条件、必要条件的判断例2、用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件或既不充分也不必要条件”填空（1）2424x x y y xy >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的 条件；（2）4(4)(1)001x x x x --+≥≥+是的 条件 （3）tan tan αβαβ==是的 条件；（4）312x y x y +≠≠≠“”是“或”的 条件例3、设命题:|43|1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.变式训练：1、若向量(4,)()a y y R =∈，则“3y =”是“||5a =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、设{}n a 是等差数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、(2008 湖南)“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知集合{|22},{|(2)(4)0}A x a x a B x x x =-<<+=+-≥，则A B φ=的充要条件是（ ）A.02a ≤≤B.22a -<<C.02a <≤D.02a <<三、充要条件的证明例4、已知函数2()||f x x x a b =+++，求证：函数()f x 是偶函数的充要条件是0a =.【作业】《胜券在握》P117页 第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P117页 第3、4、5题.。

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是()A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是()A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P |x ＝k ＋12，k ∈Z|x ＝k2，k ∈Zx ∈P ，则x ∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝|x ＝k ＋12，k ∈Z＝|x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝|x ＝k2，k ∈Z 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由|x －12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“|x －12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x －12|≥12，即“x 3＜1”“|x －12|＜12”．所以“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x ∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，1＋m＝10，解得{m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且S P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．－m≤－2，＋m>10－m<－2，＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。

命题及其关系、充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；⑤如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).| 微点提醒|1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同．3．A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(√)‖自主测评‖1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数C．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数解析：选D依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x＋y不是偶数，则x与y 不都是偶数”，故选D.3．(教材改编题)“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．答案：①②③5．(教材改编题)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p⇒/ q.当x＝3x＋4时，x≥0,3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分………考点一四种命题的相互关系及其真假判断……|自主练透型|……………|典题练全|1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0解析：选D x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0.故“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0”．2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若1x>1，则x >1”的逆否命题 解析：选B 对于A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故为假命题；对于B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x >1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B. 3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．4．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但1和3均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.判断命题真假的两种方法2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．…………考点二 充分条件、必要条件的判定……………|讲练互动型|…………|互动探究|【典例】 (1)(2018年北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018年天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12<12得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”；由x 3<1得x <1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇒/“⎪⎪⎪⎪x －12<12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.(3)由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．[答案](1)B(2)A(3)C『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.充分条件、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围是解决充分性问题；大范围推得小范围是解决必要性问题．(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．2．判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．|变式训练|1．(2019届河南郑州模拟)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.2．(2018届湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.………考点三 充分条件、必要条件的探求与应用…………|典例迁移型|…………|研透母题|【典例】 (1)命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”⇔“∀x ∈[1,3]，x 2≤a ”⇔9≤a .则a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件．[答案] (1)C (2)[0,3][迁移探究1] (变设问)本典例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？并说明理由．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．[迁移探究2] (变设问)本典例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[－2,10][1－m ,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[提醒]含有参数的问题，要注意分类讨论．|变式训练|1．(2019届广东江门一模)若a ，b 都是正整数，则a ＋b >ab 成立的充要条件是( )A ．a ＝b ＝1B ．a ，b 至少有一个为1C ．a ＝b ＝2D ．a >1且b >1解析：选B ∵a ＋b >ab ，∴(a －1)(b －1)<1.∵a ，b ∈N *，∴(a －1)(b －1)∈N ，∴(a －1)(b －1)＝0，∴a ＝1或b ＝1.故选B.2．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－22C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，∴k 2＋1≥9，即k 2≥8，∴k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.核心素养系列 逻辑推理——等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2 ≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10， 解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．[答案] [9，＋∞)．[点评] 充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．。

命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．一、基础知识A ．命题1．命题可以判断 真假 的陈述句，叫做命题．注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．2．假命题、真命题真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．（3）将命题函数()P x 变成命题命题函数()P x 变成命题的方法有两个．方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ．例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词． 再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>． 当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数():32P x x +>，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x 都有32x +>”或“有实数x 使32x +>” ．前者是假命题，后者是真命题．3．命题的形式若p ，则q ．其中p 叫做命题的条件（或题设），q 叫命题的结论．注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．B ．四种命题及其关系1．四种命题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若p ，则q ”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q ，则p ”． 否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若p ⌝，则q ⌝”． 逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若q ⌝，则p ⌝”．延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A ：垂直于弦”、“B ：过圆心”；结论也有两个：“C ：平分这条弦”、“D ：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A B C D ∧→∧，该命题的所有偏逆命题有：A CB D ∧→∧：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A DBC ∧→∧：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；B C A D ∧→∧：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B D AC ∧→∧：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．2．四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系．互逆命题、互否命题不等价．C．充分条件与必要条件记命题“若p，则q”为“q p→”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p q≠>．⇒”，为假时，则记作p q1．基本概念（1）若p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．（2）若p q<≠，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充⇒，且p q分条件．（3）若p q⇐，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条⇒，且p q件．（4）若p q<≠，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p ≠>，且p q的不充分不必要条件．注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．2．对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．事实上，式子p q⇒已经表明，条件p成立时，结论q一定成立，就是说，要使结论q成立，只要具备条件p 就足够了．必要条件：当条件q成立时，结论p不一定成立，但条件q不成立时，结论p一定不成立.依题意，条件为q、结论为p．一方面，虽然命题“p q→”却未必为真，因此，当条件q成立时，结论p不一→”为真，但其逆命题“q p定成立．另一方面，命题“p q⌝⇒⌝，据此可知，条件q不成立→”为真，从而其逆否命题“q p⌝→⌝”也真，即q p时，结论p一定不成立．（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则图①中，条件p 是结论q 的 条件． 充分不必要条件（,p q p q ⇒<≠） 图②中，条件p 是结论q 的 条件． 必要不充分条件（,p q p q ≠>⇐） 图③中，条件p 是结论q 的 条件． 充要条件（,p q p q ⇒⇐）图④中，条件p 是结论q 的 条件． 不充分不必要条件（,p q p q ≠><≠）（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即:{|()}p A x p x =，:{|()}q B x q x =． ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴p 是q 的充分条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的充分不必要条件． ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ≠⊂，则p 是q 的必要不充分条件． 事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴q 是p 的必要条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的必要不充分条件． ③若A B =，则p 与q 互为充要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B =，可得x B ∈，即p q ⇒，若有x B ∈，∵A B =，可得x A ∈，即q p ⇒，∴p 、q 互为充要条件．④若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊄，可得x B ∉，即p q ≠>，同理p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件．二、基本思想方法等价转化的思想示例 已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：由1|1|23x --≤得，{|210}A x x =-≤≤．由22210(0)x x m m -+-≤>得，{|11,0}B x m x m m =-≤≤+>． ∵q p ⇒，∴B A ⊆．结合数轴有12,110,0.m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤．①②③④点评与警示：本题利用等价转化思想，把p q⇒，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴⌝⇒⌝转化为q p列出不等关系．A．命题的判断、命题的真假判断例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集；命题；假命题．（2）三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题．（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行；命题；假命题．（4）3x<；开句，不是命题．（5）若x∈R，则2-+>；命题；真命题（∵二次三项式221x x210∆=-<，-+的判别式70x x在x∈R条件下，始终有2210-+>）．x x（6）若整数a是素数，则a是奇数；命题；假命题（∵2a=时，由条件推不出结论）．（72-．命题；假命题．点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．B．命题的形式例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．（1）周长相等的两个三角形面积相等；（2）偶数能被2整除；（3）奇函数的图象关于原点对称；（4）同弧所对的圆周角不相等；（5）菱形对角线互相平分；（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（7）负数的立方是负数；（8）对顶角相等．解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等．假命题．（2）若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分．真命题．（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．真命题.（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等．真命题．选填②C．四种命题的概念例 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）当2x =时，2320x x -+=；（2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．解：（1）原命题：若2x =，则2320x x -+=． 逆命题：若2320x x -+=，则2x =． 否命题：若2x ≠，则2320x x -+≠． 逆否命题：若2320x x -+≠，则2x ≠．（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等． 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角． 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．D ．四种命题之间的关系例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．（1）垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；（2）若0q <，则方程20x x q ++=有实根；（3）若220x y +=，则0x y ==；（4）菱形对角线垂直且相等．解：（1）原命题：若直线l 垂直于平面α内无数条直线，则直线l 垂直于平面α． 假命题.逆命题：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于平面α内无数条直线． 真命题.否命题：若直线l 不垂直于平面α内无数条直线，则直线l 不垂直于平面α． 真命题．逆否命题：若直线l 不垂直于平面α，则直线l 不垂直于平面α内无数条直线． 假命题．（2）逆命题： 若方程20x x q ++=有实根，则0q <． 假命题．否命题：若0q ≥，则方程20x x q ++=无实根． 假命题．逆否命题：若方程20x x q ++=无实根，则0q ≥． 假命题．（3）逆命题：若0x y ==，则220x y +=． 真命题．否命题：若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0． 真命题．逆否命题：若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠． 真命题．（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形． 假命题．否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等． 假命题．逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形． 假命题．E ．利用等价命题证明例 证明：若220x y +=，则0x y ==.分析：将“若220x y +=，则0x y ==”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”为真命题．证明：若,x y 中至少有一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，∴220x y +>，即220x y +≠.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．F ．充要条件的判定例 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？（1）:2p a b +=，:q 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切．（2）:||p x x =，2:0q x x +≥．（3）设,l m 均为直线，α为平面，其中l α⊄，m α⊂，://p l α，://q l m ．（4）设,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，:q αβ<，:tan tan q αβ<． （5）ABC △中，内角,A B 对边的长分别为,a b ，:p a b >， :sin sin q A B >． 解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件． G ．由充分条件、必要条件求参数取值范围 已知条件321:022n n p +-≤-，条件22:q x x a a +<-，且p ⌝是q ⌝的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1[2,]2--B ．1{,2}2C ．[1,2]-D ．1(2,][2,)2-+∞ 解：不等式321022n n +-≤-等价于3(21)(22)0,220,x x x +⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩即1228x ≤<，解得31x -≤<，∴条件p 对应的取值集合[3,2)M =-． 由22x x a a +<-，得()[(1)]0x a x a +--<．当1a a -<-，即12a >时，解集为(,1)a a --，这时条件q 对应的取值集合(,1)N a a =--；当1a a -=-，即12a =时，解集为∅，这时N =∅； 当1a a ->-，即12a <时，解集为(1,)N a a =--． ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，从而条件q 对应的取值集合N 是条件p 对应的取值集合M 的真子集． 当12a >时，(,1)N a a =--，由N M ，得3,11,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得122a <≤； 当12a =时，N =∅，显然有N M ； 当12a <时，(1,)N a a =--，由N M ，得31,1,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得112a -≤<． 综上，a 的取值范围是[1,2]-．答案：C ．H ．错解剖析写出命题“若a b =，c d =，则a c b d +=+”的否命题和逆否命题．否命题是： ．逆否命题是： ．错解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a 与b ，c 与d 都不相等，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a 与b ，c 与d 都不相等．错因分析：事件“a b =，c d =”的正确否定应为：①a 与b 、c 与d 不都相等；②a b ≠或c d ≠． 正解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a b =，c d =中至少有一个不成立，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b =，c d =中至少有一个不成立．M ．方法规律探究四种条件的判定方法.（1）定义推断法：分别去判断p q ⇒和q p ⇒是否成立，然后形成结论．（2）原、逆命题推断法：原真逆假⇔条件为：充分不必要； 原假逆真⇔条件为：必要不充分； 原真逆真⇔条件条件为：充要； 原假逆假⇔条件为：不充分不必要.（3）逆否命题判别法：判断命题p q ⌝→⌝的真假，改为判断其逆否命题q p →的真假．（4）集合推断法：具体内容见前面．（5）传递法：即123n p p p p ⇒⇒⇒⇒，得1n p p ⇒．一、选择题1．下列语句不是命题的有①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->．A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．答案：C ．2．若,M N 是两个集合，则下列命题中的真命题是A ．如果M N ⊆，那么M N M =B ．如果M N N =，那么M N ⊆C ．如果M N ⊆，那么M N M =D ．如果M N N =，那么N M ⊆ 答案：A ．3．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）． 答案：B ．二、判断题4．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也增加，真命题．5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.（1）矩形的对角线相等；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）实数的平方是非负数．解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．6.给出以下命题，判断p 是q 的什么条件？（1）:p A B =，:sin sin q A B =；（2）:2p x >且3y >，:5q x y +>；（3）:p 正方形，:q 菱形；（4）:p a b >，11:q a b<． 解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．二、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．（1）ac bc a b >⇒>；（2）当14m >-时，210mx x -+=无实根．解：（1）若ac bc >，则a b >． 否命题：若ac bc ≤，则ca b ≤． 逆否命题：若a b ≤，则ac bc ≤．（2）若14m >-，则方程210mx x -+=无实根． 否命题：若14m ≤-，则方程210mx x -+=有实根． 逆否命题：若方程210mx x -+=有实根，则14m ≤-． 8．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=． 真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤． 假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤． 假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数． 假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）． 答案：B ．9．写出下列命题“若0m ≤且0n ≤，则0m n +≤”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若0m n +≤，则0m ≤且0n ≤． 假命题．否命题：若0m >或0n >，则0m n +>． 假命题．逆否命题：若0m n +>，则0m >或0n >． 真命题．10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等． 分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．11．证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠．word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载分析：将“若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若1a b -=，则222430a b a b -+--=”为真命题．证明：若1a b -=，则1a b =+，∴2222243(1)2(1)432122430a b a b b b b b b b b -+--=+-++--=+++--=， 即222430a b a b -+--=．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，,a b ∈R ，若()()0f a f b +≥，求证：0a b +≥．分析：将“若()()0f a f b +≥，则0a b +≥”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若0a b +<，则()()0f a f b +<”为真命题．证明：“若0a b +<，a b <-.∵()f x 为R 上的增函数，∴()()f a f b <-，又知()f x 为奇函数，∴()()f a f b <-，即()()0f a f b +<．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．。