江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学2017届高三下期初四校联考理科数学试卷

2020届江苏省四校2017级高三下学期4月联考数学试卷★祝考试顺利★参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),ni i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____.8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____.9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点(0,2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ 分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分 2016.2参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ,则实数a 的值为 2.设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z 3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120,试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆.5.将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数 )(x f y =的图象,若函数)(x f y =的图象过原点,则=ϕ6.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为7.设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是8.在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数， 则=10a9.如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32， 侧面积为238cm ，则它的体积为10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为11.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是12.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+,||||AO AB =, 则=⋅CB CA 13.已知y x ,为正实数，则xyy x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出AB CDPABCDPCBDAE文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,,1,32==BD AD 求C cos 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中,BC AD //,且AD BC 2=,CD PB CD AD ⊥⊥,, 点E 在棱PD 上,且ED PE 2=. （1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ; （2）求证://PB 平面AEC .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ,且点)1,2(P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程;（2）若点B A ,都在椭圆C 上,且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率; ②求AOB ∆面积的最大值.18．（本小题满分16分）如图,B A ,是海岸线OM,ON 的两个码头,Q 为海中一小岛,在水上旅游线AB 上, 测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2,km 5107.（1）求水上旅游线AB 的长;（2）海中km PQ P 6(=,且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ,生成t 小时时的半径为km t r 23 66=.若与此同时,一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ,试研究强水波是否波及游轮的航行?19. （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e . （1）求实数b a ,的值;（2）求证:函数)(x f y =存在极小值;（3）若),21[+∞∈∃x ,使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ,满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列, k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列. （1）若8,21===k d a ,求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ; （2）若2016,21<==m d a ,求m 的最大值;OMN PBAQ（3）是否存在正整数k ,满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ,过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E . （1）求证：BCD ACE ∠=∠; （2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A的逆矩阵1-A .C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线C 为θθρsin 2cos 4+=.曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ,求y x -的取值范围.D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x . （1）求实数b a ,的值;（2）求bt at ++12的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动:消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4 抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

2016年南师附中、天一、淮阴、海门中学调研测试数学I必做题部分注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：棱锥的体积公式：Sh V 31=，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．设集合{0,1,2}A =，2{2,3}B a a =++，{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 2．设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统 计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ▲ 辆．5．将函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到函数()y f x =的图象，若函数()f x 的图像过原点，则ϕ= ▲ ．km/h ）6．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为 ▲ ． 7．设偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足(21)(1)f x f -≤的x 的取值范围是 ▲ ．8．在等比数列{}n a 中，已知2532a a ⋅=-，344a a +=，且公比为整数，则10a = ▲ ．9．如图，正四棱锥P ABCD -的底面一边AB长为，侧面积为2，则它的体积为 ▲ ．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的离心率的取值范围为 ▲ ．11．若函数31(),2,()(02log ,2x a x f x a x x -⎧≤⎪=>⎨⎪>⎩且1)a ≠的值域是[2,)+∞，则实 数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且2A B A C A O +=，AB AO =，则C A C B ⋅= ▲ ．13．已知x 、y 为正实数,则22x yx y x++的最小值为 ▲ ． 14．设2(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，其中a 、b 是整数，则a b +的取值的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +=-． （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D，AD =1BD =，求cos C 的值．A B C D16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，且2BC AD =，AD CD ⊥，PB CD ⊥，点E在棱PD 上，且2PE ED =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PBC ； （2）求证：//PB 平面AEC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，且点(2,1)P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上．测 得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)P Q O M ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为32r km =．若与此同时，一瘦游轮以/小时的速度自码头A 开往码头B ， 试研究强水波是否波及游轮的航行？19．（本小题满分16分）设,a b R ∈函数()ln x f x e a x a =--，其中e 是自然对数的底数，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程为(1)0e x y b --+=． （1）求实数a 、b 的值；（2）求证：函数()f x 存在极小值；（3）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x--≤成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）正项数列：12,,(4,)m a a a m m N *≥∈，满足：1231,,,,,k k a a a a a -(,)k m k N *<∈是公差为d 的等差数列，111,,,,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． （1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,21的所有项的和m S ； （2）若12,2016a d m ==<，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上的弧AC BD =，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ． （1）求证：ACE BCD ∠=∠； （2）求证：2BD AE CD =⋅．B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵121a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值3λ=所对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆 矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+.曲线C 上的任意一点的直角坐标为(,)x y ,求x y -的取值范围．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）己知关于x 的不等式x a b +<的解集为}{24x x <<． （1）求实数,a b 的值；（222．（本小题满分10分）能抽取一个，且不放回抽取）．若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元； 若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元，求ξ的分布列和()E ξ的值． 23．（本小题满分10分）设函数11()ln(2)22f x x =+，数列{}n a 满足：11a =，*1()()n n a f a n N +=∈．（1）求证：12x >时，()f x x <；（2）求证：*11()2n a n N <≤∈；（3）求证：*1113()()8ni i i i a a a n N ++=-⋅<∈∑．数学I 参考答案1. 1-；2. 3455i +；3. 5；4. 1700；5. 34π；6. 16；7. [0,1] 8. 512；9. 4；10. (1,2)；11. ；12. 12；13.32；14. {2,8}- 15.解：（1）222a c b ac +=-2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=- ………2分(0,)B π∈23B π∴= ………4分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD =∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠=== ………6分 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= ………8分sin BAC ∴∠== ………10分cos cos(60)cos60cos sin 60sin C BAC BAC BAC ∴=︒-∠=︒∠+︒∠1728=⨯+=即cos C………14分 16．证明：（1）,AD CD ⊥AD ∥,BCCD BC ∴⊥ ………2分 又PB CD ⊥ PB BC B =PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBCCD ∴⊥平面PBC ………6分 （2）连接BD 交AC 于O ,连OEAD ∥,BC ADO ∴∆∽BOD ∆ ………8分 ::1:2DO OB AD BC ∴== ………10分 又2PE ED =OE ∴∥PB ………12分 OE ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC∴//PB 平面AEC ………14分17.解：（1）由题意得：22222411c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩………2分a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y += ………4分 （2）①法一、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k 则2211222212122222163063163x y x x y y x y ⎧+=⎪--⎪∴+=⎨⎪+=⎪⎩ 0022063x yk ∴+⋅= ………6分又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =所以1k =- ………8分法二、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为00()y y k x x -=-，则00222220000()(12)4()2()60163y y k x x k x k y kx x y kx x y -=-⎧⎪∴++-+--=⎨+=⎪⎩ 由题意，0∆>所以001224()12k y kx x x k -+=-+ ………6分00022()12k y kx x k -∴=-+又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =所以212()21112k k k k --=∴=-+ ………8分 法三、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+ 则22222(12)4260163y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪∴+++-=⎨+=⎪⎩ 由题意，0∆>所以122412kmx x k +=-+ ………6分 02212kmx k∴=-+()i 又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =()iiM 在直线AB 上∴00y kx m =+()iii解()i ()ii ()iii 得：1k =- ………8分 ②设直线AB 的方程为y x m =-+，(0,3)m ∈则222234260163y x m x mx m x y =-+⎧⎪∴-+-=⎨+=⎪⎩ 所以12212043263m x x m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩………10分所以12|AB x x =-原点到直线的距离d = ………12分2OAB S ∆∴==当且仅当(0,3)m 时，等号成立.所以AOB ∆………14分18.解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，00(,2)(0)Q x x >， ………2分M=，及00x >得04x =，(4,2)Q ∴ ………4分 ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=， ………6分由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即(3,9)B -，AB ∴=AB 的长为． ………8分 （2）设试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t ≤≤，(618,18)C t t ∴-， ………10分令22()h t r PC =-，则(4,8)P ，r =222()[(218)(188)]h t t t ∴=--+- 3218(123620)68t t t =-+-，102t ≤≤， ………12分 2()18(12336220)h t t t '∴=⨯-⨯+ 272(9185)t t =-+ 72(31)(35)t t =--，102t ≤≤， ………14分 由()0h t '=得1t =或5t =（舍去）∴3322max [()]()6()[(26)(68)]12033h t h ==⨯--+-=-<，102t ∴≤≤时，()0h t <，即r PC <恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行． ………16分19．解：（1）()x af x e x'=-，(1)f e a '∴=-，由题设得：1,(1)()0,e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩1,0.a b =⎧∴⎨=⎩ ………2分（2）由（1）得()ln 1x f x e x =--，1()(0)x f x e x x'∴=->，21(())0x f x e x''∴=+>，∴函数()f x '在(0,)+∞是增函数， ………4分1()202f '<，(1)10f e '=->，且函数()f x '图像在(0,)+∞上不间断， ∴01(,1)2x ∃∈，使得0()0f x '=， ………6分结合函数()f x '在(0,)+∞是增函数有：08分（3）1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立⇔1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*） ………10分令()ln x h x e x x =-，1[,)2x ∈+∞，则()ln 1()x h x e x f x '=--=，∴结合（2）得：0min 00[()]()ln 1x h x f x e x '==--， ………12分其中01(,1)2x ∈，满足0()0f x '=，即0010x e x -=，001x e x ∴=，00ln x x =-，0min 0001[()]ln 11110x h x e x x x '∴=--=+->=>， 1[,)2x ∴∈+∞，()0h x '>，()h x ∴在1[,)2+∞内单调递增， ………14分1122min 1111[()]()ln ln 22222h x h e e ∴==-=+，结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121[ln 2,)2e ++∞． ………16分20.解：（1）由已知*∈<N k m k ,,n a n 2=，168==a a k ，故),(,,,,,1321*-∈<N k m k a a a a a k k 为：2，4,6,8,10,12,14,16；k k m m a a a a a ,,,,,111+- 公比为2.则对应的数为2,4,8,16从而m a a a ,,21即为: 2，4,6,8,10,12,14,16,8,4； ………2分 此时84482)162(8,10=+++==m S m ………4分（2）),(,,,,,1321*-∈<N k m k a a a a a k k 是首项为2，公差为2的等差数列故*∈<N k m k ,，n a n 2=，从而k a k 2=而k k m m a a a a a ,,,,,111+- 首项为2，公比为2的等比数列且22+-=k m k a 故有222+-=k m k ；即 12+-=k m k 即k 必是2的整数幂 ………6分又122+=⋅m kk ，要m 最大，k 必需最大，2016<<m k ，故k 的最大值为102………8分所以1103410241021022222210+==⋅=⋅m ，即m 的最大值为1033 ………10分(1) 由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅， 11(1)(21)m k k d a +--=-， ………12分 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =，则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-， 则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， ………14分 显然6k ≠，则112182166m kk k k+-+==-+--，所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知，当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ………16分数学II （附加题）参考答案21.A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分） 证明：（1）弧AC BD =，ABC BCD ∴∠=∠，……2分CE 是圆的以C 为切点的切线，ACE ABC ∴∠=∠，ACE BCD ∴∠=∠． ………4分（2）ACE BCD ∠=∠，CAE BDC ∠=∠， ACE ∴∆∽DCB ∆， ………6分 AC AECD BD∴=， ………8分 弧AC BD =，AC BD ∴=，BD AECD BD∴=， 2BD AE CD ∴=⋅． ………10分B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意：11Ae e λ=11132111a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 13a ⇒+=2a ⇒= ………5分1221A ⎡⎤⇒=⎢⎥⎣⎦ ∴||30A =-≠11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--∴==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦………10分 C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+∴曲线C 的直角坐标方程为22420x y x y +--= ………4分即22(2)(1)5x y -+-=所以曲线C 是以(2,1)故设2,1x y αα== ………6分则11)4x y πααα-=+=+………8分∴x y -的取值范围是[1 ………10分D ．解：（1）x a b a b x a b +<⇔--<<-+， ………2分 2,4,a b a b --=⎧∴⎨-+=⎩3,1.a b =-⎧∴⎨=⎩………4分（2）由（1），结合柯西不等式有：1，≤4………8分=，即1t =时取“=” 1t ∴=4，4． ………10分22．（本小题满分10分） 解：（1）2000X =，∴该顾客有4次抽奖机会，得奖金70元，则有两种情形：抽得3红球，1黑球；抽得1红球，3白球．∴该顾客获得奖金70元的概率3113424349221C C C C P C +==． ………4分 （2）1200X =，∴该顾客有2次抽奖机会，ξ∴的值可能为20，30，40，50，60，80，24291(20)6C P C ξ===，1143291(30)3C C P C ξ===，23291(40)12C P C ξ===，1142292(50)9C C P C ξ===，113221(60)6C C P C ξ===，2221(80)36C P C ξ===，………8分111211()2030405060804063129636E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………10分23．（本小题满分10分） 解：（1）令x x x x f x F -+=-=21)2ln(21)()(，则x x x F 221)('-=，又21>x ，可得0)('<x F . 即)(x F 在),21(+∞为减函数.故0)21()(=<F x F即x x f x <>)(,21………2分(2) 1) 当1n =时1111,12a a =<≤成立.2)假设*()n k k N =∈时,121≤<k a当1+=k n *()k N ∈时,21)2ln(21)(1+==+k k k a a f a根据归纳假设 121≤<k a ,由（1）得：21)12ln(2121)2ln(2121)212ln(21+⨯≤+<+⨯k a 即:1211≤<+k a 即1+=k n 时命题成立。

,.江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017届高三（下）数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A）∩B= ．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z=的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1=4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1，不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m=0（m＞0）与圆x2+y2=8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y=x2﹣ln x上的动点，Q是直线y=x ﹣1上的动点，则PQ的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则= ．14．（5分）在△ABC中，若+=3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=，f（A）=2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE；（2）求证：AB1⊥平面A1BE．,.17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2=b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA=a km，OB=b km试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）=a x+x2﹣x ln a﹣a（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．,.20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1=4，a2=8，a n+a n﹣1=8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n=a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP=∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．三、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD 与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．,.26．（10分）设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．,.【参考答案】一、填空题1．{2，6}【解析】因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，所以∁I A={2，4，6}，又B={2，3，6}，则（∁I A）∩B={2，6}，故答案是：{2，6}．2．【解析】1+=，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．6【解析】模拟程序的运行，可得n=1，执行循环体，n=2不满足条件42＞2017，执行循环体，n=3不满足条件43＞2017，执行循环体，n=4不满足条件44＞2017，执行循环体，n=5不满足条件45＞2017，执行循环体，n=6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10=0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66=660．故答案为：660．5．【解析】双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），可得a=2b，即：a2=4b2=4c2﹣4a2，e＞1，解得e=．故答案为：；6．【解析】从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．3【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由z=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z==3，故答案为：3．8．6【解析】正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．则2a3q2=a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1=0，q＞1，解得q=．若存在两项a n、a m，使得a1=4，∴a1=4，∴n+m=6．故答案为：6．9．【解析】如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，,.可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（﹣1，3）【解析】根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．2【解析】根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D 点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB=120°，由余弦定理知：AB=2，故BD=，所以OD=，所以O（0，0）到直线AB的距离=，解得m=±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．【解析】函数的定义域为（0，+∞），由y=x2﹣ln x的导数为y′=x﹣，令x﹣=，可得x=2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y=x﹣1即3x﹣4y﹣4=0的距离d==．即点P到直线y=x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．﹣【解析】由题意可得=（+）•（+）=+•+ +=9+•（+）+0=9+=9+3•6•cos（π﹣∠PAC）=9﹣18•=9﹣18•=﹣，故答案为：．14．【解析】在△ABC中，+=3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2=3bc cos A．又根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A=3bc cos A．∴．当且仅当b=c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题,. 15．解：（1）f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2≤2．当=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（2）f（A）=2，∴2sin=2，解得A=kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A=．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴12=+c2﹣2c，化为：c+1=0，解得c=．由正弦定理可得：，可得sin C==×=．∴C=15°，75°，或105°．16．解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E 是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC=OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．17．解：（1），椭圆方程为：（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）AB长：=∴∴∴m==，直线l为18．解：（1）在△AOB中，OA=a km，OB=b km，；由余弦定理得：=a2+b2﹣ab；所以；如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，,.则，所以直线AB的方程为，即；因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT=3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；所以，AB=3（tanα+）=；设，u∈（1，4），则，当且仅当u=2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．19．解：（1）当a=e时，f（x）=e x+x2﹣x﹣e，f'（x）=e x+2x﹣1．设g（x）=e x+2x﹣1，则g（0）=0，且g'（x）=e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，当x＞0时，g（x）＞g（0）=0；当x＜0时，g（x）＜g（0）=0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．（2）f'（x）=a x ln a+2x﹣ln a=（a x﹣1）ln a+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，ln a＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，ln a＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，ln a＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，ln a＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．所以f（x）min=f（0）=1﹣a，（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min=1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min=1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min=1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）=a a+a2﹣a ln a﹣a＞a2﹣a ln a﹣a=a（a﹣ln a﹣1）．令t（a）=a﹣ln a﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．20．（1）证明：由题意，a n+1+a n=8n+4 ①，a n+a n﹣1=8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1=8所以a2n=8n，a2n﹣1=8n﹣4，因此a n=4n，从而a n﹣a n﹣1=4＞3 所以，数列{a n}是“S型数列”（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1=4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）=a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）=（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n=a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，,.所以a1（q﹣1）=4从而a1=4，q=2或a1=2，q=3或a1=1，q=5∴a n=2n+1或或（3）可取a n=（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1=2n+1＞321．证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以，又，所以∠ACB=∠DOB，又因为∠BOP=180°﹣∠DOP，∠QCP=180°﹣∠ACB，所以∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP=∠CQP．22．解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，得：=，∴3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，得：，∴a+b=5，解得，即A=．∵→→→→．∴A的逆矩阵A﹣1=．23．解：圆C：p=2cos（）即x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．直线l：ρsin（）=，即ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即x+y﹣2=0，圆心到直线的距离等于=，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．24．证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：三、解答题25．解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°．又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，由已知得得E（，，0），D（0，，0）=（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos=．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；,.∴a3﹣a2=2，或a3﹣a2=1；当a3﹣a2=2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2=1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2=2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2=1时，a1共有个；∴集合A的个数为：==（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。

2017-2018学年江苏省淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中四校联考高考化学模拟试卷一、单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分．每小题只有一个选项符合题意．1．建设“碧水蓝天”的生态城市，下列措施中不合理的是（）A．将汽油标准由“国IV”提到“国V”，以降低汽车尾气污染B．积极推广太阳能、风能等新能源的使用，减少化石燃料的使用C．加强城市生活污水脱氮除磷处理，遏制水体富营养化D．加高烟囱，减少烟尘对周围环境的影响2．下列有关化学用语表示不正确的是（）A．丙烯醛的结构简式：CH2═CHCHOB．CSO的电子式：C．硫酸氢钠熔融时的电离方程式：NaHSO4═Na++HSO4﹣D．S2﹣的结构示意图：3．LiAlH4在125℃分解为LiH、H2和Al．下列说法中不正确的是（）A．乙醛在LiAlH4的作用下生成乙醇，LiAlH4作还原剂B．LiH中两种微粒半径：H﹣＞Li+C．1mol LiAlH4在125℃完全分解，则转移4mol电子D．LiH溶于水的化学反应方程式：LiH+H2O═LiOH+H2↑4．下列说法正确的是（）A．化学变化一定会产生新的核素B．明矾净水过程涉及化学变化C．催化剂能改变化学反应的活化能和焓变D．在实验室里用铁屑、氧化铜、稀硫酸为原料制备铜，有下列两种途径：途径a：Fe H2Cu途径b：CuO CuSO4Cu实际操作中，制得等质量的铜时，途径a和途径b消耗Fe的质量一定相等5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X的质子数与电子层数相同，Y、Z 同周期且相邻，Z的最外层电子数是其内层电子数的3倍，元素W在地壳中的含量仅次于氧．下列说法正确的是（）A．原子最外层电子数由多到少的顺序：Z＞Y＞W＞XB．X、Y、Z三种元素形成的化合物中只有共价键C．简单气态氢化物的热稳定性：Y＞ZD．最高价氧化物对应水化物的酸性：W＞Y6．室温下，下列离子组在指定溶液中一定能大量共存的是（）A．加入铝屑有氢气放出的溶液中：Na+、Fe2+、NO3﹣、SO42﹣B．常温下pH=12的溶液中：K+、Na+、CO32﹣、AlO2﹣C．在葡萄糖（C6H12O6）溶液中：SO42﹣、MnO4﹣、K+、H+D．常温下=10﹣14的溶液中：Al3+、NH4+、Cl﹣、HCO3﹣7．下列实验操作正确的是（）A．用pH试纸测定浓硫酸的pHB．向碘酒中加入CCl4，静置后分液，可以分离碘酒中的碘C．用甲图装置验证FeCl3对H2O2分解反应有催化作用D．用乙图装置验证NaHCO3和Na2CO3的热稳定性8．下列物质转化在给定条件下能实现的是（）A．Al2O3NaAlO2（aq）Al（OH）3B．S SO3H2SO4C．Fe2O3FeCl3（aq）无水FeCl3D．NH3NO2HNO39．一种碳纳米管能够吸附氢气，可作二次电池（如图所示）的碳电极．该电池的电解质溶液为6mol•L﹣1的KOH溶液，下列说法正确的是（）A．充电时阴极发生氧化反应B．充电时将碳电极与电源的正极相连C．放电时碳电极反应为H2﹣2e﹣═2H+D．放电时镍电极反应为NiO（OH）+H2O+e﹣═Ni（OH）2+OH﹣10．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是（）A．氢氧化铁胶体中加入HI溶液：Fe（OH）3+3H+═Fe3++2H2OB．用氨水溶解氢氧化铜沉淀：Cu2++4NH3•H2O═[Cu（NH3）4]2++4H2OC．用稀硝酸除去试管内壁银：3Ag+4H++NO3﹣═3Ag++NO↑+2H2OD．向NaOH溶液中通入过量的CO2：CO2+2OH﹣═CO32﹣+H2O二、不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分．每小题只有一个或两个选项符合题意．若正确答案只包括一个选项，多选时该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得0分．11．下列有关说法正确的是（）A．25℃时，pH=4.5的硫酸溶液中c（H+）是pH=5.5的磷酸中c（H+）的10倍B．因为合金在潮湿的空气中易形成原电池，所以合金的耐腐蚀性都较差C．一定条件下，使用催化剂能加快反应速率并提高反应物的平衡转化率D．常温下，2NO（g）+O2（g）⇌2NO2（g）能够自发进行，则该反应的△H＜012．某化合物丙是药物中间体，其合成路线如下：下列有关叙述不正确的是（）A．甲和丙均能使酸性高锰酸钾褪色B．核磁共振氢谱可以区分乙和丙C．乙与足量H2加成所得的产物分子中有2个手性碳原子D．1mol甲在一定条件下最多与4 mol氢气发生加成反应13．下列实验设计能够成功的是（）A．检验亚硫酸钠试样是否变质：试样白色沉淀沉淀不溶解→说明试样已变质B．检验某溶液中是否含有Fe2+：试样溶液颜色无变化溶液变红色→溶液中含有Fe2+C．除去粗盐中含有的硫酸钙杂质：粗盐精盐D．证明酸性条件H2O2的氧化性比I2强：NaI溶液溶液变紫色→氧化性：H2O2＞I214．下列电解质溶液中，微粒的物质的量浓度关系一定正确的是（）A．在0.1 mol•L﹣1NaHCO3溶液中：c（Na+）＞c（HCO3﹣）＞c（CO32﹣）＞c（H2CO3）B．在0.1 mol•L﹣1NaClO溶液中：c（OH﹣）=c（H+）+c（HClO）C．25℃时，0.1 mol•L﹣1CH3COOH溶液中滴入NaOH溶液，使溶液pH=7时：c（CH3COO ﹣）=c（Na+）＞c（H+）=c（OH﹣）D．已知酸性：HCOOH＞CH3COOH，浓度均为0.1 mol•L﹣1的HCOOK与CH3COONa溶液中：c（K+）﹣c（HCOO﹣）＞c（Na+）﹣c（CH3COO﹣）15．向甲、乙两个容积均为1L的恒温恒容的密闭容器中，分别充入一定量的SO2和O2（其中，甲充入2mol SO2、1mol O2，乙充入1mol SO2、0.5mol O2），发生反应：2SO2（g）+O2（g）⇌2SO3（g）△H=﹣197.74kJ•mol﹣1．一段时间后达到平衡，测得两容器中c（SO2）（mol•L ﹣1）随时间t（min）的变化关系如图所示．下列说法正确的是（）A．放出的热量Q：Q（甲）＞2Q（乙）B．体系总压强p：p（甲）＞2p（乙）C．乙中前5 min内的反应速率v（O2）=0.05mol•L﹣1•min﹣1D．保持其他条件不变，若起始时向乙中充入0.4 mol SO2、0.2 mol O2、0.4 mol SO3，则此时v（正）＞v（逆）三、非选择题共80分）16．工业尾气中含有的SO2对环境有害，采取合理的方法可以将其转化为硫化钙、硫酸钾等有用的物质，其一种转化路线如图所示：（1）通入空气的目的是；得到的固体产物A是（写化学式）．（2）反应Ⅰ的化学方程式为，该反应需在60℃～70℃下进行，温度不能高于70℃的原因是．（3）固体A与焦炭一起焙烧生成CaS和CO，该反应的化学方程式．（4）滤液B中除H+、OH﹣、K+、SO42﹣外，还含有的离子有．17．吉米沙星被认为是抗菌作用最强的喹诺酮类药物，其母核H的合成路线如下：已知：CH3COOH CH3COCl，回答下列问题：（1）吉米沙星喹诺酮母核H中的含氧官能团为和（填名称）．（2）化合物B的结构简式为：．由C→D的反应类型是．（3）写出满足下列条件的C8H6FCl2NO2的一种同分异构体的结构简式：．Ⅰ．是一种α﹣氨基酸．Ⅱ．分子中有4种不同化学环境的氢，且分子中含有一个苯环．（4）根据已有知识并结合相关信息，写出以苯甲醇和ClMgCH（COOC2H5）2为原料制备的合成路线流程图（无机试剂任用）．合成路线流程图示例如下：CH3CH2Br CH3CH2OH CH3COOCH2CH3．18．金属铬污染环境，其主要来源于冶金、水泥等工业产生的废水，煤和石油燃烧的废气中也含有颗粒状的铬．请完成下列问题：（1）工业废水中铬常以Cr2O72﹣形式存在，Cr2O72﹣主要由CrO42﹣酸化而来．常温下，某溶液CrO42﹣加酸后，有90%转化为Cr2O72﹣，所得溶液中铬元素含量为26g/L．此时2CrO42﹣+2H+⇌Cr2O72﹣+H2O转化平衡常数K=9×1013，则平衡时所得溶液的pH=．（2）工业含铬废水中铬常以Cr2O72﹣形式存在，可按下列流程来除去废水中的铬．①写出还原池中发生反应的离子方程式：．已知：Ksp（Cr（OH）3）=6.3×10﹣31，处理池中加入石灰水调节溶液保持pH=8，则处理后的废水中的c（Cr3+）=．（3）在稀硫酸中甲醇被Cr2O72﹣氧化成CO2和H2O，化学方程式为：．现有0.12g工业甲醇，在稀硫酸中与25.0mL 0.2mol/L K2Cr2O7溶液反应，多余的K2Cr2O7恰好与9.6mL 1.0mol/LFeSO4溶液完全反应，求工业甲醇的质量分数．19．某实验室以MnO2为原料制备少量高纯MnCO3的操作步骤如下：（1）制备MnSO4溶液：在三颈烧瓶中（装置如图，所需的夹持和加热装置已省略）加入一定量MnO2和水，搅拌，通入N2和SO2混合气体，持续反应一段时间．停止通入SO2后仍继续反应片刻，过滤．（已知MnO2+H2SO3═MnSO4+H2O△H＜0）①装置A中在加热的条件下发生反应的化学方程式：．②反应过程中，为使SO2尽可能转化完全，在通入SO2和N2比例一定、不改变固液投料的条件下，除了及时搅拌反应物外，还可采取的合理措施有（任写一条）：．若SO2在装置C中吸收率很低，则装置D中可能出现的实验现象是．（2）制备高纯MnCO3固体：已知MnCO3难溶于水、乙醇，潮湿时易被空气氧化，100℃开始分解；Mn（OH）2开始沉淀时pH=7.7．制备过程如下：①写出生成沉淀的离子方程式：．②“洗涤”操作包括先用蒸馏水洗涤沉淀，再用无水乙醇来洗涤沉．使用无水乙醇洗涤沉淀的主要目的是．③若选用饱和Na2CO3溶液（pH约为12）和MnSO4溶液作为反应原料制备MnCO3沉淀，选用的加料方式最合理的是（填字母）．a．将MnSO4溶液与Na2CO3溶液同时加入到反应容器中b．将MnSO4溶液缓慢加入到盛有Na2CO3溶液的反应容器中c．将Na2CO3溶液缓慢加入到盛有MnSO4溶液的反应容器中．20．查阅资料发现：利用软锰矿（主要成分为MnO2和一些性质稳定的不溶性杂质）可制取KMnO4晶体，其反应原理：2MnO2+4KOH+O22K2MnO4+2H2O3MnO42﹣+4H+═2MnO4﹣+MnO2+2H2O实验室用软锰矿制备KMnO4晶体的实验步骤：将软锰矿与固体KOH在高温下通入O2共熔，充分反应；（实验中供选用的其它药品：硫酸溶液、盐酸溶液、蒸馏水）21．高炉炼铁是冶炼铁的主要方法，发生的主要反应为Fe2O3（s）+3CO（g）⇌2Fe（s）+3CO2（g）△H（1）已知：Fe2O3（s）+3C（石墨，s）═2Fe（s）+3CO（g）△H1C（石墨，s）+CO2（g）═2CO（g）△H2则△H=（用含△H1、△H2代数式表示）（2）在T℃时，该反应的平衡常数K=64，在2L恒容密闭容器甲和乙中，分别按下表所示的平衡转化率为．②下列说法正确的是（填字母）．A．若容器压强恒定，反应达到平衡状态B．若容器内气体密度恒定，反应达到平衡状态C．甲容器中CO的平衡转化率大于乙的D．增加Fe2O3就能提高CO的转化率．22．利用空气催化氧化法制取联氨，其有关物质的转化如图所示（R1、R2代表烃基）．①在图示的转化中，化合价不变的一种元素是．②反应中当有1mol NH3转化为N2H4时，保持溶液中酮的物质的量不变，需要消耗O2的物质的量为．③在温度一定和不补加溶液的条件下，缓慢通入NH3、O2混合气体，并充分搅拌．欲使生成的N2H4中不含NH3，可采取的措施有．23．采用一种新型的催化剂（主要成分是Cu﹣Mn的合金），利用CO和H2制备二甲醚（DME）．观察上右图回答问题：催化剂中约为时最有利于二甲醚的合成．24．NH3在工农业生产中具有重要的作用，可以用来生产尿素等化学肥料，也可以用来制备一些配位化合物．（1）合成氨是人类科学技术上的一项重大突破，工业合成氨生产中常用铁触媒作催化剂．请写出Fe元素的基态原子的价电子排布式：．（2）CO2+2NH3CO（NH2）2+H2O，则CO（NH2）2分子中C原子的杂化方式为．其中C、N、O三种元素的第一电离能由小到大的顺序为．1mol CO（NH2）2中含有σ键的数目为．（3）向硫酸铜溶液中加入过量氨水，然后加入适量乙醇，溶液中会析出深蓝色的[Cu（NH3）4]SO4•H2O晶体，与该物质中的配体互为等电子体的阴离子的化学式为．（4）铁和氨气在640℃可发生置换反应，产物之一的晶胞结构如图，写出该反应的化学方程式．2016年江苏省淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中四校联考高考化学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分．每小题只有一个选项符合题意．1．建设“碧水蓝天”的生态城市，下列措施中不合理的是（）A．将汽油标准由“国IV”提到“国V”，以降低汽车尾气污染B．积极推广太阳能、风能等新能源的使用，减少化石燃料的使用C．加强城市生活污水脱氮除磷处理，遏制水体富营养化D．加高烟囱，减少烟尘对周围环境的影响【考点】常见的生活环境的污染及治理．【分析】A．汽车尾气中含有大量有毒气体，能够引起空气污染；B．化石燃料的使用能够产生大量有毒气体、粉尘等空气污染物；C．加强城市生活污水脱氮除磷处理，可防止水体富营养化，以免造成水化、赤潮等污染D．将化工厂排放废气的烟囱加高，并未消除对环境的污染．【解答】解：A．将汽油标准由“国IV”提到“国V”，以降低汽车尾气污染，能够减少有毒气体的排放，有利于环境保护，减少空气污染，故A正确；B．积极推广太阳能、风能等新能源的使用，减少化石燃料的使用，能够减少有毒气体、粉尘等空气污染物的排放，有利于保护环境，减少空气污染，故B正确；C．加强城市生活污水脱氮除磷处理，可防止水体富营养化，以免造成水化、赤潮等污染，有利于建设“碧水蓝天”的生态城市，故C正确；D．将化工厂排放废气的烟囱加高，并未消除对环境的污染，不利于改善生活环境，故D错误；故选：D．2．下列有关化学用语表示不正确的是（）A．丙烯醛的结构简式：CH2═CHCHOB．CSO的电子式：C．硫酸氢钠熔融时的电离方程式：NaHSO4═Na++HSO4﹣D．S2﹣的结构示意图：【考点】电子式、化学式或化学符号及名称的综合．【分析】A．丙烯醛可以看作醛基取代了乙烯分子中1个H原子形成的；B．CSO的结构与二氧化碳相似，分子中含有两个双键；C．熔融状态下硫酸氢钠电离出钠离子和硫酸氢根离子；D．硫离子的核电荷数为16，不是18．【解答】解：A．丙烯醛分子中含有1个碳碳双键和1个醛基，其结构简式为CH2═CHCHO，故A正确；B．CSO为共价化合物，分子中含有1个S=C双键和1个C=O双键，其电子式为，故B正确；C．硫酸氢钠为离子化合物，熔融时电离出钠离子和硫酸氢根离子，其电离方程式为：NaHSO4═Na++HSO4﹣，故C正确；D．S2﹣的质子数为16，核外电子数为18，各层电子数分别为2、8、8，硫离子结构示意图为，故D错误；故选D．3．LiAlH4在125℃分解为LiH、H2和Al．下列说法中不正确的是（）A．乙醛在LiAlH4的作用下生成乙醇，LiAlH4作还原剂B．LiH中两种微粒半径：H﹣＞Li+C．1mol LiAlH4在125℃完全分解，则转移4mol电子D．LiH溶于水的化学反应方程式：LiH+H2O═LiOH+H2↑【考点】氧化还原反应．【分析】A．乙醛变化为乙醇的过程是加氢反应，是乙醛被还原发生还原反应；B．电子层结构相同核电荷数越小半径越大；C．依据LiAlH4在125℃分解为LiH、H2和Al的化学方程式计算；D．LiH溶于水发生归中反应生成氢气．【解答】解：A．乙醛变成乙醇得到氢，在有机中得氢去氧是还原，所以氧化剂是乙醛，LiAlH4是还原剂，故A正确；B．电子层结构相同核电荷数越小半径越大，所以微粒半径：H﹣＞Li+，故B正确；C．LiAlH4中的Li、Al都是主族金属元素，H是非金属元素，故Li为+1价、Al为+3价、H为﹣1价，受热分解时，根据Al元素的价态变化即可得出1 mol LiAlH4在125℃时完全分解，转移3 mol电子，故C错误；D．LiH溶于水发生归中反应生成氢气，所以反应的化学方程式为：LiH+H2O═LiOH+H2↑，故D正确；故选C．4．下列说法正确的是（）A．化学变化一定会产生新的核素B．明矾净水过程涉及化学变化C．催化剂能改变化学反应的活化能和焓变D．在实验室里用铁屑、氧化铜、稀硫酸为原料制备铜，有下列两种途径：途径a：Fe H2Cu途径b：CuO CuSO4Cu实际操作中，制得等质量的铜时，途径a和途径b消耗Fe的质量一定相等【考点】物质的组成、结构和性质的关系．【分析】A．化学反应只是核外电子数目（多数情况下是最外层电子）的变化；B．明矾净水是因为明矾电离生成的铝离子水解生成新物质氢氧化铝胶体具有吸附性；C．加入催化剂不会改变化学反应的焓变；D．两种方法制得的铜质量相等，由质量守恒可知消耗的氧化铜质量相等，因生成的氢气不能全部反应，则消耗的铁、硫酸的质量不同．【解答】解：A．化学变化不会改变原子的质子和中子数目，不会产生新的核素，故A错误；B．明矾净水过程有新物质氢氧化铝胶体生成，属于化学变化，故B正确；C．催化剂能改变化学反应的活化能从而改变反应速率，但是不会改变反应的焓变，故C错误；D．两种方法制得的铜质量相等，由质量守恒可知消耗的氧化铜质量相等，因生成的氢气不能全部反应，则消耗的铁、硫酸的质量不同，故D错误；故选：B．5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X的质子数与电子层数相同，Y、Z 同周期且相邻，Z的最外层电子数是其内层电子数的3倍，元素W在地壳中的含量仅次于氧．下列说法正确的是（）A．原子最外层电子数由多到少的顺序：Z＞Y＞W＞XB．X、Y、Z三种元素形成的化合物中只有共价键C．简单气态氢化物的热稳定性：Y＞ZD．最高价氧化物对应水化物的酸性：W＞Y【考点】原子结构与元素周期律的关系．【分析】短周期元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X的质子数与电子层数相同，则X 为H元素；Z的最外层电子数是其内层电子数的3倍，原子只能有2个电子层，最外层电子数为6，故Z为O元素；Y、Z同周期且相邻，则Y为N元素；元素W在地壳中的含量仅次于氧，则W为Si，据此结合元素周期律知识解答．【解答】解：短周期元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X的质子数与电子层数相同，则X为H元素；Z的最外层电子数是其内层电子数的3倍，原子只能有2个电子层，最外层电子数为6，故Z为O元素；Y、Z同周期且相邻，则Y为N元素；元素W在地壳中的含量仅次于氧，则W为Si，A．X、Y、Z、W分别为H、N、O、Si，最外层电子数分别为1、5、6、4，则原子最外层电子数由多到少的顺序：Z＞Y＞W＞X，故A正确；B．X、Y、Z三种元素形成的化合物NH4NO3中含有离子键、共价键，故B错误；C．非金属性Y（N）＜Z（O），故气态氢化物稳定性：NH3＜H2O，故C错误；D．非金属性Y（N）＞W（Si），故最高价含氧酸的酸性：硝酸＞硅酸，故D错误；故选A．6．室温下，下列离子组在指定溶液中一定能大量共存的是（）A．加入铝屑有氢气放出的溶液中：Na+、Fe2+、NO3﹣、SO42﹣B．常温下pH=12的溶液中：K+、Na+、CO32﹣、AlO2﹣C．在葡萄糖（C6H12O6）溶液中：SO42﹣、MnO4﹣、K+、H+D．常温下=10﹣14的溶液中：Al3+、NH4+、Cl﹣、HCO3﹣【考点】离子共存问题．【分析】A．加入铝屑有氢气放出的溶液中存在大量氢离子或氢氧根离子，亚铁离子与氢氧根离子反应，硝酸根离子在酸性条件下氧化亚铁离子；B．常温下pH=12的溶液中存在大量氢氧根离子，四种离子之间不反应，都不与氢氧根离子反应；C．葡萄糖分子中含有羟基和醛基，高锰酸根离子在酸性条件下能够氧化葡萄糖；D．常温下=10﹣14的溶液中存在大量氢离子，铝离子、氢离子都与碳酸氢根离子反应．【解答】解：A．加入铝屑有氢气放出的溶液呈酸性或碱性，Fe2+与氢氧根离子反应，Fe2+、NO3﹣之间在酸性条件下发生氧化还原反应，在溶液中一定不能大量共存，故A错误；B．常温下pH=12的溶液呈碱性，溶液中存在大量氢氧根离子，K+、Na+、CO32﹣、AlO2﹣之间不发生反应，都不与氢氧根离子反应，在溶液中能够大量共存，故B正确；C．MnO4﹣、H+具有强氧化性，能够氧化葡萄糖，在溶液中不能大量共存，故C错误；D．常温下=10﹣14的溶液呈酸性，溶液中存在大量氢离子，Al3+、HCO3﹣之间发生双水解反应，HCO3﹣与氢离子反应，在溶液中不能大量共存，故D错误；故选B．7．下列实验操作正确的是（）A．用pH试纸测定浓硫酸的pHB．向碘酒中加入CCl4，静置后分液，可以分离碘酒中的碘C．用甲图装置验证FeCl3对H2O2分解反应有催化作用D．用乙图装置验证NaHCO3和Na2CO3的热稳定性【考点】化学实验方案的评价．【分析】A．浓硫酸具有脱水性和强腐蚀性，能使纸张脱水、被氧化；B．乙醇和四氯化碳互溶；C．要验证FeCl3对H2O2分解反应有催化作用，需要对比实验；D．碳酸氢钠不稳定，受热易分解，碳酸钠较稳定，受热不易分解．【解答】解：A．浓硫酸具有脱水性和强腐蚀性，能使纸张脱水、被氧化，所以不能用pH 试纸测定浓硫酸的pH值，应该用pH计，故A错误；B．乙醇和四氯化碳互溶，所以不能用四氯化碳作碘酒的萃取剂，故B错误；C．要验证FeCl3对H2O2分解反应有催化作用，需要对比实验，该实验没有对比装置，所以不能实现实验目的，故C错误；D．碳酸氢钠不稳定，受热易分解，碳酸钠较稳定，受热不易分解，如果温度低时碳酸氢钠都分解生成二氧化碳，则说明碳酸钠比碳酸氢钠稳定，故D正确；故选D．8．下列物质转化在给定条件下能实现的是（）A．Al2O3NaAlO2（aq）Al（OH）3B．S SO3H2SO4C．Fe2O3FeCl3（aq）无水FeCl3D．NH3NO2HNO3【考点】常见金属元素的单质及其化合物的综合应用．【分析】A．氧化铝与氢氧化钠溶液反应生成偏铝酸钠，偏铝酸钠与二氧化碳反应生成氢氧化铝沉淀；B．硫单质与氧气反应生成的是二氧化硫；C．氯化氢具有挥发性，蒸发氯化铁溶液得到的是氢氧化铁，若灼烧得到的是氧化铁，不会得到氯化铁；D．氨气催化氧化生成的是NO，不是二氧化氮．【解答】解：A．氧化铝为两性氧化物，能够与氢氧化钠溶液反应生成偏铝酸钠，偏铝酸钠能够与二氧化碳反应生成氢氧化铝沉淀，所以转化关系Al2O3NaAlO2（aq）Al（OH）3能够实现，故A正确；B．S与氧气直接反应生成的是二氧化硫，不能直接转化成三氧化硫，故B错误；C．加热FeCl3溶液，铁离子水解程度增大，由于氯化氢具有挥发性，则加热蒸干得到氢氧化铁或氧化铁，不会得到FeCl3，故C错误；D．NH3与氧气反应生成的是NO，无法直接得到NO2，故D错误；故选A．9．一种碳纳米管能够吸附氢气，可作二次电池（如图所示）的碳电极．该电池的电解质溶液为6mol•L﹣1的KOH溶液，下列说法正确的是（）A．充电时阴极发生氧化反应B．充电时将碳电极与电源的正极相连C．放电时碳电极反应为H2﹣2e﹣═2H+D．放电时镍电极反应为NiO（OH）+H2O+e﹣═Ni（OH）2+OH﹣【考点】化学电源新型电池．【分析】根据图片中电子流向知，放电时，石墨电极是负极，电极反应式为H2+2OH﹣﹣2e ﹣=2H2O，正极反应式为NiO（OH）+H2O+e﹣═Ni（OH）2+OH﹣，充电时阴阳极与放电时负极、正极反应式正好相反，据此分析解答．【解答】解：根据图片中电子流向知，放电时，石墨电极是负极，电极反应式为H2+2OH﹣﹣2e﹣=2H2O，正极反应式为NiO（OH）+H2O+e﹣═Ni（OH）2+OH﹣，充电时阴阳极与放电时负极、正极反应式正好相反，A．充电时，阴极上得电子发生还原反应，故A错误；B．充电时，C电极作阴极，所以应该与电源负极相连，故B错误；C．放电时，电解质溶液呈碱性，负极上氢气失电子和氢氧根离子反应生成水，电极反应式为H2+2OH﹣﹣2e﹣=2H2O，故C错误；D ．放电时镍电极是正极，正极上得电子发生还原反应，电极反应式为NiO （OH ）+H 2O +e ﹣═Ni （OH ）2+OH ﹣，故D 正确；故选D ．10．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是（ ）A ．氢氧化铁胶体中加入HI 溶液：Fe （OH ）3+3H +═Fe 3++2H 2OB ．用氨水溶解氢氧化铜沉淀：Cu 2++4NH 3•H 2O ═[Cu （NH 3）4]2++4H 2OC ．用稀硝酸除去试管内壁银：3Ag +4H ++NO 3﹣═3Ag ++NO ↑+2H 2OD ．向NaOH 溶液中通入过量的CO 2：CO 2+2OH ﹣═CO 32﹣+H 2O【考点】离子方程式的书写．【分析】A ．发生氧化还原反应生成碘化亚铁、碘、水；B ．氢氧化铜在离子反应中保留化学式；C ．发生氧化还原反应，遵循电子、电荷守恒；D ．反应生成碳酸氢钠．【解答】解：A ．氢氧化铁胶体中加入HI 溶液，离子方程式为2Fe （OH ）3+6H ++2I ﹣=2Fe 2++I 2+6H 2O ，故A 错误；B ．用氨水溶解氢氧化铜沉淀的离子反应为Cu （OH ）2+4NH 3•H 2O ═[Cu （NH 3）4]2++4H 2O +2OH ﹣，故B 错误；C ．用稀硝酸除去试管内壁银的离子反应为3Ag +4H ++NO 3﹣═3Ag ++NO ↑+2H 2O ，故C 正确；D ．向NaOH 溶液中通入过量的CO 2的离子反应为CO 2+OH ﹣═HCO 3﹣，故D 错误； 故选C ．二、不定项选择题：本题包括5小题，每小题4分，共计20分．每小题只有一个或两个选项符合题意．若正确答案只包括一个选项，多选时该小题得0分；若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，选两个且都正确的得满分，但只要选错一个，该小题就得0分．11．下列有关说法正确的是（ ）A ．25℃时，pH=4.5的硫酸溶液中c （H +） 是pH=5.5的磷酸中c （H +）的10倍B ．因为合金在潮湿的空气中易形成原电池，所以合金的耐腐蚀性都较差C ．一定条件下，使用催化剂能加快反应速率并提高反应物的平衡转化率D ．常温下，2NO （g ）+O 2（g ）⇌2NO 2（g ）能够自发进行，则该反应的△H ＜0【考点】pH 的简单计算；反应热和焓变；化学平衡的影响因素．【分析】A ．根据pH=﹣lgc （H +）计算；B ．不锈钢等耐腐蚀；C ．催化剂不能使平衡移动；D ．根据反应自发进行的判断依据：△H ﹣△S ＜0解答．【解答】解：A ．pH=4.5的硫酸溶液中c （H +）为10﹣4.5mol/L ，pH=5.5的磷酸中c （H +）为10﹣5.5mol/L ，前者是后者的10倍，故A 正确；B ．不是所有的合金耐腐蚀都很差，例如钛合金、铝合金等具有很好的抗腐蚀性能，故B 错误；C ．催化剂不能使平衡移动，只改变反应速率，故C 错误；D ．由方程式2NO （g ）+O 2（g ）⇌2NO 2（g ）可知该反应△S ＜0，要使△H ﹣△S ＜0，必须满足△H ＜0，故D 正确．故选AD ．12．某化合物丙是药物中间体，其合成路线如下：下列有关叙述不正确的是（）A．甲和丙均能使酸性高锰酸钾褪色B．核磁共振氢谱可以区分乙和丙C．乙与足量H2加成所得的产物分子中有2个手性碳原子D．1mol甲在一定条件下最多与4 mol氢气发生加成反应【考点】有机物的结构和性质．【分析】A．羧基、碳碳双键都能被酸性高锰酸钾溶液氧化而使酸性高锰酸钾溶液褪色；B．核磁共振氢谱能判断氢原子种类；C．连接4个不同原子或原子团的碳原子为手性碳原子；D．苯环和醛基都能和氢气在一定条件下发生加成反应．【解答】解：A．羧基、碳碳双键都能被酸性高锰酸钾溶液氧化而使酸性高锰酸钾溶液褪色，甲含有醛基、丙含有碳碳双键，所以甲、丙都能被酸性高锰酸钾溶液氧化而使酸性高锰酸钾溶液褪色，故A正确；B．核磁共振氢谱能判断氢原子种类，乙、丙分子中H原子种类不同，所以可以用核磁共振氢谱鉴别，故B正确；C．连接4个不同原子或原子团的碳原子为手性碳原子，乙与足量氢气发生加成反应后只有一个手性碳原子，为连接甲基的碳原子，故C错误；D．苯环和醛基都能和氢气在一定条件下发生加成反应，所以1mol甲在一定条件下最多与4 mol氢气发生加成反应，故D正确；故选C．13．下列实验设计能够成功的是（）A．检验亚硫酸钠试样是否变质：试样白色沉淀沉淀不溶解→说明试样已变质B．检验某溶液中是否含有Fe2+：试样溶液颜色无变化溶液变红色→溶液中含有Fe2+C．除去粗盐中含有的硫酸钙杂质：粗盐精盐D．证明酸性条件H2O2的氧化性比I2强：NaI溶液溶液变紫色→氧化性：H2O2＞I2【考点】化学实验方案的评价．【分析】A．亚硫酸钠变质混有硫酸钠，应先加盐酸排除亚硫酸根离子干扰，再检验硫酸钠；B．检验某溶液中是否含有Fe2+，先加KSCN溶液无现象可知不含铁离子，再加氯水，溶液为血红色，可知亚铁离子被氧化；C．加硝酸钠引入硝酸根离子不能除去；D．硝酸能氧化碘离子．。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果 如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函 数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为________． 7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C DP10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心 率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||=，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________． 14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． ABC D16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上， 且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18．（本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为 km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波 及游轮的航行?O M NPB A Q19．（本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ，满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等 差数列， k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列．（1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ；（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的 值；若不存在，请说明理由．附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为 θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不 放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元。

南师附中、天一、海门、淮阴四校联考2020届期初高三数学调研测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________． 【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =． 答案：32.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________． 【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-． 答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值． 【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =， 满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =， 满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =， 此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=， 所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15． 答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==． 答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2- 【解析】 由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++． 答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知3159,225,n S S B ==为数列{}nS n的前n 项和，则n B =__________．【答案】22n n+ 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得3115133915105225S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，即113715a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．∴2(1)22n n n S n n -=+⨯=， ∴nS n n=， ∴2(1)1222n n n n nB n ++=+++==L ． 答案：22n n+8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________． 【答案】16 【解析】令2204x y m -=，得y x =，故双曲线的渐近线方程为y x =．1()12-=-， 解得16m =． 答案：169.8，则其体积为__________．【解析】设正四棱锥的底面边长为a ，斜高d ，则d =．由题意得14()2282ad ad ⨯===，整理得4212640a a +-=， 解得24a =或216a =-（舍去）． ∴2a =．∴21233V =⨯=．10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是________．【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f -=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f -+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，),2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得2OM ==，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则1)N a +，且||2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>， 整理得2(1)1a +>， 解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞． 答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++， 以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立． 所以所求的最小值为6． 答案：6第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC的周长． 【答案】（1）3A π=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=.∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V1sin 24bc A bc ==4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDE . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点， 所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点， 所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=， 因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】 试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米， 故阴影部分面积为8004800200033π--平方米． （2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==， 所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-， 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'， 令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也为最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】 试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程． 试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=，22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-， 又4N x ，=M N MN x ∴=-==，又M A AM x =-==，52AM MN =Q ，=Q解得1k =或14k =． ∴直线AM 的方程为2y x =+或1142y x =+． 19.已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（*） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（*）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞． （3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立． 试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”， 则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， 又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-， 故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立． 所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=， 即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-， 即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”， 所以22n n S a +=-， 所以132n n S a ++=-， 故有，132n n n a a a +++=-， 又1n =时，132a a =-， 故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ， 所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++，两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-， 显然21,02nn n n a T T -+， 故131244n n T T <+， 即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立． 附加题[选做题]在,,,A B C D 四个小题中只能选做2道，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内. A. 选修4-1：集合证明选讲21.如图，D 为ABC ∆的BC 边上的一点，1O e 经过点,B D ，交AB 于另一点E ，2O e 经过点,C D ，交AC于另一点F ，1O e 与2O e 交于点G . 求证：EAG EFG ∠=∠.【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆可得EGH B ∠=∠，同理FGH C ∠=∠，进而可证得,,,E G F A 四点共圆，故结论成立．试题解析连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆， 可得EGH B ∠=∠， 同理FGH C ∠=∠，故180BAC EGF BAC B C ∠+∠=∠+∠+∠=o ； 所以,,,E G F A 四点共圆， 故EAG EFG ∠=∠． B. 选修4-2：矩阵与变换22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e u r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2632x xy +=. 【解析】 试题分析：（1）根据题意得到113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，利用矩阵的运算求得,a b 后可得矩阵M ．（2）设曲线C 上的点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到点(),P x y '''，则由2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'得到变换公式23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，代入可得曲线C 的方程． 试题解析：（1）依题意得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得2a b ，=⎧⎨=⎩2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦．（2）设曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2xy =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'， 即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩， 又点(),P x y '''在曲线2xy =上， ∴()()232x y x +=， 整理得2632x xy +=， 曲线C 的方程为2632x xy +=． C. 选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于两点,A B ，求两点,A B 的距离.. 【解析】 试题分析：把参数方程化为普通方程，解方程组可得两曲线的交点坐标，根据两点间的距离公式可得所求． 试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=，曲线l 的普通方程为332y x =-+，由221 43332x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得112xy=⎧⎨=⎩或11132xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．∴()32,0,1,2A B⎛⎫⎪⎝⎭，∴23131()2AB=+=．即两点,A B的距离为13．D. 选修4-5：不等式选讲24.如图，已知长方体11111,2,1ABCD A B C D AB AA-==，直线BD与平面11AA B B所成角为30,AEo垂直BD于点,E F为11A B的中点.（1）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（2）线段11C D上是否存在点P，使得二面角F BD P--的余弦值为35？若存在，确定P点位置；若不存在，说明理由.【答案】（125；（2）存在点P，为11C D中点.【解析】试题分析：由题意可知11AD AA B B⊥平面，故得1130DBA BD AA B B DBA∠∠=o即为直线与面所成的角，即为，由此可得2313AD AE==．（1）结合条件建立空间直角坐标系，由条件可求得平面BDF的一个法向量为()n =r ，根据线面角的求法可得所求角的正弦值为5．（2）根据条件可得22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由此可得平面BDP的一个法向量为()122n λ=-u r ，再由所给出的条件可求得12λ=，从而存在点P 满足条件，且点P 为11C D 的中点． 试题解析：由题意得11AD AA B B ⊥平面，所以DBA ∠为直线BD 与面11AA B B 所成的角，故30,DBA ∠=o 又2AB =，AD AB tan DBA ∴=⋅∠=． 由1AE BD AE ⊥=，得．（1）以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12AE u u u r ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，因为(),1,0,1BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，由()200n BD x y n n BF x z u u u u r r r u u u u u u r r ，可得⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩， 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ=13cos ,5AE n +==u u u r r 所以直线AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u r u u u u r，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以232,,13BPλ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r．设平面BDP的一个法向量为()1,,n x y zu r=由()123201,3,222320x ynx y zλλ⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪-++=⎪⎩u r，可得，由题意可得()()1223cos,55422511n nλλ===⋅+-⋅+-u rr，整理得2428130λλ-+=，解得12λ=或132λ=．又01λ<<，12λ∴=．所以存在点P满足条件，且点P为11C D的中点．点睛：解决与平行、垂直有关的探索性问题的基本策略通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．25.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D-的顶点A出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率n p．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-． 【解析】 试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -； ④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+， 即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩． 点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z＝的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1，不等式f （x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y＝x2﹣lnx上的动点，Q是直线y＝x﹣1上的动点，则PQ 的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足P A＝3，PC＝4．矩形对角线AC＝6，则＝．14．（5分）在△ABC中，若+＝3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a＝1，b＝，f（A）＝2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E 为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE（2）求证：AB1⊥平面A1BE．17．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB 的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA＝akm，OB＝bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT＝α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）＝a x+x2﹣xlna﹣a（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1＝4，a2＝8，a n+a n﹣1＝8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n＝a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2＝9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO 的延长线于P和Q，求证：∠OBP＝∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p＝2cos（）与直线l：ρsin（）＝，点M 为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n＝6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝{2，6}．【解答】解：因为全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，所以∁I A＝{2，4，6}，又B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝{2，6}，故答案是：{2，6}．2．（5分）复数1+的实部为．【解答】解：1+＝，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是6【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，执行循环体，n＝2不满足条件42＞2017，执行循环体，n＝3不满足条件43＞2017，执行循环体，n＝4不满足条件44＞2017，执行循环体，n＝5不满足条件45＞2017，执行循环体，n＝6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为660．【解答】解：由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10＝0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66＝660．故答案为：660．5．（5分）若双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），可得a＝2b，即：a2＝4b2＝4c2﹣4a2，e＞1，解得e＝．故答案为：；6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．【解答】解：从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z＝的最大值为3．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z＝表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z＝＝3，故答案为：3．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，则m+n的值为6．【解答】解：正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．则2a3q2＝a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1＝0，q＞1，解得q＝．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，∴a1＝4，∴n+m＝6．故答案为：6．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．【解答】解：如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG＝G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝，PG＝，可得BG＝，同理可得DG＝，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1，不等式f （x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为2．【解答】解：根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB＝120°，由余弦定理知：AB＝2，故BD＝，所以OD＝，所以O（0，0）到直线AB的距离＝，解得m＝±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．（5分）已知P是曲线y＝x2﹣lnx上的动点，Q是直线y＝x﹣1上的动点，则PQ的最小值为．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由y＝x2﹣lnx的导数为y′＝x﹣，令x﹣＝，可得x＝2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y＝x﹣1即3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝＝．即点P到直线y＝x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足P A＝3，PC＝4．矩形对角线AC＝6，则＝﹣．【解答】解：由题意可得＝（+）•（+）＝+•++＝9+•（+）+0＝9+＝9+3•6•cos（π﹣∠P AC）＝9﹣18•＝9﹣18•＝﹣，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，若+＝3，则sin A的最大值为．【解答】解：在△ABC中，+＝3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2＝3bc cos A．又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A＝3bc cos A．∴．当且仅当b＝c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a＝1，b＝，f（A）＝2，求角C．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2≤2．当＝1，即2x+＝+2kπ，解得x＝kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+，k∈Z}．（2）f（A）＝2，∴2sin＝2，解得A＝kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A＝．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴12＝+c2﹣2c，化为：c+1＝0，解得c＝．由正弦定理可得：，可得sin C＝＝×＝．∴C＝15°，75°，或105°．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E 为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE（2）求证：AB1⊥平面A1BE．【解答】解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC＝OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．…（4分）又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE…（7分）（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．…（11分）因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．…（14分）17．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．【解答】（本小题满分14分）解：（1），椭圆方程为：…（4分）（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y＝kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）…（8分）AB长：＝…（10分）∴∴…（12分）∴m＝＝，直线l为…（14分）18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA＝akm，OB＝bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT＝α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．【解答】解：（1）在△AOB中，OA＝akm，OB＝bkm，；由余弦定理得：＝a2+b2﹣ab；所以；…（2分）如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则，所以直线AB的方程为，即；…（4分）因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）…（6分）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT＝3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB＝AT+TB＝3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；…（9分）所以，AB＝3（tanα+）＝；…（12分）设，u∈（1，4），则，当且仅当u＝2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．…（16分）19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）＝a x+x2﹣xlna﹣a（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝e x+x2﹣x﹣e，f'（x）＝e x+2x﹣1．…（2分）设g（x）＝e x+2x﹣1，则g（0）＝0，且g'（x）＝e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，且当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0；当x＜0时，g（x）＜g（0）＝0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．…（4分）（2）f'（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，lna＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，lna＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，lna＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，lna＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．…（6分）所以f（x）min＝f（0）＝1﹣a，…（8分）（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min＝1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min＝1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．…（10分）（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min＝1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）＝a a+a2﹣alna﹣a＞a2﹣alna﹣a＝a（a﹣lna﹣1）．令t（a）＝a﹣lna﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）＝0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．…（12分）又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．…（14分）所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．…（16分）20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1＝4，a2＝8，a n+a n﹣1＝8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n＝a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2＝9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：由题意，a n+1+a n＝8n+4 ①，a n+a n﹣1＝8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1＝8 …（4分）所以a2n＝8n，a2n﹣1＝8n﹣4，因此a n＝4n，从而a n﹣a n﹣1＝4＞3所以，数列{a n}是“S型数列”…（6分）（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1＝4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）＝（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n＝a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增…（8分）又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，所以a1（q﹣1）＝4从而a1＝4，q＝2或a1＝2，q＝3或a1＝1，q＝5∴a n＝2n+1或或…（12分）（3）可取a n＝（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1＝2n+1＞3 …（16分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO 的延长线于P和Q，求证：∠OBP＝∠CQP．【解答】[选修4﹣1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA＝OB，所以，又，所以∠ACB＝∠DOB，…（5分）又因为∠BOP＝180°﹣∠DOP，∠QCP＝180°﹣∠ACB，所以∠BOP＝∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP＝∠CQP．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．【解答】[选修4﹣2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，得：＝，∴3a﹣b＝3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，得：，∴a +b ＝5， 解得，即A ＝．∵→→→→．∴A 的逆矩阵A ﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C ：p ＝2cos （）与直线l ：ρsin （）＝，点M为圆C 上的动点．求点M 到直线l 距离的最大值． 【解答】解：圆C ：p ＝2cos （） 即 x 2+y 2+2y ＝0，x 2+（y +1）2＝1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆． 直线l ：ρsin （）＝，即ρcos θ+ρsin θ﹣2＝0，即 x +y ﹣2＝0，圆心到直线的距离等于＝， 故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：．【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数， 所以①同理可得②③当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB＝2，AA1＝1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA＝30°．又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝，由已知得得E（，，0），D（0，，0）＝（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为＝（0，1，0）．设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos＝．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n＝6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．【解答】解：（1）n＝6时，S＝{1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；∴a3﹣a2＝2，或a3﹣a2＝1；当a3﹣a2＝2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2＝1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数＝1+2+3+1+2+3+4＝16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2＝2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2＝1时，a1共有个；∴集合A的个数为：＝＝（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。