江苏省天一中学数学竞赛班材料 2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(三)

2013年江苏高考数学模拟试卷（七）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合U ＝N ，集合M ＝{x|x 2－3x ≥0}，则∁U M ＝ ．2. 某单位有职工500人，其中青年职工150人，中年职工250人，老年职工100人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为6人，则样本容量为 .3. 已知i 为虚数单位，422a iii+=+，则实数a ＝ ．4. 在平面直角坐标系xoy 中，角α的始边与x轴正半轴重合，终边在直线y =上，且0x >，则cos α ＝ ．5.已知函数()f x =，则函数(1)y f x =+的定义域为 .6. 从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，则使命题：“存在(3,3)x ∈-使关于x 的不等式220x ax ++<有解”为真命题的概率是 ．7. 已知向量(,1),(2,)a x b y z ==+，且a b ⊥．若x y 、满足不等式组220,220,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z 的取值范围是 ． 8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 .9. 设函数()4sin()f x x x π=-，函数()f x 在区间11[,]()22k k k Z -+∈上存在零点，则k 最小值是 .10. 数列{}n a 的各项都是整数，满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{}n a 前10项的和是 ．11. 若函数4()tan 3f x x π=+在点4(,3)33P ππ+处的切线为，直线分别交x 轴、y 轴于点A B 、，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 .12. 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是 ．13. 如右图放置的腰长为2的等腰三角形ABC 薄片，2ACB π∠=，沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 其相邻两个零点间的图像与x 轴 围成的封闭图形的面积为 .14. 定义区间(,],[,),(,),[,]c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >.则满足不等式1212111,(0,0)11a a a x a x +≥>>--的x 构成的区间长度之和为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE BC =，F 为CE 的中点，且AE BE ⊥．（1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．16.（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为A B C 、、． （1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，A ∠=512π,求ABC ∆中B ∠的大小；FEDCBA（2）设向量()2sin ,3s C =-,2(cos 2,2cos1)2C t C =- ,且s ∥t ,若2sin 3A =，求sin()3B π-的值．17.（本小题满分14分）如图，现有一个以AOB∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于A B 、的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其 中//CD OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若1,,3OA km AOB AOC πθ=∠=∠=.（1） 用θ表示CD 的长度；（2） 求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．18. (本小题满分16分)已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |a f x x b x=-+,若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ；（2）求函数()f x 在2[1,]e 上的取值范围；（3）若实数c d 、满足,1c d cd ≥=，求()()f c f d +的最小值．、19.（本小题满分16分）已知圆221:1C x y +=，椭圆2222:133x y C +=，四边形PQRS 为椭圆2C 的内接菱形．(1)若点(P ，试探求点S （在第一象限的内）的坐标；(2) 若点P 为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS 与 圆1C 的位置关系．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 恒为正值，其中121,1(1)a a a a ==-≠，且11()n n n n n a a S a a ++-=．（1）求证：数列{}nS 是等比数列；（2）若n a 与2n a +的等差中项为A ，试比较A 与1n a +的大小；（3）若2a =，m 是给定的正整数．先按如下方法构造项数为2m 的数列{}nb ：当1,2,,n m =时，21n m n b b -+=；当1,2,,2n m m m =++时，1n n n b a a +=，求数列的前n 项的和nT .第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O外一点P向圆引两条切线PA PB、和割线PCD.从点A作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F.求证：BE平分CD.B ．（选修４－２：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3 倍的伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是4cos()3πρθ=+．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：3,()x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，求直线与曲线C 相交弦的弦长．D ．（选修４－５：不等式选讲）设x y 、均为正实数，且111223x y +=++，求xy 的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C ．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A B C 、、，则分别设为123、、等奖．(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%．记随机变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；(2)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求(2)P η=．23．已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈.（1）求A ;（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +∈，均有n S A ∈，求a 的取值范围．。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为ia , 若存在正整数k使得61=∑=ki ia 的概率m np =，其中n m ,是互质的正整数. 则nm 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n-=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点QP ,，过Q P ,作椭圆的切线，两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程； ⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11.若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。

为了提高学生的数学竞赛水平，江苏省天一中学特设立了数学竞赛班。

在这个班级中，学生们将接受专门的数学竞赛辅导和培训，以更好地参加各类数学竞赛。

2024年，全国高中数学联赛江苏赛区进行了一场预赛模拟训练，为学生们提供了宝贵的实战经验。

下面是对这次模拟训练的详细描述。

这次预赛模拟训练分为两个部分，第一部分是选择题，第二部分是解答题。

第一部分选择题共有30道题目，每道题目4分，满分120分。

这部分的题目主要考察了学生对数学基础知识的理解和应用能力。

题目涵盖了代数、几何、数论、概率和统计等不同的数学领域。

学生们需要根据题目的要求，仔细分析并选择正确的答案。

第二部分解答题共有5道大题，每道题目20分，满分100分。

这部分的题目要求学生进行深入的思考和分析，并给出详细的解题过程和解答。

题目涵盖了数列、立体几何、函数与方程、概率论等多个数学领域。

学生们需要应用所学的知识和方法，独立解决问题，并写出清晰、准确的解答。

此次模拟训练的目的是帮助学生们熟悉竞赛题型和要求，提高他们的解题能力和答题速度。

通过这次训练，学生们能够了解自己在数学竞赛中的强项和不足，并在老师的指导下进行进一步的学习和提高。

该模拟训练的结果也被用于评选数学竞赛班的入学资格和确定学生的数学竞赛水平。

只有在这次模拟训练中表现优异的学生才有机会进入数学竞赛班，接受更高水平的数学教育和培训。

江苏省天一中学的数学竞赛班致力于培养学生的数学思维、创造力和解决问题的能力。

通过系统的数学竞赛培训，学生们能够更好地掌握数学知识和方法，提高他们的分析思考能力和解题能力。

这对于学生们提高数学成绩、参加各类数学竞赛以及进入理工类高校都有很大的帮助。

在数学竞赛班的学习过程中，学生们将不断接触到各类数学问题和挑战。

通过解决这些问题，他们能够提升自己的数学水平，并培养对数学的兴趣和热爱。

同时，数学竞赛班也会组织学生们参加各类数学竞赛，锻炼他们的竞赛技巧和应变能力。

总之，江苏省天一中学的数学竞赛班为学生们提供了一个很好的学习和竞赛平台。

全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案班级____________ 姓名____________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是____________． 解：方程22210x mx m -+-=的两根为：11x m =-，21x m =+；由题设可得：1214m m ->-⎧⎨+<⎩，解之可得：13m -<<．(点评：本题易让人首先想到“根的分布”，而事实上求出根来，其法也不错！) 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为____________．解：若成两双，则有26C 种取法；若成一双，则先在6双中取1双，再在剩下5双中取两双，每双各取其中1只；故概率为：21211665224121733C C C C C P C +⨯⨯⨯==． (点评：本题是极其经典的排列组合题，仅有一双的取法，必须牢记，还要会举一反三！) 3．设实数x y 、满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是____________． 解：由题意可知：点(, )x y 在圆22:(2)1C x y -+=上，22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，其最大值为9，最小值为1；所以22x y +的最大值与最小值的差为8． (点评：凡与圆有关的问题，毫不外地要考虑好圆心，还有几何意义！)4．若存在正实数a b 、满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是_______． 解：当1, 2n =时，经过计算，不存在正实数, a b 满足()()n n a bi a bi +=-，当3n =时，取1, 2a b =()()1n n a bi a bi +=-=-，故n 的最小值是3．(点评：本题易让人首先想到“二项式展开”，从一开始，验证！整数问题的“回马枪”．) 5．若ABC ∆的三边AB BC AC 、、成等差数列，则A ∠的取值范围是____________． 解：令ABC ∆的A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、；则由题意可知：2a b c =+；由余弦定理可得：2222223323()4288b c a b c bc b c bcbc bc bc+-+--+==； 因为b c 、是正实数，所以1cos 2A ≥，当且仅当b c =时，等号成立； 由0A π<<，可知：03A π<≤．(点评：绝对的常规题！应该放在第1小题．)6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是____________．解：由11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=可知：110n n a a +--=或130n n a a +-=；因为49a =，所以3a 可能是3，同理2a 可能为1，从而推知1a 可能为0；因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0，1，3，9；故所有可能值之积为0． (点评：小题应小做，小题若大做，则上了命题人的当！) 7．已知2()942013f x x x =-+，则6030(()())n f n f n =+=∑___________．解：取值代入可知：(30)93f =，(31)60f =，(32)29f =，(33)0f =；当34, 35, , 60n = 时，()0f n <，从而有()()0f n f n +=； 所以，6030(()())2(936029)364n f n f n =+=⨯++=∑．(点评：数据大的问题，常常是“纸老虎”，分清类别第一重要，各个击破重要手段！)8．设[0, 2]x y π∈、，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，则x y +的最大值为___________．解：由12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，可得：(2sin 1)(2cos 1)0x y ++=；所以1sin 2x =-，或1cos 2y =-；所以有76x π=或116π，此时y 可以取[0, 2]π内的任意值； 或23y π=或43π，此时x 可以取[0, 2]π内的任意值； 所以x y +的最大值为：1123266πππ+=． (点评：平时难得见这类题！思维若呆板，定是要楞一会儿，别人一点拔，啊！我也会嘛！) 9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是平面ABC 上的一个动点，满足P 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 距离的最大值是____________．解：记点P 到平面D AB D BC D CA 、、的距离分别为123d d d 、、；则123d d d ++为正四面体ABCD 的高123d d d 、、成等差数列，故点P 到平面DCA 的距离的最大值为（注：此时是极端情形10d =）(点评：绝对的常规题！应该放在第2题，因为想到极端情况，还是有一点意外的！)10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王 现在的年龄是____________．解：设小王现在的年龄是a ，小孙现在的年龄是b ；设a 有m 个数字，b 有n 个数字，由已知得：4m n +=；如果2m <，那么3n ≥，但在31年后，a 是2位数，合起来是5位数，这与题意不符； 由对称性，可知n 也不小于2，从而有2m n ==； 设按题中要求顺序的平方数依次为2x 和2y ，且0x y <<； 则设223131y x =+，即有()()313131101y x y x -+==⨯，所以必有：31y x -=且101y x +=，从而35x =，66y =；由21225x =知，小王现在12岁． (点评：有两个平方数，出现了“差”，x y -与x y +分解且奇偶性相同，就该现脑海中！)二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．解：由22()19x k y -+=与2219x y +=，解得22()0x k x --=，解得：2kx =；将其代入2219x y +=中，得A 点的纵坐标为y =10分因为四边形ABCD 为正方形，根据对称性知：BD AC =，又(3, 0)B k -+，(3, 0)D ，则6BD k =-，AC =；…………………15分所以6k -=，即29(6)(6)(6)k k k -=+-，解得6k =（舍），或245k =； 所以245k =．………………………………………………………………………20分 (点评：虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容，但是按抛物线平移规则，不算超纲！)12．如图，梯形ABCD 中，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，A C 、关于对角线BD 对称的点分别是''A C 、；证明：四边形''''A B C D 是梯形．证明：如图，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，由于AC 是对称轴，轴上的点自身对称，则BD 与''B D 的交点是BD 与AC 的交点O ；………………5分 从而由对称可知：'//'BB DD ， 所以''OB OB OD OD =，同理：''OC OC OA OA =；………………10分 再由梯形可知：//AD BC ， 所以1OB OC BCOD OA AD==≠；………………………15分 从而''1''OB OC OD OA =≠，所以''//''B C A D ，且''''B C A D ≠， 所以四边形''''A B C D 是梯形．………………20分(点评：几何变换是第一次考！！！通常有四大变换：平移、旋转、对称、位似．)13．设实数a b 、满足1012a b ≤≤≤≤；证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 证明：将所求不等式改写：2cos 2cos b b a a ππ+≤+；于是可设：()2cos f x x x π=+，问题转化为：“证明：()()f b f a ≤”． 求导得：()2sin f x x ππ'=-，2()cos f x x ππ''=-；当1(0, )2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=-<，当1(, 1)2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=->；所以()f x '在区间1(0, )2上是单调递减函数，在区间1(, 1)2上是单调递增函数；又因为(0)(1)2f f ''==和1()202f π'=-<，所以存在α和β，使得1012αβ<<<<，且()()0f f αβ''==； 当且仅当()x αβ∈、时，()0f x '<；……………………10分 所以函数()f x 在区间[0, ]α和[, 1]β上是单调递增函数，在区间[, ]αβ是单调递减函数；（图像见右）又因为1(0)()(1)12f f f ===，所以对于1[0, ]2x ∈，()1f x ≥；对于1[, 1]2x ∈，()1f x ≤；故当1012a b ≤≤≤≤时，()()f b f a ≤，从而原题得证．………………20分 (点评：相对于高考的内容，这道题是难题，因为平时训练题的思维没有这么深；但是，研究函数值的问题，一定要把握好函数的图像的变化情况，而要想这清楚这个， 二次求导则是自然想到的事．其实，函数就必须从“数与形”方面去思考！)14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一；证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．证明：记正100边形123100A A A A 的外接圆半径为r ；把顶点分为25个点集：4342414{, , , }k k k k A A A A ---，1, 2, 3, , 25k = ； 第个点集之中，4个点染成3色，至少有两点同色， 此两点为端点的劣弧长分别为23505050rr rπππ、、之一；………………………………10分 弧长为23505050rr rπππ、、，且两端同色的弧共有9种； 前10个点集之中至少存在10段此类弧， 因而总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．…………………………………20分 (点评：抽屉原理的关键是“造抽屉”，想到用抽屉原理还不一定能做得出不来．这道题实在太完美了，组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理， 考到一个；组合图论思想考到了，组合染色沾到边儿．)。

20XX 年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案（三）1、复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__________象限 2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________ 320132013a x ++201320132a ++=4、已知32n n a =⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状如右图所示，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则(10,8)A =5、已知f (x )＝sin(π2＋α－x )＋cos(5π2－α－x )是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有 个．6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有 ．7、已知(x 0，y 0)是直线x ＋y ＝2k －1与圆x 2＋y 2＝k 2＋2k －3的交点，则当x 0y 0取最小值时，实数k 的值等于 ．8、已知点M 、N 分别在大小为60°的二面角α－a －β的α、β内，又点P 到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN周长的最小值等于．9、S 的整数部分是 10、已知非负实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋18abc 的最大值等于__________，最小值等于____________11、定义在实数集R 上的单调函数y ＝f (x )，当x ＜0时f (x )＞1，且f (x ＋y )＝f (x )f (y )对任意实数都成立．又数列{a n }满足a 1＝f (0)，f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)．(1)求通项a n ．(2)求使(1＋1a 1)(1＋1a 2)…(1＋1a n )≥p 2n ＋1对任意正整数n 都成立的实数p 的最大值．12345678910111213141516a a a a a a a a a a a a a a a aEA BD D12、如图。

2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .4.解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________.解: 解：用1x -代替原式中的x 得：222(35)2(3)6213f x x f x x x x -++++=-+解二元一次方程组得22(3)223f x x x x ++=++，所以：()23f x x =-，则(2011)4019f =．（分析得()f x 为一次多项式，可直接求()f x 解析式）7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________7. 解:不妨设AC ⊥OC ⊥BC ,∠ACB =α,∠AOC =∠BOC =θ,∠AOB =β. 因)CB OC ()CA OC (OB OA +⋅+=⋅=CB CA |OC |⋅+2即αθθβcos ||||cos ||cos ||cos ||||+⋅=， 两端除以|OB ||OA |并注意到CAOBθθ==sin , 即得αθθβcos sin cos cos 22+=,将β=450,θ=300代入得αcos 414322+=, 所以,322cos -=α.8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a c b a kabc++++≤++，求k 的最大值。

2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（二）班级__________姓名__________1、设集合},56|{},,1|||{2R x x x x B R x a x x A ∈+>=∈<-=，若φ=⋂B A ，则实数a 的取值范围是__________解：由题得},11|{R x a x a x A ∈+<<-=，},51|{R x x x B ∈<<=，又A B φ=，所以有11≤-a 或51≥+a ，即0a ≤或6a ≥2、从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是__________ 解：241516P C =-=，正面列举亦可，积是偶数情况有1,6；1,8；3,6；3,8；6,8 3、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由题：22(4)4044()0b i b ai b b a b i ++++=⇒++++=，故2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩所以|||22|a bi i +=-==4、设12,x x 是方程240x x +-=的两实数根，则3212510x x -+=解：由12,x x 是方程240x x +-=的两实数根得，3221111111111(4)44454,x x x x x x x x x x =⋅=-=-=+-=-222255(4)205,x x x -=--=-+则3212125105()10245102419.x x x x -+=++-=-+-=- 5、设0x >,则()4443331111x x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 解：令1(2)t x t x =+≥，则44233431142,3x t t x t t x x+=-++=-所以442233(42)4242()(3)333t t t t t f t t t t t t --+-===---在[2,)+∞上单调递增，故最小值为7(2)3f =6、设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则201212013111lg lg lg lg i i i a a a a =+∑的值为解：当1q =时，20122120131211112012lg lg lg 2012lg lg lg i i i a a a a a a =+=⋅=∑当1q ≠时，20122012120131201312013111112013lg lg lg lg 11111lg lg ()()2012lg lg lg lg lg lg lg lg i i i i ii a a a a a a a a q a a q a a ==++=-=-=∑∑ 7、方程17sin()sin294x x π+=+的解集为解：．令sin()4x t π+=，则221780t t -+=．由于[1,1]t ∈-，故12t =，即1sin()42x π+=．其解为：(1)64k x k πππ=+-⋅-，k Z ∈．故解集为(1),64k x x k k Z πππ⎧⎫=+-⋅-∈⎨⎬⎩⎭8、实数1210,,,x x x 满足10101114,26,i i i i x x ==-≤-≤∑∑，则1210,,,x x x 的平均值x =__________解：10101011110[(1)(2)]1210i i i x x x x ====---≤-+-≤∑∑∑所以有10101114,2612i i i i i x x x ==-=-=⇒≤≤∑∑，故=101171(1)105i i x =+-=∑9、方程1233213m n n m +⋅-+=的非负整数解(),m n = 解：方程1233213m n n m +⋅-+=变形为(23)(31)10m n -+=，因为310n +>，故230m ->所以2,23mm ≥-必为奇数，故2313110m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或235312mn⎧-=⎪⎨+=⎪⎩(,)(2,2)m n ⇒=或(3,0) 10、数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22n n n n na a a a a n n n +++===-=++.若201122012m a >+，则正整数m 的最小值为解：由题设得：21(2)2(1)n n n n a n a na +++=+-，则有211121(2)(1)(1)(1)23n n n n n n n a n a n a na na n a a a +++-+-+=+-=--==-=所以1(1)3n n na n a -=-+，令n n b na =，则13n n b b --=，所以223(2)32n n b na a n n ==+-=-， 3223n n a n n-==-，故220113240242012m a m m =->+⇒>，所以m 最小值为402511、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -.由||||AP OA =，有a =，即22222cos 2cos sin 0a ab θθθ++=. ----------5分从而22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ ------------------------10分所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->. ------------------------15分所以，sin ||cos b k a θθ== ------------------------20分 解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ------------------------10分2AQ ak ⇒≤||||AQ k k ⇔⇔> ------------------------20分 12、已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．-------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin c os 2-=x θθ．----------------10分 于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ----------------15分 因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ----------------------------20分13、已知四边形PQRS 是圆内接四边形，90PSR ∠=︒，过点Q 作PR 、PS 的垂线，垂足分别为点H 、K ，HK 与QS 交于点T （1）求证：Q 、H 、K 、P 四点共圆； （2）求证：QT=TS.证明：（1）由90QHP QKP ∠=∠=︒，所以Q 、H 、K 、P 四点共圆-------------------------5分 （2）因为Q 、H 、K 、P 四点共圆，所以HKS PQH ∠=∠ -------------------------10分 ∵90PSR ∠=︒，∴PR 为圆的直径，∴90PQR ∠=︒，QRH HQP ∠=∠，而QRH QSP ∠=∠ 故QRH HKS ∠=∠，TS=TK ， ------------------------15分 又90SKQ ∠=︒，∵SQK TKQ ∠=∠∴QT=TK, ∴QT=TS ------------------------20分 14、设1210,,,i i i 是1,2，…，10的一个排列，记1234910S i i i i i i =-+-++-，求S 可以取到的所有值.解：由题可知：111115,678910(12345)25S S ≥++++=≤++++-++++=且101(mod2)1(mod2)k S k =≡≡∑， …………………10分下面证明S 可以取到5到25的所有奇数.记24681013579(,,,,,,,,,)f i i i i i i i i i i 为排列24681013579,,,,,,,,,i i i i i i i i i i 对应的S ，则(1,2,5,7,9,3,4,6,8,10)7f =，(1,2,4,7,9,3,5,6,8,10)9f =，(1,2,3,7,9,4,5,6,8,10)11f = (1,2,3,6,9,4,5,7,8,10)13f =，(1,2,3,5,9,4,6,7,8,10)15f =，(1,2,3,4,9,5,6,7,8,10)17f = (1,2,3,4,8,5,6,7,9,10)19f =，(1,2,3,4,7,5,6,8,9,10)21f =，(1,2,3,4,6,5,7,8,9,10)23f =所以S 取到的值为5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25 …………………20分RPS。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（六）班级__________姓名__________1、直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ＝___________ 2、1cos290=︒___________ 3、已知实数z y x ,,满足32xyz =，4x y z ++=，则||||||x y z ++的最小值为_________4、对给定的整数m ，符号()m ϕ表示{}1,2,3中使()m m ϕ+能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)ϕϕϕ-+-+-=___________5、从m 个男生，n 个女生（104m n ≥>≥）中任选2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 的概率和事件B 的概率相等，则(,)m n 的可能值为6、在三棱锥S A B C -中，4,7,9,5,6,8S A S B S C A B B C A C =≥≥=≤≤，则三棱锥S ABC -体积的最大值为7、不等式x (x －1)≤y (1－y )的解集中x 、y 能使x 2＋y 2≤k 成立时k 的最小值为____________．8、若方程240(0,1)x a x a a +-=>≠的所有根为12,,,k u u u ，其中k 为正整数，方程log 2a x +20(0,1)x a a -=>≠的所有根为12,,,l v v v ，其中l 为正整数，则 1212k l u u u v v v k l++++++++ 的值为 9、设集合{}{}1231,2,,15,,,S A a a a == 是S 的子集，且123(,,)a a a 满足123115,a a a ≤<<≤ 326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为10、方程tan(x si n x )＝cot(x cos x )在闭区间[π4，π2]内的解的个数共有． 11、如图，已知锐角ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，在,,EF FD DE 的延长线上分别取点,,P Q R ，若AP=BQ=CR ，证明：PQR ∆的外心为ABC ∆的垂心.12、给定不增的正数列a 1≥a 2≥a 3≥…≥a 2009，若a 1＝114，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2009＝1，求证：从中可以找到7个数，其中最小的数大于最大的数的一半．13、设向量,i j 分别为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量.若(2),a x i y j =++(2)b x i y j =-+ ，且2a b -= .⑴求满足上述条件的点(,)P x y 的轨迹方程；⑵设(1,0),(2,0)A F -，问：是否存在常数(0)λλ>，使得PFA PAF λ∠=∠恒成立？证明你的结论⑴由条件2a b -= 2=，14、设m ，n 为任意正整数，试确定20102m －2009n 的最小正值．。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（五）班级__________姓名__________1、数列{a n }的通项公式为a n ＝n 3－20n 2－10n ＋1(n ∈N *)，问此数列中最小的一项是第 项．2、若直线l 过点A (12，13)和点B (14，15)，则不在l 上与l 距离最近的格点(即纵、横坐标都为整数的点)与l 的距离是___________．3、设12π＜α＜π，则满足等式sin α－3cos α＝log 2(x 2－x ＋2)的实数x 的取值范围是4、直角三角形ABC 中，C 是直角，D 、E 是三等分斜边AB 上的两点，已知CD ＝3＋2，CE ＝3－2，则斜边AB 长为 ．5、设点P (x ，y )到x 、y 轴的最短距离为z ，点P 在A (3，1)，B (4，5)，C (5，2)为顶点的三角形内部及周界上移动，使z 取最大值的点P 的坐标为__________________．6、若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋2n ＞m 1000对一切大于1的自然数n 都成立，则整数m 的最大值为___________．7、已知x ＋y ＝4，xy ＝－4，那么(x 3＋y 3)∶(x 3－y 3)＝____________．8、函数f (x )＝x 4－3x 2－6x ＋13－x 4－x 2＋1的最大值等于______________________． 9、用1或2两个数字写n 位数，其中任意相邻两个位置不全为1，记n 位数的个数为f (n )，则f (10)＝______________________． 10、设a n ＝42n ＋1＋3n ＋2(n ∈N *)，p 是能整除a 1，a 2，a 3，…，中无穷多项的最小素数，q 是能整除a 1，a 2，a 3，…，中每一项的最小素数，则p ·q ＝ ．11、设函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．当x ≠y 时，有f (x )≠f (y )．(1)求f (0)；(2)证明f (x )在R 上递增；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)f (y 2)＜f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax ＋by ＋c )＝1，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0}，且A ∩B ＝，求a 、b 、c 满足的条件．12、已知AB 、BC 、AC 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的任意三条切线，它们交成一个ΔABC ，求证：ΔABC 的垂心在某条固定的直线上．13、设O 是ΔABC 内一点，点O 关于∠A ，∠B ，∠C 的内角平分线的对称点分别为A '，B '，C '，证明：AA '，BB '，CC '相交于一点．A'C'B'ABO(12pc 2,pc )(12pb 2,pb )(12pa 2,pa )HD CBAO yx14、证明：一个奇自然数c 为合数的充分必要条件是存在自然数a ≤c3－1，使(2a －1)2＋8c 为平方数．。

当q 亍1时,2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)班级 ___________ 姓名 __________1、 设集合 A 二｛x||x -a|：：：1,x R ｝, B 二｛x|6x .5 x 2,x R ｝，若 A - B 二，则实数 a 的 取值范围是 ___________解：由题得 A =｛ x| a -1 ：：： x ：：： a • 1,x ：= R ｝， B =｛x|1 ：：： x ：：： 5, x ：= R ｝，又 B = •，所以有 a -1乞1或a 1 _5，即a 岂0或a _62、 从集合｛ 1, 3, 6, 8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 ______________1 5解：P =1 -弋二―，正面列举亦可，积是偶数情况有 1,6; 1,8; 3,6; 3,8; 6,8C 4 6 3、 已知a 是实数，方程x 2 (4 i)x 4 V i "的一个实根是b (i 是虚部单位)，则| a bi | 的值为 _________解：由题： b 2 +(4 Hi)b +4 +ai =On b 2 +4b +4 +(a +b)i =0，故『 +4b +4 —2a ■b = 0b - -2所以 |a • bi |斗2 —2i |二 22 (-2)2 =2 24、 设x 1,x 2是方程X 2 • x -4 =0的两实数根，则X ； -5x 2 ■ 10二 ________________ 解：由％,X 2是方程x 2，x-4=0的两实数根得，2 2 2=咅 x_,=咅(4 —xj =4x_, —x ； 4咅 “ 一4 = 5咅一4, -5x 2 =-5(4 —x 2)=-20 5x 2,x 3 -5x 2 10 =5(为 X 2) 10 -24 =-5 10 -24 - -19.201213X 15、设 X .0,则 f X =— .‘Xx 14- X 丿 13 -X X 4丄 4 ------ x■'的最小值为 X 3丄 X X 3 解：令 t =x .—(t _2)，贝y4 1 ,4 2 3“1 ,3〜 x 4 二t -4t 2,x 亍二t —3t x 4t 2 -2晋一3在2 ；)上单调递增，故最小值为 f ⑵話当q 亍1时,,01^1的值为i^lga i lg a 120121 2012 解：当 q =1 时，Igajga zoJlg 2 a 1 三 2012ii lga i lga i 十 lg 印设Sn 为等比数列，且每项都大于1,则lg a ! lg a 2,6、110 分⑴囲汇^^二1^^2-丄一宀心呼2013’11i^lg a i lga i+ lg q y lga i lga i+lg q送［(X 一1) _(X -2)］亞 X _1 +送 |x _2 <10i ±1010_1 107所以有送|x —1| =4，送—2 =6n1 Ex 兰2，故X = 1+丄送(人—1)=—ii ±9、方程2m 3n -3" 1 ■2m =13的非负整数解 m,n 二解：方程 2m 3" -3" 1 - 2m =13 变形为(2m -3)(3" 1) =10，因为 3" 1 .0，故 2m -3 .0b m -3-1 h m -3 -5 —所以m 32,2 m _3必为奇数，故！或《 二(m, n) =(2,2)或(3,0)p n +1=10 ［3n +1=210、 数列◎淀义如下：a 1 =1,a 2 =2,a n2 =2“ *a n1nn=1,2,||l.若 a m2 黑］n+2n+22012则正整数m 的最小值为 _____________解：由题设得：(n ■ 2)a n 2 =2(n ，1)a n 仁一na n ，则有(n 2)a n2—(n 1总 1—(n 1)a n1—na . = na . -(n —1応丄=||| =2a ?—印=3所以 na n =(n -1总丄-3，令 g = na .，则 g 丄=3，所以 * = na . "a ? ■ 3(n -2) =3n -2，3n —2 2 丄匚 2 丄2011 匕厂… 曰、/士斗a n3 -，故 a m =3- 22 • = m 4024，所以 m 最小值为 4025nn m 20122 211、 设椭圆 务•占=1(a b 0)的左、右顶点分别为 代B ，点P 在椭圆上且异于 A,B 两点, a b O 为坐标原点.若|AP|=|OA|，证明：直线OP 的斜率k 满足|k|. 3 .解法一：设 P （acos^bsin v ）（0 u ：：： 2二），A （ _a,0）.由 |AP|=|OA|，有( )=2012 lg a1lg a20137、方程 17sin(x-) =sin2 x 9的解集为Si "（X2则 2t _17t • 8 =0 .由于 t 珂-1,1］，故t = 1，即 sin(x 亠')24其解为:X(r1)JI410,k ^Z •故解集为』XX =5+(_1)k ，_——,k W Z >8、实数 X 「X 2,山，人0满足二：x1-1 101010 __4? X i -2 _6,，则 x 「X 2川I"。

2013年4月江苏省高中数学组卷模拟试题经典例题一．选择题（共2小题）1．一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）﹣11的零点的个数是（）2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（）．C D．3．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为_________．4．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是_________．5．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．三．解答题（共4小题）6．已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1，F2，点P是椭圆上一点，，且△PF1F2的三边构成公差为1的等差数列．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求椭圆方程；（Ⅲ）若c=1，点P在第一象限，且△PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒7．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k （n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；（II）试确定所有的自然数k，使得数列{a n}能成等差数列．8．已知函数，．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若x∈[a，+∞）时，f2（x）≥f1（x），求a的取值范围；（3）求函数在x∈[1，6]上的最小值．9．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）﹣，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），则推知函数g（x）=5f（x）﹣11的零点的个数是（））的最小值为＞的解的个数，从而得出结论．+取得最小值为＞取得最大值为＞．=）的最小值为＞2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则中最大的是（）D==83．已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为2．==，C+）4．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=+k是闭函数，那么k的取值范围是（﹣，a]．）上的两个根．故有+k+k=b，故，那么的取值范围是（﹣，5．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．•故答案为：6．已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1，F2，点P是椭圆上一点，，且△PF1F2的三边构成公差为1的等差数列．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求椭圆方程；（Ⅲ）若c=1，点P在第一象限，且△PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒利用向量的坐标及，可得得：，∴∴椭圆的离心率是，所以，∴椭圆方程是，，则，，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为（）在圆上得：，半径为或（此方程无解），得：得：，坐标，从而解得，坐标为7．设f k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n．对于任意的正整数n，a n+S n=f k （n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{a n}是等比数列；关系，公比为的等比数列．8．已知函数，．（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；（2）若x∈[a，+∞）时，f2（x）≥f1（x），求a的取值范围；（3）求函数在x∈[1，6]上的最小值．=2e时，∴时，因为（ⅰ）当上的最小值为9．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）﹣，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．）由，从而可求）由正弦定理得，A=x）∵A=（（2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1.设集合A =｛2，0，1，3｝，集合B =A x x ∈-|{，}22A x ∉-．则集合B 中所有元素的和为 ___________2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=∙OB OA ，F 是抛物线的焦点．则OFB OFA S S ∆∆∙=___________3.在△ABC 中，已知C B A sin sin 10sin =，C B A cos cos 10cos =，则A tan 的值为____________4.已知正三棱锥P —ABC 底面边长为1，高为2，则其内切球半径为___________5.设a ，b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意∈x [0，1]，有1|)(|≤x f ．则ab 的最大值为___________6.从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为___________7.若实数x y ，满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是___________8.已知数列}{n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个∈i ｛1，2，…，8｝，均有}21,1,2{1-∈+i i a a ，则这样的数列的个数为__________二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）给定正数数列}{n x 满足12-≥n n S S ，n =2，3，…，这里+=1x S n …n x +．证明：存在常数0>C ，使得nn C x 2∙≥，n =1，2，…10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右焦点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11PA QA ⊥，22PA QA ⊥，11PF RF ⊥，22PF RF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明． 11.（本题满分20分）设函数b ax x f +=2)(，求所有的正实数对),(b a ，使得对任意实数x ，y ，有)()()()(y f x f y x f xy f ≥++．2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE =EF =FB .连接PE 、PF 并延长，与圆ω分别相交于点C 、D ．求证：EF ·CD =AC ·BD ． （解题时请将图画在答卷纸上）B二、（本题满分40分）给定正整数u ，v ．数列}{n a 定义如下:v u a +=1,对整数1≥m ，⎩⎨⎧+=+=+v a a u a a m m m m 122记++=21a a S m …,2,1(=+m a m …）．证明：数列}{n S 中有无穷多项是完全平方数．三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中m ，2≥n 为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为≥≥21p p …n p ≥，求n p p +1的最大可能值．四、（本题满分50分）设n ，k 为大于1的整数，kn 2<．证明：存在k 2个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有若干个数的和被n 整除．2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各 题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（一）班级__________姓名__________1、函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于__________解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 3cos 32sin()3,66666f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1. 2、已知1()2bx f x x a+=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠.若1()()f x f k x ⋅=为常数，则k 的值__________解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++ 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k ka --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =3、已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是__________ 令3xt =，则原方程化为230t t p --=.根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩4、将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行成等差数列，而每一列都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为__________解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =.由244a =,4416a =知公比2q =±.若2q =，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2q =-，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.5、设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为__________ 解：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=. 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -.6、将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有__________解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种.所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.7、一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为__________解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=.同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b ==，因此梯形的周长为39416+++=+8、设y x ,为实数，则=+=+)(max 22104522y x xy x ___________ 解法一：222254104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤解法二：22222254105(1)45(1)154y x y x x y x +=⇒-+=⇒-+=令1cos ,,x y R θθθ=+∈，则 22222251912512cos cos sin cos 2cos (cos 4)44444x y θθθθθθ+=+++=-++=--+因为cos [1,1]θ∈-，所以cos 1θ=时，22max ()4x y +=9、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为解：不超过2012(44,45) 因此这样的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43 的平方这14个 10、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率是 解：由题只有3545,,,5354b b b b d d d d ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩四种情况 35b d =⎧⎨=⎩时只能4e =，所以有两种情况：12,21a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩53b d =⎧⎨=⎩时只能4a =，所以有两种情况：12,21c e e c ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 45b d =⎧⎨=⎩时，,,a b c 可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有336A =种情况 54b d =⎧⎨=⎩时，,,a b c 可任取1,2,3中的任意排列（不重复），故有336A =种情况 故共有16种情况，故概率为5516215P A ==11、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值． 解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++， （5分）由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=． （10分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩, （15分）由sin 0b c =知0b =或sin 0c =.若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！ 若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-， 解得π)12(,21+===k c b a ，所以，1cos -=acb ． （20分）12、给定两个数列{}n x ，{}n y 满足001x y ==，11 (1)2n n n x x n x --=≥+， 211(1)12n n n y y n y --=≥+.证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得nn j y x =.解答：由已知得到：1112111112(1){1}n n n n nx x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以11111221n n n n x x +++=⇒=-. -----------------10分 又由已知，22211111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++ 由011121212221n n n ny y y +=⇒+=⇒=-，所以取21n n j =-即可. ------------------- 20分 13、如图，A BC ∆的内心为I ，,M N 分别是,AB AC 的中点，AB AC >，内切圆I 分别与边,BC CA 相切于,D E ；证明：,,MN BI DE 三线共点．证：如图，设,MN BI 交于点F ，连,,,AF AI IE EF ，由于中位线MN ∥BC ，以及BF 平分B ∠，则MF MB MA ==，所以090AFB ∠=，因IE AE ⊥，得A F E I 、、、共圆．（10分）所以AEF AIF ∠=∠；又注意I 是ABC ∆的内心，则090222A B CAEF AIF IAB IBA ∠=∠=∠+∠=+=-，(15分) 连DE ，在CDE ∆中，由于切线CD CE =，所以()0011809022CCED CDE C AEF ∠=∠=-=-=∠，因此,,D E F 三点共线，即有,,MN BI DE 三线共点．（20分）14、求出所有的函数**:f N N →使得对于所有*,x y N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除.因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除. 因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)1f f +>-，所以(1)10f -=，(1)1f =.……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

范围是{ A j }, j =1, 2,…，以及在第一象限内的抛物线坐标原点，则第 2014个等边三角形的边长是20XX 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二（时间：120分钟 满分：150）姓名、填空题： 本大题共10小题，每小题7分，共70分. 设(1 x ■ x 2)n =a o px TH • a 2n x 2n ，则 a ? ■ a^£ 的值为 若sinx ・siny =1，则cosx cosy 的取值范围是 设 f 1(x) = 2， f 2(x) =sin x cos 』2x ， f 3(x) =sin-^•-cos 2x ， f 4(x) =sin x 2，在这些函数中, V 2 周期函数的个数是 已知a 、b 是两个相互垂直的单位向量，而|c|=13，ca=3，cb=4 ；则对于任意实数 如t ?， |ct 1 -a -t 2 b |的最小值是 x —2 x —3 3 设有两个集合：M ={x|丁 •〒=二 —}，N ={x|- 6 口 x-3 5 6 已知数列{xj ，满足（n 十1）斗十=X n + n ，且x =2，则X 2014 =32 设函数 2f (x) x 2f (1) =3x—x 4x 3x，则 f (x)=.设命题P : c 2::: c 和命题Q :对任何 x ・R ， x 24cx 1 0有且仅有一个成立，则实数c 的取值上从左向右依次取点列 {B k }, k =1, 2,都是等边三角形, 其中在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列10•根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点3T沿正东偏北〉（°3违）方向行走段时间后，再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为每分钟10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分.2 2设双曲线x -y =1的左、右焦点分别为 F l 、F 2，若JPF 1F 2的顶点P 在第 动，求.PF 1F 2的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF 2上的切点轨迹.(1)求S n 的最小值;(2)在X 2*22小“川X n 2=1条件下，求S n 的最小值;11.象限的双曲线上移12. 设x , X 2，…，X n ■ R ，定义:(3)在X +X2 +…+人=1条件下，求S n的最小值，并加以证明.13 •设0、H分别为锐角JABC的外心和垂心，在AB上截取AD =AH，在AC上截取AE =A0 ; 求DE等于「ABC外接圆半径.14.在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位•为了试验打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器, 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，式武器的方案？5种不同新式武器，且每相邻5问共有多少种配备新20XX 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案一、填空题： 1 .设（1亠x 」x 2）n 解：令X =氏 +aM +…+ a 2n x 2n，贝U a 2 +a 4 +…+ a^ 的值为__________ =0，得 a 0=1 ； (1)令 x = _1，得 a 。

2013年江苏省高考数学模拟试卷（五）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 复数z=1+i+11+i在复平面上对应的点的坐标是________．2. 已知集合A={1,x−12}，B={0, 1, 2}，若A⊆B，则x=________．3. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．4. 函数f(x)=x3−3x，x∈[−1, 3]的最大值为________．5. 袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”，“9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是________．6. 若一个正方形的四个顶点都在双曲线C上，且其一边经过C的焦点，则双曲线C的离心率是________．7. 已知函数f(x)=lg(a x−b x)(a>1>b>0)，且a2=b2+1，则不等式f(x)>0的解集是________．8. 已知四点O(0, 0)，A(t, 1)，B(2, 3)，C(6, t)，其中t∈R．若四边形OACB是平行四边形，且点P(x, y)在其内部及其边界上，则2y−x的最小值是________．9. 函数y=tan(π4x−π2)的部分图象如图所示，则(OA→+OB→)⋅AB→=________．10. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是________．11. 对于问题：“已知两个正数x，y满足x+y=2，求1x +4y的最小值”，给出如下一种解法：∵ x+y=2，∴ 1x +4y=12(x+y)(1x+4y)=12(5+yx+4xy)，∵ x>0，y>0，∴ yx +4xy≥2√yx⋅4xy=4，∴ 1x+4y≥12(5+4)=92，当且仅当{yx=4xyx+y=2，即{x=23y=43时，1x+4y取最小值92．参考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三个内角，则1A +9B+C的最小值为________．12. 过直线l:y=2x上一点P做圆M：(x−3)2+(y−2)2=45的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线l对称时，则∠APB=________．13. 设S n为数列{a n}的前n项之和．若不等式a n2+S n2n2≥λa12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为________．14. 已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x)，且f(x)≠0，当x∈[1, 3]，f(x)=lnx，若在区间[13, 3]内，函数g(x)=f(x)−ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15. 已知函数f(x)=(1+1tanx )sin2x+msin(x+π4)sin(x−π4)．（1）当m=0时，求函数f(x)在区间(π8，3π4)上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=65，求m的值．16. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC＝90∘，D 为BC中点．(Ⅰ)求证：A1B // 平面ADC1；(Ⅱ)求证：C1A⊥B1C．17. 如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距(√6+√2)海里的M，N两地，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西15∘方向，ON=2√2海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为30∘和60∘．（1）求信号塔AB的高度；（2）乙船试图在线段ON上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，请判断这样的点P是否存在，若存在，求出最大视角及OP的长；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=xe−x(x∈R)（I）求函数f(x)的单调区间和极值；（II）已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f(x)>g(x)；（III）如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x2>2．19. 给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在坐标原点O，半径为√a2+b2的圆是椭圆m 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为F 2(√2, 0)，其短轴上的一个端点到F 2距离为√3． （1）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）若过点P(0, m)(m <0)的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为2√2，求m 的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线l 1，l 2的斜率之积是否为定值，并说明理由．20. 已知数列{a n }是以d 为公差的等差数列，数列{b n }是以q 为公比的等比数列．（1）若数列{b n }的前n 项和为S n ，且a 1=b 1=d =2，S 3<5b 2+a 88−180，求整数q 的值；（2）在（1）的条件下，试问数列{b n }中是否存在一项b k ，使得b k 恰好可以表示为该数列中连续P(P ∈N, P ≥2)项和？请说明理由；（3）若b 1=a r ，b 2=a s ≠a r ，b 3=a t （其中t >s >r ，且(s −r)是(t −r)的约数）求证：数列{b n }中每一项都是数列{a n }中的项．三．[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. 如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，CE =BE ，点E 在BC 上．求证：PE 是⊙O 的切线．22. 已知矩阵A =[1012]，若直线y =kx 在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点P(1, 5)，求实数k 的值．23. 在平面直角坐标系中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为{x =1−ty =1+2t （为参数）和{x =sinθ+cosθy =sin2θ（θ为参数）．分别写出曲线C 1和C 2的普通方程并求出曲线C 1与C 2的交点坐标．24. 已知正实数a ，b ，c 成等比数列，求证：a 2+b 2+c 2>(a −b +c)2． 四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.25. 如图，PA ⊥平面ABCD ，AD // BC ，∠ABC ＝90∘，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B−PC−D的余弦值．26. （1）已知k、n∈N∗，且k≤n，求证：kC n k=nC n−1k−1；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i−1+a i+1=2a i(i=1, 2, 3,…)．证明：对任意的正整数n，p(x)=a0C n0(1−x)n+a1C n1x(1−x)n−1+a2C n2x2(1−x)n−2+⋯+a n C n n x n 是关于x的一次式．2013年江苏省高考数学模拟试卷（五）答案1. (32,1 2 )2. 143. 44. 185. 256. √5+127. (2, +∞)8. −29. 610. (16, 5 6 )11. 16π12. 60∘13. 1514. ln33≤a<1e15. 解：（1）当m=0时，f(x)=(1+cosxsinx )sin2x=sin2x+sinxcosx=1−cos2x+sin2x2=1 2[√2sin(2x−π4)+1]由已知x∈(π8，3π4)，f(x)的值域为(0, 1+√22)（2）∵ f(x)=(1+1tanx )sin2x+msin(x+π4)sin(x−π4)=sin2x+sinxcosx+m(cosπ2−cos2x)2=1−cos2x2+sin2x2−mcos2x2=12[sin2x −(1+m)cos2x]+12 ∵ f(α)=65，∴ f(α)=12[sin2α−(1+m)cos2α]+12=65 ① 当tanα=2，得：sin2a =2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=45，cos2α=−35代入①式，解得m =−75．16. （1）连接A 1C ，设A 1C 交AC 1于点O ，连接OD ．因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为A 1C 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线，所以A 1B // OD ．因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1， 所以A 1B // 平面ADC 1．（2）由(Ⅰ)可知，C 1A ⊥CA 1因为侧面ABB 1A 1是正方形，所以AB ⊥AA 1， 又∠BAC ＝90∘，所以AB ⊥AC ，又AC ∩AA 1＝A 所以AB ⊥平面ACC 1A 1．又AB // A 1B 1，所以A 1B 1⊥平面ACC 1A 1． 又因为C 1A ⊂平面ACC 1A 1， 所以A 1B 1⊥C 1A ．所以C 1A ⊥平面A 1B 1C ． 又B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以C 1A ⊥B 1C ．17. 解：（1）由条件可得∠MON =105∘，在△MON 中，由正弦定理可得MN sin∠MON=ON sin∠OMN，即√6+√2sin105∘=2√2sin∠OMN ，解得sin∠OMN =√22，∠OMN =45∘，∴ ∠ONM =30∘．再由OM sin∠ONM =ON sin∠OMN求得OM =2．∵ 在M 处测得塔底B 和塔顶A 的仰角分别为30∘和60∘， ∴ OB =OM ⋅tan30∘=2√33，OA =OM ⋅tan60∘=2√3，∴ AB =OA −OB =4√33， 即信号塔AB 的高度为4√33海里． （2）假设存在符合条件的点P ，令OP =x ，0<x ≤2√2，设∠OPA =α，∠OPB =β， ∴ 视角θ=α−β，tanα=2√3x，tanβ=2√33x．∴ tanθ=tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=4√33×1x+4x．由于x >0，∴ x +4x≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =2时，等号成立，故tanθ≤√33． 综上可得，满足条件的点P 存在，且有OP =2，最大视角θ=α−β=30∘．18. 解：(I)解：f′(x)=(1−x)e −x 令f′(x)=0，解得x =1当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 + -所以f(x)在(−∞, 1)内是增函数，在(1, +∞)内是减函数． 函数f(x)在x =1处取得极大值f(1)且f(1)=1e ．（II ）证明：由题意可知g(x)=f(2−x)，得g(x)=(2−x)e x−2 令F(x)=f(x)−g(x)，即F(x)=xe −x +(x −2)e x−2 于是F ′(x)=(x −1)(e 2x−2−1)e −x当x >1时，2x −2>0，从而e 2x−2−1>0，又e −x >0，所以f′(x)>0，从而函数F(x)在[1, +∞)是增函数．又F(1)=e −1−e −1=0，所以x >1时，有F(x)>F(1)=0，即f(x)>g(x)． （III ）证明：（1）若(x 1−1)(x 2−1)=0，由(I)及f(x 1)=f(x 2)，则x 1=x 2=1．与x 1≠x 2矛盾．（2）若(x 1−1)(x 2−1)>0，由(I)及f(x 1)=f(x 2)，得x 1=x 2．与x 1≠x 2矛盾． 根据（1）（2）得(x 1−1)(x 2−1)<0，不妨设x 1<1，x 2>1． 由(II)可知，f(x 2)>g(x 2)， 则g(x 2)=f(2−x 2)， 所以f(x 2)>f(2−x 2)， 从而f(x 1)>f(2−x 2)．因为x 2>1，所以2−x 2<1，又由(I)可知函数f(x)在区间(−∞, 1)内是增函数， 所以x 1>2−x 2，即x 1+x 2>2．19. 解：（1）由题意得：a =√3，半焦距c =√2 则b =1椭圆C 方程为x 23+y 2=1“伴随圆”方程为x 2+y 2=4…（2）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线l 为：y =kx +m ， 则{y =kx +m x 23+y 2=1整理得(1+3k 2)x 2+6kmx +(3m 2−3)=0 所以△=(6km)2−4(1+3k 2)(3m 2−3)=0，解3k 2+1=m 2①… 又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为2√2， 则有2√22−(√k 2+1)2=2√2化简得m 2=2(k 2+1)②…联立①②解得，k 2=1，m 2=4，所以k =±1，m =−2(∵ m <0)，则P(0, −2)…（3）当l 1，l 2都有斜率时，设点Q(x 0, y 0)，其中x 02+y 02=4，设经过点Q(x 0, y 0)，与椭圆只有一个公共点的直线为y =k(x −x 0)+y 0， 由{y =kx +(y 0−kx 0)x 23+y 2=1，消去y 得到x 2+3[kx +(y 0−kx 0)]2−3=0… 即(1+3k 2)x 2+6k(y 0−kx 0)x +3(y 0−kx 0)2−3=0， △=[6k(y 0−kx 0)]2−4⋅(1+3k 2)[3(y 0−kx 0)2−3]=0，经过化简得到：(3−x 02)k 2+2x 0y 0k +1−y 02=0，…因为x 02+y 02=4，所以有(3−x 02)k 2+2x 0y 0k +(x 02−3)=0， 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以k 1，k 2满足方程(3−x 02)k 2+2x 0y 0k +(x 02−3)=0， 因而k 1⋅k 2=−1，即直线l 1，l 2的斜率之积是为定值−1… 20. 解：（1）由题意知，a n =2n ，b n =2⋅q n−1，所以由S 3<a 88+5b 2−180，可得，b 1+b 2+b 3<a 88+5b 2−180⇒b 1−4b 2+b 3<176−180⇒q 2−4q +3<0． 解得1<q <3，又q 为整数，所以q =2； （2）不存在这样的项．理由如下：假设数列{b n }中存在一项b k ，满足b k =b m +b m+1+b m+2+...+b m+p−1，因为b n =2n ，∴ b k >b m+p−1⇒2k >2m+p−1⇒k >m +p −1⇒k ≥m +p(∗)， 又bk =2k =bm +bm +1+bm +2+...+bm +p −1=2m +2m +1++2m +p −1=2m (2p −1)2−1=2m+p −2m <2m+p ，所以k <m +p ，此与(∗)式矛盾． 所以，这样的项b k 不存在；(III)由b 1=a r ，得b 2=b 1q =a r q =a s =a r +(s −r)d ， 则d =a r (q−1)s−r，又b3=b1q2=arq2=at =ar +(t −r)d ⇒arq2−a r =(t −r)⋅a r (q−1)s−r，从而ar(q +1)(q −1)=ar(q −1)⋅t−r s−r，因为a s ≠a r ⇒b 1≠b 2，所以q ≠1，又a r ≠0， 故q =t−rs−r −1．又t >s >r ，且(s −r)是(t −r)的约数， 所以q 是整数，且q ≥2，对于数列中任一项b i （这里只要讨论i >3的情形）， 有b i =a r q i−1=a r +a r (q i−1−1)=a r +a r (q −1)(1+q +q 2++q i−2) =a r +d(s −r)(1+q +q 2++q i−2)=a r +[((s −r)(1+q +q 2++q i−2)+1)−1]•d ，由于(s −r)(1+q +q 2++q i−2)+1是正整数，所以b i 一定是数列{a n }的项． 故得证．21. 解：连接BP ，OP ，∵ AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，CE =BE ，点E 在BC 上， ∴ ∠APB =90∘，∠ABC =90∘，∠BAC =∠PBC ，∴ ∠BPC =180∘−∠PBC −∠C =180∘−∠BAC −∠C =∠ABC =90∘， ∴ PE =BE =CE ， ∵ OB =OP ， ∴ ∠OPE =90∘， ∴ PE 是⊙O 的切线． 22. 解：设变换T:[x′y′]→[x′′y′′]，即{x =x′y =y′代入直线y =kx 得x ′=ky ′， 将点P(1, 5)代入， 得k =15． ∴ 实数k 的值15．23. 解：曲线C 1:{x =1−ty =1+2t （为参数），消去t 得：2x +y −3=0，曲线C 2:{x =sinθ+cosθy =sin2θ（θ为参数），消去θ得：x 2=1+y ，(−1≤y ≤1)．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的普通方程分别为2x +y −3=0，x 2=1+y ，(−1≤y ≤1)．解方程组{2x +y −3=0x 2=1+y ，可得{x =−1+√5y =5−2√5或{x =−1−√5y =5+2√5（不合，舍去），故曲线C 1与C 2的交点坐标为(−1+√5, 5−2√5)．24. 证明：∵ a 2+b 2+c 2−(a −b +c)2=2(ab +bc −ac)． ∵ a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列， ∴ b 2=ac ≤(a+c 2)2， 开方可得a+c 2≥√b 2，故 a +c ≥2b >b ．∴ 2(ab +bc −ac)=2(ab +bc −b 2)=2b(a +c −b)>0，∴ a 2+b 2+c 2−(a −b +c)2>0， ∴ a 2+b 2+c 2>(a −b +c)2．25. 证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 3, 0)，P(0, 0, 1)，E(12, 0, 12)，∴ AE →=(12, 0, 12)，BC →=(0, 1, 0)， BP →=(−1, 0, 1)．∴ AE →⋅BC →=0，AE →⋅BP →=0， 所以AE →⊥BC →，AE →⊥BP →．所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 所以AE ⊥平面PBC ．设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则n →⋅CD →=0，n →⋅PD →=0． 因为CD →=(−1, 2, 0)，PD →=(0, 3, −1)，所以{−x +2y =03y −z =0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．所以n →=(2, 1, 3)是平面PCD 的一个法向量． ...8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以AE →平面PBC 的法向量． 所以cos <AE →，n →>=AE →⋅n→|AE →||n →|=5√714． 根据图形可知，二面角B −PC −D 的余弦值为−5√714． ...10分26. 证明：（1）左边=kC n k=k ⋅n!k!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!，右边=n ⋅(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n!(k−1)!(n−k)!，所以kC n k =nC n−1k−1；（2）由题意得数列a 0，a 1，a 2，…为等差数列，且公差为a 1−a 0≠0．则p(x)=a 0C n 0(1−x)n +a 1C n 1x(1−x)n−1+a 2C n 2x 2(1−x)n−2+⋯+a n C n n x n =a 0C n 0(1−x)n +[a 0+(a 1−a 0)]C n 1x(1−x)n−1+⋯+[a 0+n(a 1−a 0)]C n n x n =a 0[C n 0(1−x)n +C n 1x(1−x)n−1+⋯+C n n x n ]+(a 1−a 0)[C n 1x(1−x)n−1+2C n 2x 2(1−x)n−2+⋯+nC n n x n]=a 0[(1−x)+x]n +(a 1−a 0)nx[C n−10(1−x)n−1+C n−11x(1−x)n−2+⋯+C n−1n−1x n−1]=a 0+(a 1−a 0)nx[x +(1−x)]n−1=a 0+(a 1−a 0)nx ， 所以对任意的正整数n ，p(x)是关于x 的一次式．。