江苏省天一中学20XX学年高一数学上学期期末考试试题(无答案).doc

高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．. 1． 已知全集{12345}U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B = __2.已知：,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭8且，用列举法表示集合A = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为4. 函数23)(-=xx f 的定义域为5. 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ________6． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值之和为 ______7.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m8.方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ． 9.已知：定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时2()2,f x x x =+则当0x <时，()f x = ____________10．设函数e ()1exx a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ____11．函数21-=+x a y （a>0,且a ≠1）的图象恒．过一定点，这个定点是 ． 12. 已知函数(2)75,1()1,1x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨+>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是_______.13．已知奇函数f(x)是定义在()1,1-上的增．函数，且(21)()0f m f m ++<.则实数m 取值范围_____________________.14．给定集合A 、B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=*但或.已知{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，用列举法．．．写出=*B A ．二. 解答题15．（14分）已知：{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若,A B =∅求实数a 的取值范围;（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。

2020-2021学年江苏省无锡市天一高级中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （4分）函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于（）A．B． 2 C． 4 D．参考答案：B考点：指数函数单调性的应用．专题：计算题．分析：利用函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的单调性与f（x）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3即可列出关于a的关系式，解之即可．解答：∵函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，∴a0+a1=3，∴a=2．故选B．点评：本题考查指数函数单调性的应用，得到a的关系式，是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．2. 函数的单调递增区间是（）A．(－∞,+∞) B．[－2,+∞) C．(－∞,－2) D．[0,+∞)参考答案：B 3. 如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（）A． m3 B． m3 C．1m3 D． m3参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】根据正六边形的性质求出底面边长，利用矩形的面积得出棱柱的高．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则，解得a=，h=．∴六棱柱的体积V==．故选B．【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，棱柱的体积计算，属于基础题．4. 已知，则角的终边所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D由可知：则的终边所在的象限为第四象限故选5. 为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点（）A.横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度ks5u参考答案：B略6. 把88化为五进制数是（）A．323(5) B．324(5) C．233(5) D．332(5)[参考答案：A7. 设、为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中正确命题的是A．若、与所成的角相等，则B．若，，∥，则C．若，，，则D．若，，⊥，则参考答案：D 8. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7参考答案：B【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B9. 在中，是边上的中点，则向量A. B. C. D.参考答案：A略10. 某学生离家去学校，因为怕迟到，所以一开始就跑步，后来累了，就走回学校。

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省高一（上）期末数学试卷（附参考答案）一、单选题（共8小题）.1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（）A．2πB．πC．D．解：函数y＝tan（2x﹣），所以T＝＝．故选：C．3．方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝log x的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，故选：B．4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（）A．甲、乙都是真命题B．甲、乙都不是真命题C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”．对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；对于B，因为A∪∁U A＝U对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合A，A∪∁U A＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁U A≠U，所以C 对；对于D，由C知，D错；故选：C．5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（）A．B．C．D．解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，则对应的图象为B，故选：B．6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．故选：A．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B，C，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年解：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500（1+20%）n，令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，故，所以＝，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．故选：C．二、多项选择题9．下列命题中正确的是（）A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bdB．若a＞b，则ka＞kbC．若a＜b，则|a|＜|b|D．若a＞b＞0，则解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．故选：AD．10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A．如果，B．如果，则t＝2C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．故选：ACD．11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（）A．xy＝2B．C．D．x＞y解：∵2x＝3，3y＝4，∴x＝log23，y＝log34，∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；x＝log23＞＝，故B错误；x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝＞＞＝0，即x＞y，故D正确．故选：ACD．12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米C．当t＝10秒时，PP0＝6D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+B．则，解A＝6，B＝3，又水轮每分钟转动一周，则，∴f（t）＝6sin（φ）+3，由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，则f（t）＝6sin（）+3．对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；对于C，当t＝10时，，又OP＝6，∴，故C正确；对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为．解：设幂函数为：y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝，∴f（2）＝．故答案为：14．函数在上的值域为．解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，y取得最小值为﹣，∴函数在上的值域为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为1；的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为，故答案为：1，．16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为（40+30）π米．解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．故答案为：（40+30）π．四、解答题17．求下列各式的值．（1）（e为自然对数的底数）；（2）．解：（1）＝＝．（2）＝＝＝．18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）求集合A，B；（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知：，解得x＞3或x＜1，∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，此时解得m＜﹣1或m＞5，综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．19．设函数．（1）解不等式．（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．解：（1）令，则原式变为，而t2﹣t+2＞0恒成立，∴，即，所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，解得t∈（1，2），∴，解得x∈（3，9）；（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．当t＝0时，f（t）＝0；当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sin x）＝f（cos x），求x的值．【解答】解．（1）奇函数；证明：函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）为奇函数（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因为，，0≤x1x2＜1所以则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上为减函数．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cos x≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sin x）＝f（cos x）⇒sin x＝cos x，又x∈[0，2π]，则或．22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．请在下面四个函数：①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝＝＝，整理得2a＝不是常数，不满足条件．若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．若选③，则f（x）＝．定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．若选④g（x）＝8x，，，当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，，所以m的取值范围是．（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，1．当m＜1，此时方程无解；2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，下证必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一个零点，又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．。

2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。

江苏省无锡市天一中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2参考答案：A考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．解答：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠?，∴a＜2．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 为了得到函数的图像，只需将的图像上每一点Ａ．向左平移个单位长度Ｂ．向右平移个单位长度Ｃ．向左平移个单位长度Ｄ．向右平移个单位长度参考答案：D3. 已知的表达式为（） A． B．C．(x+1)2+2 D．(x+1)2+1参考答案：C4. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．3参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C5. 不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|x＞5或x＜﹣2}参考答案：D【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．6. 己知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则的值为( )A. B． C. D.参考答案：C7. 已知sin（α+β）=，则tanαcotβ=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】方程思想；整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意及和差角的三角函数公式整体可解得sinαcosβ和cosαsinβ的值，要求的式子切化弦，整体代入可得．【解答】解：∵sin（α+β）=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，联立以上两式可解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴tanαcotβ===，故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，整体法是解决问题的关键，属基础题．8. 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是（）A．3πa2 B．4πa2 C．5πa2 D．6πa2参考答案：C【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据相似三角形求出上底面半径和a的关系，再计算两底面积之和．【解答】解：设圆台的母线AA′与圆台的轴OO′交于点S，则∠ASO=30°，设圆台的上底面半径为r，则SA′=2r，OA=2r，SA=4r，∴AA′=SA﹣SA′=4r﹣2r=2r=2a，∴r=a，∴圆台的上下底面积S=πr2+π（2r）2=5πr2=5πa2．故选C．【点评】本题考查了圆台的结构特征，属于基础题．9. 2017年9月29日，第七届宁德世界地质公园文化旅游节暨第十届太姥山文化旅游节在福鼎开幕.如图所示是本届旅游节的会标，其外围直径为6，为了测量其中山水图案的面积，向会标内随机投掷100粒芝麻，恰有30粒落在该图案上，据此估计山水图案的面积大约是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B10. 已知函数的部分图象如图所示，=A.B.C. 2D. 1参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数 (其中)的图象为，则函数的图象一定不过第 ▲象限.参考答案：四12. 下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．参考答案：13. 设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A M ，A 不是空集，且满足：若a A ，则，则满足条件的集合A 共有_____________个．参考答案：714. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为________．参考答案：8 略15. 若关于的方程= k 有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 _____▲_ .参考答案：16. 已知直线l 过点，且与直线垂直，则直线l 的方程为____.参考答案：分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：.故答案为：.点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.17. 过点的直线的方程为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年第一学期期末测试卷01高一数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共23题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。

一、单选题（共12小题）1.设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对任意的m∈N*，a m+2＞a m，必有，即q＞1，所以{a n}为递增数列；反之，若{a n}为递增数列，则a m+2＞a m+1＞a m，故为充要条件，故选：C．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.已知[x]表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]＝3，[﹣4.2]＝﹣5，方程[2x2﹣x]＝0的解集为A，集合B＝{x|6x2﹣5ax+a2＞0}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0或B．﹣1＜a＜0或C．﹣1＜a≤0或D．﹣1≤a≤0或【解答】解：由[2x2﹣x]＝0，得0⩽2x2﹣x＜1，即，解得或，所以或，6x2﹣5ax+a2＝（2x﹣a）（3x﹣a）＞0，当a＞0时，或，由A∪B＝R，得，解得；当a＜0时，或，由A∪B＝R，得，解得﹣1＜a＜0；当a＝0时，B＝{x|x≠0}，满足A∪B＝R，综上所述实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或，故选：C．【知识点】并集及其运算3.若二次函数f（x）＝ax2+2ax+1在区间[﹣2，3]上的最大值为6，则a＝（）A．B．或5C．或﹣5D．【解答】解：显然a≠0，有f（x）＝a（x+1）2﹣a+1，当a＞0时，f（x）在[﹣2，3]上的最大值为f（3）＝15a+1，由15a+1＝6，解得，符合题意；当a＜0时，f（x）在[﹣3，2]上的最大值为f（﹣1）＝1﹣a，由1﹣a＝6，解得a＝﹣5，所以，a的值为或﹣5．故选：C．【知识点】二次函数的性质与图象4.已知＝1，且a＞0，b＞0，则3a+b的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：已知＝1，且a＞0，b＞0，则，故＝1++，当且仅当a＝，b＝，等号成立．故选：C．【知识点】基本不等式及其应用5.已知幂函数f（x）＝mx n的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln2），则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：∵函数f（x）＝mx n为幂函数，故m＝1，由函数f（x）＝mx n的图象过点（，2），故，解得：n＝3，故函数f（x）＝x3，则函数为增函数，∵n＞m＞ln2，故c＜a＜b，故选：B．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域6.已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），有＞0，且f（x+2）是偶函数，不等式f（m+1）≥f（2x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，6]B．[﹣4，3]C．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）【解答】解：对任意的x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），有＞0，故f（x）在[2，+∞）递增，而f（x+2）是偶函数，故f（x）的对称轴是：x＝2，故f（x）在（﹣∞，2]递减，在（2，+∞）递增，不等式f（m+1）≥f（2x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，且﹣3≤2x﹣1≤﹣1，故只需f（m+1）≥f（2x﹣1）max＝f（﹣3）即可，由对称性得：f（m+1）≥f（7），故m+1≤﹣3或m+1≥7，解得：m≤﹣4或m≥6，故选：C．【知识点】函数单调性的性质与判断7.定义在R上的偶函数满足f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：由f（x+2）＝f（x），可得f（x）为周期为2的偶函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，画出函数y＝f（x）的图象；函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，可得x＝0时，g（0）＝0，x＜0时，g（x）＝﹣lg（﹣x），作出y＝g（x）的图象，由lg10＝1，f（x）的最大值1，可得x＞0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有9个交点；x＝0时，f（0）＝g（0）＝0；x＜0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有1个交点；综上可得y＝f（x）和y＝g（x）的图象共有11个交点，即有h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是11．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系8.已知函数，若函数的图象与x轴恰好有3个交点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．（1，+∞）【解答】解：由题意画出函数的图象如图，函数的图象与x轴恰好有3个交点，即函数y＝f（x）与y＝mx+m的图象有三个交点，直线y＝mx+m过定点P（，0），P A所在直线的斜率k＝，直线y＝x+2的斜率为1，∴要使函数的图象与x轴恰好有3个交点，则实数m的取值范围为．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系9.将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，且g（π）+g（）＞0，则当φ取最小正数时，不等式g（x）≥的解集是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣π，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝sin（2x++φ）＝cos（2x+φ）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，即g（x）的图象在x＝处切线斜率为零，即g′（）＝﹣2sin（2×+φ）＝0，∴φ的值可以为，此时，f（x）＝sin（2x+），g（x）＝cos（2x+）．此时，g（π）+g（）＝﹣﹣＜0，不满足条件．若取φ＝﹣，g（x）＝cos（2x﹣），g（π）+g（）＝+＞0，满足条件．则当φ取最小正数时，不等式g（x）＝cos（2x+）≥，即cos（2x+）≥，故+2kπ≤2x+≤+2kπ，求得kπ≤x≤kπ+．由于函数f（x）的周期为π，故kπ≤x≤kπ+，即kπ﹣π≤x≤kπ﹣．故不等式的解集为{x|kπ﹣π≤x≤kπ﹣，k∈Z}，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，记关于x的方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．tan2t【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，2sinφ＝，∴φ＝．再根据五点法作图可得ω×+＝π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．根据方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，可得sin（2x+）＝在区间[0，]上所有解的和为θ，当x∈[0，]，2x+∈[，2π]．故方程的解共有2个，设这两个解x1、x2，则2x1++（2x2+）＝2×，求得x1+x2＝＝θ，故tan θ＝tan＝tan＝，故选：B．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式11.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若M＝3，则N＝2【解答】解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.设M，N是R的两个非空子集，如果存在一个从M到N的函数y＝f（x）同时满足：（ⅰ）N＝{y|y＝f（x），x∈M}；（ⅱ）对任意x1，x2∈M，当x1≠x2时，恒有＞0，那么称这两个集合为“TF”集合，以下集合对不是“TF”集合的个数为（）（1）M＝{x|﹣10＜x＜10}，N＝R；（2）M＝{x|1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜1}；（3）M＝R，N＝{x|x＞0}；（4）M＝Z，N＝Q．A．0B．1C．2D．3【解答】解：由“TF集合的定义可得：（i）表示的含义是y＝f（x）的定义域是M，值域是N，（ii）表示的是y＝f（x）是增函数．对于（1）：存在函数f（x）＝tan满足题意，故（1）中M、N是“TF”集合；对于（2）：存在函数f（x）＝x﹣3满足题意，故（2）中M、N是“TF”集合；对于（3）：存在函数f（x）＝2x满足题意，故（3）中M、N是“TF”集合；对于（4）：不存在一个函数是以整数Z为定义域以有理数Q为值域的增函数．故：（1）（2）（3）（4）中不是“TF”集合的个数为1个．故选：B．【知识点】函数单调性的性质与判断、函数的单调性及单调区间二、填空题（共4小题）13.已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【知识点】交集及其运算14.已知x，y是正实数，且x+y＝3，则+的最小值是．【解答】解：∵x，y是正实数，且x+y＝3，∴（x+1）+（y+4）＝8，∴+＝[（x+1）+（y+4）]（+）＝[5++]≥（5+2）＝，当且仅当时取“＝“，故答案为：．【知识点】基本不等式及其应用15.将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则a的最小值为．【解答】解：将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝2sin（2x ﹣2a+）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则f（x0）＝﹣2，g（x0）＝2，则a的最小值为f（x）的半个周期，即a＝＝，故答案为：．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换16.已知函数f（x），g（x）均为周期为2的函数，，g（x），若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[0，5]有10个零点，则实数m的取值范围是．【解答】解：做出f（x）的图象，如图作出g（x）在区间和区间上的图象，易知在区间和区间上f（x）和g（x）共有两个交点，∵f（x）和g（x）在区间[0，5]上共有10个交点，∴f（x）和g（x）在区间[0，]，[2，]，[4，5]共有8个交点，又f（x）和g（x）的周期均为2，则f（x）和g（x）在区间[0，1]上有2个交点，在区间上有1个交点，在区间[0，1]上有2个交点，由上式可知：，令t＝4x+1，则t∈[1，5]，，由基本不等式可知，当且仅当t＝3时等号成立；当t＝1时，m＝0；当t＝5时，，所以时有两解，在区间有1个交点，由上式可知：，令s＝x﹣1，则，，令，则，令f′（s）＝0，解得，当，时，f（s）在区间上是增加的，当时，f（s）在区间是减少的，，所以，当s＝2时，，当时，，所以，或，综上，．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系三、解答题（共7小题）17.（1）计算：；（2）解不等式：x（x﹣4）+40＞5（2x﹣1）．【解答】解：（1）＝×1+×+＝++32×23＝2+2+72＝76；（2）不等式x（x﹣4）+40＞5（2x﹣1）可化为x2﹣14x+45＞0，即（x﹣5）（x﹣9）＞0，解得x＜5或x＞9，所以不等式的解集为{x|x＜5或x＞9}．【知识点】一元二次不等式及其应用、有理数指数幂及根式18.计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝．（2）由，可得，即．故原式＝0．【知识点】运用诱导公式化简求值、三角函数的恒等变换及化简求值19.已知集合A＝{x|x﹣4＞0}，集合B＝{x|3﹣2x≤x≤10﹣x}，集合C＝{x|m＜x＜2m﹣3}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|x＞4}，B＝{x|1≤x≤5}，∴∁R A＝{x|x≤4}，（∁R A）∩B＝[1，4]；（2）∵A∪C＝A，∴C⊆A，∴①C＝∅时，m≥2m﹣3，解得m≤3；②C≠∅时，，解得m≥4，∴m的取值范围为{m|m≤3或m≥4}．【知识点】交、并、补集的混合运算20.已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的最小值．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），（Ⅰ）函数周期为T＝＝π；（Ⅱ）因为x，所以2x﹣，所以当2x﹣＝﹣，即x＝0时，f（x）min＝＝﹣1，故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1．【知识点】三角函数的最值、三角函数的周期性、三角函数中的恒等变换应用21.某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f （x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．【知识点】根据实际问题选择函数类型、分段函数的应用22.已知函数h（x）＝x+．（1）直接写出h（x）在上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A为f（x）的“Γ区间”．已知f（x）＝x+（x∈[，2]），若是函数f（x）的“Γ区间”，求实数b的最大值．【解答】解：（1）h（x）在区间上单调递减；h（x）在区间[1，2]上单调递增．（2）由题意知，，①若，则h（x）在上单调递减，∴h（x）的最大值为；②若1＜a≤2，则h（x）在上单调递减，在[1，a]上单调递增，∵，∴h（x）的最大值为；③若a＞2，则h（x）在上单调递减，在[1，a]上单调递增，∵，∴h（x）的最大值为，综上，若，则h（x）的最大值为；若a＞2，则h（x）的最大值为．（3）由（1）（2）知①当时，f（x）在上的值域为，f（x）在[b，2]上的值域为，∵，∴满足，∃x2∈[b，2]，使得f（x1）＝f（x2），∴此时是f（x）的“Γ区间”；②当1＜b≤2时，f（x）在上的值域为，f（x）在[b，2]上的值域为，∵当x1∈[1，b）时，，∴∃x1∈[1，b），使得，即∃x1∈[1，b），∀x2∈[b，2]，f（x1）≠f（x2）∴此时不是f（x）的“Γ区间”∴实数b的最大值为1．【知识点】函数的最值及其几何意义23.若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t﹣增长函数．（1）已知函数g（x）＝x，函数h（x）＝x2，判断g（x）和h（x）是否为区间[﹣1，0]上的﹣增长函数，并说明理由；（2）已知函数f（x）＝|x|，且f（x）是区间[﹣4，﹣2]上的n﹣增长函数，求正整数n的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数q，f（x）都是R上的q﹣增长函数，判断f（x）是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；②如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4﹣增长函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝x是：因为∀x∈[﹣1，0]，g（x+）﹣g（x）＝（x+）﹣x＝＞0；h（x）＝x2不是，反例：当x＝﹣1时，h（﹣1+）＝h（）＝＜h（﹣1）＝1．（2）由题意得，|x+n|＞|x|对于x∈[﹣4，﹣2]恒成立，等价于x2+2nx+n2＞x2，即2nx+n2＞0对x∈[﹣4，﹣2]恒成立，因为n＞0，所以2nx+n2是关于x的一次函数且单调递增，于是只需﹣8n+n2＞0，解得n＞8，所以满足题意的最小正整数n为9．（3）①不是构造，则对任意的正有理数q，若x∈Q，则x+q∈Q，因此f（x+q）＝x+q＞x＝f（x）；若x∈∁R Q，则x+q∈∁R Q，因此f（x+q）＝x+q﹣1＞x﹣1＝f（x）．因此f（x）是R上的q﹣增函数，但f（x）不是增函数．②根据题意，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）＝x﹣2a2，当0≤x≤a2时，f（x）＝﹣x，由奇函数的对称性可知：当x≤﹣a2时，f（x）＝x+2a2，当﹣a2≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则可得函数图象如图：易知图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0），因此函数f（x）在[﹣a2，a2]上是减函数，其余区间上是增函数，f（x）是R上的4﹣增长函数，则对任意的x，都有f（x+4）＞f（x），易知当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）＞f（x），必有f（x+4）＞0，即x+4＞2a2，故﹣2a2≤x≤0且x+4＞2a2，所以4＞4a2，解得﹣1＜a＜1，故答案为a∈（﹣1，1）．【知识点】函数单调性的性质与判断。

高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题： 1~8 CCBD ABDD 二、多项选择题：9.BD 10. AB 11. BC 12.BCD 三、填空题：13．4- 14．2 15．45 16．1(,1]2- 四、解答题17解：（1）由题意知，43sin ,cos 55αα==， ..................................................2分故 432sin 2cos 551043sin cos 55αααα+⨯+==--. ........................................................... 4分 （2）由ππ(,)22αβ+∈-，31)sin(-=+βα,得322)31(1)(sin 1)cos(22=--=+-=+βαβα ........................6分 所以，αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos ⋅++⋅+=-+=..........8分314()535+-⨯=分18解：)3,2(),1,1(-=-=k AC AB（1）当3=k 时，)3,1(=AC ，)4,0(=+AC AB .............................................3分44022=+=............................................5分（2）假设存在实数k ，满足AB 与AC 的夹角为045.因为k k AC AB -=⨯+-⨯-=⋅531)2()1(，13432(2222+-=+-==k k k ）， .......................................8分所以，AC AB =45cos即22134252=+-⋅-k k k ....................................10分 解得2=k所以存在实数2=k ，使AB 与AC 的夹角为045. .............................................12分19．解：（1）依题意得，,4ABD CBD π∠=∠=延长MN 交BC 于点H .因为//MN AB ，且四边形ABCD 为正方形，所以NMB ABM θ∠=∠=，.4HNB CBD π∠=∠=…….1分在BMH Rt 中，sin 2sin .BH BM θθ==cos 2cos .MH BM θθ== ………………………3分在BNH Rt 中，因为4HNB CBD π∠=∠=，所以2sin .NH BH θ==所以2(cos sin ).MN MH NH θθ=-=-……………………4分 所以1π()2sin (cos sin )((0,)).24S MN BH θθθθθ==-∈………………………6分 （2）由（1）得，()2sin (cos sin )S θθθθ=- sin 2(1cos 2)θθ=--sin 2cos 21)14θθπθ=+-=+- ……………………………9分因为4πθ∈（0，），所以32+444πππθ∈（，），所以当max 2+==() 1.428S πππθθθ=，即时， ……………………………11分答： ()S θ1百米平方，此时.8πθ= ……………………………12分20解：方法一（1）在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB = 2CD ，所以AO = 2OC ，ABCDMNθ（第19题）HH=()AM BD AO OM BD AO BD OM BD AO BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅23AC BD =⋅…………2分 222=()()=()33AD DC AD AB AD DC AB +⋅--⋅ 28(424)33=-⨯=-； ………………………5分 (2) 令=AM AB λ, ()AM BD AB BD AB AD AB λλ⋅=⋅=⋅- 28163AB λλ=-=-=-则16λ=，即1=6AM AB ， ……………6分 22()cos 45o AN MN AN AN AM AN AN AM AN AN AM ⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯2212cos 4563o AN AN AB AN AN =-⨯⨯⨯=- ……………8分令AN t =，则 0t ≤≤，221(18AN MN t t ⋅==-， 所以当26AN = AN MN ⋅有最小值118-. ………………………12分方法二（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系；则 (0,0),(4,0),(2,2),(0,2);A B C D 则4,2BD =-（），由相似三角形易得44(,).33O设(,0),M λ则44,33OM λ=（--），……………2分 448)(4)(240333OM BD λλ⋅=⨯-+⨯=-+=（--).得23λ=.则203AM =（,），28(4)02.33AM BD ⋅=⨯-+⨯=-…………………5分 （2）设(,),N a a 显然02a ≤≤，222211(,)(,)22()33618AN MN a a a a a a a ⋅=⋅-=-=--………………10分所以当16a=时， AN MN ⋅有最小值118-.……………………………12分（第20题）21解：（1）由222a -≤得6a ≤，所以a 的取值范围(,6]-∞；………………………2分 （2）2()(2)1||h x x a x a x a =--++--22(1)21,(3)1,x a x a x a x a x x a ⎧--++≥⎪=⎨--+<⎪⎩①若32a a -≤即3a ≤-， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+递减，且min ()()31h x h a a ==+，当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++最小值为2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 此时有2131(5)74a a +>--+，所以21()(5)74a a ϕ=--+；………………5分 ②若3122a a a --<<即31a -<<-时， 当x a ≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时2()(1)21h x x a x a =--++在12a x -=时取得最小值为 2min 11()()(5)724a h x h a -==--+， 若21a -<<-，则2211(5)7(3)144a a --+>--+，此时21()(3)14a a ϕ=--+，若32a -<≤-，则2211(5)7(3)144a a --+≤--+，此时21()(5)74a a ϕ=--+；……9分 ③若12a a -≥即1a ≥-， 当x a≤时2()(3)1h x x a x =--+在32a x -=时取得最小值2min 31()()(3)124a h x h a -==--+， 当x a >时，2()(1)21h x x a x a =--++递增()()31h x h a a >=+， 此时有2131(1)14a a +>--+，所以21()(3)14a a ϕ=--+；综上，221(3)1,24()1(5)7, 2.4a a a a a ϕ⎧--+>-⎪⎪=⎨⎪--+≤-⎪⎩，………………………12分22解：（1）当0k =时，函数2()log (21)x f x =+定义域为R ，任取12x x <，121222()()log (21)log (21)x x f x f x -=+-+12221log 21x x +=+，因为12x x <，所以1212(21)(21)220x x x x +-+=-<，所以1202121x x <+<+，12210121x x+<<+， 所以12221log 021x x+<+， 所以12()()f x f x <，故函数()f x 在R 上单调递增；………………………3分（2）（i ）因为函数()f x 是偶函数，所以22log (21)log (21)x x kx kx -+-=++，即2221log log (21)2x x x kx kx +-=++， 即22log (21)(1)log (21)x x k x kx +-+=++， 所以(1)k x kx -+=恒成立， 所以12k =-；（用特殊值求出k 值，若不进行验证的扣1分）………………………5分 （ii ）由题意得22111log (21)log (2)222x x x a a x +-=⋅-+， 所以2221log (21)log (2)log 22x x x a a +=⋅-+，所以121422x x x a a +=⋅-⋅，即14(1)2102x x a a ⋅-+⋅-=，设2x t =，则t 与x 一一对应，原方程化为21(1)102a t a t ⋅-+-=，…………7分设21()(1)12h t a t a t =⋅-+-，因为112=(2)022x x a a a ⋅-->，所以122x a -与符号相同，①当0a >时，122x t =>，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(,)2+∞上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向上，(0)10h =-<，13()022h =-<，136(+)02h a a=>， 当0a >时，所以方程在1(,)2+∞上只有一个正根；………………………9分②当0a <时，1022x t <=<，则方程21(1)102a t a t ⋅-+-=在1(0,)2上只有一个正根， 因为21()(1)12h t a t a t =⋅-+-开口向下，(0)10h =-<，13()022h =-<，则21(1)4021112022a a a a ⎧∆=++=⎪⎪⎨+⎪<<⎪⎩，解得102a a ⎧=-±⎪⎨<-⎪⎩，所以10a =-- 故当0a >或10a =--………………………12分。

天一大联考2020-2021学年高一数学上学期期末卷一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（）A ．8-B ．7-C ．72-D ．722．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,33．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()2f x x =，()()2g x x=D ．()1f x =，()0g x x =4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（）A ．3B ．23C ．25D ．65．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π6．已知ln 2a =，2b =，21log c e=，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b a c>>7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ^，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c ++=被圆222x y +=所截得的弦长为（）A ．22B ．2C ．2D ．2210．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断11．已知点(),x y 是曲线24y x =-上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（）A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．函数()ln 21x f x x =--的定义域为______.14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______.16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.三、解答题17．设集合1,202xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若A C C = ，求t 的取值范围.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l 的距离为25，求+a b 的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A 万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.22．已知圆22:2410C x y x y +--+=.（1）若过点()0,5A的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.解析天一大联考2020-2021学年高一数学上学期期末卷一、单选题1．过点()1,3-且斜率为12的直线在x 轴上的截距为（）A ．8-B ．7-C ．72-D ．72【答案】B【分析】求出直线方程，令0y =可得结论．【详解】由题意直线方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=，令0y =得7x =-，所以直线在x 轴上截距为7-．故选：B ．2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈>，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】D【分析】由图可知，阴影部分所表示的集合是()U A B ð，根据补集、交集定义即可求出.【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合是()U A B ð，{}3B x R x =∈> ，{}3U B x R x ∴=∈≤ð,(){}0,1,2,3U B A ∴⋂=ð.故选：D.3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A ．()f x x =，()lg10xg x =B ．()211x f x x -=+，()1g x x =-C ．()2f x x=，()()2g x x =D ．()1f x =，()0g x x =【答案】A【分析】两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.【详解】A.两个函数的定义域相同，并且函数()lg10x gx x ==，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；B.函数()211x f x x -=+的定义域是{}1x x ≠-，函数()1g x x =-的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数； C.函数()2f x x =的定义域是R ，函数()()2g x x=的定义域是[)0,+∞，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；D.函数()1f x =的定义域是R ，函数()0g x x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；故选：A4．设点()1,1,1P 关于原点的对称点为P '，则PP '=（）A ．3B ．23C ．25D ．6【答案】B【分析】根据空间直角坐标系中的对称性写出P '坐标，然后计算线段长．【详解】由题意(1,1,1)P '---，∴222(11)(11)(11)23PP '=+++++=．故选：B ．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．16π【答案】C【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥P ABCD -，如图，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB ⊥底面ABCD ，由PB ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，得PB AD ⊥，又AD AB ⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，所以AD PA ⊥，同理DCPC ⊥，同样由PB ⊥底面ABCD 得PB BD ⊥，所以PD 中点O 到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD 为球直径，222222PD PB BD PA AD AB =+=++=，∴外接球半径为12ADr ==，表面积为2414S ππ=⨯=．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．6．已知ln 2a =，2b =，21log c e=，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数的单调性求出,a c 范围即可比较.【详解】0ln1ln 2ln 1e =<<= ，01a ∴<<，21b =>，22110log log c e=<=，b a c ∴>>.故选：D.7．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ^，且12AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【分析】证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论，【详解】∵90BAC∠=︒，12AC BC =，∴30CBA ∠=︒，∵1BC AC ^，AB AC ⊥，1BC AB B =，1,BC AB ⊂平面1ABC ，∴AC ⊥平面1ABC ，∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30°，∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30°，故选：A ．【点睛】思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．8．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．(]4,4-C ．()4,-+∞D ．[)4,4-【答案】B【分析】令()23x x a g ax -+=，则可得()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解出即可.【详解】令()23x x a g ax -+=，其对称轴为2ax =，要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，则应满足()22240a g a ⎧≤⎪⎨⎪=+>⎩，解得44a -<≤.故选：B.9．若222+=a b c （0c ≠），则直线0ax by c ++=被圆222x y +=所截得的弦长为（）A ．22B ．2C ．2D ．22【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．【详解】∵222+=a b c （0c ≠），圆心O 到直线的距离为221c d a b==+，圆半径为2r =，所以弦长为222222(2)12l r d =-=-=．故选：C ．10．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m =-2或m =3．∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数，∴260m ->，∴m =3（m =-2舍去）∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>，则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=-∴()()0f a f b +>．故选：A【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1；(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．11．已知点(),x y 是曲线24y x =-上任意一点，则23y x --的取值范围是（）A ．()0,2B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】在平面直角坐标系中作出曲线24y x =-，这是一个半圆，23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线24y x =-是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切，∴02PQ k ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．12．已知函数()2log ,0,1,0.x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===（1x ，2x ，3x ，4x 互不相等），则1234x x x x +++的取值范围是（注：函数()1h x x x=+在(]0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增）（）A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】作出函数()f x 的图象，设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，由图象的性质求得12+2x x =-，341x x ⋅=，再利用双勾函数求得34522x x <+≤，代入可得选项．【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示：设1x <2x 0<<3x 1<<4x ，且()12+212x x =⨯-=-，当2324log log x x =时，即2324log log x x -=，所以()2324234log +log log 0x x x x ⋅==，所以341x x ⋅=，当2log 1x =时，解得312x =，42x =，所以412x <≤设34441t x x x x =+=+，又函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以44111521+2+122t x x =<=+≤=，即34522x x <+≤，所以123452+22+2x x x x -<+++≤-，即1234102x x x x <+++≤，故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围．二、填空题13．函数()ln 21xf x x =--的定义域为______.【答案】[2,3)(3,)⋃+∞．【分析】求得使函数式有意义的x 的范围．【详解】由题意020210x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪--≠⎩，解得2x ≥且3x ≠．故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞．14．已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则a =______.【答案】16或-2【分析】讨论0a>和0a ≤两种情况讨论，解方程，求a 的值.【详解】当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422a a ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立，所以16a =或2-.故答案为：16或2-15．圆221:24200O x y x y +-+-=与圆222:48160O x y x y ++--=的公切线条数是______.【答案】2【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．【详解】圆1O 标准方程是22(1)(2)25x y -++=，1(1,2)O -，半径为5R =，圆2O 标准方程是22(2)(4)36x y ++-=，2(2,4)O -，半径为6r =，又22123(6)35O O =+-=，∵12R r O O R r -<<+，∴两圆相交，公切线有2条．故答案为：2．【点睛】结论点睛：本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数：相离：4条；外切：3条；相交：2条；内切：1条；内含：无公切线．16．已知函数()()1ln 11f x x x=+-+，若()()log 31a f f ≥（0a >且1a ≠），则a 的取值范围为______.【答案】(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【分析】分析出函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得出()()log 31a f f ≥，可得出lg lg 3a ≤且1a ≠，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.【详解】函数()()1ln 11f x x x=+-+的定义域为R ，()()()()11ln 1ln 111f x x x f x x x-=+--=+-=+-+，即函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，函数()()1ln 1ln 1y x x =+=+单调递增，函数21111y x x ==++单调递减，所以，函数()()1ln 11f x x x=+-+在[)0,+∞上单调递增，由()()log 31a f f ≥可得()()log 31a f f ≥，则log 31a ≥，即lg 31lg a ≥，可得lg lg 3a ≤，所以，1lg lg 3lg lg 33a =-≤≤，解得133a ≤≤且1a ≠.因此，实数a 的取值范围是(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故答案为：(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.三、解答题17．设集合1,202x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}0ln 1B x x =≤≤，{}12,C x t x t t R =+<<∈.（1）求A B ；（2）若A C C = ，求t 的取值范围.【答案】（1）{}1x x e ≤≤（2）2t ≤.【分析】（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A ,B ，再利用集合的交集运算求解.（2）根据A C C = ，则C ⊆A ，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论求解.【详解】（1）因为集合{}14A y y =≤≤，{}1B x x e =≤≤，所以A B {}1x x e =≤≤；（2）因为A C C = ，则C ⊆A ，当C =∅时，12t t +≥，解得1t ≤，当C ≠∅时，则121124t t t t +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，解得12t <≤，综上：实数t 的取值范围是2t ≤.18．已知直线l 经过两直线1:3120l x y -+=，2:3260l x y +-=的交点，且与直线230x y --=垂直.（1）求直线l 的方程；（2）若第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，到直线l 的距离为25，求+a b 的值.【答案】（1）220x y +-=；（2）7．【分析】（1）求出12,l l 交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；（2）由点到直线距离公式列出关于,a b 的方程解之可得．【详解】（1）由31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，即两直线交点为()2,6-，由l 与直线230x y --=垂直，则2l k =-，∴l 方程为62(2)y x -=-+，即220x y +-=；（2）∵第一象限内的点(),P a b 到x 轴的距离为2，所以2b =，0a >，又P 到直线l 的距离为25，所以222222521a +-=+，5a =（∵0a >），∴7a b +=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OMPB ，从而得证线面平行；（2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点，∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACD S =⨯⨯=V ，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出A 万元，则奖励()2log 1A +万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为y 万元，年销售利润为x 万元.（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？【答案】（1）()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧=⎨+->⎩；（2）131【分析】（1）根据题意分别求出0100x ≤≤和100x >时的解析式即可；（2）可判断100x >，利用（1）中解析式即可求出.【详解】（1）由题可得当0100x ≤≤，0.05y x =，当100x >时，()()221000.05log 10015log 99y x x =⨯+-+=+-，()20.05,01005log 99,100x x y x x ≤≤⎧∴=⎨+->⎩；（2）105>Q ，100x ∴>，则()25log 9910x +-=，解得131x =，所以他的年销售利润是131万元.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π．【分析】（1）设BD C O = ，由1//AC OE ，得证线面平行；（2）证明BD ⊥平面1ACC ，可得证面面垂直；（3）证明EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，求出此角即可．【详解】（1）证明：设BD C O = ，连接OE ，则O 是AC 中点，又E 是1CC 中点，∴1//AC OE ，又OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1//AC 平面BDE ．（2）1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，同理1CC AC ⊥，又正方形中BD CA ⊥，1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，∴BD ⊥平面1ACC ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）∵BD ⊥平面1ACC ，OE ⊂平面1ACC ，∴BD OE ⊥，∴EOC ∠是二面角E BD C --的平面角，由已知112CC AA AB ==，而2AC AB =，,E O 分别是1,CC AC 中点，∴OC CE =，∴4EOC π∠=．即二面角E BD C --的大小为4π．【点睛】关键点点睛：本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．22．已知圆22:2410C xy x y +--+=.（1）若过点()0,5A 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的斜率；（2）从圆C 外一点P 向该圆引一条切线，切点为M ，若PM PA =，求PM 最小时点P 的坐标.【答案】（1）2613±；（2）341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，由圆心到切线的距离等于半径求得k 值得切线方程；（2）设(,)P x y ，由已知求出P 点轨迹方程，得P 轨迹是直线，要使PM 最小，则只要PC 最小，因此只要有PC 与轨迹直线垂直即可，由此可求得P 点坐标．【详解】（1）圆C 标准方程是22(1)(2)4x y -+-=，圆心为(1,2)C ，半径为2r =，过A 所作圆C 的切线斜率存在，设切线方程为5y kx =+，即50kx y -+=，所以22521k k -+=+，解得2613k =±，（2）设(,)P x y ，则由PM PA =得．22222(1)(2)2(5)x y x y -+--=+-，化简得：3120x y -+=，此即为点P 的轨迹方程，轨迹是直线．要使得PM 最小，则只要PC 最小即可，所以CP l ⊥，设(,)P m n ，则3120231m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得3104110m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即341,1010P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要设出切线方程，由此列式可求得参数值，切线长最短，根据切线长的求法，只要圆外的点到圆心距离最小，则切线长最短．再利用圆外点的轨迹河得求解方法．。

高一上学期数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．. 1． 已知全集{12345}U =，，，，，集合{134}{23}A B ==，，，，，则()U A B = __2.已知：,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭8且，用列举法表示集合A = . 3.方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为4. 函数23)(-=xx f 的定义域为5. 8120()log x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，，已知函数，≥0，若001()4f x x =，则的值为 ________6． 若函数()y f x =的定义域为R ，值域为[a ，b ]，则函数()y f x a =+的最大值与最小值之和为 ______7.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m8.方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = ． 9.已知：定义在R 上的奇函数(),f x 当0x ≥时2()2,f x x x =+则当0x <时，()f x = ____________10．设函数e ()1exx a f x a -=+(a 为常数)在定义域上是奇函数，则a = ____11．函数21-=+x a y （a>0,且a ≠1）的图象恒．过一定点，这个定点是 ． 12. 已知函数(2)75,1()1,1x a x a x f x a x -+-≤⎧=⎨+>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是_______.13．已知奇函数f(x)是定义在()1,1-上的增．函数，且(21)()0f m f m ++<.则实数m 取值范围_____________________.14．给定集合A 、B ，定义一种新运算：},|{B A x B x A x x B A ∉∈∈=*但或.已知{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，用列举法．．．写出=*B A ．二. 解答题15．（14分）已知：{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或 （1）若,A B =∅求实数a 的取值范围;（2）若,A B B =求实数a 的取值范围。

天一中学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.33333B. √2C. 3.14D. 1/3答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. 8D. -4答案：A3. 一个等差数列的首项是3，公差是2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A4. 已知一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，第三边长x满足x^2- 16 = 0，求x的值。

A. 4cmB. 8cmC. 0cmD. 4cm或8cm答案：D5. 一个圆的半径是5cm，求其面积。

A. 25π cm²B. 50π cm²C. 100π cm²D. 200π cm²答案：C6. 已知一个函数y = 3x + 2，求当x = 1时y的值。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值。

A. 486B. 243C. 81D. 27答案：A8. 已知一个二次函数y = ax^2 + bx + c，当x = 1时，y = 0，求a + b + c的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。

A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A10. 已知一个函数y = kx，当x = 2时，y = 6，求k的值。

A. 3B. 2C. 1D. 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个等差数列的首项是5，公差是1，求第n项的通项公式为________。

答案：5 + (n - 1) * 112. 已知一个函数y = 2x - 3，求当x = 4时y的值。

答案：513. 已知一个圆的半径是7cm，求其周长。

答案：14π cm14. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，求斜边长。

江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解.【详解】因为，是平面内一组基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正确故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题。

2. 已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是( )A．ln3 B．ln8C. ln3 D．－3ln2参考答案：C3. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?，则M∪N=（）A．M B．N C．I D．?参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】图表型．【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（?I M）=?，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（?I M）=?的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．4. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（）[来源:学科网ZXXK]①与平行．②与是异面直线．③与成角．④与垂直．A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④参考答案：B略5. “x≠－1”是“x2－1≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B解析：由x2－1≠0，得x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是x≠1且“x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.6. 已知，则（）A．B．C．3 D．－3参考答案：D7. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生 D．至少有1名男生与全是女生参考答案：A略8. ( )A B C D参考答案：A 略9. 在数列{a n}中，，，则的值为（）A. B. C. 5 D. 以上都不对参考答案：A【分析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得的值.【详解】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.10. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度参考答案：D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为等差数列的前n项和，若，则参考答案：3012. 对于函数f（x）=x2+2x，在使f（x）≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max叫做函数f （x）=x2+2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2﹣4a+6的下确界为．参考答案：2【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】令a2﹣4a+6=（a﹣2）2+2≥M，求出满足条件的M的最大值M max，可得答案．【解答】解：∵a2﹣4a+6=（a﹣2）2+2≥2，则M≤2，即M max=2，故a2﹣4a+6的下确界为2，故答案为：213. 在平面直角坐标系xOy中,经过点P(1,1)的直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B.若,则直线l的方程是.参考答案：设，由，可得，则，由截距式可得直线方程为，即，故答案为.14. 已知，，则3＋4＝．参考答案：略15. （5分）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为．参考答案：6考点：扇形面积公式；弧长公式．专题：计算题．分析：设扇形的弧长为l，半径为r，S扇=lr=2，l=4r，其周长c=l+2r可求．解答：设扇形的弧长为l，半径为r，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴l=4r，∵S扇=lr=2，∴?4r2=2，∴r2=1，r=1．∴其周长c=l+2r=4r+2r=6r=6．故答案为：6．点评：本题考查扇形面积公式，关键在于掌握弧长公式，扇形面积公式及其应用，属于中档题．16. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14％纳税；超过4000元的按全稿酬的11％纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为＿＿＿＿元.参考答案：380017. 关于函数f （x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列命题：①y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称；其中正确的序号为．参考答案：③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②，∵y=f（﹣）=0．∴f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，；③，y=f（﹣）=﹣4为最小值∴f（x）的图象关于直线x=﹣对称；【解答】解：对于①，y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数，故错；对于②，∵y=f（﹣）=0．∴f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故错；对于③，y=f（﹣）=﹣4为最小值∴f（x）的图象关于直线x=﹣对称，正确；故答案为：③三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)上学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★) 2. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数，若对任意的使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．(★★★★) 7. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是A．B．C．D．(★★★) 8. 已知不共线向量夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．函数图象的对称轴为直线C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为(★★★) 10. 已知 x， y是正数，且，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．的最小值为C．最大值为D．最小值为4(★★★) 11. 在中， D， E， F分别是边，，中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为(★★★★) 12. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是A．B．C．D．三、填空题(★★★) 13. 已知幂函数的图像不过原点，则实数 m的值为__________ .(★★★) 14. 设，，是方程的两根，则_________ .(★★★★) 15. 设函数，若关于 x的方程有且仅有6个不同的实根.则实数 a的取值范围是 _______ .(★★) 16. 在平面四边形中，点、分别是边、的中点，且，，，若，则的值为_____．四、解答题(★★) 17. 从给出的两个条件① ，② 中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知集合，.（1）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 a的值；（2）已知__________，若集合 C含有两个元素且满足，求集合 C.(★★★) 18. 已知函数的最小正周期为.（1）求及函数的对称中心；（2）已知，，求的值.(★★★★) 19. 如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点.（1）设，求实数的值；（2）设是上一点，且，求的值.(★★★) 20. 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，① 是增函数；② 恒成立；③ 恒成立.(1)现有两个奖励函数模型：① ；② .试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a的取值范围.(★★★★) 21. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）求证：集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值；（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、.(★★★★★)22. 已知且，是定义在M上的一系列函数，满足：，.（1）求，的解析式；（2）若为定义在 M上的函数，且.①求的解析式；②若方程有且仅有一个实根，求实数 m的取值范围.。