苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第09课时 逆矩阵的概念

第01课时 矩阵的概念一、要点讲解1．矩阵的概念：2．矩阵的相等：二、知识梳理1．在数学中，将形如13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵．2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵．3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________．4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ．三、例题讲解例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)．例2． 设31,422x y A B z ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若A = B ，求x ，y ，z ．例3． 已知n 阶矩阵1122121247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数．(1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式．四、巩固练习1. 画出矩阵143111-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所表示的三角形，并求该三角形的面积．2. 设1,32x m n x y A B y x y m n ++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若A = B ，求x ，y ，m ，n ．3. 已知二元一次方程组的系数矩阵为4231⎡⎤⎢⎥⎣⎦-，方程组右边的常数项矩阵为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试写出该方程组．4. 设M 是一个3×3的矩阵，且规定其元素2,1,2,3,1,2,3ij a i j i j =+==，试求M ．5. “两个矩阵的行数和列数分别相等”是“两个矩阵相等”的___________________条件．。

§2.4.1逆矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.理解逆变换和逆矩阵的概念, 能用几何变换的观点判断一个矩阵是否存在逆矩阵.2.掌握求矩阵的逆矩阵的方法.3.掌握AB可逆的条件及(AB) -1的求法, 理解矩阵乘法满足消去解的条件 .过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：逆变换和逆矩阵的概念教学难点：求矩阵的逆矩阵教学过程：一、问题情境:已知二阶矩阵对应的变换把点(x , y)变换为 (x′, y′) , 是否存在一个变换能把点(x′, y′)变换为(x , y)呢?二、建构数学：1.逆变换和逆矩阵的概念注: ①如果A可逆, 那么逆矩阵唯一.②二阶矩阵可逆的条件2.逆矩阵的求法:①定义法②几何变换法3.AB可逆的条件及(AB) -1的求法4.矩阵乘法满足消去解的条件.三、教学运用：例1、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 求出其逆矩阵.(1)A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2)B=10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3)C=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (4)D=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) B=12-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦例3、试从几何变换的角度求解AB 的逆矩阵.(1) A=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦ , B=01⎡⎢⎣ 10-⎤⎥⎦ (2) A=10⎡⎢⎣ 02⎤⎥⎦ , B=11201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4、设可逆矩阵A=110⎡⎢⎣ 3b ⎤⎥⎦的逆矩阵A -1 =610⎡⎢-⎣3a -⎤⎥⎦, 求a , b .四、课堂小结：五、课堂练习：P 63 1. (1) (2) 2. (1)六、回顾反思：七、课外作业：1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵, 若存在, 把它求出来.(1) A=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦ (2) B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) C=2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (4) D=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.求下列矩阵的逆矩阵(1) A=23-⎡⎢⎣ 41⎤⎥⎦ (2) B=32-⎡⎢⎣ 11⎤⎥-⎦(3) C=4723⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.试从几何变换的角度求矩阵AB 的逆矩阵.(1) A=12⎢⎢⎢⎣122⎤-⎥⎦ , B=11⎡⎢-⎣ 01⎤⎥⎦ (2) A=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦, B=122⎡⎢⎣12⎥⎥⎥⎦4.已知矩阵A=4002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 求A -1 , B -1 , (AB)-15.已知二阶矩阵A , B , C 的逆矩阵分别为A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分别等于什么? 你能将你的结论作进一步的推广吗?。

第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，A 的逆矩阵记为A －1.(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A－1.(5)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0时，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A . 2．二阶行列式与方程组的解对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D.y ＝DyD .3．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义：设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)一般地，设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，kξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量．(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． (4)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，称f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A 的特征多项式，方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0为矩阵A 的特征方程．4．特征向量的应用(1)设A 是一个二阶矩阵，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(其中t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－12．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 k 可逆，则k 的值不可能是________．答案：1523．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－a 21 a ＋1不可逆，则实数a 的值为________．解析：由题意|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 1－a 21 a ＋1 ＝2×(a ＋1)－1×(1－a 2)＝a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.答案：－14．对任意实数x ，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋m 2－m 2总存在特征向量，则m 的取值范围是________．解析：由条件得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－m m －2 λ－2 ＝(λ－x )(λ－2)－(m －2)(－3－m )＝λ2－(x ＋2)λ＋2x ＋(m ＋3)(m －2)＝0有实数根，所有Δ1＝(x ＋2)2－4(2x ＋m 2＋m －6)≥0对任意实数x 恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m 2＋4m －28)≤0， 解得m 的取值范围是－3≤m ≤2. 答案：－3≤m ≤2.5．已知矩阵M 的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.则矩阵M ＝________.解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝2，c －2d ＝－4，联立以上两个方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244例1 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221的逆矩阵．【解析】 法一：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 2 －3. 法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1，∴det A ＝－1.∴A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1 －2－1－2－1 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 22 －3.【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．1．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)、Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1：如不可逆，请说明理由．【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2(2)∵det A ＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A 可逆A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 －15－1(－1)525＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251－51525.步骤-求⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2的逆矩阵-求方程组的解例2 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.【解析】 (1)法一：设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2， ∴|A |＝4－3＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 －31－11 21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－12.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，由(1)知A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2. 因此方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7 5.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5. 【点评】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，b 1不同时为零，a 2，b 2不同时为零)的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2，只有当|A |≠0时，方程组有唯一解A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2，若|A |＝0，则方程组有无数解或无解．2．用矩阵方法求解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，4x －5y ＝2.解析：原方程组可以写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤82，记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5，其行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤514 11427－17. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤82＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2例3 给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A 4B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2.故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4.A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.一、填空题 1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3a6可逆，则实数a 的取值范围是________．解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A )≠0， 即6－3a ≠0，∴a ≠2，∴a 的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 3232 －12，则矩阵M 的特征向量可以是________．解析：矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 －32－32 λ＋12＝λ2－1.由于f (λ)＝0得矩阵M 的特征值为 λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M 属于特征值λ＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－33．设可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 34 5的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c a －1，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由AA －1＝E得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab ＋3a ac －34b ＋5a 4c －5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝3，4b ＋5a ＝0，4c －5＝1，ab ＋3a ＝1解方程组得a ＝2，b ＝－52，c ＝32.答案：2 －52 324．已知二元一次方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，从线性变换的角度求解时应把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，它是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 绕原点作逆时针旋转π4变换得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以解方程组就是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转π4的旋转变换．答案：π45．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12，则A －1＝________.解析：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32－1－323212， ∵|A |＝1－32×12－－1－32×32＝1≠0.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－32. 答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－326．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a →1，b →2，…，z →26，双方约定的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 402，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 40 2，所以det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 40 2＝2≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12，而密码矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8，故明码矩阵X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 1515 4，对应信息为“good ”．答案：good7．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3的特征值与特征向量分别为________． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－52)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M 的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.设属于特征值λ1＝4的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则它满足方程(λ1＋1)x ＋(－2)y ＝0，即5x －2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤25为属于特征值λ1＝4的一个特征向量． 设属于特征值λ2＝－2的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，同理可得x ＋2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 答案：λ1＝4，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25和λ2＝－2，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足方程AX ＝B 的二阶矩阵X ＝________. 解析：∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3， ∴|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －1－4 3＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ， ∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1 二、解答题9．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解析：AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2， 所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 10．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤624 4.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n .解析：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. (2)设A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d A n α1＝8n α1，A n α2＝2n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n－2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8nc ＋d ＝8n a －2b ＝2n c －2d ＝－2·2n 解得a ＝2×8n ＋2n 3，b ＝8n －2n 3， c ＝2×8n －2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13. 故A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n ＋2n 3 8n －2n 32×8n －2n ＋13 8n ＋2n ＋13. 11．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解析：(1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．因为Nα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量． (3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．12．(2011年福建)设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a00 b (其中a >0，b >0)①若a ＝2，b ＝3，求M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值． 解析：①设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1.即x ＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. ∴M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1200 13. ②设C 上任一点P (x ，y )，在M 作用下得点P ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′又点P ′(x ′，y ′)在C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1. 即a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又C 的方程为x 2＋y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.。

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1＝E ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程． 解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

选修4－2矩阵与变换 2.1.1 矩阵的概念编写人： 编号：001学习目标1、 了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。

2、 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：已知向量OP ，O(0,0),P(1,3).因此把)3,1(=OP ，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为 。

问题2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为问题3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为（二）建构数学1. 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵。

用大写黑体拉丁字母A,B,…来表示矩阵2. 矩阵的行：3. 矩阵的列：4. 矩阵的元素：5. 零矩阵：6. 行矩阵：7.列矩阵：练习征？问该图形有什么几何特表示平面中的图形，请现用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02204310M 二、课堂训练：例1．用矩阵表示ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)例2．某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,例4.的量。

两矿区向三个城市送煤万吨。

请用矩阵表示从万吨、万吨、送煤的量分别是万吨；从乙矿区向城市万吨、万吨、是送煤的量分别矿区向城市向三个城市送煤：从甲某公司负责从两个矿区820360400,,160240200,,C B A C B A三、课后巩固：1、写出方程组⎩⎨⎧-=+=-2312my x y x 变量x,y 的系数矩阵.2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A=B ，求a ，b ，c ，d.3、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b.5. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，求α，β.。

苏教版高中数学选修4-2 2.4.1逆矩阵的概念_教案设计
1 / 1 逆矩阵的概念
一、问题情境 1．已知二阶矩阵对应的变换把点(x ， y)变换为 (x ′， y ′) ， 是否存在一个变换能
把点(x ′， y ′)变换为(x ， y)呢？
2．对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在
变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先T A 后
T B ）的结果与恒等变换的结果相同？
（1）以x 为反射轴的反射变换； （2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；
（3）横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标
拉伸为原来的2倍做伸压变换；
（4）沿y 轴方向，向x 轴作投影变换；
（5）纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的
比例增加，且满足（x ，y ）
（x ＋2y ，y ）
二、建构数学：
1．逆变换和逆矩阵的概念：
评注：①如果A 可逆， 那么逆矩阵唯一。

②二阶矩阵可逆的条件。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4） －sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。

对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识王家清不久前，在“东部发达地区数学新课程教学实践”课题活动中，我针对苏教版选修4-2《矩阵与变换》上了一节市级公开课，感受颇多。

下面我想谈一谈教学前后的一些体会。

一、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的编排情况矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。

矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本章节通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

1．主要内容通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。

2．教材定位及意图初中起点、只讨论具体的二阶方阵、从几何上理解矩阵的有关知识、为进一步学习高等数学奠定基础。

定位应与大学教学相区别。

在大学课程中矩阵作为代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法.而在中学课程标准中主要通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义。

3．章节安排①二阶矩阵与平面向量；②几种常见的平面变换；③变换的复合与矩阵的乘法；④逆变换与逆矩阵；⑤特征值与特征向量；⑥矩阵的简单应用。

矩阵---几何变换的代数表示几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量矩阵就是一个几何变换，它把平面上的任一个点，变成平面上的另一个点。

中学常见的几种几何变换的矩阵表示：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等。

二、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的一些特点对本课程标准的理解：以变换为主线贯穿于整个教学过程，使学生真正理解矩阵对向量的作用，旋转变换以坐标原点为中心，通过图形变换理解并掌握初等变换。

重点难点：初等变换、矩阵的特征值和特征向量。

1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论。

2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵。

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。