苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念

2.6 矩阵的简单应用1.掌握网络图、一级路矩阵、二级路矩阵的定义．课标解读2.了解矩阵的简单应用.1．矩阵的相关知识(1)矩阵的概念及表示方式．(2)矩阵的计算：二阶矩阵与平面列向量的乘法，两个二阶矩阵之间的乘法．(3)常见的几何变换：恒等、伸压、反射、旋转、投影及切变变换，把握它们的矩阵表示．(4)二阶矩阵对应的几何变换均是线性变换．(5)矩阵的乘法的几何意义在于对应变换的复合．(6)矩阵的乘法知足结合律，但不知足互换律、消去律．(7)逆矩阵的概念：把握哪些(变换对应的)矩阵是可逆的，投影变换矩阵是重要的不可逆矩阵的例子．(8)利用逆矩阵公式或行列式法求逆矩阵；从几何变换上分析二元一次方程组的解．(9)特点值与特点向量的概念、求法及其应用．2．网络图与路矩阵(1)在数学中，通常把像右图如此表示关系的图形称为网络图，其中的交点A，B，C称为结点．(2)网络图所对应的反映从一个结点直达另一个结点的交通情形的矩阵叫做一级路矩阵，而从某个结点动身，先通过一个结点，再抵达另外一个结点的交通情形的矩阵称为二级路矩阵．(3)一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，仍是间接抵达．右图对应的一级路矩阵M ＝B A C⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0A 2B 1C2 0 11 1 0，二级路矩阵N ＝B A C⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5A1B2C1 5 22 2 2.3．求解矩阵应用题的方式及技术关于应用题，咱们要读懂题意，若是还没弄清题意就去做题，那么很容易犯错．应用题要紧考查分析能力、转化能力及运算能力．因此，咱们要增强这方面能力的培育与训练，在解与矩阵有关的应用题时，要学会寻觅分析问题和解决问题的冲破口，在解题中提高自己的综合能力．4．种群问题的数学模型教材P 78例6种群问题的数学模型．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n b n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n b n ，其中{a n }，{b n}表示两个彼此阻碍的种群X ，Y 随时刻段转变的数量．假设起初的种群数量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1，那么通过n 个时段后的种群数量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1，且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1.假设矩阵M 的特点值λ1，λ2对应的特点向量别离为α1，α2，且β＝m α1＋k α2，m ∈R ，k ∈R ，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1＝M n β＝M n (m α1＋k α2)＝m M n α1＋k M n α2＝mλn 1α1＋kλn 2α2(n ∈N *)．在概率中的应用已知A ，B 两个箱子，A 中装有3件外观相同的产品，其中2件一等品，1件二等品，B中装有6件外观相同的产品，其中1件一等品，5件二等品．现任取A ，B 中的一个箱子，从中掏出1件为一等品的概率是多少？【思路探讨】 找到大体量之间的关系，将其转化成矩阵问题． 【自主解答】 设掏出一等品的可能性为X ，掏出二等品的可能性为Y ，那么掏出一个箱子的概率可表示为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212A B，从两个箱子中掏出1件一等品和1件二等品的概率能够表示为N ＝X Y⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤23A 16B13 56，故所求概率为X Y ⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤23A16B13 56·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 A B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤512712X Y，即任取A ，B 中的一个箱子，从中掏出1件一等品的概率为512.在经济学中的应用某公司经销A ，B ，C ，D 4种品牌的电脑，其型号有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ4种，某天该公司的销售情形如下表所示(单位：台)：品牌 型号 ABCDⅠ 2 3 1 0 Ⅱ 1 2 5 3 Ⅲ 2 4 4 1 Ⅳ311元/台，D 为800元/台，求Ⅱ型号电脑在此日取得的总利润是多少？【思路探讨】 理清表格中数据所反映的大体关系，合理转化为矩阵的相关问题，从而求解． 【自主解答】 由题意得Ⅱ型号电脑的销量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1A 2B 5C 3D ，不同品牌的平均利润为A B C D⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0001 200 800 800， ∴[]1 2 53⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0001 200 800 800＝ []1×1 000＋2×1 200＋5×800＋3×800＝[]9 800.∴Ⅱ型号电脑在此日取得的总利润为9 800元.在网络图中的应用如下图的是A ，B ，C 三个城市间的交通情形，某人想从其中某一个城市动身，直达另一个城市，那么他有几种选择？【思路探讨】 依照网络图看清方向，找准位置关系，正确写出矩阵．【自主解答】 用矩阵M 来刻画从某一城市直接抵达另一城市的交通情形，那么M ＝A B C⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0A 1B 2C1 0 22 2 0， 其中第i 行第j 列元素表示的是从第i 个城市到第j 个城市的直达交通情形，i ＝1,2,3，j ＝1,2,3.例如，第1行第3列数字2表示从A 城市动身直达C 城市的走法只有2种.在密码学中的应用为了保证信息平安传播，设计一种密码系统，其加密原理如下图：明文X ――→加密密文Y ――→发送密文Y ――→解密明文X .已知加密方式为：把发送的数字信息写为a 11，a 21，a 12，a 22的形式，先左乘矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 4－2 2，再左乘矩阵B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145－85，取得密文Y ，此刻已知接收方取得的密文为4,12,32,64，试破解该密码． 【思路探讨】 解与密码等有关问题的关键是明确加密与解密进程的实质确实是矩阵的乘法． 【自主解答】 由题意知BA ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65 －25145 －85⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 46 8， ∴(BA )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1234 －14. ∵(BA )X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 3212 64，∴X ＝(BA )－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 3212 64＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11234－14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 3212 64 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 8，即发送的数据信息是2,0,0,8. 在生态学中的应用当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的彼此阻碍．为了简便起见，不妨假设；(1)由于自然繁衍，兔子数每一年增加10%，狐狸数每一年减少15%；(2)由于狐狸吃兔子，兔子数每一年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每一年增加兔子数的0.1倍； (3)第n 年时，兔子数量用R n 表示，狐狸数量用F n 表示；(4)初始时刻(即第0年)，兔子数量R 0＝100只，狐狸数量F 0＝30只． 请用所学知识解决以下问题：(1)列出兔子与狐狸的生态模型(即R n ，F n 的关系式)； (2)求R n ，F n 关于n 的关系式；(3)讨论当n 愈来愈大时，兔子与狐狸的数量可否达到一个稳固的平稳状态，说明你的理由．【思路探讨】 理清题中的相关关系，准确列式将其转化为矩阵的特点值与特点向量和A n α的应用问题． 【自主解答】 (1)R n ＝1.1R n －1－0.15F n －1，F n ＝0.1R n －1＋0.85F n －1(n ≥1)．(2)设αn ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤R n F n ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1.1 －0.150.1 0.85， ∴αn ＝Mαn －1＝M (Mαn －2)＝…＝M n α0(n ≥1)． 易求得矩阵M 的特点多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1.1 0.15－0.1 λ－0.85 ＝λ2－1.95λ＋0.95.令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝0.95.λ1＝1对应的一个特点向量α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32， λ2＝0.95对应的一个特点向量α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. 又α0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 30＝70⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝70α1－110α2，∴αn ＝M n α0＝70λn 1α1－110λn 2α2＝70×1n ×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－110×0.95n ×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210－110×0.95n 140－110×0.95n ，∴R n＝210－110×0.95n，F n＝140－110×0.95n(n≥1)．(3)当n愈来愈大时，兔子与狐狸的数量能达到一个稳固的平稳状态．理由如下：当n愈来愈大时，0.95n→0，那么R n，F n别离趋向于常数210,140，即随着时刻的增加，兔子与狐狸的数量慢慢增加．那时刻充分长后，二者的数量能够达到一个稳固的平稳状态．(教材第81页习题2.6第3题)写出如下图的网络表示的一级路矩阵(图(2)的圆圈表示自己到自己有1条线路)．(2021·无锡模拟)如下图的是A，B，C三个城市间的交通情形，某人想从某一城市动身直达另一个城市，他能够有几种选择？若是他想从某一城市动身，先通过一个城市，再抵达另一个城市，他又能够有几种选择？别离用矩阵表示出来．【命题用意】本例要紧考查矩阵在解决网络方面的应用及转化与化归能力．【解】用一级路矩阵表示从一个城市直接抵达另一个城市的交通情形：M＝ABC⎣⎢⎡⎦⎥⎤A2B2C2 0 12 1 0.用二级路矩阵表示从一个城市动身，先通过一个城市，再抵达另一个城市．N＝ABC⎣⎢⎡⎦⎥⎤8A2B2C2 5 42 4 5.1．试用矩阵表示以下网络图(一级路矩阵和二级路矩阵)：【解】(1)一级路矩阵M＝ABC⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤A2B2C2 0 22 2 0，二级路矩阵N ＝A B C⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤8A 4B 4C4 8 44 4 8. (2)一级路矩阵P ＝A B C D⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0A1B0CD1 02 00 2 0 10 0 1 0， 二级路矩阵Q ＝A B C D⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1A 0B2C0D0 5 0 22 0 5 00 2 0 1. 2．小明家周围有两个公共汽车站A 和B ，小明上学老是到这两个公共汽车站搭车且他到A 站搭车的概率是13.已知在A 站他能够搭乘3路或8路上学，且搭每一路汽车的概率相等，而在B 站他只能搭乘3路上学，问小明搭3路汽车上学的概率有多大？【解】 由题意知：3路8路⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12A 1B 12 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1323 A B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤56163路8路，因此小明乘3路汽车上学的概率为56.3．一家食物店做三种不同规格的生日蛋糕，每种蛋糕配料的比例(取适当单位质量来气宇)，能够用下面的配料矩阵M 表示M ＝A B C⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤2水果8黄油8糖34面粉5鸡蛋32 6 6 12 41 4 4 14 3. 依照预订，该食物店要做A 种的两个，B 种的四个，C 种的三个，各类配料的单位质量的单价(以元为单位)用物价向量P 表示P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16水果 1黄油 12糖 4面粉32鸡蛋 . 试计算完成预订所需各类配料的总量及总本钱． 【解】 预订向量N 可表示为N ＝⎣⎡⎦⎤2A4B3C， 那么完成预订所需各类配料的总量为N ·M ＝[]2 43⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤ 2 8 8 34 532 6 6 12 4 1 4 4 14 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13水果 52黄油 52糖 174面粉 35鸡蛋 ， 总本钱为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 52 52 174 35⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤16112 432 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7112，即所需的总本钱35512元．4．某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：若是某年投资获利，那么第二年投资亏损的概率为23；若是某年投资亏损，那么第二年投资获利的概率为12，假设2021年他获利的概率为34.(1)求他2021年投资获利的概率；(2)问他2021年与2021年哪一年投资获利机遇大？【解】 (1)2021年他获利的概率为34，那么投资亏损的概率为14，它能够用W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414表示．2021年他获利与亏损的概率为W 2021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858， 因此2021年他获利的概率为38.(2)2021年获利与亏损的概率为W 2021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1223 122⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3414 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 122312⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤716916. 因此2021年他获利的概率716，2021年投资他获利机遇大．5．依照教材P 78例5的原理，约定可逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5，现已知发送的密码为73,137,28,56，试破解这种密码．【解】 据例5，令B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 73 28137 56，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 34 5，那么由A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5232 2 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤73 28137 56 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 14 9 0， 即发送方所发密码对应的明码为23,9,14,0，再对照英文字母表知所发信息为“win”．6．假设两个彼此阻碍的种群X 、Y 随时刻段转变的数量别离为{a n }，{b n }，有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n .其中a 1＝6，b 1＝4.试分析20个时段后这两各类群的数量转变趋势．【解】 设β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64， M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 2， 那么由题意，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a n b n .因此，M 的特点多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 －3 λ－2＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得特点值为λ1＝4，λ2＝－1，不宝贵它们对应的特点向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1.又因为β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64＝2α1＋2α2， 因此⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 19b 19 ＝…＝M 20⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1.而M 20⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1＝M 20β ＝M 20(2α1＋2α2) ＝2M 20α1＋2M 20α2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1 ≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2423×241. 因此，20个时段以后，种群X ，Y 的数量别离为242和3×241.矩阵的简单应用在密码学中的应用在经济学中的应用在概率中的应用在网络图中的应用在生态学中的应用 转化与化归的思想一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表，它能把本来纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来，令人一目了然．同时，对矩阵实施某些运算，能够使咱们看清事物之间或对象之间蕴涵的数学规律．本章中普遍应用转化与化归思想，把实际问题转化为矩阵问题，然后通过矩阵变换加以解决．某种电路开关闭合后，会显现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，显现红灯和显现绿灯的概率都是12.从开关第二次闭合起，假设前次显现红灯，那么下一次显现红灯的概率是13，显现绿灯的概率是23；假设前次显现绿灯，那么下一次显现红灯的概率是35，显现绿灯的概率是25.问： (1)第二次闭合后显现红灯的概率是多少？ (2)开关闭合10次时，显现绿灯的概率是多少？【解】 (1)从第二次开关闭合后，红绿灯转变的概率情形如下图：依照图写出红绿灯转变的转移矩阵，即M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 3523 25. 第一次闭合开关后显现红灯和绿灯的概率可表示为向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212，第二次开关闭合后，有Mβ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 352325·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤715815， 第二次开关闭合后显现红灯的概率为715.(2)由f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－13 －35－23 λ－25＝λ2－1115λ－415＝0，解得λ1＝1，λ2＝－415. 把λ1，λ2代入特点方程求出对应的特点向量别离为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 910，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1，令⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 910＋n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝119，n ＝138.因此有M 9⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212＝119×19×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 910＋138×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4159×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤919－138×⎝ ⎛⎭⎪⎫41591019＋138×⎝ ⎛⎭⎪⎫4159≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9191019.因此开关闭合10次时， 显现绿灯的概率约为1019.综合检测(六)1．某车间有甲、乙两台机床，可用于生产三种工件，假定全年的产量见下表(单位：件)：又已知工件一、工件二、工件值别离是多少？【解】 两机床全年产量可用一个2×3矩阵表示，记为P ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤800 600 300200 300 600，各工件的销售价钱向量为Q ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤203010， 从而PQ ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤800 600 300200 300 600⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤203010＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 00019 000.故全年中甲机床的产值为37 000元，乙机床的产值为19 000元．2．四种食物(F 1，F 2，F 3，F 4)在三家商店(S 1，S 2，S 3)中，单位量的售价(以某种货币单位计)可用下面的矩阵表示：S 1S 2S 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17F 17F 211F 321F 415 9 13 1918 8 15 19 那么在商店S 1购买F 2食物9单位，在商店S 2购买F 3食物3单位，在商店S 3购买F 4食物5单位，共需多少货币？【解】 M ＝[]9 35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤71319＝197，即共需197单位货币． 3．在密码学中，经常使用二阶矩阵对信息进行加密，此刻咱们先将英文字母数字化，a →1，b →2，…，z →26，发送方要传递的信息是come.两边约定的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 17 3，求发送的密码．【解】 ∵c →3，o →15，m →13，e →5，∴由题意可得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 17 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 1315 5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30 7066 106，因此发送的密码为30,66,70,106.4．如图是A 、B 、C 三个城市间的交通情形，鲁川想从其中某一个城市动身直达另一个城市，他能够有几种选择？若是他想从某一个城市动身，先通过一个城市，再抵达另外一个城市，他又有几种选择？ 【解】 从某城市动身直接抵达另一城市的走法能够表示为 A B CM＝ABC⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 2 12 0 11 1 0.其中第i行第j列的元素表示的第i个城市到第j个城市的直达交通情形．从某城市动身，先通过一个城市，再抵达另外一个城市的走法能够表示为A B CN＝ABC⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 1 21 5 22 2 2其中第i行第j列的元素表示从第i个城市动身途径另外一个城抵达第j个城的走法种类．5．某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸有S(小号)，M(中号)，L(大号)，XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情形如下表所示(单位：件)：为30元/件，D为25元/件，求S 号的运动服在此日取得的总利润是多少？【解】S号运动服的销售量是⎣⎡⎦⎤3A2B0C1D，不同品牌的平均利润是ABCD⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20153025，于是[]3 2 01⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤20153025 ＝[]3×20＋2×15＋0×30＋1×25＝[]115， 故S 号运动服在此日取得的总利润是115元．6．已知盒子A 中装有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的．假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且能够任取一个，此刻要求先取一个盒子，那么从中摸到一只白色小球的概率有多大？【解】 不妨设摸到黑色小球的可能性为X ，摸到白色小球的可能性为Y ，掏出一个盒子的概率能够表示为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212A B ，从两个盒子中摸到一只黑色小球(X )和一只白色小球(Y )的概率能够用矩阵表示为N ＝X Y⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12A 35B1225，于是先取一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩阵运算得X Y⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12A35B1225·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 A B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1120920XY，因此，先取一个盒子，从中摸到一只白色小球的概率为920.7．研究某城市的天气转变趋势，取得如下结论：假设今天晴，那么明天晴的概率为0.8，假设今天阴，那么明天晴的概率为0.4，若是该地域4月20日早晨天气预报当天晴的概率为0.6.(1)4月21日为晴天的概率是多少？ (2)5月1日为晴天的概率是多少？【解】 天气转变情形如下图：天气转变的转移矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.8 0.40.2 0.6，今天天气情形可用向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.60.4表示．第n 天与第n ＋1天的天气关系可表示为晴阴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋1b n ＋1第n ＋1天＝M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n b n 第n 天. (1)4月21日的天气情形为Mβ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.8 0.40.2 0.6·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.60.4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.640.36， 即4月21日为晴天的概率是0.64. (2)矩阵M 的特点多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.8 －0.4－0.2 λ－0.6 ＝λ2－1.4λ＋0.4，由f (λ)＝0解得λ1＝0.4，λ2＝1. 当λ1＝0.4时，代入特点方程⎩⎪⎨⎪⎧0.4－0.8x －0.4y ＝0，－0.2x ＋0.4－0.6y ＝0， 解出特点向量α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ2＝1时，代入特点方程⎩⎪⎨⎪⎧1－0.8x －0.4y ＝0，－0.2x ＋1－0.6y ＝0， 解出特点向量α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21； 由β＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0.60.4＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＋n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－115，n ＝13，M 11β＝－115×(0.4)11×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＋13×111×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－115×⎝ ⎛⎭⎪⎫251113＋115×⎝ ⎛⎭⎪⎫2511≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2313， 即5月1日为晴天的概率约为23.8．工业进展时常伴有环境污染，如何减少乃至排除环境污染是很重要的问题．某研究机构提出了有关污染和工业进展的工业增加模型．设P 是目前的污染程度，D 是目前的工业进展水平，P 1和D 1别离是5年以后的污染程度和工业进展水平．在许多进展中国家，工业进展模型事实上是：P 1＝P ＋2D ，D 1＝2P ＋D .(1)设P 2和D 2别离是第二个5年以后的污染程度和工业进展水平，试求P 2、D 2与P 、D 的关系式； (2)某进展中国家目前的污染程度和工业进展水平都是1，设第n 个5年以后，污染程度和工业进展水平别离为P n 和D n ，试求P n 、D n ，并说明污染程度和工业进展的趋势．【解】 (1)∵P 1＝P ＋2D ，D 1＝2P ＋D ，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P 1D 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P D . 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22 1， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P 2D 2＝A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P 1D 1＝A 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 44 5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P D ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5P ＋4D 4P ＋5D . ∴P 2＝5P ＋4D ，D 2＝4P ＋5D .(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P n D n ＝A n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P D ＝A n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11， 矩阵A 的特点值为λ1＝3，λ2＝－1， 对应的一个特点向量别离为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤P n D n ＝λn 1α1＝3n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. λ1＝3说明污染程度和工业进展水平同时以3倍的速度增加，高水平工业能提高人们的生活水平，但处置不妥，随之加重的环境污染会造成不堪假想的后果，那个结果警告人们在进展工业的同时必然要注意减轻污染，治理污染．选修4－2模块学习评价模块学习评判1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 01 1，求矩阵M 的特点值与特点向量．【解】 矩阵M 的特点多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 0 －1 λ－1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－2·x ＋0·y ＝0，－x ＋λ－1y ＝0，解得x ＝0， 因此矩阵M 属于特点值1的一个特点向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01； 同理，矩阵M 属于特点值2的一个特点向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. 2．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1,1)，D ′(－1，－1)．(1)求出矩阵M ；(2)确信点D 及点C ′的坐标．【解】 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，那么有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－3， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，因此M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 －1. (2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 3，得C ′(－3,3)． 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 －23 23 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1，得D (1，－1)． 3．设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 0b 1(a >0)对应的变换作用下取得的曲线为x 2＋y 2＝1. ①求实数a ，b 的值；②求A 2的逆矩阵．【解】 ①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 0b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，因此x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >1，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.②由①知，A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 01 1，A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 01 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 02 1. 因此|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 0－2 1. 4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 【解】 ∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1， ∴A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3 设α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，那么A 2α＝β⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 24 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝2∴a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 5．曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求M 的逆矩阵M －1.【解】 (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′. 代入得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1，即得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1， 及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2.解得a ＝2，b ＝0.(2)因为M 的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 －2101 11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 1. 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 116，求M 3α的值． 【解】 矩阵M 的特点多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4)．令f (λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特点值λ1＝4的一个特点向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25， 属于λ2＝－2的一个特点向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1. 令α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 116＝m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25＋n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1，那么m ＝3312，n ＝2712，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 116＝3312×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25＋2712×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1，因此M 3α＝43×3312×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25＋(－2)3×2712×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤388862. 7．利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3. 【解】 方程组可写为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2，方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32 因此原方程组的解为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －12－2 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12；y ＝12.8．密码学是关于信息编码和解码的理论，其中常经常使用到矩阵知识，第一成立如下对应关系： A B C … Y Z↨ ↨ ↨ ↨ ↨1 2 3 … 25 26取矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 32 1. (1)将Good 进行编码；(2)将93,36,60,21恢复成原先的信息．【解】 (1)Good 的编码为7,15,15,4.(2)∵det(A )＝5×1－3×2＝－1，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9336＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9336 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 6，A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3 2 －5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 315. ∴密码恢复成编码15,6,3,15，即取得原先的信息OFCO .9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 2，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31. (1)求M 的特点值和特点向量；(2)计算M 4β，M 10β，M 100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发觉了什么？【解】 (1)矩阵M 的特点多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －1 0 λ－2＝(λ－1)(λ－2)． 令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.∴属于λ1＝1的一个特点向量α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，属于λ2＝2的一个特点向量α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. (2)令β＝m α1＋n α2，那么有m ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＋n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31，∴m ＝2，n ＝1，即β＝2α1＋α2.∴M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M 4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＋24×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1816， 同理可得M 10β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋2 210， M 100β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100＋2 2100. (3)当n →＋∞时，可近似以为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2n 2n . 10．自然界生物种群的成长受到多种因素的阻碍，如诞生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等．因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系．可是若是没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个相互阻碍的种群X ，Y 随时刻段转变的数量别离为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝3a n ＋b n ，b n ＋1＝2a n ＋2b n ，其中a 1＝1，b 1＝7，试分析10个时段后，这两个种群的数量转变趋势． 【解】 由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x i y i ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 12 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x i －1y i －1， 令M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 12 2， 则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1 －2 λ－2 ＝(λ－1)(λ－4)． 令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特点向量别离为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. 设α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17， 则α＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(－2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2， 则M 10α＝3×410×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(－2)×110×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×410－23×410＋4 ≈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×4103×410. 照此进展下去，两个种群的数量趋于均衡．。

2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1＝E ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程． 解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。

选修4－2矩阵与变换 2.1.1 矩阵的概念编写人： 编号：001学习目标1、 了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。

2、 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：已知向量OP ，O(0,0),P(1,3).因此把)3,1(=OP ，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为 。

问题2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为问题3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为（二）建构数学1. 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵。

用大写黑体拉丁字母A,B,…来表示矩阵2. 矩阵的行：3. 矩阵的列：4. 矩阵的元素：5. 零矩阵：6. 行矩阵：7.列矩阵：练习征？问该图形有什么几何特表示平面中的图形，请现用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02204310M 二、课堂训练：例1．用矩阵表示ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)例2．某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,例4.的量。

两矿区向三个城市送煤万吨。

请用矩阵表示从万吨、万吨、送煤的量分别是万吨；从乙矿区向城市万吨、万吨、是送煤的量分别矿区向城市向三个城市送煤：从甲某公司负责从两个矿区820360400,,160240200,,C B A C B A三、课后巩固：1、写出方程组⎩⎨⎧-=+=-2312my x y x 变量x,y 的系数矩阵.2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A=B ，求a ，b ，c ，d.3、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b.5. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，求α，β.。

课题：矩阵的概念【学习任务】掌握矩阵的定义，能用矩阵的定义解决有关简单问题。

【课前预习】1.什么叫矩阵？矩阵的行？矩阵的列？2.几个特殊矩形：（1）零矩阵：（2）行矩阵：（3）列矩阵：【合作探究】例1：用矩阵表示图中的△ABC，其中A （-1，0），B （0，2）C （2，0）。

例2：某种水果的产地为A 1，A 2，销地为B 1，B 2，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 的水果数量（ij a ），其中1,2,1,2i j ==例3：已知 3 1 ,4 2 -2x y A B z ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，若A=B ，试求,,x y z 。

【自我检测】1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵1102,,,2235⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所表示的以坐标原点为起点的向量。

2.（1）已知二元一次方程组34232x y x y +=⎧⎨+=⎩，试用矩阵表示它的系数和常数项；（2）已知二元一次方程组的系数矩阵为 4 -11 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，方程组右边的常数项矩阵为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试写出该方程组。

3.依照教科书中例1的方法，画出矩阵0 1 20 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦所表示的三角形。

4.设M 是一个3×3矩阵，且规定其元素,1,2,3,1,2,3ij a i j i j =+==，试求M 。

5.设矩阵 3 5 3 y 1 6, 2 z 4 3 7u x M v N p w q r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

若M=N ，试求实数,,,,,u v w x y z ,,p q r 的值。

【学后反思】已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识。

若用0表示两个人之间不相识，1表示两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系。

（规定每个人都和自己相识）。

变换的复合与矩阵的乘法——矩阵乘法的概念及简单性质（一）一、教材分析1地位与作用变换的复合与矩阵的乘法是选修4-2中第三节。

在学习了二阶矩阵与平面向量和六种常见的平面变换后，在已有知识为平台，结合实例情境下二阶矩阵与平面向量运算的延伸。

通过连续实施两次变换理解矩阵乘法的意义，熟练掌握两个矩阵的乘法，了解矩阵乘法的运算法则。

通过实例来了解乘法法则满足结合律，不满足交换律。

通过本节的学习为下阶段逆变换与逆矩阵等的学习打好基础。

2教学目标1、知识教学目标（1）熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。

（2）理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。

3通过实例，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。

4通过实例了解矩阵乘法不满足消去律。

5通过实例了解矩阵乘法满足结合律。

2、能力训练目标培养由实际问题抽象出矩阵及表示的过程中蕴含的符号化思想，类比与数形结合的思想3、重点、难点重点与难点是推导得出矩阵乘法法则及理解矩阵乘法的几何意义二、教法与学法分析结合新课标精神，创设问题情境，用发现式教学法，类比分析法来组织教学。

激发学生学习兴趣，培养参与意识。

三、课堂设计1、复习回顾：（1）二阶矩阵与平面向量的乘法及结构特点（2）已知N= M= ,向量先进行N变换得到，再对进行M变换得到思考两次变换能否用一个矩阵来表示？设计意图：回忆和巩固学生对矩阵的工具作用的认识，理解矩阵作用是将一个向量变成一个新的向量。

从而尝试思考连续两次变换的实质。

2、导入新课[a11a12a21a22]{[b11b12b21b22][x0y0]}设计意图：通过学生的整理，归纳得到二阶矩阵乘法的相应法则，从而理解矩阵乘法的几何意义3、运用例1（1）已知，，计算AB2 已知，，计算AB，BA（3）已知，，，计算AB，AC（4）计算设计意图：（1）（2）（3）（4）使学生熟练掌握二阶矩阵乘法运算法则。

房山高级中学生态循环课堂教案 高二数学（理科） 第13周01 总编号：32 主备人：李凤廷2.1.1 矩阵的概念一、教学目标：1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零矩阵、矩阵的相等等相关知识；3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。

二、教学重难点：重点是矩阵行、列、元素及零矩阵、矩阵相等，难点是用矩阵表示简单的实际问题三、教学方法建议:新授课、启发式一一引导发现、合作探究．四、教学流程设计：（一）引导初学 （何为矩阵?）问题1 坐标平面上的点（向量）——矩阵：你认为课本图2-1-1好吗？ 问题2 日常生活——矩阵：某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：你会仿照问题1中的记法简单表示吗？并尝试把下面方程组中的系数表示一下： 1．形如： 称为矩阵， 称为矩阵的元素，通常用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用（aij ）(其中i,j 分别元素aij 所在的行和列. 其中同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行, 同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列． 特别：（1）零矩阵：（2）行矩阵：[a11,a12] 列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a21 ，一般用 ， 等表示。

2. 行矩阵和列矩阵形式（行向量，列向量）：（二）精讲点拔 13简记为⎡⎤⎢⎥⎣⎦231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩例1：用矩阵表示三角形ABC ，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0).例2: 某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3: 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, （三）运用反馈1．2. 五、教学反思 特征？请问该图形有什么几何表示平面中的图形，现用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02204310M 的值。

对苏教版选修4-2《矩阵与变换》的初步认识王家清不久前，在“东部发达地区数学新课程教学实践”课题活动中，我针对苏教版选修4-2《矩阵与变换》上了一节市级公开课，感受颇多。

下面我想谈一谈教学前后的一些体会。

一、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的编排情况矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。

矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。

本章节通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。

1．主要内容通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、矩阵的逆和矩阵的特征向量，初步展示矩阵应用。

2．教材定位及意图初中起点、只讨论具体的二阶方阵、从几何上理解矩阵的有关知识、为进一步学习高等数学奠定基础。

定位应与大学教学相区别。

在大学课程中矩阵作为代数的运算对象,主要研究运算性质;线性方程组与线性空间的表示方法.而在中学课程标准中主要通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用,从直观上认识矩阵的意义。

3．章节安排①二阶矩阵与平面向量；②几种常见的平面变换；③变换的复合与矩阵的乘法；④逆变换与逆矩阵；⑤特征值与特征向量；⑥矩阵的简单应用。

矩阵---几何变换的代数表示几何代数化----向量平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量矩阵就是一个几何变换，它把平面上的任一个点，变成平面上的另一个点。

中学常见的几种几何变换的矩阵表示：恒等变换伸压变换反射变换切变变换旋转变换投影变换等。

二、苏教版选修４- 2《矩阵与变换》的一些特点对本课程标准的理解：以变换为主线贯穿于整个教学过程，使学生真正理解矩阵对向量的作用，旋转变换以坐标原点为中心，通过图形变换理解并掌握初等变换。

重点难点：初等变换、矩阵的特征值和特征向量。

1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论。

2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵。

第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。

选修4-2 矩阵与变换本章主要是通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、简单的线性运算及其性质、逆矩阵与逆变换、矩阵的特征值与特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，应用实例初步展示矩阵应用的广泛性．2·1二阶矩阵与平面向量1.矩阵的概念(1)在数学中，把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4 2332m ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85659080这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素所在的行和列。

同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.(2)平面上向量),(y x =α的坐标和平面上的点P （x,y ）都可以看做是行矩阵[]y x ，也可以看做是列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .因此我们又称[]y x为行向量，称⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y ）的坐标写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的形式.(3)当两个矩阵Ａ、Ｂ，只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有Ａ＝Ｂ.行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。

(4)由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 2.二阶矩阵与平面向量的乘法 行矩阵[]1211a a 与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则：[]1211a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b =[]21121111b a b a ⨯+⨯二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯022021012011y a x a y a x a一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 3.理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 表示一个点P （x,y ）,那么列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点.对于平面上的任意一个点（向量）（x,y ）,若按照对应法则T ，总能对应惟一的一个点（向量）),(y x ''，则称T 为一个变换，简记为：T ：),(),(y x y x ''→或T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈Ｒ）由矩阵Ｍ确定的变换，通常记为T M ,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M ,的作用下得到一个新的图形.1 设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A=（ ）A 、 2 53 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、 2 35 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、 2 63 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、 2 26 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】B 。