苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念

矩阵乘法的概念教学目标1.理解矩阵乘法法则及由来过程；了解主对角线，副对角线的概念；2.理解矩阵乘法的几何意义；了解矩阵乘方的意义；3.能根据矩阵乘法法则进行一些简单的运算.4.在理解六种常见变换及其矩阵表示的基础上，学习伸压，反射，旋转等变化的复合变换与矩阵乘法法则的联系，进一步熟悉矩阵的乘法运算；5.了解初等变换及初等变换矩阵的概念.一．回顾复习，引入新课1.计算=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡012001 . 2.已知M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001，M ，N 能不能进行乘法运算？如果可以，怎样进行？二．建构数学，新授内容1.矩阵的乘法法则2.矩阵MN 的几何意义3.矩阵乘方的意义4.初等变换5.初等变换矩阵三．应用示例，例题分析例1.（1）已知A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23232323，B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23232323，计算AB ； （2）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2413， B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5001，计算AB ，BA ； （3）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001，计算BA ， BC ； （4）从（2），（3）的结果，你能得到什么结论？例2.已知二阶单位矩阵E .1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡= （1）计算E 2，E 3，猜测E n （+∈N n ）； （2）设一个二阶矩阵为A ，且A 2=E ，则A 一定是单位矩阵E 吗？若是，请给出证明；若不是，试举出反例.例3.已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转︒90.（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（3）在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证（2）中的结论.练习：已知平行四边形ABCD ，作变换1T ，变成矩形''D ABC ,再作变换:2T 将所得矩形的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，其中)2,2(),2,5(),0,3(),0,0(D C B A ,).2,0(),2,3(''D C（1）在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形；（2）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（3）求四点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（4）结合（1）中的图形，验证（3）的结论.例4.已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ββββcos sin sin cos ，试求AB ，并解释其几何意义.。

2．3.1 矩阵乘法的概念1．二阶矩阵乘法法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. 2．矩阵乘法MN 的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换．3．矩阵MN 对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N 对应的变换，再进行矩阵M 对应的变换．[对应学生用书P23][例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 1313 13，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 －13－13 13，计算AB ；(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，计算AB ，BA ；并观察AB 与BA 相等吗？[思路点拨] 直接运用二阶矩阵的乘法法则计算即可． [精解详析](1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×13＋13×(－13) 13×(－13)＋13×1313×13＋13×(－13) 13×(－13)＋13×13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－6 －8， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －43 －8. 观察可知，AB ≠BA .两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法则依次进行．1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23，计算AB ，BA . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－4 6； BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤18－2 6. 2.(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤124 4，计算AB ，AC ；(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.解：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0.(2)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.[例2] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01.(1)若对平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，得到图形F ′，那么F 与F ′有什么关系？(2)计算NM ，若对平面上的图形F 实施T NM 变换，得到图形F 0，那么F 与F 0什么关系？ (3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM 确定的变换的几何意义．[思路点拨] 先由对称变换确定F 与F ′的关系，再通过计算NM 确定F 与F 0的关系，由上述关系即可说明由NM 确定的变换的几何意义．[精解详析] (1)变换T M 把平面上的图形F 变换成与F 关于x 轴对称的图形F 1，变换T N把平面上的图形F 1变换成与F 1关于y 轴对称的图形F ′，所以F 与F ′关于原点对称．(2)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，变换T NM 是把平面上的图形F 变换成与F 关于原点对称的图形F 0.(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，与把平面上的图形F 实施T NM 的结果相同．这也就验证了矩阵乘法NM 的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先T M 后T N )的复合变换”的结论．矩阵MN 的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N 再M )的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．3．已知M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13，试求M 2M 1并对其几何意义给予解释．解：M 2M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 16.矩阵M 1和M 2分别表示把平面上的点向x 轴垂直压缩为原来的12和13，利用M 1和M 2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的12，再压缩为13实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 16对应的变换．4．已知矩形ABCD ，其中点A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A ，B ，C ，D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论． 解：(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以点A ，B ，C ，D 分别变换成点A ″(0,0)，B ″(0,2)，C ″(1,2)，D ″(1,0)． (3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．求曲线在复合变换后的解析式[例3] 试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 001.[思路点拨] 本题先求矩阵M 、N 的积，再利用矩阵变换求曲线y ＝sin x 在MN 变换下的解析式．[精解详析] MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M 、N 、…的积，再对曲线进行变换．5．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90°，求所得的曲线方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设A (x ，y )为圆C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′.又点A 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(y ′)2＋⎝⎛⎭⎫－x ′22＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋y 2＝1.6．已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值．解：从曲线C 1得到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0，在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0 x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程，得y ′2＋⎝⎛⎭⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝⎛⎭⎫12b 2x 2＋y 2＝1，即⎝⎛⎭⎫12b 2＝14，故b ＝±1.[对应学生用书P25]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 213，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 2，分别计算AB 和BA .解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 44 6，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 8.2．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －16 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 8，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 6，求证：(1)AB ＝0；(2)AB ＝AC .证明：(1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －16 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0＝0. (2)因为AC ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －16 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 34 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0＝0， 所以AB ＝AC . 3．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 203成立的实数a ，b ，c ，d .解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 ac b 3c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 20 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，ac ＝2，b ＝0，3c ＝3.∴a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝2.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2222－22 22. (1)计算MN ，NM ；(2)说明M ，N 所表示的几何变换，解释MN 、NM 的几何意义． 解：(1)MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2222－2222 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－2222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －323212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24. (2)矩阵M 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点逆时针旋转π3；矩阵N 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点顺时针旋转π4(或逆时针旋转7π4)．矩阵MN 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点顺时针旋转π4，再把该点绕原点逆时针旋转π3，即把点绕原点逆时针旋转π12；矩阵NM 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点逆时针旋转π3，再把该点绕原点顺时针旋转π4，即把点绕原点逆时针旋转π12.故矩阵MN 和矩阵NM 所表示的变换是同一变换．6．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2. 在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′ 2y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2.代入x ′＋y ′－2＝0，得x －14y ＋y2－2＝0，所以直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.7．(福建高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．8．已知单位正方形OABC ，其中O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，先将正方形作压缩变换，对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了什么图形？(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论．解：(1)设压缩变换对应的矩阵为Q ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，绕原点逆时针旋转90°的变换对应的矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0， 所以点O ，A ，B ，C 分别被变换到点O ″(0,0)，A ″⎝⎛⎭⎫0，12，B ″⎝⎛⎭⎫－1，12，C ″(－1,0)，即矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了矩形O ″A ″B ″C ″.(3)从几何变换的角度可以发现，上述变换可由如图所示的几何变换得到，由此可以验证与第(2)问的结果是一致的．第11页。

§2.3.1矩阵乘法的概念教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 .3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则情感、态度与价值观：教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学过程：一、问题情境:对向量xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦先做变换矩阵为N=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦的反射变换T1, 得到向量xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦, 再对所得向量做变换矩阵为M=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦的伸压变换T2得到向量xy''⎡⎤⎢⎥''⎣⎦, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?二、建构数学：1.矩阵乘法的乘法规则2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换, 初等变换矩阵三、教学运用例1、(1)已知A=11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B=11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦; 计算AB .(2)已知A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎢-⎣43⎤⎥⎦, 计算AB, BA .(3)已知A=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算AB、AC .例2、已知A=1013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A2, A3 , A4 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*)例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C , D在T M作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.例4、已知A=cossinαα⎡⎢⎣sincosαα-⎤⎥⎦, B=cossinββ⎡⎢⎣sincosββ-⎤⎥⎦, 求AB, 并对其几何意义给予解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1.计算:(1)411323-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣52-⎤⎥⎦(2)210431-⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎣⎦⎣21⎤⎥⎦(3)0.8150.210-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣5⎤⎥-⎦(4)1133211223⎡⎤-⎢⎥-⎡⎢⎥⎢⎣⎢⎥-⎢⎥⎣⎦41⎤⎥-⎦2.已知A=cossinθθ⎡⎢⎣sincosθθ-⎤⎥⎦, 求A2 , A3 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*) .3.计算0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 并用文字描述二阶矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换方式.4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90°,再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果;(3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90°, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M′是什么呢?5.设m , n∈k , 若矩阵A=2mn⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l: x－5y+1=0变换成另一直线 l′: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值.。

2.3 变换的复合与矩阵的乘法1．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M·M·…·M.3．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M 、N 、P 均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P ＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B≠C.1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？ 【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．3．矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】 不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M 后T N 的两次几何变换.矩阵的乘法运算(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，计算AB.(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA. (3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA ；(3)中尽管B≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵．证明下列等式并从几何变换的角度给予解释．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0，∴左＝右．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质已知正方形ABCD ，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．【思路探究】 利用具体的几何变换验证．【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN≠NM.从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换．这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图．(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换．一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律．算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012表示AB ＝AC ，但A≠0且有B≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释．【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.∴左边＝右边．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.变换的复合问题已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．【思路探究】 先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程．【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－2y 0，y′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′0，y 0＝－x′02.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(y′0)2＋⎝⎛⎭⎫－x′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？ 【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－y 0，y′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′02，y 0＝－x′0.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以⎝⎛⎭⎫y′022＋(－x′0)2＝1. 故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.(教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．(2013·南京模拟)已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．【解】 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x′，x 0＝y′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x′，x 0＝y′.代入曲线C 1方程得，y′2＋(12bx′)2＝1.即曲线C 2方程为：(12b)2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b)2＝4.所以b ＝±1.1．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×2 1×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 02．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4，则AB ＝________，AC ＝________.【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 03．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，则A 2＝________.【解析】 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋1×－1 1×1＋1×－1－1×1＋－1×－1 －1×1＋－1×－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 04．矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________．【解析】 几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换． 【答案】 先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC. 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1.【解】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z.【解】 设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－1 37.4．验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行)． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边．故等式成立．从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1把点P(x ，y)切变到点P 1(y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把点P 1(y ，x ＋y)切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002把点P 2(x ＋2y ，x ＋y)垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y,3x ＋4y)．这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4直接把点P(x ，y)变到点P 4(x ＋2y,3x＋4y)是一致的．(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝左边．故等式成立．从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A(x ，y)以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x)；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1把点A 1(y ，x)平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把点A 2(y ＋kx ，x)以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx)．这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1直接把点A(x ，y)沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx)是一致的．5．试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1. 【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×12＋0×0 1×0＋0×10×12＋2×0 0×0＋2×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设(x′，y′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x′ 2y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12x′＝x ，2y′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y. 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x.故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x.6．求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－11.【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－22， 设P(x′，y′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x ，y)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x′－2x′＋2y′ 于是x′＝x ，y′＝x ＋y2.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1. 7．已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤1878 (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率．【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427， 它们分别表示 A 2＝后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝再后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427.(2)明天天气晴、阴概率Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3858；后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11241324；再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35723772.教师备选8．设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵．【解】 若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转， 则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60°sin －60° cos －60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32. 综上所述，所求矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32.一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 所以b ＝1，d ＝2.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2.所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 304.所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点．在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 22. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2222 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋－1×0 0×22＋－1×22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22.又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1， 所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)，所以S △O′A′B′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P(x ，y)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝－12x′，代入y 2＝x ，得y′＝14x′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一．在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼．因此本章中始终贯穿数形结合的思想．已知矩形ABCD ，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. 所以点A 、B 、C 、D 分别变换成点A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如图所示．(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．综合检测(三)1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋2×3 1×－2＋2×123×0＋4×3 3×－2＋4×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －112 －4.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ＋φ －sin θ＋φsin θ＋φ cos θ＋φ.2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释． 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的．3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N. 【解】 设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a －c 22b －d 22a ＋c22b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22a －c ＝1，22b －d ＝0，22a ＋c ＝0，22b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22. 4．设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M. 【证明】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ，EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝M.所以等式得证． 5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *)．【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到．(2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的伸压变换得到．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程．【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2×1＋1×0 2×－2＋1×1－1×1＋2×0 －1×－2＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 4，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×2＋－2×－1 1×1＋－2×2 0×2＋1×－1 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P(x ，y)经矩阵M 变换后为点P′(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝2x －3y y′＝－x ＋4y ，即⎩⎨⎧ x ＝45x′＋35y′y ＝15x′＋25y′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得：45x′＋35y′＋15x′＋25y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．计算得△A′B′C′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20 d ， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象．【解】 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2.(2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y)，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y)的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x.10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：价格 日需求量A ＝苹果香蕉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5A 店 1.2B 店2.8 3.0，B ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤1苹果 2香蕉3 2， 人员数量C ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤200男 50女80 120. 利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表．【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.8 3.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：BA ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1A 店 7.2B 店10.1 9.6日消费额. (2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 232 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400， 故量表为D ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤350苹果 500香蕉440 400日需求量.。

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2.3.2矩阵乘法的简单性质乘法的运算律:（1）交换律例1已知正方形ABCD,A （0,0），B （1， 0），C （1，1），D （0，1）变换T 1对应矩阵为M ＝01⎡⎢⎣-10⎤⎥⎦,变换T 2对应矩阵为N ＝10⎡⎢⎣ 00.5⎤⎥⎦对应的变换，计算MN,NM ，比较它们是否相同,并从几何变换的角度解释. -1-0.50.511.5-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2系列3 -1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5系列1系列2系列3(2）结合律(AB ）C ＝A （BC ）（3）消去律例2已知：A=1⎡⎢⎣⎤⎥⎦,B＝1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦，C＝1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦，计算AB,AC。

矩阵乘法与点乘
矩阵乘法和点乘是线性代数中基础而重要的概念。

矩阵乘法是将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其结果的每个元素都是两个矩阵对应位置元素的乘积之和。

点乘则是将两个向量按元素相乘再求和，得到一个标量。

矩阵乘法可以用于描述线性变换，比如旋转、缩放等。

在计算机图形学中，矩阵乘法常用于变换矩阵的计算，从而实现图形的移动、旋转等操作。

点乘在向量计算中也非常常见，比如计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否正交等。

在机器学习中，点乘也被广泛应用于神经网络中的计算，如矩阵乘法计算层间输出。

总之，矩阵乘法和点乘都是线性代数的基础概念，在多个领域中有广泛应用和重要作用。

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选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念编写人： 编号：008学习目标1、 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。

2、 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。

归纳1：矩阵乘法法则:归纳2：矩阵乘法的几何意义：（二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。

练习1、.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10110110=（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0111 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 2、已知矩阵X 、M 、N,若M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3322，则下列X 中不满足:XM=N,的一个是（ ）A 、X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2120B 、X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211C 、X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3031D 、X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3053 二、课堂训练：例1．（1）已知A=11221122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B=11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,计算AB （2）已知A=1002⎛⎫ ⎪⎝⎭，B=1423⎛⎫ ⎪-⎝⎭，计算AB,BA (3)已知A=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，B=1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，C=1002⎛⎫ ⎪⎝⎭计算AB,AC例2、已知梯形ABCD ，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转090(1) 求连续两次变换所对应的变换矩阵M(2) 求点A,B,C,D 在M T 作用下所得到的结果在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。

二阶矩阵乘法矩阵是数学中的一种重要概念，它与多种技术领域有着密切的联系，其中最基本的是二阶矩阵乘法。

它可以被用来描述和计算一系列二维平面上的数学变化，如旋转、缩放、反射等。

首先，要弄清楚矩阵乘法的定义，以及它的属性和应用。

矩阵乘法是将两个二维矩阵相乘，以获得一个新矩阵的数学操作。

它将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵的所有元素相乘，然后将这些值相加，最终得到一个新的矩阵。

这是一个用来表达各种数学变化的有效方法，可以将一个复杂的概念转换为简单的操作。

其次，要阐述二阶矩阵乘法的细节，了解它的计算、特性和应用。

二阶矩阵乘法是指一个矩阵乘以另一个二阶矩阵而得到的新矩阵，两个矩阵的乘法要求它们的行数等于另一个矩阵的列数。

乘法中的每一项可以用简单的数学公式表示，公式可以用来找出每一行乘以每一列的和，最终得到的结果称作二阶矩阵乘法的积。

二阶矩阵乘法具有一些基本的特性，例如交换律、结合律和分配律等，这些特性可以使矩阵乘法操作更加方便有效。

而且，二阶矩阵乘法也可以用来描述一系列复杂的数学变化，它是投影、缩放、旋转和平移等平面几何变换的有效表达式。

最后，要总结二阶矩阵乘法的重要性。

二阶矩阵乘法是很多科学和工程领域的基础，是很多重要的数学概念的基础，如几何变换、线性代数、矩阵分解等。

二阶矩阵乘法简化了复杂的数学概念，使这些概念易于理解和应用，为这些学科领域的研究提供了重要的知识基础。

总而言之，二阶矩阵乘法是一种及其重要的数学概念和操作，它被广泛应用于多种技术领域，为研究着提供了重要的基础。

从定义、计算和特性到应用，二阶矩阵乘法都有其重要性。

当然，对二阶矩阵乘法有足够的了解和掌握是很有必要的，因为它是各种学科研究的基础。