如何引导学生开展探究性数学学习-------------《平面图形的密铺》教学案例湖北省水果湖第一中学刘军·使用教材义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册·教学环境多媒体教室（有视频展示台）一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）通过对“拼地板”的探索，让学生经历探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化学生对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；（2）培养学生观察、动手操作能力。
2. 过程与方法目标：渗透初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。
3. 情感与态度目标：（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，将书本知识与生产生活实践有机地结合；（2）开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；（3）学生在活动中感受数学的朴实之美，数学的和谐之美，进一步发展学生的审美情趣。
二、教材分析教学重点：探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件。
教学难点：如何运用多边形的有关知识，解决密铺中的问题，并寻找多边形密铺的条件。
三、学校及学生状况分析我校是湖北省教育厅直属的示范中学，办学条件良好，有一栋教学楼，一栋实验楼，一栋综合楼，一栋办公楼，一个多功能报告厅，3间多媒体教室，每个班配有电脑和大屏幕电视。
本班的学生绝大部分来自武汉大学等高校和省直机关，有较好的学习基础。
四、课前准备教学设备或教辅工具：1．将学生按四人一组进行分组。
2．多媒体、教学图片。
3．颜色各异的各种多边形图纸。
学生课前准备：全等的多边形纸板、胶水、笔、纸等。
五、教学实录1．创设情境，提出本次学习活动的主题师：在我们的周围有一些美丽、神奇的图案，请我们一起来欣赏一组图案：（多媒体展示一组时装秀和密铺图案）师：这些图案有什么共同特征呢？（同学们分组讨论、交流）生：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的。
平面图形的密铺教学目标教学知识点：了解的含义 . 掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计.能力训练要求：经历探索多边形密铺条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力 .通过探索，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计 .情感与价值观要求：是体现电冰箱在现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。
教学重点：三角形、四边形和正六边形可以密铺。
教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以密铺的条件。
教学过程：一. 巧设情景问题，引入课题我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案 . 这些地板漂亮吗？这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是 .这节课我们来探索 .二. 讲授新又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠 . 那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流 .在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺 . 因为三角形的内角和为 180°，所以，用 6 个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面 .从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有 6 个角，这 6 个角分别是这种三角形的内角，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为 360° .．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角 . 四边形的内角和为 360°，所以它们的和为 360° .．从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为 360°.通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议：正六边形能否密铺？简述你的理由 . 分析如下图，讨论正五边形不能密铺 . 还能找到能密铺的其他正多边形吗？小节：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是 360 °，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是 360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是 360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺一般三角形、四边形也可以密铺 . 虽然它们的内角未必都相等.三 . 课堂练习：课本 P114 如图，在一个正方形的内部按图示的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说理由 .利用习题 3.7 第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位” 图形.答案：可以密铺 . 试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验 . 答案：可以密铺四．. 课时小结本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件 . 即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.五 . 课后作业课本 P115 习题 4.131 、2、3 六．课后探索：探索用两种正多边形镶嵌平面的条件 . 过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索 . 正三角形与正方形正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有 x 个 60°角，有 y 个 90 角，则：0x+90y=360即： 2x+3y=12又 x、 y 是正整数解得： x=3,y=2 即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接 .正三角形与正六边形正三角形的每个内角是 60°，正六边形的每个内角是 120°，对于某个拼结点处，设有 x 个 60°角，有 y 个 120° 角，即：0x+120y=360°即 x+2y=6x、 y 是正整数解得：即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图 .正三角形和正十二边形与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形由以上讨论可找到镶嵌平面的条件 .结论：由 n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是 360° ;n 个正多边形的边长相等，或其中一个或 n 个正多边形的边长是另一个或 n 个正多边形的边长的整数倍。
