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多自由度系统

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多自由度系统的振动

多自由度系统的振动
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)

汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力

第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解

第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解

k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系

多自由度系统振动的研究

多自由度系统振动的研究

多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。

建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。

2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。

在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。

振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。

3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。

该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。

模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。

4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。

结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。

模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。

5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。

数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。

实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。

总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。

通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。

第四章多自由度系统

第四章多自由度系统

j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1

lr
mij
)
u jr usr

lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T

1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U

第四章 多自由度系统

第四章 多自由度系统
频率方程为 则频率方程为：
(1)
2 为方程的解，代入（ ），得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解，代入（1），得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根， 当 [ K ] > 0 时，系统有n个大于零的正实根， 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标（见上图）。 系统的广义坐标（见上图）。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知，当简支梁受力作用时， 由材料力学得知，当简支梁受力作用时，其挠度计算公式为 ： Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义， 根据柔度影响系数的定义，我们首先在坐 处作用一单位力，则在坐标y 标y1处作用一单位力，则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移， 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移，即系统第j个坐标上

机械动力学-多自由度系统

j =1
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有

多自由度系统的振动、响应和求解

E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为

结构动力学-多自由度系统振动


k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

第四章多自由度系统


kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
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φ i c iφ i
T 2 * c2 φ M φ c m 1 i i i i i
关于质量矩阵归一化的振型矩阵：
φ i c i φ i φ i / mi*
4.2.6 初始条件
由物理坐标的初始条件确定模态坐标的初始条件： x (t ) φ X (t ) φ Ai sin( it i ) X (0) A sin
A k1n 2 m 0 i 1n 1i A 2 k 2 n i m2 n 2i 0 2 k3n i m3n A 3i 0 knn 2 m A ni 0 i nn
0.16339 1 0.086183 φ1 0.56908 1.00000
20 5 0 k K 5 8 3 15 0 3 3
3
2
1
m
k /5 k /3
k
m
2m
(φ1 )
第4章 多自由度系统的振动
0.75306 2 0.44534 φ2 1.00000 0.83517 0.82589 3 0.86847 φ3 1.00000 0.29919
(φ3 ) (φ2 )
1 0.29357 k 2 0.66734 m 0.93192 3
0.16339 0.75306 0.82589 φ 0.56908 1.0 1.0 1.0 0.81517 0.29919
i i
x(0) φ X (0)
x(0) φ X (0)
X (0) Ai i cos i
第4章 多自由度系统的振动
φT M x(0) φT M φ X (0)
(0) φT M φ X (0) φT M x
X (0) A i sin i X (0) A ii cos i
系数矩阵奇异，矩阵的秩= n－1。 计算A i 的具体过程 ：
① 任选 n－1个方程; ② 取A i 中某个元素为单位1，化为 n－1阶非齐次方程组; ③ 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型
i。
n 个特征对：
1, 2 ,, i ,, n φ1 , φ 2 ,, φ i ,, φ n
A1i 1
k 22 m22 k 23 m23 k m k m 32 33 33 32 2 2 k m k n 2 i n 2 n3 i mn3
2 i 2 i 2 i 2 i

2 k A k 2 n m2 n 2i 21 i m21 2 k3n m3n A3i k31 i m31 2 k 2 n i m2 n Ani kn1 2i mn1 2 i 2 i
第4章 多自由度系统的振动
例4.2.1 计算例3.4.3中三层框架的固有频率和固有振型。
2 解: M m 1 1
2
m / k 特征方程： 1 4 2 0 3 3 8 1 1 0 3 15 5 1 0 1 5 5
和A为复数，则有
K M A 0
AT K A AT M A 0
AT K A AT M A 0
K M A 0
M和K为对称矩阵
AT K A AT M A 0
以上二式相减 :
M正定 :
AT M A 0

(4.2.11)
(i 1, 2,, n)
坐标变换的矩阵形式 :
xφX
(4.2.15)
振型矩阵 ：由各归一化振型矢量 i 组成的矩阵； x为物理坐标，X为振型坐标－特殊形式的广义坐标。
4.2.4 振型矢量的正交性
措施：
第4章 多自由度系统的振动
运动方程的特点： 耦合，求解困难，费时！ 解耦，变成 n 个独立的单自由度系统 。
自由振动一般解: 主坐标:
n
(i, j 1, 2,, n)
ji ( j =1 , 2 , … , n) —第i 阶归一化振型矢量的各元素
x j (t ) j i Ai sin( i t i ) (4.2.13)
i 1
X i (t ) A i sin( i t i )
T * T (0) X (0) diag(1/ m* ) φ M x ( 0 ) X ( 0 ) diag ( 1 / m ) φ Mx i i
分量形式：
T X i (0) 1/ m* φ i i M x(0)
(0) 1/ m* φ T M x (0) X i i i
2i 2j φiT M φ j 0
i2 j2
φiT K φ j 0 φiT M φ j 0 (i j)
φiT K
φ
2 j j
φiT M
φj 0
i j
φiT M φi 0
* i T i
φ K φ 0
第4章 多自由度系统的振动 T i i
模态质量: m φ M φi
第4章 多自由度系统的振动
(2.4.5) 自由振动解 ： x A sin( t ) x —位移矢量 A—振幅矢量 —无阻尼固有频率 —初相角
齐次方程组 ：
特点：
K 2 M A 0
(4.2.6)
① 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值；
② A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。
(0) A cos X i i i i
tan i
A i sin i X i (0)
Ai
2 X i (0) 2 X i (0) i
i X i (0)
(0) X i
第4章 多自由度系统的振动
2 不失一般性，假定某一特征根为二重根： i 2 1 i
4.2.7 关于特征根的重根问题
系数矩阵的秩等于n－2。
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k m n1 i n1 n 2 i n2 n3 i n3
φ MφX 1X T Tdiagm* X X T1 x M x 2 2 i
1 2 T T
1 2
i 1
2 mi* X i
n
V x K x X φ K φ X X diagk
1 2 T
1 2 T Tபைடு நூலகம்
1 2
T
* i
X ki* X i2
1 2 i 1
拉格朗日方程
k * X 0 m* X i i i i
(i 1, 2,, n)
第4章 多自由度系统的振动
4.2.5 振型矢量的归一化
方法1: 令振型矢量中最大的元素等于单位1 ; 方法2: φ T M φ I φ T K φ diag( 2 ) (4.2.28) i
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
第4章 多自由度系统的振动
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统； 能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。 研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
T 动能： T 1 x Mx 2
T 势能： V 1 x Kx 2
T T 拉格朗日广义函数 ： L 1 ( x M x x K x) 2
(4.2.2)
d L L 0 x dt x
K x 0 M x
(4.2.3)
4.2.2 固有频率和固有振型
1.0 0.66331 0.21519 φ 0.53165 1.0 0.69898 1.0 0.15642 0.84172
第4章 多自由度系统的振动
4.2.3 主坐标
在特定的初始条件下，系统可能以单一的振型振动—主振动
x j i (t ) j i Ai sin( i t i )
特征值问题： 为特征值，A为特征矢量。 非零解条件 —频率方程： K 2 M 0
(4.2.7)
频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。
第4章 多自由度系统的振动
性质1. 动能T正定，即M正定，且M和K对称，则 证明：设满足方程(4.2.6)的某个特征对=
2
i
2
必为实根；
第4章 多自由度系统的振动
2 2 m k m k m k11 2 i 11 12 i 12 13 i 13 k 2 m k 2 m 2 k m i 22 23 i 23 21 i 21 22 2 2 k31 2 m k m k m i 31 32 i 32 33 i 33 2 2 2 k m k m k n1 i n1 n 2 i n 2 n3 i mn3
证毕 #
AT M A 0
性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够 的约束，不会发生刚体位移 ，则 i2 必为正的实根； 证略。
第4章 多自由度系统的振动