第四章多自由度体系无阻尼自由振动
主要内容
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
2 振型的正交性
3 位移的振型展开和能量的振型展开
1 多自由度体系的自振振型和自振频率
所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是
N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K u
M
根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：
{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，
不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得
{}{}{})
sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2
θωφω+−==t t u u
对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
0)()(02
11212=++++−−a a a a N N N N ωωω
把相应的自振频率ωn 代入运动方程的特征方程得到振型{φ}n ={φ1n , φ2n , …, φNn }T —体系的n 阶振型。
由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n =1，才能确定其余的值。
¾实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。
虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。
¾所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
[][](){}{}
02
=−n n M K φω
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，
其中，ωn —n 阶自振频率，{φ}n —n 阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
[]{}{}{}[]N φφφ 2
1=Φ[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΩN ωωω 00000021
[例1]（p98）如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。
结构模型及各刚度元素：
[例1]
解：（1）结构的质量阵、刚度阵：
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.10005.10000.2M []⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=600600060018001200012003000333231232221
131211k k k k k k k k k
K
当结构为自由度在2阶及以上时，频率求解方法：
1 因式分解法
2 直接解代数方程
3 若为对称结构，利用对称性降阶。
（3）根据运动方程的特征方程求振型：
设φ3n =1，则
则振型方程为：[][]{}{}0)(2
=−n n M K φω{}⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=121321n n n n n n
φφφφφφ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−0001110
15.13202
2560021n n n n
n B B B φφ
{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−−=16066.06790.02φ{}⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−=15420.24395.23φ{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=16485.03018.01
φ
从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。
以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组，这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数
[例2](p101)确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周期，梁的弯曲刚度均为EI。
忽略轴向变形，采用集中质量法, 梁的质量集中到梁端, 而梁成为无质量梁。
结构模型及自由度：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦
⎤−−0067233212323φφωωEI mL EI mL
0972
[例2]
令φ1n =1，由特征方程的第一式得：
将ω1(λ1=0.5695)代入上式，得到φ21=2.097将ω2(λ2=4.0972)代入上式，得到φ22=-1.431结构的两阶振型为：
3
/)38(12n n n φλφ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣
⎡−−−−002333821n n n n
φφλλ{}{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧−=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=431.11,
097.212
1φφ
求解结构体系的自振频率和振型也称为结构的模态分析。
在两个例题中采用的求多自由度体系自振频率和振型的方法，是一种严格的理论分析方法，当体系自由度较低时是可行的。
对工程问题，可涉及成百上千，甚至几万个自由度，此时采用矩阵行列式方法很难实现结构的模态分析。
目前借助于计算机，已发展了多种行之有效的矩阵迭代法，有现成的软件可以使用。
在多自由度体系自由振动分析中发现，与单自由度结构体系相比，两者之间相同的是都存在自振频率，但多自由度体系有多个自振频率，N个自由度，则一般存在N个自振频率，新的内容是出现了振型的概念。
所谓振型就是结构按某一阶自振频率振动时，结构各自由度变化的比例关系，多自由度体系的振型和频率一样，是结构的重要特性。
2 振型的正交性
重频问题
若诸特征值不是完全相异的退化系统，设
对应于重频的系统必有s 个线性无关的模态向量，它们与其余N-s 个模态正交。
因此，只要使对应于重频的模态向量正交即可。
可采用线性代数的Schmidt 方法。
11
p p p s ωωω++−== 2s N
≤≤。
