多自由度体系近似计算方法-9

第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。

本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。

6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。

在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。

式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。

显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。

下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。

抗震结构设计测试题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-《抗震结构设计》水平测试题及答案一、名词解释1、地震烈度：指某一地区的地面和各类建筑物遭受一次地震影响的强弱程度。

2、抗震设防烈度：一个地区作为抗震设防依据的地震烈度，应按国家规定权限审批或颁发的文件（图件）执行。

3、场地土的液化：饱和的粉土或砂土，在地震时由于颗粒之间的孔隙水不可压缩而无法排出，使得孔隙水压力增大，土体颗粒的有效垂直压应力减少，颗粒局部或全部处于悬浮状态，土体的抗剪强度接近于零，呈现出液态化的现象。

４、等效剪切波速：若计算深度范围内有多层土层，则根据计算深度范围内各土层剪切波速加权平均得到的土层剪切波速即为等效剪切波速。

5、地基土抗震承载力：地基土抗震承载力aE a a f f ζ=⋅，其中ζa 为地基土的抗震承载力调整系数，f a 为深宽修正后的地基承载力特征值。

6、场地覆盖层厚度：我国《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）定义：一般情况下，可取地面到剪切波速大于500m/s 的坚硬土层或岩层顶的距离。

7、重力荷载代表值：结构抗震设计时的基本代表值，是结构自重（永久荷载）和有关可变荷载的组合值之和。

8、强柱弱梁：结构设计时希望梁先于柱发生破坏，塑性铰先发生在梁端，而不是在柱端。

9、砌体的抗震强度设计值： VE N Vf f ς=，其中f v 为非抗震设计的砌体抗剪强度设计值，ζN 为砌体抗震抗剪强度的正应力影响系数。

10、剪压比： 剪压比为c 0V/f bh ，是构件截面上平均剪力与混凝土轴心抗压强度设计值的比值，用以反映构件截面上承受名义剪应力的大小。

二、填空题（每空1分，共25分）1、地震波包括在地球内部传播的体波和只限于在地球表面传播的面波，其中体波包括 纵波（P ）波和 横（S ） 波，而面波分为 瑞雷 波和 洛夫 波，对建筑物和地表的破坏主要以 面 波为主。

此处添加校徽及校名《建筑抗震设计理论与实例》学习感受学院: ***班级: ***姓名: ***学号: ***2013年9月抗震设计感受通过对《抗震设计理论与实例》这门课的学习, 使我对地震以及抗震结构设计有了更加深入的认识。

地震又称地动, 地震动, 是地壳快速释放能量过程中造成振动, 期间会产生地震波的一种自然现象。

全球每年发生地震约五百五十万次。

地震常常造成严重的人员伤亡, 能引起火灾, 水灾, 有毒气体泄漏, 细菌及放射性物质扩散, 还可能造成海啸, 滑坡, 崩塌, 地裂缝的次生灾害。

而我国地处世界两个最活跃的地震带中间, 东频环太平洋地震带, 西部和西南部是欧亚地震带所经过的地区, 是世界多地震国家之一。

中国的台湾大地震最多, 新疆, 西藏次之, 西南, 西北, 华北和东南沿海地区也是破坏性地震较多的地区。

根据1990年版的《中国地震烈度区划图》, 中国有79%的国土面积需按国家标准进行设防, 有8%的国土面积处于较高烈度设防区（烈度8度）但是由于人们对建筑结构抗震的重要性认识不足, 以及对抗震设计知识掌握不够致使1976年的唐山地震以及2008年汶川大地震中重大人员伤亡和财产损失, 这无不一次次的为我们敲响了重视与加强建筑抗震设防与抗震设计的警钟。

抗震设防是以现有的科学水平和经济条件为前提的, 根据目前世界各国的研究水平和震害经验, 在抗震设防目标上, 各国所采取的通用做法, 抗震设防简单地说, 就是为达到抗震效果, 在工程建设时对建筑物进行抗震设计并采取抗震设施。

抗震设防要求是指经国务院地震行政主管部门制定或审定的, 对建设工程制定的必须达到的抗御地震破坏的准则和技术指标。

在这门《抗震设计理论与实例》课中我们主要学习了如何对建筑物（构筑物）进行抗震设计与验算, 在充分认识了地震的特点后有针对性的进行抗震设计与验算, 使我们对地震灾害有了科学的认识, 学会了如何规避和减轻地震给我们带来的危害, 在以后的工作学习中有着重要的作用。

建筑结构抗震设计(专升本)综合测试1之宇文皓月创作总分: 100分考试时间:分钟单选题1. 6度设防的35m高的框架结构，其防震缝的宽度应为_____。

(2分)(B) 180mm参考答案：B2. 地震系数暗示地面运动的最大加速度与重力加速度之比，一般，地面运动的加速度越大，则地震系数_____。

(2分)(C) 越高参考答案：C3. 某地区设防烈度为7度，乙类建筑抗震设计应按下列_____要求进行设计。

(2分)(D) 地震作用按7度确定，抗震措施按8度采取参考答案：D4. 框架—抗震墙结构安插中，关于抗震墙的安插，下列_____ 是错误的。

(2分)(D) 抗震墙宜安插在两端的外墙参考答案：D5. 《抗震规范》给出的设计反应谱中，当结构自振周期在0.1s~Tg之间时，谱曲线为_____。

(2分)(A) 水平直线参考答案：A多选题6. 在防灾减灾工作中，结构工程师的任务是_____。

(2分)(A) 对地震区域作抗震减灾规划(B) 对新建筑工程作抗震设计(C) 对已存在的工程结构作抗震鉴定(D) 对已存在的工程结构作抗震加固参考答案：A,B,C,D7. 钢筋混凝土丙类建筑房屋的抗震等级应根据_(4) _ 因素查表确定。

(2分)(A) 抗震设防烈度、结构类型和房屋层数(B) 抗震设防烈度、结构类型和房屋高度(C) 抗震设防烈度、场地类型和房屋层数(D) 抗震设防烈度、场地类型和房屋高度参考答案：B8. 面波的两种形式_____。

(2分)(A) 纵波(B) 横波(C) 瑞雷波(D) 乐夫波参考答案：A,B9. 一般说来，完整的建筑结构抗震设计包含_____三个方向的内容与要求。

(2分)(A) 概念设计(B) 构造措施(C) 抗震计算设计(D) 计算模型选取参考答案：A,B,C10. 有抗震要求的多高层建筑钢结构可采取结构体系_____。

(2分)(A) 框架－中心支撑结构体系(B) 框架－偏心支撑结构体系(C) 框架结构体系(D) 框筒结构体系参考答案：A,B,C,D判断题11. 纯框架结构延性差，抗侧力刚度差。

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。

本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。

抗震复习要点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二、填空题(每空1分，共２5分)1、地震波包括在地球内部传播的体波和只限于在地球表面传播的面波，其中体波包括纵波（P）波和横（S)波,而面波分为瑞雷波和洛夫波，对建筑物和地表的破坏主要以面波为主。

2、场地类别根据等效剪切波波速和场地覆土层厚度划分为IV类。

３、在用底部剪力法计算多层结构的水平地震作用时，对于Ｔ1＞1.4T g时，在结构顶部附加ΔF n，其目的是考虑高振型的影响。

4、《抗震规范》规定，对于烈度为8度和９度的大跨和长悬臂结构、烟囱和类似的高耸结构以及9度时的高层建筑等，应考虑竖向地震作用的影响。

5、钢筋混凝土房屋应根据烈度、建筑物的类型和高度采用不同的抗震等级,并应符合相应的计算和构造措施要求。

6、地震系数k表示地面运动的最大加速度与重力加速度之比;动力系数 是单质点最大绝对加速度与地面最大加速度的比值。

7、多层砌体房屋的抗震设计中,在处理结构布置时，根据设防烈度限制房屋高宽比目的是为了使多层砌体房屋有足够的稳定性和整体抗弯能力,根据房屋类别和设防烈度限制房屋抗震横墙间距的目的是避免纵墙发生较大出平面弯曲变形,造成纵墙倒塌。

8、用于计算框架结构水平地震作用的手算方法一般有反弯点法和D值法。

９、在振型分解反应谱法中，根据统计和地震资料分析,对于各振型所产生的地震作用效应，可近似地采用平方和开平方的组合方法来确定。

1０、为了减少判别场地土液化的勘察工作量，饱和沙土液化的判别可分为两步进行，即初步判别和标准贯入试验判别。

1、根据土层剪切波速的范围把土划分为坚硬土、中硬土、中软土、软弱土四类。

2、地震波中的纵波(P) 是由震源向外传播的疏密波，横波（S）是由震源向外传播的剪切波。

用来反映一次地震本身强弱程度的大小和尺度的是震级,其为一种定量的指标。

一、名词解释 1、地震烈度：指某一地区的地面和各类建筑物遭受一次地震影响的强弱程度。

2、抗震设防烈度：一个地区作为抗震设防依据的地震烈度，应按国家规定权限审批或颁发的文件（图件）执行. 3、场地土的液化：饱和的粉土或砂土，在地震时由于颗粒之间的孔隙水不可压缩而无法排出，使得孔隙水压力增大,土体颗粒的有效垂直压应力减少，颗粒局部或全部处于悬浮状态，土体的抗剪强度接近于零，呈现出液态化的现象.４、等效剪切波速：若计算深度范围内有多层土层,则根据计算深度范围内各土层剪切波速加权平均得到的土层剪切波速即为等效剪切波速。

5、地基土抗震承载力：地基土抗震承载力aE a a f f ζ=⋅，其中ζa 为地基土的抗震承载力调整系数，f a 为深宽修正后的地基承载力特征值。

6、场地覆盖层厚度：我国《建筑抗震设计规范》（GB50011—2001）定义：一般情况下,可取地面到剪切波速大于500m/s 的坚硬土层或岩层顶的距离。

7、重力荷载代表值：结构抗震设计时的基本代表值，是结构自重（永久荷载）和有关可变荷载的组合值之和。

8、强柱弱梁：结构设计时希望梁先于柱发生破坏，塑性铰先发生在梁端，而不是在柱端. 9、砌体的抗震强度设计值：VE N Vf f ς=，其中f v 为非抗震设计的砌体抗剪强度设计值，ζN 为砌体抗震抗剪强度的正应力影响系数. 10、剪压比：剪压比为c 0V/f bh ，是构件截面上平均剪力与混凝土轴心抗压强度设计值的比值，用以反映构件截面上承受名义剪应力的大小.二、填空题（每空1分，共25分）1、地震波包括在地球内部传播的体波和只限于在地球表面传播的面波,其中体波包括 纵波（P ）波和 横（S ） 波,而面波分为 瑞雷 波和 洛夫 波，对建筑物和地表的破坏主要以 面 波为主。

2、场地类别根据 等效剪切波波速 和 场地覆土层厚度划分为IV 类。

3、在用底部剪力法计算多层结构的水平地震作用时，对于T 1〉1。

自由度计算方法
自由度是指一个系统中可以自由变化的参数的数量，它是衡量系统的复杂性的重要指标。

自由度的计算方法有多种，其中最常用的是拉格朗日乘子法。

拉格朗日乘子法是一种数学方法，它可以用来计算一个系统中可以自由变化的参数的数量。

该方法的基本思想是，将系统中的参数分解为一组乘子，每个乘子代表一个可以自由变化的参数，然后将这些乘子相乘，得到一个系统的总自由度。

拉格朗日乘子法的计算过程如下：首先，将系统中的参数分解为一组乘子，每个乘子代表一个可以自由变化的参数；其次，将这些乘子相乘，得到一个系统的总自由度；最后，将总自由度减去系统中的约束条件，得到最终的自由度。

拉格朗日乘子法的优点在于，它可以快速准确地计算出一个系统的自由度，而且它的计算过程简单易懂，易于实现。

此外，拉格朗日乘子法还可以用来计算复杂系统中的自由度，因为它可以将复杂系统中的参数分解为一组乘子，从而简化计算过程。

多连杆自由度计算
多连杆自由度计算是指在多连杆机构中，各连杆及其运动副的自由度数目的计算。

它涉及到机构运动学、动力学等多个领域，是机械工程中的重要问题之一。

在多连杆机构中，通常存在多个连杆和运动副，每个连杆和运动副都具有一定的自由度数。

根据机械原理和运动学的基本原理，可以列出各连杆和运动副的运动方程式，并求出其自由度数。

多连杆自由度计算的方法通常包括直接计算法和间接计算法。

直接计算法是根据机构的结构和运动学原理，直接求解运动方程式，得到各连杆和运动副的自由度数目。

间接计算法则是通过分析机构的运动链和运动链的拓扑结构，推导出自由度数目的计算公式。

在计算多连杆自由度时，需要考虑连杆的长度、运动副的尺寸和运动方向等因素。

此外，还需要考虑机构的约束条件和动力学特性等因素，以确定自由度数目的正确性。

多连杆自由度计算的结果对机械设计和运动控制具有重要的意义。

它可以为机械设计和优化提供参考依据，优化机械结构的布局和运动链的分布，提高机械系统的性能和稳定性。

同时，它还可以为机器人学、自动化技术等领域提供理论基础和计算工具。

总之，多连杆自由度计算是机械工程中的重要问题之一，它涉及到多个领域的知识和方法，具有广泛的应用前景。