2017_2018学年高中数学2_2几种常见的平面变换2_2_3变换的复合与矩阵的乘法反射变换教学案苏教版选修4_2

2.2几种常见的平面变换仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//yy x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。

2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1y y k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 3 恒等变换、伸压变换、反射变换学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.试讨论矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换将直线y ＝3x ＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】 设直线y ＝3x ＋2上的任意一点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换作用下变成点(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′， 将其代入y ＝3x ＋2中， 得y ′＝3x ′＋2，从而可知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换将直线y ＝3x ＋2仍变成了同一条直线.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换是恒等变换. 2.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.【导学号：30650014】【解】 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.又4x 2＋y 2＝1， 所以x ′2＋y ′2＝1.所以曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 3.求曲线C ：x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的反射变换作用下得到的图形的周长. 【解】 设曲线C ：x 2＋y 2＝9上任意一点P (x ，y )在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的反射变换作用下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′，x ＝y ′，将其代入x 2＋y 2＝9中，得x ′＋y ′＝9，从而可知曲线C 在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (k ＞0).【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 2y ； (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 2； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky (k ＞0). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 12对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半. 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k 倍.当k ＞1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的伸长变换；当0＜k ＜1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的压缩变换；当k ＝1时，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的是恒等变换.5.设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1b 把直线l ：y ＝2x －4变换为直线l ′：y ＝x －12，求a ，b 的值.【解】 在直线l 上取两点(2，0)，(0，－4)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4b . 由题意，知点(2a ，－2)，(0，－4b )在直线l ′上，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2a －12，－4b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.6.已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a ，b 的值.【解】 在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ， 所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.7.已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】 由题意，即求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，点P 在矩阵M 3对应的变换作用下，得点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′，代入x 2＋y 2＝1， 得x ′24＋4y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋4y 2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值.【解】 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2，0)，B (0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b ). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8).由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.。

2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换3恒等变换伸压变换反射变换学业分层测评苏教版1.试讨论矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换将直线y ＝3x ＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】 设直线y ＝3x ＋2上的任意一点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换作用下变成点(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′， 将其代入y ＝3x ＋2中，得y ′＝3x ′＋2，从而可知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换将直线y ＝3x ＋2仍变成了同一条直线.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换是恒等变换. 2.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.【导学号：30650014】【解】 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.又4x 2＋y 2＝1， 所以x ′2＋y ′2＝1.所以曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 3.求曲线C ：x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的反射变换作用下得到的图形的周长.【解】 设曲线C ：x 2＋y 2＝9上任意一点P (x ，y )在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0对应的反射变换作用下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ′，x ＝y ′，将其代入x 2＋y 2＝9中，得x ′＋y ′＝9，从而可知曲线C 在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (k ＞0).【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 2y ； (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 2； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky (k ＞0). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 12对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半. 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k 倍.当k ＞1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的伸长变换；当0＜k ＜1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的压缩变换；当k ＝1时，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的是恒等变换.5.设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0－1b 把直线l ：y ＝2x －4变换为直线l ′：y ＝x －12，求a ，b 的值.【解】 在直线l 上取两点(2，0)，(0，－4)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－4b .由题意，知点(2a ，－2)，(0，－4b )在直线l ′上，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2a －12，－4b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.6.已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a ，b 的值.【解】 在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ， 所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.7.已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】 由题意，即求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，点P 在矩阵M 3对应的变换作用下，得点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 0012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′，代入x 2＋y 2＝1， 得x ′24＋4y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋4y 2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值.【解】 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2，0)，B (0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b ). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8， 所以B ′的坐标为(－2a ，－8).由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.。

2.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义 二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程]一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？ 看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//y y x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x 汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。

2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1yy k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k 称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换章末综合检测 苏教版选修4-21.当k >0时，你能猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k 表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 表示的变换是将平面图形作沿y 轴方向伸长(k >1)或压缩(0<k <1)或恒等(k ＝1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P (x ，y )，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 的作用下，⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍.2.若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1，0)，求α的值.【导学号：30650022】【解】 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z ).3.已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程.【解】 由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′).则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0， 得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0.4.求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式.【解】 设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0.5.切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？【解】 设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1把直线x ＋y ＝1变成与y 轴平行的直线x ＝1.6.若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换成曲线x 2－2y 2＝1，求a ，b 的值.【解】 设(x ，y )为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上的任意一点，其在矩阵M 的作用下变换成点(x ′，y ′)，则(x ′，y ′)在曲线x 2－2y 2＝1上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，将其代入x 2－2y 2＝1，并整理，得(1－2b 2)x 2＋(2a －4b )·xy ＋(a 2－2)y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.7.点(2，2x )在旋转变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12m 32 n 的作用下得到点(y ，4)，求x ，y ，m ，n .【导学号：30650023】【解】 因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 是旋转变换矩阵，所以m ＝－32，n ＝12. 由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 4， 所以⎩⎨⎧1－3x ＝y ，3＋x ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4－3，y ＝4－4 3 .8.二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M ；(2)直线l ：2x ＋3y ＋1＝0在变换T 作用下得到什么图形？说明理由.【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝1，－2a ＋b ＝1，－2c ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，c ＝－2，d ＝－3.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3.(2)设P (x ，y )是l ：2x ＋3y ＋1＝0上任一点P ′(x ′，y ′)是对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －3y －2x －3y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x －3y ，y ′＝－2x －3y ，即2x ＋3y ＝－x ′＝－y ′. 又2x ＋3y ＋1＝0，所以x ′＝y ′＝1.故在l 在变换T 作用下变为点(1，1).9.求直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程. 【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22. 设直线y ＝－2x ＋1上任意一点为(x 0，y 0)，其在旋转变换作用下得到点(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝22（x 0－y 0），y ′0＝22（x 0＋y 0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22（x ′0＋y ′0），y 0＝－22（x ′0－y ′0）.因为点(x 0，y 0)在直线y ＝－2x ＋1上，所以2x 0＋y 0－1＝0，所以2×22(x ′0＋y ′0)－22(x ′0－y ′0)－1＝0，整理得22x ′0＋322y ′0－1＝0. 所以直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是22x ＋322y －1＝0.10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD ，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M .该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【导学号：30650024】图1【解】 由题设知AC ∶BD ＝3∶1.若只变换A ，C 两个顶点，则应把A ，C 两个顶点的横坐标压缩为原来的33，纵坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1；若只变换B ，D 两个顶点，则应把B ，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.所以满足条件的变换矩阵M 为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.。