北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试卷-带答案

第 1 页 共 9 页 北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试卷-带答案

一、单选题

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）

A．𝑥2+1𝑥2=4 B．𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0

C．(𝑥−1)(𝑥+3)=−3 D．4𝑥2−𝑥𝑦+7=0

2．方程(𝑥−2)(𝑥+2)=𝑥−2的解是（ ）

A．𝑥=0 B．𝑥=−1 C．𝑥=2或𝑥=−1 D．𝑥=2或𝑥=0

3．一元二次方程𝑥2−𝑥+14=0的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．有一个实数根

4．已知𝑥=1是关于x的一元二次方程(1−𝑘)𝑥2+𝑘2𝑥−1=0的根，则常数k的值为（ ）

A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1

5．把方程 𝑥2−8𝑥+1=0化成 (𝑥+𝑚)2=𝑛的形式，则 m、n的值是：（ ）

A．4，−15 B．4，15 C．−4，−15 D．−4，15

6．若关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的解是𝑥1=2,𝑥2=−4，则关于y的一元二次方程𝑎（𝑦+1）2+𝑏（𝑦+1）+𝑐=0的解是（ ）

A．𝑦1=2，𝑦2=−4 B．𝑦1=−1，𝑦2=−5

C．𝑦1=3,𝑦2=−3 D．𝑦1=1,𝑦2=−5

7．关于x的一元二次方程𝑥2+3𝑥−𝑚=0的两个根为𝑥1，𝑥2，且𝑥1=2𝑥2，则𝑚−𝑥1+𝑥2的值为（ ）

A．1 B．−1 C．3 D．−3

8．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为𝑥cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）

A．(50+𝑥)(80+𝑥)=5400

B．(50−𝑥)(80−𝑥)=5400 第 2 页 共 9 页 C．(50+2𝑥)(80+2𝑥)=5400

D．(50−2𝑥)(80−2𝑥)=5400

二、填空题

9．方程(𝑥−2)(2𝑥+1)=𝑥2+2化为一般形式为 ．

10．若一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑐=0的根的判别式的值为8，则𝑐= ．

11．已知关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)有𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎−𝑏+𝑐=0，则该方程的两个根是 ．

12．若关于𝑥的方程𝑥2−𝑘𝑥+3=0的一个根是1，则另一根是 ，𝑘是 ．

13．若关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2+2𝑥−1=0有两个不相等的实数根，则𝑚的取值范围为 ．

14．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程𝑥2−6𝑥+8=0的两根，则等腰三角形的周长为 ．

15．设𝛼、𝛽是方程𝑥2+2023𝑥−2=0的两根，则(𝛼2+2023𝛼−1)(𝛽2+2023𝛽+2)= ．

16．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到9.68万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为 ．

三、解答题

17．用合适的方法解下列方程：

(1)𝑥(𝑥−3)=𝑥−3；

(2)2𝑥2−3𝑥−1=0．

18．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2−2=0有两个实数根𝑥1，𝑥2．

(1)求实数𝑚的取值范围；

(2)若方程的两个实数根𝑥1，𝑥2满足𝑥12+𝑥22=21，求𝑚的值．

19．已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑚+6)𝑥+6𝑚=0．

(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；

(2)设该一元二次方程的两根为𝑎，𝑏，且8，𝑎，𝑏分别是一个直角三角形的三边长，求𝑚的值．

20．阅读下面的例题与解答过程：

解方程：𝑥2−|𝑥|−2=0．

解：当𝑥≥0时𝑥2−𝑥−2=0，解得𝑥1=2，𝑥2=−1（舍去）；

当𝑥<0时𝑥2+𝑥−2=0，解得𝑥3=−2，𝑥4=1（舍去）．

∴原方程的解是𝑥1=2，𝑥2=−2．

在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想．

请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： 第 3 页 共 9 页 (1)𝑥2−2|𝑥|=0；

(2)𝑥2−2𝑥−4|𝑥−1|+5=0．

21．成都“蒲江猕猴桃”是维𝐶含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地2020年开始种植“猕猴桃”200亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为50%．

(1)求到2022年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？

(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价2元，每天可多售出80千克．

①若降价𝑥(0≤𝑥≤20)元，每天能售出多少千克？（用𝑥的代数式表示）

②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为10元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利2160元，则售价应降低多少元？

22．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵=5 cm,𝐵𝐶=6 cm，点𝑃从点𝐴开始沿边𝐴𝐵向终点𝐵以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边𝐵𝐶向终点C以2 cm/s的速度移动．如果𝑃,𝑄分别从𝐴,𝐵同时出发，当点𝑄运动到点𝐶时；两点停止运动，设运动时间为𝑡秒．(0<𝑡<3)

(1)当𝑡为何值时，点𝐵在𝑃𝑄的垂直平分线上？

(2)当𝑡为何值时，𝑃𝑄的长度等于5 cm？

(3)连接𝑃𝐶，是否存在𝑡的值，使得△𝑃𝑄𝐶的面积等于8 cm2若存在，请求出此时𝑡的值；若不存在，请说明理由．

(4)是否存在𝑡的值，使得△𝐵𝑃𝑄的面积与五边形𝐴𝑃𝑄𝐶𝐷的面积之比等于2:13？若存在，请求出此时𝑡的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：A、该方程属于分式方程，不符合题意；

B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；

C、(𝑥−1)(𝑥+3)=−3化简得：𝑥2+2𝑥=0符合一元二次方程的定义，符合题意；

D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，不符合题意；

故选：C．

2．解：方程整理，得：(𝑥−2)(𝑥+2)−(𝑥−2)=0 第 4 页 共 9 页 分解因式，得：(𝑥−2)(𝑥+2−1)=0

可得：𝑥−2=0或𝑥+2−1=0

解得：𝑥1=2，𝑥2=−1

故选：C．

3．解：𝑥2−𝑥+14=0

∵Δ=(−1)2−4×1×14=0

∴此方程有两个相等的实数根．

故选：A．

4．解：当𝑥=1时(1−𝑘)+𝑘2−1=0

解得𝑘=1或𝑘=0．

根据题意1−𝑘≠0

可知𝑘≠1

∴𝑘=0．

故选：A．

5．解：∵𝑥2−8𝑥+1=0

∴𝑥2−8𝑥=−1

∴𝑥2−8𝑥+16=−1+16

∴(𝑥−4)2=15

∴𝑚=−4

故选：D．

6．解：∵关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的解是𝑥1=2,𝑥2=−4

∴关于（𝑦+1）的一元二次方程𝑎（𝑦+1）2+𝑏（𝑦+1）+𝑐=0的解是𝑦1+1=2,𝑦2+1=−4

∴关于y的一元二次方程𝑎（𝑦+1）2+𝑏（𝑦+1）+𝑐=0的解是𝑦1=1,𝑦2=−5．

故选：D．

7．解：∴𝑥2+3𝑥−𝑚=0的两根为𝑥1，𝑥2

∴𝑥1+𝑥2=−31=−3，𝑥1⋅𝑥2=−𝑚

∴𝑥1=2𝑥2

∴𝑥1=−2，𝑥2=−1 第 5 页 共 9 页 ∴𝑥1⋅𝑥2=−1×(−2)=−𝑚

∴𝑚=−2．

∴𝑚−𝑥1+𝑥2=−2−(−2)+(−1)=−1．

故选：B．

8．解：设金色纸边的宽度为𝑥cm，则挂图的长为(80+2𝑥)cm，宽就为(50+2𝑥)cm

根据题意得(50+2𝑥)(80+2𝑥)=5400．

故选：C．

9．解：(𝑥−2)(2𝑥+1)=𝑥2+2

可化为：2𝑥2+𝑥−4𝑥−2=𝑥2+2

移项，得：2𝑥2−𝑥2+𝑥−4𝑥−2−2=0

合并同类项，得：𝑥2−3𝑥−4=0

故答案为：𝑥2−3𝑥−4=0．

10．解：由题意得：𝛥=(−4)2−4×1×𝑐=8

解得：𝑐=2

故答案为：2．

11．解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎−𝑏+𝑐=0

即12𝑎+𝑏+𝑐=0,(−1)2𝑎+(−1)𝑏+𝑐=0

∴方程的解为𝑥1=1,𝑥2=−1

故答案为：𝑥1=1,𝑥2=−1．

12．解：设𝑥1，𝑥2是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑘𝑥+3=0的两个实数根，其中𝑥1=1

∴{𝑥1+𝑥2=𝑘𝑥1𝑥2=3 即{1+𝑥2=𝑘𝑥2=3

解得：{𝑘=4𝑥2=3

故答案为：3，4．

13．解：由题意得

Δ=22−4×(−1)×𝑚

=4+4𝑚

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ>0，𝑚≠0

即：4+4𝑚>0 第 6 页 共 9 页 解得：𝑚>−1

∴ 𝑚>−1且𝑚≠0．

故答案为：𝑚>−1且𝑚≠0．

14．解：𝑥2−6𝑥+8=0

因式分解得：(𝑥−2)(𝑥−4)=0

𝑥−2=0或𝑥−4=0

所以𝑥1=2，𝑥2=4

因为2+2=4，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形

所以等腰三角形的腰为4，底边长为2

所以三角形的周长为4+4+2=10．

故答案为：10．

15．解：∴𝛼、𝛽是方程𝑥2+2023𝑥−2=0的两根

∴𝛼2+2023𝛼=2，𝛽2+2023𝛽=2

∴(𝛼2+2023𝛼−1)(𝛽2+2023𝛽+2)=(2−1)×(2+2)=4

故答案为：4．

16．解：设出全市5G用户数年平均增长率为x

可得：2(1+𝑥)2=9.68

解得：𝑥1=1.2=120%,𝑥2=−3.2（不合题意，舍去）

故答案为：120%．

17．（1）解：𝑥(𝑥−3)=𝑥−3；

整理得：𝑥2−4𝑥+3=0

(𝑥−3)(𝑥−1)=0

∴𝑥−3=0或𝑥−1=0

∴𝑥1=3，𝑥2=1；

（2）解：2𝑥2−3𝑥−1=0

∴𝑏2−4𝑎𝑐=(−3)2−4×2×(−1)=17>0

∴方程有两个不相等的实数根

∴𝑥=3±√172×2

∴𝑥1=3+√174，𝑥2=3−√174．