初三数学二次函数的定义和表达式知识点

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。

标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。

顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。

描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。

3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。

4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。

三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。

3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。

4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。

- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。

四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。

2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。

其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。

三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质③y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质④y=ax 2+bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的性质 a ＞0时 ，开口向上；a ＜0时，开口向下顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴是直线x=-ab2。

当a ＞0时 ，函数有最小值，y=a b ac 442-；a ＜0时，函数有最大值，y=ab ac 442-；性质，当a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小.三、会结合图像确定y= 2ax +bx +c （a 是常数，且a ≠0，b 是常数，b ≠0，c 是常数，c ≠0）的四种符号a 的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a ＞0；开口向下a ＜0; b 的符号：有对称轴的位置和的a 符号确定： 对称轴是y 轴，b=0；对称轴在原点的左侧：02 a b-，对称轴在原点的右侧，02 ab-；c 的符号：看抛物线与y 轴交点的位置： 交点在原点，c=0；交点在原点以上，c ＞o ；交点在原点以下，c＜0。

b2－4ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数：抛物线与x轴有两个交点 b2－4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点 b2－4ac=0，抛物线与x轴没有交点 b2－4ac＜0，四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：知道图像上一个点的坐标。

对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。

二次函数知识点总结归纳I.定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（ a，b，c 为常数， a≠ 0，且 a 决定函数的开口方向， a>0 时，开口方向向上，a<0 时，开口方向向下 ,IaI 还可以决定开口大小 ,IaI 越大开口就越小 ,IaI 越小开口就越大 .）则称 y 为 x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式： y=ax^2+bx+c（a，b，c 为常数， a≠0）顶点式： y=a(x-h)^2+k [ 抛物线的顶点 P（ h， k） ]交点式： y=a(x-x ?)(x-x ?) [仅限于与 x 轴有交点 A（ x?，0）和B（x?，0）的抛物线]注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√ b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）2. 抛物线有一个顶点P，坐标为： P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当 -b/2a=0 时， P 在 y轴上；当= b^2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。

当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右。

5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。

2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。

这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。

二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。

开口方向与大小：由二次项系数a决定。

当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。

2. 顶点式：对称轴为直线x = h。

3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。

顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。

2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。

最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。

函数图像与x轴的交点即为该方程的根。

根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。

初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。

，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。

下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。

一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。

2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。

b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。

c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。

e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。

二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

当a的绝对值越大时，开口越窄。

2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。

当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。

当，h，越大时，平移的距离越大。

3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。

当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。

当，k，越大时，平移的距离越大。

三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。

可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。

2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b ， 的定义域是全体实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：y = ax 2 + c 的性质： 上加下减。

c 可以为零．二次函数2.3.左加右减。

a < 0向下(h ， 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4. y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质a > 0向上(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ， k )； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【 【( h >0)【【【( h <0【 【 【 |k|【【【【 【( h >0)【【【( h <0) 【 【 |k|【【【【 【( k >0)【【【( k <0)【 【 【 |k |【【【【 【( h >0)【【【( h <0)【 【 【 |k|【【【y=a (x-h )2【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【y=a (x-h )2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括 成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2到前者，即 y = a x + 2a ⎪+ ，其中 h = - 4a ， k = ．2a 4a ⎝ ⎭六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质y=ax 2y=ax 2+k⎝ ⎭ ．当 x < - b2a 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x > - b2a 时， y 随 x 的增大而增大；b 时， 4ac - b 2 当 x = -2a 2. 当y 有最小值 ． 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a ⎪ ．当 x < - 2a 时，b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 有最大值 ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ；3. 两根式（交点式）： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴） 3. 常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； ⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0，) ，B (x 0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元121212二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．. ② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；1. 当b ⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - ，顶点坐标为 - ， 4a2a 2a ⎝ ⎭③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数y =x2 - 4x - 7 的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线y =-2x2 向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）A. y =-2(x +1)2B. y =-2(x -1)2C. y =-2x2 +1D. y =-2x2 -1中的( )3.函数y =kx2 -k 和y =k(k ≠ 0) 在x同一直角坐标系中图象可能是图4.已知二次函数y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x =1 和x = 3 时,函数值相等;③ 4a +b = 0 ④当y =-2 时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个5.已知二次函数y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的两个根分别是x1=1.3和x2=（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36.已知二次函数y =ax2 +bx +c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A. 第一象✲B ．第二象✲C ．第三象✲D ．第四象✲7. 方程2x - x 2 =2 的正根的个数为（）xA.0 个B.1 个C.2 个.3 个8. 已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2C. y = x 2 - x - 2 或 y = -x 2 + x + 2B. y = -x 2 + x + 2D. y = -x 2 - x - 2 或 y = x 2 + x + 2二、填空题9. 二次函数 y = x 2 + bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b =。

初中数学二次函数知识点一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a（x-h）²+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=（4ac-b²）/4ax₁,x₂=（-b±√b²-4ac）/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P（-b/2a，（4ac-b²）/4a）。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

初中数学中考二次函数重点知识点梳理汇总一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b 2)/4a)。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

初中二次函数知识点二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是初中数学的基础。

掌握了二次函数的知识，对于学习高中数学和解决实际问题都有很大的帮助。

下面我将详细介绍一下初中阶段二次函数的知识点。

一、二次函数的定义及特点二次函数是形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置和宽度，c决定了抛物线与y轴的交点。

1.函数图像的对称性：二次函数的图像关于x轴对称，即对于函数y=ax^2+bx+c的图像，若(x, y)在图像上，则点(x, -y)也在图像上。

2.零点：二次函数的零点就是函数的根，即方程ax^2+bx+c=0的解。

3.顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，顶点坐标可以通过顶点公式求得：x=-\frac{b}{2a}, y= -\frac{b^2}{4a}+c。

二、二次函数的图像1.抛物线开口方向：二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定。

若a>0，则抛物线开口向上，若a<0，则抛物线开口向下。

2.抛物线的位置和宽度：二次函数的图像的位置和宽度主要由一次项的系数b决定。

若b>0，则抛物线向左移动，若b<0，则抛物线向右移动。

抛物线的宽度与1除以a的绝对值有关，即抛物线的宽度取决于平方项的系数a。

3.抛物线与坐标轴的交点：若二次函数的图像与x轴有交点，则称该二次函数有实根；若图像与x轴没有交点，则称该二次函数无实根。

实根的个数由判别式D=b^2-4ac的值决定。

4.抛物线的对称轴：二次函数的图像的对称轴和顶点有关。

对称轴即为经过顶点的直线，它的方程为x=-\frac{b}{2a}。

三、二次函数的性质1.单调性：当a>0时，二次函数是开口向上的抛物线，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数是开口向下的抛物线，函数的值随着自变量的增大而减小。

2.最值：二次函数的最大值或最小值就是顶点的纵坐标，其中a>0时为最小值，a<0时为最大值。

九年级二次函数知识点归纳在九年级数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。

它是高中数学的基础，也是后续学习的重要基础。

本文将对九年级二次函数的一些关键知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

1. 二次函数的定义二次函数是指函数表达式中含有二次项（x²）的函数。

一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。

在二次函数中，二次项起主导作用，决定函数的开口方向和形状。

2. 二次函数的图像和性质二次函数的图像通常是一个抛物线，开口方向取决于一次项的系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数的图像呈现出对称性，对称轴为x轴的负半轴和正半轴的中垂线。

二次函数的顶点即为对称轴上的一个点。

3. 二次函数的顶点坐标和轴对称性通过顶点坐标和对称轴，可以方便地确定二次函数的图像特征。

顶点坐标为x = -b/2a处的点，其中x为顶点的横坐标，y为顶点的纵坐标。

对称轴的方程为x = -b/2a。

通过顶点和对称轴，可以画出二次函数的大致图像。

4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数图像与x轴相交的点，也是函数的根。

要求函数值f(x)等于0，可以通过解一元二次方程来求得二次函数的零点。

一元二次方程一般形式为ax² + bx + c = 0，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法来解方程，从而得到二次函数的零点。

5. 二次函数的极值二次函数的函数值在顶点处取得最值，当a>0时，函数的最小值在顶点处；当a<0时，函数的最大值在顶点处。

通过求出顶点坐标，可以确定二次函数的极值点。

6. 二次函数的图像平移二次函数的图像在坐标平面中可以向左、向右、向上或向下进行平移。

平移的规律是在函数表达式中的x值部分添加一个常数h，表示横向平移的距离，并在函数表达式中的f(x)值部分添加一个常数k，表示纵向平移的距离。