二次函数概念和性质

二次函数的性质及其图像变化二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和图像变化。

本文将详细介绍二次函数的性质，并探讨其图像在参数变化时的变化规律。

一、二次函数的定义和一般式二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和图像的开合程度，b决定了图像在x轴方向的平移，c则是二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的性质1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

2. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即y = 0的解。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)求得零点。

3. 顶点二次函数的顶点是指函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标则是将横坐标代入函数中得到的值。

4. 对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程可以通过将顶点的横坐标代入x = -b / (2a)得到。

5. 单调性二次函数的单调性是指函数图像在某个区间内的变化趋势。

当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

三、二次函数图像的变化规律在探讨二次函数图像的变化规律时，我们将分别讨论a、b、c的变化对图像的影响。

1. a的变化当a的绝对值增大时，二次函数图像的开合程度增加，即图像变得更加尖锐；当a的绝对值减小时，二次函数图像的开合程度减小，即图像变得更加平缓。

当a 的符号改变时，图像的开口方向也会改变。

2. b的变化当b增大时，二次函数图像整体向左平移；当b减小时，二次函数图像整体向右平移。

b的符号改变时，平移方向也会相应改变。

二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中重要的概念之一，它具有独特的图像与性质。

本文将系统地介绍二次函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。

在该函数中，x为自变量，而f(x)为因变量。

a决定了二次函数的开口方向，具体可分为向上开口和向下开口两种情形。

二、图像特征1. 开口方向：当a > 0时，二次函数的图像向上开口；当a < 0时，二次函数的图像向下开口。

2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过顶点公式计算得到。

对于f(x) = ax² + bx + c形式的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线，其方程为x = -b/2a。

4. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。

三、性质分析1. 最值：当二次函数开口向上时，它的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，它的最大值为顶点的纵坐标。

2. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负。

当a > 0时，函数在对称轴两侧递增；当a < 0时，函数在对称轴两侧递减。

3. 范围：函数的值域取决于二次函数的开口方向。

对于向上开口的二次函数，其值域为[f(-b/2a), +∞)；对于向下开口的二次函数，其值域为(-∞, f(-b/2a)]。

4. 判别式：二次方程ax² + bx + c = 0的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次函数的图像与性质。

当Δ > 0时，函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；当Δ < 0时，函数没有实根，图像与x轴没有交点。

初二二次函数的概念及性质二次函数是数学中一种重要的函数类型，它的形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

本文将介绍初二二次函数的概念及其性质。

1.概念初二二次函数是指二次函数在初二学段所介绍的内容。

具体而言，二次函数是一个以平方项为最高次幂的多项式函数。

2.标准式和一般式二次函数可以表示为标准式y=ax^2+bx+c或一般式y=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)，通过调整参数a、b、c、h、k的值，可以控制二次函数的形状和位置。

3.二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

开口的大小与参数a的绝对值有关。

4.顶点和轴对称性对于二次函数y=ax^2+bx+c，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。

此外，二次函数的图像具有轴对称性，即以顶点为对称中心。

5.判别式和根判别式D=b^2-4ac可以判断二次函数的根的情况：- 当D>0时，二次函数有两个不相等的实数根；- 当D=0时，二次函数有两个相等的实数根；- 当D<0时，二次函数没有实数根。

6.零点和因式分解二次函数的零点即为其对应的x值，使得函数值为0。

可以通过解二次方程或因式分解的方法求得二次函数的零点。

7.单调性和极值对于二次函数y=ax^2+bx+c（a>0）来说，如果a>0，则函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。

若a<0，则函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

由此可知，二次函数的顶点是函数的极值点。

8.对称轴和对称点二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称点为顶点(-b/2a,f(-b/2a))。

对称轴是抛物线的中线，将抛物线分成两个对称的部分。

9.应用领域二次函数在现实生活中有广泛的应用，例如物体自由落体、抛体运动、汽车行驶等。

二次函数的性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

在本文中，我将详细介绍二次函数的性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、零点、判别式以及二次函数的分类。

一、二次函数的定义二次函数是一种多项式函数，它的最高次项是二次项，即x的平方项。

一般地，我们可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。

常见的二次函数包括抛物线、开口方向为上或下的曲线。

二、二次函数的图像二次函数的图像通常是一个U形或者倒U形的曲线，也即抛物线。

抛物线开口的方向取决于二次函数的系数a的正负。

1. 当a>0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正半轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负半轴上方。

三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。

顶点的横坐标可以通过用-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数得出。

四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点并垂直于x轴的一条直线。

对称轴的方程为x=-b/2a。

五、二次函数的零点二次函数的零点是指使函数取值为零的x的值。

可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到零点。

根据一元二次方程的求根公式，可得x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

当判别式b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。

六、二次函数的判别式二次函数的判别式D=b²-4ac可以用来判断二次函数的图像和零点的性质。

1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；2. 当D=0时，方程有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；3. 当D<0时，方程没有实根，图像与x轴无交点。

二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。

本文将对二次函数的概念和性质进行详细的介绍，让我们一同探索二次函数的奥秘。

一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的对称轴位置，c则表示二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的自变量x可以取任意实数。

二次函数的图像通常为一条平滑的曲线，这条曲线可以是开口朝上的“U”型曲线，也可以是开口朝下的“∩”型曲线。

根据a的正负性质，我们可以确定二次函数的开口方向。

二、二次函数的性质1. 零点及交点：二次函数的零点就是方程f(x) = 0的解，等于函数曲线与x轴的交点。

要确定二次函数的零点，可以通过解关于x的二次方程来求得。

若二次函数有零点，那么它的图像与x轴必有交点；反之，若无零点，则图像与x轴不相交。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是其图像关于某一直线的对称轴。

对称轴的横坐标为x = -b/2a，纵坐标则由该点代入函数得到。

3. 最值点：二次函数的最值点是函数图像的顶点或底点，也就是函数曲线的极值点。

对于开口朝上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口朝下的二次函数，底点即为最大值点。

4. 单调性：二次函数的单调性与a的正负有关。

当a > 0时，二次函数呈现开口朝上的“U”型，并且在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，二次函数呈现开口朝下的“∩”型，并且在对称轴两侧是递减的。

5. 范围：二次函数的范围即为函数图像在y轴上的取值范围。

对于开口朝上的二次函数，范围为y ≥ 最小值；对于开口朝下的二次函数，范围为y ≤ 最大值。

6. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次方程ax² + bx + c = 0的解的性质。

若Δ > 0，方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，方程有两个相等的实根；若Δ < 0，方程无实根。

二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学领域具有重要的概念和性质。

本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。

一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。

对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。

此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。

二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。

一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。

一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。

一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。

一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。

三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。

2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。

3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。

四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。

2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。

高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。

本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。

一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c分别是常数，a≠0。

1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。

图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。

求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。

3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。

当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。

3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。

二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。

一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。

二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。

2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。

4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。

三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。

2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。

平移的距离与|b|成正比。

3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。

平移的距离与|c|成正比。

四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。

2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。

2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。

3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。

总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。

二次函数的概念和性质二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数是由二次方程演变而来的，其图像呈现出特殊的形状，同时具有一些独特的性质。

本文将介绍二次函数的概念和性质，并分析其在数学和实际问题中的应用。

一、二次函数的概念二次函数是指函数表达式中的最高次项为二次的函数。

在二次函数的一般形式中，ax^2代表二次项，bx代表一次项，c代表常数项。

二次函数的变量x可以取任意实数值，并对应一个唯一的函数值f(x)。

当二次函数的系数a、b、c满足一定条件时，其图像呈现出不同的特征，如开口向上或向下、对称轴等。

二、二次函数的性质1. 平移性：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。

当二次函数的表达式中添加或减去一个常数h时，图像向左或向右平移h个单位；当表达式中添加或减去一个常数k时，图像向上或向下平移k个单位。

2. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴是通过顶点的垂直线，其方程可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

3. 开口方向：二次函数的图像具有开口向上或向下的特征。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

a的绝对值决定了图像的开口程度。

4. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。

零点可以通过解一元二次方程来求得，或者利用配方法化简二次函数的一般形式。

5. 最值：二次函数的最值即函数的最大值或最小值。

当二次函数的开口向上时，没有最小值；当二次函数的开口向下时，没有最大值。

最值的出现位置与顶点的坐标有关，顶点坐标可以通过计算 x = -b/(2a) 得到。

三、二次函数的应用二次函数在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

在数学中，研究二次函数可以深入理解函数的性质、变化规律和图像特征。

在实际问题中，二次函数可以用来描述和解决与二次关系相关的各类问题，如自由落体运动、抛物线轨迹、经济增长模型等。

教学重点二次函数的基本概念与性质二次函数是高中数学中较为重要的内容之一，掌握其基本概念与性质对于理解和解决与二次函数相关的问题至关重要。

本文将围绕教学重点二次函数的基本概念与性质展开论述。

一、基本概念二次函数是一种具有以下形式的代数函数：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向（上凸还是下凸），b决定了二次函数关于y轴的对称轴位置，c决定了二次函数与y轴的交点。

二次函数的定义域为全体实数集R，值域与定义域相关，需根据具体情况确定。

二、重点性质1. 零点和根轨二次函数的零点是函数与x轴交点的横坐标值，可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0获得。

根轨是指过二次函数的零点的抛物线。

2. 极值点和拐点当二次函数a>0时，二次函数开口朝上，函数的最小值即为极值点；当a<0时，二次函数开口朝下，函数的最大值即为极值点。

拐点是指二次函数的凹凸性发生变化的转折点。

3. 对称性二次函数关于直线x=-b/2a对称。

即若(x, y)是二次函数y=ax^2+bx+c上的一点，则(-b/2a-x, y)也是该函数上的一点。

4. 对比线段对比线段是指连接二次函数的两个零点的线段。

对于开口朝下的二次函数，对比线段在x轴之上；对于开口朝上的二次函数，对比线段在x轴之下。

5. 单调性当a>0时，二次函数单调递增的区间为(-∞, -b/2a)并(x轴上的零点, +∞)；当a<0时，二次函数单调递减的区间为(-∞, -b/2a)并(x轴上的零点, +∞)。

6. 范围当a>0时，二次函数的值域为[y轴上的最小值, +∞)；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, y轴上的最大值]。

三、应用1. 最值问题通过求解二次函数的极值点，可以得到函数在定义域内的最大值或最小值。

这个过程可以通过求导数或完成平方环节求得。

2. 解析几何二次函数在解析几何中有着广泛的应用。

二次函数的性质总结二次函数是高中数学中一类研究较深的函数，它的性质研究内容涉及范围较广。

总的来说，二次函数的性质可以归纳为以下八条：一、二次函数的定义二次函数是指以二次项即x2作为最高项的多项式的函数，表示为y=ax2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数。

为了使二次函数更容易分析，我们引入一个概念叫做抛物线，把y=ax2+bx+c函数图像想象成一个抛物线，便于绘制图像，更好的研究它的性质。

二、抛物线特点物线有着不同的特点：1、a>0：抛物线是一个向上开口的曲线；2、a<0：抛物线是一个向下开口的曲线；3、抛物线的顶点是一个关于x轴对称的点，记为（x1，y1）；4、抛物线的顶点的y坐标值为：y1=a*x1*x1+b*x1+c；5、抛物线的焦点为（x2，y2），x2=-b/2a，y2=a*x2*x2+b*x2+c；6、抛物线的焦点到顶点的距离为：x1-x2=b/2a；7、抛物线的焦点到顶点的距离平方为：(x1-x2)2+y1-y2=b2/4a2。

三、二次函数的图像特点从抛物线的特点可知，二次函数的图像也有自己特定的特点，如：1、a>0时，在顶点向右的方向，函数的值单调递增；在顶点向左的方向，函数的值单调递减；2、a<0时，在顶点向右的方向，函数的值单调递减；在顶点向左的方向，函数的值单调递增；3、在抛物线开口的方向，函数值永远都不会超过顶点值；4、函数的零点为凹点，此时切线平行x轴；5、函数的导数有着自己特定的性质：当y=ax2+bx+c时，函数的导数为y′=2ax+b，同时，x=-b/2a时，函数的导数为零；6、a>0时，函数的图像的最小值为顶点的 y标值，函数的图像的最大值为无穷大；a<0时，函数的图像的最大值为顶点的y坐标值，函数的图像的最小值为负无穷大；7、函数的极值点为凹点。

、二次函数的特点从图像可以看出，二次函数具有以下特点：1、当a>0时，此函数是一个单调递增函数，有一个唯一的极大值，记为y=max；2、当a<0时，此函数是一个单调递减函数，有一个唯一的极小值，记为y=min；3、当a=0时，此函数是一个线性函数，没有极值点；4、此函数向x轴对称，其对称轴为y轴；5、把此函数图像想象成一个抛物线，给出的抛物线的特点可以进一步用来描述此函数的性质。

二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点梳理二次函数是数学中的一种重要函数，其具有许多特殊性质和应用。

下面将对二次函数的知识点进行梳理，包括定义、性质、图像、最值、根、变换和应用等方面。

1. 定义：二次函数是一个一元二次方程所确定的函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。

2.基本性质：(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

(2)开口方向：二次函数的开口方向由系数a的正负确定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

(3)零点：二次函数的零点即为方程f(x)=0的解，也就是抛物线与x 轴的交点。

(4)极值：当二次函数的系数a大于0时，该函数有一个最小值；当系数a小于0时，函数有一个最大值。

3.图像：(1)抛物线的顶点：二次函数的顶点即为抛物线的最高或最低点，其x坐标为-b/(2a)，y坐标为f(-b/(2a))。

(2)开口：抛物线的开口程度由系数a的绝对值大小决定。

绝对值较大时，开口较窄，反之开口较宽。

(3)过原点：当且仅当c=0时，二次函数通过原点。

4.最值：(1)最值的存在性：二次函数的最值存在性由系数a的正负决定。

当a大于0时，函数有最小值；当a小于0时，函数有最大值。

(2)最值的求解：对于凸（a>0）的二次函数，最小值为抛物线的顶点；对于凹（a<0）的二次函数，最大值为抛物线的顶点。

5.零点：(1)方程f(x)=0的解：二次函数的零点即为方程f(x)=0的解，可以通过求解一元二次方程来得到。

一元二次方程的求解可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。

(2) 零点的个数与判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac反映了方程解的情况。

当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程无实数解。

6.变换：二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等线性变换得到新的函数，以下是二次函数的基本变换形式：(1)左右平移：f(x-h)表示将函数向右平移h个单位；f(x+h)表示将函数向左平移h个单位。

二次函数的定义与性质随着数学的发展，二次函数作为一种重要的数学模型，在各个领域中的应用越来越广泛，因此了解二次函数的定义与性质是十分重要的。

本文将探讨二次函数的定义以及与之相关的性质。

一、二次函数的定义二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2+ bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数a 决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。

根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。

对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。

2. 领域二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。

而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。

当 a > 0 时，值域是[f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。

3. 对称轴对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。

对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

4. 顶点二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。

顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。

5. 函数增减性当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。

二次函数性质总结二次函数的概念：二次函数二次函数的图象与性质，掌握二次函数的概念。

概念：一般地，由实际意义或几何意义所确定的函数f(x)=ax2，称为二次函数。

在二次函数中，二次项的系数不同于常数，而是具有实际意义的代数式。

例如，已知二次函数的解析式，只要将二次项的系数换成它的最简整数次幂的积，便得到这个一次函数。

二次函数是轴对称图形。

因为它对称轴为直线x=-b，只有当k=0时，对称轴才在y轴上。

概念，理解并掌握其图象和性质。

1、二次函数的概念及其图象：当自变量x从某一点移动到另一点时，因变量y随着x的变化而变化，当二者的对应关系建立起来以后，我们就说这个变量的对应法则是二次函数。

当自变量x从左侧（右侧）无限趋近于某一点时，函数值y随着x的增大而减小，函数值也逐渐减小。

2、二次函数的性质： (1)单调性：如果二次函数在x轴上方单调递增，那么在y轴上方单调递减。

如果二次函数在x轴下方单调递增，那么在y轴下方单调递减。

(2)奇偶性：二次函数在x轴上方为奇函数，在下方为偶函数。

(3)周期性：如果二次函数在x轴上方周期性为0，那么它必定在y轴上方周期性为0。

(4)对称性：如果二次函数对称轴为y=0，那么函数y=ax2对称轴为-b。

(5)增减性：二次函数自变量的增减性与自变量的绝对值无关，而与x的取值有关。

1、概念：如果y=ax2，则称为y的二次函数。

3、几何意义：当，它的图像关于y轴对称，图像经过的每一个点都表示实数。

它是正比例函数，正比例函数的图像是一条直线，并且图像经过原点。

对于一元二次方程ax2+bx=c，如果两根都是实数，则a平方加b平方等于c。

若实数a， b不等于0，那么就称a， b 是c的根。

如果二次函数中， a+b=c，称为二次函数的图像与x轴有两个交点；如果a-b=c，称为二次函数的图像与x轴只有一个交点。

4、性质，其实一般性的规律是：如果二次函数是单调递增，递减或单调递增，递减，那么他的图像是向上凸的曲线。

二次函数的性质知识点总结二次函数是高中数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

了解二次函数的性质是理解和解决相关问题的关键。

本文将对二次函数的性质进行详细总结，包括定义、图像特征、导数、极值点、零点和符号规律等方面的知识点。

一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的平方作为最高次幂的一类函数。

通常的形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的图像是一个拱形，其开口方向取决于二次系数a的正负性。

如果a > 0，则图像开口向上；如果a < 0，则图像开口向下。

2. 对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

对称轴的方程为x = -b / (2a)。

3. 零点：二次函数的零点是函数对应的方程f(x) = 0的解。

二次函数的零点可能有0个、1个或2个。

4. 极值点：如果二次函数的开口向上，那么它的最低点为最小值点；如果二次函数的开口向下，那么它的最高点为最大值点。

5. 单调性：二次函数在对称轴两侧有不同的单调性。

三、二次函数的导数对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数函数为f'(x) = 2ax + b。

导数函数的图像表示了原二次函数的斜率变化情况。

四、二次函数的极值点1. 极值点的存在性：二次函数存在极值点，当且仅当a ≠ 0。

当a > 0时，函数的最小值位于极值点上；当a < 0时，函数的最大值位于极值点上。

2. 极值点的横坐标：极值点的横坐标可以通过对称轴的方程得到，即x = -b / (2a)。

3. 极值点的纵坐标：将极值点的横坐标带入原函数得到对应的纵坐标。

五、二次函数的零点1. 零点的判定：二次函数的零点即为使函数值为零的自变量取值。

可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得零点。

2. 零点的个数：二次函数的零点个数可能为0个、1个或2个，取决于二次方程的判别式Δ = b² - 4ac的正负性。

二次函数的定义与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义及其常见的性质，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中x为自变量，y为因变量。

二次函数可以用来描述很多现实生活中的问题，比如抛物线的轨迹、物体的自由落体运动等。

它的图像通常呈现出拱形，开口方向取决于二次函数的系数a的正负。

二、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是指函数取值为0的点，也就是方程ax^2 + bx + c= 0的解。

求二次函数的零点可以使用求根公式或配方法。

2. 定点二次函数的顶点是指函数图像的最高点或最低点。

顶点的横坐标可以通过公式x = -b / 2a来求得，纵坐标则通过代入横坐标到二次函数中求得。

3. 对称轴二次函数的对称轴是图像的对称线。

它与顶点有关，对称轴的方程可以通过公式x = -b / 2a求得。

4. 单调性二次函数的单调性是指函数的增减趋势。

当a > 0时，函数开口朝上，趋于上升；当a < 0时，函数开口朝下，趋于下降。

特别地，当a = 0时，二次函数退化为一次函数，为线性函数。

5. 范围二次函数的范围是指函数的所有可能取值。

当函数开口朝上时，范围为(-∞, +∞)；当函数开口朝下时，范围有上限或下限，具体取决于顶点的纵坐标。

6. 最值二次函数的最值是指函数的最大值或最小值。

当a > 0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

7. 判别式二次函数的判别式是指判断二次函数的图像与x轴的交点情况的依据。

判别式的公式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，函数与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数与x轴有一个交点，且为切线；当Δ < 0时，函数与x轴没有交点。

8. 平移二次函数可以通过平移来改变其图像的位置。