二次函数的概念—知识讲解 (基础)

二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。

（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。

二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。

（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。

初中数学知识点二次函数的运算与复合函数初中数学知识点：二次函数的运算与复合函数二次函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

了解二次函数的运算以及与其他函数的组合关系对于提高数学水平和解决实际问题非常重要。

本文将详细介绍二次函数的运算以及复合函数的概念和应用。

一、二次函数的运算1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，a≠0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

2. 二次函数的基本性质二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

通过抛物线的顶点，可以确定对称轴的方程。

对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 二次函数的平移二次函数关于x轴、y轴的平移分别是改变函数中的常数项c和一次项b的值。

平移时对称轴不改变。

4. 二次函数的求零点求二次函数的零点即为解二次方程ax²+bx+c=0的根。

利用求根公式或配方法可以求出零点。

5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最值为最小值，即抛物线的顶点。

当a<0时，二次函数的最值为最大值，即抛物线的开口方向朝下。

二、复合函数的概念和应用1. 复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数组合在一起形成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数为f(g(x))。

2. 复合函数的运算法则复合函数的运算法则与基本函数的运算法则相同，按照从内到外的顺序进行运算。

3. 复合函数的应用复合函数的应用广泛，尤其在实际问题的建模和解决过程中。

通过将已知条件中的各个函数进行组合和转化，可以得到更加精确和实用的函数关系，帮助解决问题。

三、二次函数与复合函数的关系1. 二次函数的复合函数当二次函数作为底函数时，可以与其他函数进行复合，形成新的函数关系。

例如，把二次函数f(x)=x²和线性函数g(x)=2x+1进行复合得到新的函数h(x)=f(g(x))= (2x+1)²。

2. 复合函数的图像变换将一个函数的图像代入到另一个函数的公式中进行复合，可以得到复合函数的图像。

1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

自变量的取值范围是全体实数。

2、二次函数2ax y =的性质：（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴； （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。

（P21-12）3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线。

4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，。

5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。

6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

（P23-9,10） 7、顶点决定抛物线的位置。

几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。

8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

（P26-9）（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

二次函数专题讲解一、知识综述：1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，。

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 它们的图像特征如下：开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。

5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数图象的平移左加右减（对X ），上加下减（对Y ）。

二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念 例1：如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m的值为 。

考点二：二次函数的图象例2（2010年广东省广州市）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x … … y……（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．例3 (安徽省芜湖市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ ax 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）例4兰州市)抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 例5.（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．变式训练：1、在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2的图象只可能是（ ）-5-4-3-2-1O 12345xy-11Y O X YO X Y O XY O X2、抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位考点三：确定二次函数的解析式例4：（宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

实际问题与二次函数—知识讲解（基础）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.【典型例题】类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1.（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【思路点拨】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【答案与解析】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【答案】22.【解析】解：设定价为x元，根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）] =﹣2x2+88x﹣870∴y=﹣2x2+88x﹣870，=﹣2（x﹣22）2+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y最大值=98．故答案为：22．类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?【答案与解析】(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+．∵ 抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴ 20(06)6a =-+，即16a =-． ∴ 抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+． (3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 2112,26m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． ∴ 支撑架总长22112(122)266AD DC CB m m m m m ⎛⎫⎛⎫++=-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212123m m =-++21(3)153m =--+． ∵ 此二次函数的图象开口向下．∴ 当m ＝3时，。

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）责编:康红梅【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．（2015•衡阳）如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A 、B 两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连结AM 、BM ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案与解析】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤，即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．。

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．（2016•潮南区模拟）二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3． 【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2； 顶点坐标是（3，2），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键． 举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】（2014•荆州）将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b ，c 的值. 【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x 2-8x+14, 所以【总结升华】把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线， 也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线.举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】 【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2014秋•安顺期末）二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）若点P （m ，-m ）（m ≠0）为抛物线上一点，求与P 关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=-2ba）.【思路点拨】（1）已知抛物线的顶点为A （2，1），设抛物线为顶点式y=a(x-h)2+k ，把点O （0，0）代入即可求解析式；（2）由抛物线的对称轴为直线x=2，且经过原点O （0，0），根据对称性得出与x 轴的另一个交点B 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB 的面积； （3）将点P （m ，-m ）代入y=-14（x-2）2+1，得出-m=-14（m-2）2+1，解方程求出m 的值，得到P 点坐标，再根据对称性即可求出P 关于抛物线对称轴对称点Q 的坐标．【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x-2）2+1，将点O （0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-14． 所以二次函数的解析式为y=-14（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-14（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△A O B =12×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-14（x-2）2+1上一点，∴-m=-14（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.【总结升华】考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，难度适中．充分利用抛物线的对称性是解题的关键．。

九年级下册二次函数知识点讲解二次函数是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要概念。

它是一种代数函数，具有形如f(x) = ax² + bx + c的表达式，其中a、b、c是实数，且a不等于0。

而九年级下册中，我们将进一步学习和探索二次函数的性质和应用。

本文将对九年级下册二次函数的知识点进行讲解。

一、二次函数的图像和性质在学习二次函数的知识时，首先我们需要了解二次函数的图像和性质。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

在解析式f(x) = ax² + bx + c中，常数c表示抛物线在y轴上的截距，而常数b则与抛物线的轴对称线有关。

二、二次函数的顶点和轴对称线二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，这里也是抛物线的转折点。

顶点的坐标可以通过计算得到，设顶点坐标为（h，k），则h = -b / (2a)，k = f(h) = f(-b / (2a))。

而二次函数的轴对称线则是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。

轴对称线的方程可以通过计算得到，一般形式为x = -b / (2a)。

三、二次函数的零点和解析式二次函数的零点，即函数图像与x轴交点的横坐标。

通过求解二次函数的零点，我们可以得到方程ax² + bx + c = 0的解析式。

一般来说，我们可以使用因式分解、求根公式以及配方法等多种方法来求解二次方程，具体方法根据具体情况选择。

四、二次函数的最值和范围二次函数的最值是指函数的最大值或最小值，也就是抛物线的顶点坐标中的纵坐标。

当二次项系数a大于0时，二次函数的最值为最小值；当二次项系数a小于0时，二次函数的最值为最大值。

而二次函数的取值范围受限于抛物线的开口方向和最值，当a 大于0时，函数的取值范围为（最小值，正无穷）；当a小于0时，函数的取值范围为（负无穷，最大值）。

五、二次函数的应用除了了解二次函数的基本知识和性质外，我们还需要学习和掌握二次函数在实际问题中的应用。

二次函数的概念—知识讲解（基础)【学习目标】1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；２.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围;４.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系．【要点梳理】要点一、函数的概念一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x，y,对于自变量x在某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值,简称函数值.要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解:ﻫ（１）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系;ﻫ（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值,ｙ是否都有惟一确定的值与它相对应;（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义,在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义．要点二、函数的三种表示方法表示函数的方法,常见的有以下三种：ﻫ（１）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式,(或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法．ﻫ (2)列表法：用一个表格表达函数关系的方法.(3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法．ﻫ要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的函数都能列出解析式;列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等;图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势,而且对于一些无法用解析式表达的函数,图象可以充当重要角色.对照表如下：解析式法 ∨ ∨ × × 图象法××∨∨要点三、二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+ｃ(a ， ｂ, ｃ是常数,a≠0）的函数叫做x 的二次函数.若ｂ=0，则ｙ＝ａx 2＋c; 若c=０，则y ＝ax 2+ｂx ； 若b=ｃ＝0,则y ＝ａｘ2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y ＝ａx 2＋bx+ｃ（a ≠0）是二次函数的一般式. 要点诠释:如果y ＝ax 2+ｂｘ+c(a ，b,c 是常数，a≠0)，那么ｙ叫做x 的二次函数．这里,当a=0时就不是二次函数了,但ｂ、c 可分别为零，也可以同时都为零． 【典型例题】类型一、函数的相关概念1、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有（ )．A.1个 B ．2个 Ｃ.3个 Ｄ．4个 【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“y 都有惟一确定的值”,x 与y 之间的对应,可以是“一对一”,也可以是“多对一”,不能是“一对多”. 【答案】Ｃ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案,④不构成函数关系． 【总结升华】在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数． 举一反三：【变式】下列等式中,y 是x 的函数有( ）个．22320,1,,||,||x y x y y x y x x y -=-====Ａ.１ B.2 C.3 D.4【答案】C ；要判断是否为函数,需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2时,y 有两个值±3与它对应,对于||x y =,当x 取2时，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求:y 都有惟一确定的值与ｘ对应,所以不是函数,其余三个式子满足函数的定义.2、求出下列函数中自变量x 的取值范围. （1).52+-=x x y ﻩ(２).423xy x =-ﻩ(3）．23y x =+（4).21y x =-ﻩ（５）．312y x =-ﻩ(6）.32x y x +=+【思路点拨】自变量的范围,是使函数有意义的x 的值,大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等. 【答案与解析】解：（1)．52+-=x x y ,x 为任何实数,函数都有意义；（2）．423x y x =-,要使函数有意义，需2x －3≠0,即x ≠32； （３).23y x =+,要使函数有意义，需2x +3≥0，即32x ≥-；(4）.21y x =-，要使函数有意义，需2x -1>0,即12x >;（5）．312y x =-，x 为任何实数，函数都有意义； （６）.32x y x +=+,要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥-3且x ≠-2. 【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.3、若y 与x 的关系式为2-+4+5y x x =,当x =2时,y 的值为（ ) A ．8 B.９ C.10 D ．11【思路点拨】把2x =代入关系式即可求得函数值. 【答案】B;【解析】224259y =-+⨯+=.【总结升华】y 是x 的函数,如果当x =a 时y =b ,那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.类型二、函数的三种表示方法4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．ｔ/时 0 １2３45 … y/米10１0．05 10.１0 1０．15 １0.2010.2５…（1）由记录表推出这5小时中水位高度y （米)随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象.(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米?【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数. 【答案与解析】解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.０5米，•这样的规律可以表示为:y=0.0５t+10(０≤t ≤５）这个函数的图象如下图所示：(2)再过2小时的水位高度，就是ｔ＝５+2=7时,y ＝0.0５ｔ+1０的函数值,从解析式容易算出:y=0．０5×7+10=1０.35，从函数图象也能得出这个值数． 答：2小时后,预计水位高10．3５米．【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题. 类型三、二次函数的概念5、当常数m ≠ 时，函数y=（m 2﹣2m ﹣８)x ２+(m+2)x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数.【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解．【答案与解析】解:由函数y=(m 2﹣2m ﹣8)x ２+(ｍ+2)x ＋２是二次函数,得 m 2﹣2m ﹣8ｍ≠0． 解得ｍ≠4，m ≠﹣2,由y ＝(m 2﹣2m ﹣８）ｘ２＋（ｍ＋2)x ＋2是一次函数，得，解得m=4,故答案为：4，﹣２；4.【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零． 举一反三:【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A.22x y -= Ｂ.xx y 12-= C.22)2(x x y --= D.123+-=x x y 【答案】Ａ 【变式2】若函数是二次函数，则m 的值是 .【答案与解析】解:若函数是二次函数,则m2﹣9m+2０＝２，再利用ｍ﹣6≠0，故(m﹣３）（m﹣６)=0,m≠6，解得:m=3．故答案为：3．。

1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。

2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。

3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。

【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。

二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式.2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念.3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c ； 若c=0，则y=ax2+bx ； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）. 2. 顶点式：2()y a x h k =−+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）. 3. 两根式：12()()y a x x x x =−−（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac −≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。

八年级二次函数知识点讲解二次函数是数学中的一个重要知识点，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、地理、工程学等等。

在初中数学阶段，八年级正是学习二次函数的重要时期。

下面，我们来深入了解八年级二次函数的相关知识点。

一、概念二次函数是函数的一种类型，它的一般式为y = ax² + bx + c，其中a,b,c为实数，a ≠ 0。

其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

二、图像二次函数的图像是开口朝上或者朝下的抛物线。

如果a>0，则图像开口朝上，如果a<0，则开口朝下。

当a的绝对值越大，抛物线开口越宽。

三、顶点坐标二次函数的顶点坐标为(x,y)，其中x的坐标为-b/2a，y的坐标为f(x)。

如果a>0，则f(x)取最小值，即顶点的函数值最小。

如果a<0，则f(x)取最大值，即顶点的函数值最大。

四、零点二次函数的零点是它与x轴的交点。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可用公式：x = (-b±√(b²-4ac))/2a 求得。

其中，若b²-4ac>0，则解为两个实根，也就是函数与x轴交于两个点；若b²-4ac=0，则解为一个实根，也就是函数与x轴在一个点上相切；若b²-4ac<0，则解为两个虚根，也就是函数与x轴没有交点。

五、对称轴二次函数的对称轴是过顶点且与抛物线垂直的一条直线。

对称轴的方程为x = -b/2a。

六、关于直线的位置关系如果一条直线与二次函数有交点，则交点有且仅有一个、两个或者没有。

若二次函数与直线有且仅有一个交点，则该直线称为切线，交点为切点；若有两个交点，则该直线与二次函数相交；若没有交点，则该直线与二次函数平行或相离。

七、变形对二次函数的变形主要有平移、伸缩和翻折三种变形方式。

平移是指将抛物线整体上下或左右移动；伸缩是指将抛物线纵向或横向拉长或缩短；翻折是指将抛物线上下或左右翻折。

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值0 ．a 0 向下0，0y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值0 ．2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0，c y 轴x 0 时，y 随x 的增大而增大；x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0 时，y 有最小值c ．a 0 向下0，c y 轴x 0 时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随x 的增大而增大；x 0 时，y 有最大值c ．2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，0X=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ．a 0 向下h ，0X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ．4.y a x h 2 k的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k ．a 0 向下h ，k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k，确定其顶点坐标h，k；⑵ 保持抛物线y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ya (x +x 2x )24xx − x24x，其中h= -x2x，k 4xx − x24x五、二次函数 y ax 2 bx c 的性质 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为- x2x,顶点坐标为(−x 2x ,4xx − x 24x).当x - x2x 时，y 随x 的增大而减小； 当xx2x 时，y 随x 的增大而增大；当x =x2x 时，y 有最小值4xx − x 24x.当时，抛物线开口向下，对称轴为x- x 2x , 顶点坐标为(−x 2x ,4xx − x 24x).当x- x2x 时， y 随 x 的大而增大y;当随 x x2x 时,y 随 x 的增大而减小;当x = x2x 时 , y有最大值4xx − x24x.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2 bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x1 )(x x2 )（a0，x1 ，x2 是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0 是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点A x1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根．② 当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax2 bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例1 求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=x−x+x3=x+x+x6=4x+2x+x解得{x=1x=0x=2∴解析式为 y=x2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为 y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8.把x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴4a(−3a)−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2).⎬2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0.对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.23. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P(m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2 得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.2 2 又 n 1=m 12+m 1,n 2=m2+m 2. ∴m 12+m 1=m2+m 2, 即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 yx 2 4x 7 的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. y2(x 1)2B. y2(x 1)2C. y 2x 2 1D. y 2x 2 13.函数 ykx 2k 和 yk(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )x4.已知二次函数 y ax 2 bx c (a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号; ② 当 x1和 x 3时,函数值相等;③ 4a b 0 ④当 y 2时,x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1 1.3和x（）2Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限的正根的个数为（）7.方程2x x2=2xA.0 个B.1 个C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。

数学二次函数知识点总结在数学中，二次函数最高次必须为二次。

数学二次函数知识点总结，希望可以帮助到大家，一起来看看下文。

数学二次函数知识点总结一1二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标 (轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)当时开口向上 当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【高清课程名称：二次函数复习【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)b b=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩ ∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)b b=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩ ∴y=x 2-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．（2015•盘锦）如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ． ②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，。

九年级下册第2章 二次函数知识点整理一、本章知识点梳理：知识点1：二次函数概念 知识点2：二次函数的图像及性质知识点3：抛物线的平移 知识点4：求解析式的三种方法知识点5：a ，b ，c 及相关符号的确定 知识点6：二次函数与一元二次方程的关系 知识点7：二次函数的应用题 知识点8：二次函数的综合运用二、各知识点分类讲解 知识点一：二次函数概念1、知识点：（1）二次函数定义：形如y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数． （2）关于定义的几点说明：①强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y 是关于x 的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x 、y 来表示. ②在y=ax 2＋bx ＋c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．③为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax 2＋bx+c 就不是关于x 的二次多项式了) ④b 和c 是否可以为零？b 和c 均可为零．若b=0，则y=ax 2＋c ；若c=0，则y=ax 2＋bx ； 若b=c=0，则y=ax 2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式.2、典型例题： 例题一：（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a 、b 、c ． 1) 3y=x(x-1)； 2)y=3x(2-x)＋3x 2； 3)y=x 4＋2x 2＋1； 4)y=2x 2＋3x+1（2）已知函数 y=（m 2-9)x 2-(m-3)x ＋2，当m 为何值时，这个函数是二次函数？当m 为何值时，这个函数是一次函数？练习：1、 y=-x ²，y=2x ²-x2，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。

二次函数y=a^2k的图象与性质—知识讲解二次函数是代数学中一个重要的概念，其图象对应的是一个抛物线。

二次函数的一般形式可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中a、h和k分别代表了二次函数的系数。

在二次函数的图象中，a决定了抛物线的开口方向和曲率，h决定了抛物线的平移，k决定了抛物线的顶点位置。

首先，我们来讨论二次函数的开口方向和曲率。

当a>0时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负抛物线。

a 的绝对值越大，抛物线的曲率越大，即抛物线越陡峭。

当a=1时，抛物线的曲率最小，为标准抛物线，图象为y=x^2；当a=-1时，抛物线的曲率最大，为倒置的标准抛物线，图象为y=-x^2其次，我们来讨论二次函数的平移。

平移的操作可以通过h来实现，当h>0时，抛物线向左平移；当h<0时，抛物线向右平移。

h的绝对值越大，平移的距离越大。

例如，对于函数y=(x-2)^2，图象相对于标准抛物线y=x^2向右平移了2个单位。

最后，我们来讨论二次函数的顶点位置。

顶点的横坐标由h决定，顶点的纵坐标由k决定。

当h>0时，顶点向左移动；当h<0时，顶点向右移动。

当k>0时，顶点在x轴上方；当k<0时，顶点在x轴下方。

例如，对于函数y=(x-2)^2+3，顶点坐标为(2,3)。

可以发现，顶点就是抛物线的最低点或最高点。

除了开口方向、曲率、平移和顶点位置，二次函数还有一些其他的性质。

首先，二次函数的对称轴是通过顶点的一条直线，对称轴与抛物线的开口方向垂直。

对称轴的方程可以通过x=h得到。

例如，对于函数y=(x-2)^2+3，对称轴的方程为x=2、其次，二次函数关于对称轴对称。

也就是说，如果(a,b)是抛物线上的一点，那么关于对称轴得到的点(a,2k-b)也在抛物线上。

最后，二次函数是一个连续函数，即它的图象是一条平滑的曲线。

总结起来，二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向、曲率、平移和顶点位置由系数a、h和k决定。