初一数学《比较线段的长短》知识点精讲

线段的长度与比较线段是几何形体中常见的概念，它是由两个端点所确定的一条直线段。

在几何学中，我们经常需要计算线段的长度，并进行比较。

本文将围绕着线段的长度和比较展开讨论。

一、线段的长度线段的长度是指线段上两个端点之间的距离。

在平面几何中，我们可以通过坐标系直接计算线段的长度。

假设有一个线段AB，其中A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这个公式实际上是利用勾股定理求得两点之间的距离。

通过这个公式，我们可以计算任意线段的长度。

二、线段长度的比较在比较线段长度时，我们一般会使用数值的大小进行比较。

根据线段长度的不同，有以下几种情况：1. 相等当两个线段的长度相等时，我们可以说这两个线段是等长的。

例如，线段AB的长度为3cm，线段CD的长度也为3cm，那么我们可以说线段AB与线段CD等长。

2. 不等当两个线段的长度不相等时，我们可以通过比较数值的大小来确定它们的长度关系。

例如，线段EF的长度为5cm，线段GH的长度为7cm，那么我们可以说线段GH比线段EF更长。

3. 长度比较有时候，我们需要对多个线段进行长度的比较。

例如，有线段IJ的长度为4cm，线段KL的长度为9cm，线段MN的长度为6cm，我们可以通过数值的比较得出以下结论：线段KL是这三个线段中最长的，而线段IJ是最短的。

三、线段长度的应用线段长度的计算和比较在几何学中有广泛的应用。

1. 图形的分类通过计算线段的长度，我们可以对图形进行分类。

例如，对于三角形而言，我们可以通过计算三条边的长度来判断是否为等边三角形、等腰三角形或一般三角形。

2. 测量距离线段的长度计算在测量距离时起着重要的作用。

例如，我们可以使用直尺或卷尺测量两个点的坐标，然后利用线段长度的公式计算两点之间的直线距离。

3. 工程应用在线段长度方面，工程和建筑领域是最常见的应用场景之一。

比较线段的长短（初中数学七年级）比较线段的长短第一课时一、教学目标1．使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想．2．掌握比较线段长短的两种方法3．会用直尺和圆规画一条线段等于已知线段4．理解线段和、差的概念及画法5．进一步培养学生的动手能力、观察能力。

二、教学重点线段长短的两种比较方法三、教学难点对线段与数之间的认识，掌握线段比较的正确方法四、教具准备四支筷子（三红一绿，长短不一）、圆规、直尺五、教学过程（一）创设情境教师：老师手中有两只筷子（一红一绿）如何比较它们的长短？学生：先移动一根筷子，与另一根筷子一头对齐，两根棒靠紧，观察另一头的位置，多出的较长。

教师：比较长短的关键是什么？学生：必有一头对齐教师：除此之外，还有其他的方法吗？学生：可以用刻度尺分别测出两根筷子的长度，然后比较两个数值教师：我们可以用类似于比筷子的两种方法来比较两条线段的长短（二）新课教学让学生在本子上画出AB、CD两条线段。

（长短不一）1．“议一议”怎样比较两条线段的长短？先让学生用自己的语言描述比较的过程，然后教师边演示边用规范的几何语言描述叠合法：把线段AB、CD放在同一直线上比较，步骤有三：①将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合②将线段AB沿着线段CD的方向落下③若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可记做：AB=CD（几何语言）若端点B落在D内，则得到线段AB小于线段CD，可记做：AB＜CD若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可记做：AB＞CD如图1（注：讲此方法时，教师应采用圆规截取线段比较形象，还需向学生讲明从“形”角度去比较线段的长短）度量法：用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，再将长度进行比较。

总结；用度量法比较线段大小，其实就是比较两个数的大小。

第二讲 比较线段的长短一、两点间的距离两点的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 例1 两点间的距离是指（ ）A ．连接两点的线段的长度B ．连接两点的线段C ．连接两点的直线的长度D ．连接两点的直线例2 如图所示，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A 处，一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？与你的同伴交流一下． 二、线段的基本事实关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 例3〈实际应用题〉如图，小明家到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，应选线路___．三、尺规作图及比较线段的长短尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图，利用尺规作图可以将一条线段移到另一条线段上．用直尺(无刻度)和圆规作一条线段等于已知线段的步骤：(1)利用直尺(无刻度)作一条射线AB ；(2)用圆规量出已知线段的长度a (测量时使圆规两只脚的顶点分别与线段两端点重合，则圆规两只脚的顶点之间的距离即为线段的长度)；(3)在射线AB 上用圆规截取AC 使AC ＝a ，则线段AC 即为所求的线段，如图. 例4 如图，已知线段AB ，用尺规作一条线段等于已知线段AB . 线段长短的比较方法：(1)度量法，用刻度尺分别量出两条线段的长度再比较；(2)叠合法，使两条线段的一个端点重合，另一个端点在同一侧，从而比较出两条线段的长短． 四、线段的中点 1.中点的概念 ：若点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 和BM , 则点M 叫线段AB 的中点. 2.对线段的中点的认识：(1)线段的中点是线段上的点，且把线段分成相等的两条线段； (2)一条线段的中点有且只有一个；(3)如图，若M 是AB 的中点，则①AM ＝BM ＝ AB ；12②AB ＝2AM ＝2BM ；③AM ＋BM ＝AB 且AM ＝BM .反过来也成立．例5 已知M 是线段AB 上的一点，下列条件中不能判定M 是线段AB 的中点的是( )个． A ．AB ＝2AM B ．BM ＝ AB C ．AM ＝BM D ．AM ＋BM ＝AB五、课堂检测1．把两点之间线段的__________，叫做这两点之间的距离．两点之间的距离是一个数，它不是线段． 2. 若点B 在直线AC 上，线段AB ＝10，BC ＝5，则A ，C 两点间的距离是( )A ．5B ．15C ．5或15D ．无法确定3．(中考•徐州)点A ，B ，C 在同一数轴上，其中点A ，B 表示的数分别为－3，1，若BC ＝2，则AC 等于( )A ．3B ．2C ．3或5D ．2或64．两点之间的所有连线中，__________最短．简单说成两点之间________最短． 5．如图，从A 地到B 地共有三条路，其中走________最近，理由是________________________．6．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是( )A ．经过一点有无数条直线B ．经过两点，有且仅有一条直线C ．两点之间，线段最短D ．以上都不对7．比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们的________来比较，即度量法，或者把其中的一条线段移到__________________作比较，即叠合法． 8．下列图形中能比较大小的是( )A ．两条线段B ．两条直线C ．直线与射线D ．两条射线9．如图，AB ＝CD ，则AC 与BD 的大小关系是( )A ．AC ＞BDB ．AC ＜BD C ．AC ＝BDD ．无法确定10．七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条较长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法( )A ．把两条大绳的一端对齐，另外两端在公共端点的同侧，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳B ．把两条绳子接在一起C ．把两条绳子重合，观察另一端情况D ．没有办法挑选11．把一条线段分成__________的两条线段的点，叫做线段的中点．若点M 是线段AB 的中点，则有AM ＝________＝ ________，或AB ＝2________＝2________.121212．(中考•桂林)如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝________．13．(中考•长沙)如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm14．已知线段AB＝8 cm，点C是直线AB上一点，BC＝2 cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是()A．5 cm B．7 cm或3 cm C．5 cm或3 cm D．7 cm15．已知数轴上有点A，B，C，它们所表示的有理数分别是6，－8，x.(1)求线段AB的长；(2)求线段AB的中点D表示的数；(3)已知AC＝8，求x的值．16．平面上有A，B两点，且AB＝7 cm.(1)若在该平面上找一点C，使CA＋CB＝7 cm，则点C在何处？(2)若使CA＋CB＞7 cm，则点C在何处？(3)是否存在点C，使得CA＋CB＜7 cm?17．已知线段a，b，c(a＞c)，如图所示．求作：线段AB，使AB＝a＋b－c.18．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC＝BD，点E是线段BC的中点．(1)点E是线段AD的中点吗？说明理由；(2)当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．19．如图，若线段AB ＝20 cm ，点C 是线段AB 上一点，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点． (1) 求线段MN 的长．(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB ＝a ，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请用一句简洁的话表达你发现的规律．【思路点拨】本题的解题关键是先将MN 分成MC ，NC 两段，而MC ＝ AC ，NC ＝ BC ，后又将 AC ＋ BC 转化成 AB 进行计算．1212121212。

线段长短的比较是几何学中一个基础而重要的问题。

下面列举了几种比较线段长短的方法：
度量法：直接用刻度尺测量两点之间的距离，比较它们的长短。

这是最基本的方法，对于较长的线段或较复杂的图形，这种方法可能会变得复杂和耗时。

叠合法：将两条线段的一端对齐，然后观察它们的另一端是否重合。

如果重合，则两条线段相等；如果不重合，则较长的线段大于或小于较短的线段。

这种方法适用于不太长的线段，但在处理较长的线段或复杂图形时可能会受到限制。

三角不等式法：对于任意三条线段a、b、c，如果a+b>c，则a大于c；如果b+c>a，则b大于a；如果c+a>b，则c大于b。

这种。

七年级数学线段、射线、直线、比较线段的长短某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：线段、射线、直线、比较线段的长短二. 学习重难点：线段、射线、直线三者之间的联系与区别，共性与特性三. 知识要点讲解：1．线段、射线、直线三者之间的联系与区别，共性与特性2．重要性质和有关概念1）点与直线的位置关系：①、点在直线上；②、点在直线外．2）直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简记：过两点有且只有一条直线，或者说：两点确定一条直线．3）直线性质的应用：木工师傅画线，日常生活中往墙上钉木条等．4）线段的基本性质：所有联接两点的线中，线段最短，即：两点之间，线段最短．5）两点之间的距离：两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．6）线段的中点：把线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。

表示方法：若点P是线段AB的中点，可用下列式子的任何一个式子来表示：①AP＝BP；②AP＝12AB或BP＝12AB；③AB＝2AP或AB＝2BP.7）、比较线段大小比较线段的大小常见的有两种方法：方法一：是把要比较的两条线段的一个端点重合，然后看两条线段的另一个端点即可比较出它们的大小。

使用的工具为圆规。

如图所示.方法二：是用刻度尺直接量出要比较大小的线段的长度，然后比较它们的大小.3．典例剖析例1．在表示直线时，常常要用到直线上的两个点表示，这条直线为什么不用一个点，三个点或更多的点表示直线？答：因为过一点可作无数条直线，即一点不能确定一条直线，所以不能用一点表示一条直线，而两点确定一条直线，用直线上三个点或更多的点表示太繁，一般来说也没必要，因此用两点最简单明了．例2判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）延长直线AB；（2）延长射线AB到C；（3）延长线段AB到C．分析：直线、射线、线段是最基本的几何图形之一．直线、射线、线段三者之间的联系表现为线段可以是射线和直线的一部分，射线可以是直线的一部分；它们的区别表现为三者的端点个数不同，端点的个数和位置就使三者具有不同的各向延伸性．由于直线都是可以向两方无限延伸的，所以延长直线AB是多余的，而“射线AB”就表示A为端点，向B的方向可以无限延伸，因而说法（2）也是错误的．而只有线段有两个端点，可以任意向任意一方延伸，所以（3）是正确的．在初学平面几何时，一定要注意用文字、符号表达的概念与图形之间的内在联系．例3．（1）如图，从教室门A到图书馆B，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是为什么？请你用所学的数学知识来说明这个问题．（2）如图，A、B是河流L两旁的两个村庄，现在要在河边修一个引水站向两村供水，问引水站修在什么地方才能使所需要的管道最短？请在图中表示出点P的位置，并说明你的理由．（3）你赞同以上的做法吗？你认为应用科学知识为人民服务应注意什么？分析：利用“两点之间，线段最短”．答：（1）学生从草坪穿行是为了少走路，利用的是两点之间，线段最短．（2）连接A、B两点与L相交，交点就是P的位置，根据两点之间，线段最短．（3）第一种做法不对，践踏草坪不道德；第二种做法对，节省物质．例4．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．解：当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC=8+3=11（cm）当点C在射线BA上时，如图，AC=AB－BC=8－3=5（cm）所以线段AC的长为11cm或5cm．评注：这是一道读句画图计算题，要按照题意，正确地画出图形，这里还要注意分类讨论的数学思想，否则容易漏解．例5、已知线段AB=5cm，延长AB到C，使AC=7cm，在AB的反向延长线上取D，使BD=4BC ，设线段CD 的中点为E ．问线段AE 是线段CD 的几分之一．分析：根据题意作出示意图（如图所示），从图中可以看到“延长AB 到C ，使AC=7cm”，所延长的线段就是BC ，很显然BC=AC －AB=2cm ，由此，就可以求得BD ，DC 的长，再根据E 为CD 中点，求得AE 的长．解：∵AC=AB ＋BC ，即7=5＋BC ，∴BC ＝2（cm ）．∵BD=4BC ，即BA ＋AD=4BC ，5＋AD=8，∴AD=3（cm ），∴CD=AD ＋AB ＋BC=3＋5＋2=10．∵E 为CD 的中点，∴DE=5，即AD ＋AE=5，即3＋AE=5，∴AE ＝2（cm ），51CD AE 的是 评注：此题主要考查了线段的中点的概念以及有关的计算问题，正确地理解线段的中点的概念以及表示方法非常重要。