线段的比较与运算

线段的比较与运算在几何学中，线段是指由两个端点确定的直线部分。

线段的比较与运算是指通过比较和运算符号来描述和计算线段之间的关系与性质。

本文将详细探讨线段的比较与运算，包括线段的长度比较、线段的加法和减法等。

一、线段的长度比较线段的长度是指线段所占据的空间距离的大小。

在比较线段的长度时，我们可以采用数值的大小关系进行比较。

设有两个线段AB和CD，分别表示为AB和CD，其中点A和C是线段的起点，点B和D是线段的终点。

要比较线段AB和CD的长度，可通过以下方式进行判断：1. 若AB＜CD，则线段AB的长度小于线段CD的长度；2. 若AB=CD，则线段AB的长度等于线段CD的长度；3. 若AB＞CD，则线段AB的长度大于线段CD的长度。

二、线段的加法与减法线段的加法和减法是指通过将两个线段按照一定规则相加或相减，得到新的线段。

具体操作如下：1. 线段的加法运算：设有线段AB和线段CD，要求得到线段EF，可按照以下步骤进行操作：a. 将AB和CD的起点重合，即起点相同；b. 将AB和CD的终点相接，即终点相同；c. 连接起点和终点，得到线段EF。

2. 线段的减法运算：设有线段AB和线段CD，要求得到线段EF，可按照以下步骤进行操作：a. 将线段CD翻转，即起点变为终点，终点变为起点；b. 将线段AB和翻转后的线段CD进行加法运算；c. 得到线段EF。

需要注意的是，在线段的减法运算中，需要先对线段进行翻转，再进行加法运算。

三、线段的比例运算线段的比例运算是指通过已知线段的比例关系，推导出未知线段的长度。

设有线段AB和线段CD，其比例关系为AB：CD = m：n，其中m和n为正整数。

要求得到线段EF的长度，可通过以下公式进行计算：EF = (m/ (m+n)) * AB + (n/(m+n)) * CD根据比例关系，线段EF的长度可以通过已知线段AB和CD的长度以及比例关系中的m和n计算得出。

四、线段的综合运算在实际问题中，线段的比较与运算常常需要综合运用。

线段的比较与运算线段是几何中的基本概念，我们常常在数学、物理等领域中遇到线段的比较和运算。

线段的比较是指通过一定的方法来判断两个线段的大小关系，而线段的运算则是对线段进行加减乘除等操作。

在本文中，我们将探讨线段的比较与运算。

一、线段比较在线段比较中，我们主要关注线段的长度。

比较线段的长度可以用数学方法，也可以用几何方法。

数学方法：1. 比较两个线段的长度，可以将它们的长度进行数值比较。

例如，有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，若a>b，则可以判断线段AB较长。

几何方法：1. 使用比例关系。

比较线段的长度可以通过其相似比例关系来判断。

如果两个线段的各个相应部位的长度之比相等，则可以判断它们的长度相等。

例如，若线段DE与线段FG的长度之比等于线段HI与线段JK的长度之比，则可以判断线段DE与线段FG的长度相等。

二、线段运算1. 线段的加法运算：线段的加法运算是指将两个线段的长度相加。

例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的加法运算结果为a+b。

2. 线段的减法运算：线段的减法运算是指将一个线段的长度减去另一个线段的长度。

例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的减法运算结果为a-b。

3. 线段的乘法运算：线段的乘法运算是指将一个线段的长度乘以另一个线段的长度。

例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的乘法运算结果为a*b。

4. 线段的除法运算：线段的除法运算是指将一个线段的长度除以另一个线段的长度。

例如，线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，那么线段AB与线段CD的除法运算结果为a/b。

需要注意的是，在进行线段运算时，要注意线段的单位一致性，否则可能会导致计算结果的不准确。

以上是关于线段比较与运算的介绍。

线段的比较可以通过数学方法或几何方法来判断，而线段的运算则是对线段的长度进行加减乘除等操作。

掌握线段的比较与运算，能够帮助我们更好地理解几何概念，并在实际问题中应用相关知识。

4.2.2 线段长短的比较与运算观察图形，你能比较出每组图形中线段 a 和b 的长短吗？很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.作一条线段等于已知线段已知：线段a，作一条线段AB，使AB=a.第一步：用直尺画射线AF第二步：用圆规在射线AF 上截取AB = a.∴ 线段AB 为所求.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.（教师动画演示叠合的过程，呈现三种情况）设计意图在总结生活经验的基础上，引导学生归纳两人身高的比较方法以及需要注意的问题，再将方法迁移到“线段的长短比较”的数学问题中来，促进学生理解，锻炼学生几何语言的表达、概括能力，感受数学的严谨性，逐步培养学生用数学的眼光观察世界的能力，用数学的语言表达世界的能力.问题1 如图1（几何画板显示），当点C是线段AB 上一点时，图中有几条线段，它们的大小关系呢？生：有3条，分别是线段AC、CB、AB问题2：如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？答案：AB＜ACAB＋BC＝ACAC－AB＝BCAC－BC＝AB师：如果点C在线段AB 上移动（不与A、B两点重合），以上不等量关系和等量关系还成立吗？生：不等量关系中 AC<AB,CB<AB成立，而 AC＞CB 不一定成立了；而等量关系都成立.师：利用几何画板的度量功能，可以把线段的长度都度量出来，请观察动画，当点C在线段AB上移动时，这3条线段的长度如何变化？（动画演示）生：当C刚开始移动时，有AC>CB，随着点C向点A方向移动，线段AC的长度越来越小，线段CB的长度越来越大，而线段AB 的长度保持不变.师：在点C移动的过程中，线段AC 和线段CB 的长度有没有可能相等？能找出相等时刻点C的位置吗？生1：有可能相等（上台演示）．生2：如果能够折叠，将 AB=8.18厘米线段折叠，使点 A 与点B 重合AC=4.09厘米CB=4.09厘米重合，折痕与线段的交点就是点C.师：我们把这时的点C叫做线段AB 的中点，你能说说什么是线段的中点吗？生：线段AB上有一点C ，将线段AB 分成相等的两条线段AC 和CB ，就说点C是线段AB 的中点.强调：点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫做线段AB的中点.符号语言：∴M是AB的中点∴AM＝BM＝12 AB想一想：什么是三等分点？四等分点呢？设计意图：利用直观图形，由线段的大小关系过渡到线段的和差关系，自然合理.利用多媒体动画及度量工具，揭示线段中点的含义.线段中点的表示采用两种表示法，渗透线段的倍分关系，为以后学习线段的三等分点、四等分点以及线段的几倍与几分之一打下基础.在概念的学习中，让学生体会一般与特殊的关系，通过不断逼近中点的演示，渗透极限思想，培养学生用数学的思维思考世界的能力.问题3：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.强调1：两点的所有连线中，线段最短.简单地说:两点之间，线段最短.过关练习 1.如图，下列关系式中与图不符的是( )A.AD－CD＝ACB. AB＋BC＝ACC.BD－BC＝AB＋BCD. AD－BD＝AC－BC答案：C2.若AB = 6 cm，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 的中点，问：线段AD 的长是多少?3.如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝12，BC＝8，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；根据上面的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？用简练的语言表述你发现的规律．解：（1）因为MC＝12AC，NC＝12BC，所以MN＝12AC＋12BC＝12×12＋12×8＝10Aa aM B（2）因为MC ＝12AC ，NC ＝12BC ，所以MN ＝12AC ＋12BC ＝12×12＋12×8＝10如图，A ，B ，C 三点在一条直线上，线段4. AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，若点 D 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求线段 DE 的长.课堂小结设计意图 通过师生共同回顾本节课的学习内容和探究历程，构建知识框架，梳理知识的发生、发展过程，总结知识获得的方法，加深学生对所学知识的理解，感受数学的逻辑性和严密性.鼓励学生大胆发表自己的见解，培养语言表达和与人交流的能力.四、达标测评 检测小卷五、布置作业A 层作业：数学书128页练习1-3题B 层作业：练习卷C 层作业：拓展训练A DB E C线段长短的比较与运算 线段长短的比较基本事实线段的和差度量法叠合法中点两点之间线段最短 思想方法方程思想 分类思想基本作图。

线段的知识点总结一、线段的基本概念1. 定义：线段是指两个端点和它们之间的所有点组成的集合。

它只有长度，没有方向。

2. 记法：用两个字母表示线段，如AB。

3. 线段的长度：线段AB的长度记作AB。

4. 线段的符号表示：常用有线段上方加一条横线表示线段，如上方横线代表线段AB。

二、线段的性质1. 有限性：线段有确定的长度，是有限长的。

2. 独一性：线段的两个端点是确定的，一条线段不能有两个以上的长度。

3. 可加性：若两条线段AB和BC的端点B重合，则线段AC的长度等于线段AB和线段BC长度之和。

三、线段的比较1. 比较线段长度：若AB>CD，则AB的长度大于CD的长度。

2. 三角不等式：若AB+BC>AC，且AC+BC>AB，那么三角形ABC是能构成一个三角形的。

四、线段的划分1. 等分点：若点M在线段AB上，MA=MB，则称M为线段AB的中点。

2. 线段三等分：若M、N分别是线段AB的1/3和2/3处的点，则AM=MN=NB。

3. 比例划分线段：若AM/MB=k₁/k₂，则称M划分线段AB为k₁：k₂的比例。

其中k₁和k₂为正数。

4. 过中点作平行线：若AB的中点为M，则以M为起点向AB平行作线段CD，则CD=AB。

五、线段的运算1. 线段加法：若AB和BC是两条线段，那么AB+BC=AC。

2. 线段乘法：若a是一个实数，AB是一个线段，那么a*AB代表以A为起点，AB的长度为a倍的线段。

3. 线段的加法与减法：a. 加法结合律：(AB+BC)+CD=AB+(BC+CD)；b. 加法交换律：AB+BC=BC+AB；c. 减法的情况：AB-BC=AD，其中D是BC的对称点。

六、线段的坐标表示1. 直角坐标系：若线段AB在直角坐标系中，A的坐标是(x₁,y₁)，B的坐标是(x₂,y₂)，那么线段AB的长度表示为√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²。

2. 数轴：若A和B分别在数轴上的点a和b上，那么线段AB的长度为|b-a|。

小学线段计算知识点总结
一、线段的概念和表示方法
1. 线段的概念：线段是由两个端点和端点之间的点构成的。

两个端点用大写字母A、B表示，线段用AB表示。

2. 线段的表示方法：可以用线段上的某个点和线段的长度表示。

如AB=4cm，表示线段AB的长度是4cm。

二、线段的比较
1. 线段的比较：两个线段的长短可以通过比较它们的长度来判断。

比如AB=4cm，
CD=6cm，那么我们可以判断CD线段比AB线段长。

三、线段的运算
1. 线段的加法：当给出两个线段，可以进行线段的加法。

比如AB=4cm，BC=3cm，那么AB+BC=7cm，表示线段AB和BC的长度之和。

2. 线段的减法：当给出两个线段，可以进行线段的减法。

比如AB=4cm，BC=3cm，那么AB-BC=1cm，表示线段AB减去BC的长度。

四、线段的延长和截取
1. 线段的延长：可以在线段的一个端点处延长出另一个线段。

比如AB=4cm，可以在B点延长出一条BC的线段。

2. 线段的截取：可以在线段的中点处截取出一个新的线段。

比如AB=4cm，可以截取出线段AC和线段CB。

五、线段的绘制和测量
1. 线段的绘制：通过尺规作图的方法可以画出一定长度的线段。

2. 线段的测量：可以使用尺子或其他测量工具对线段进行测量，得到线段的长度。

总结：小学线段计算是基础数学中的重要知识点，通过学习线段计算可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，对培养学生的数学素养有着重要的作用。

初中数学线段题型总结归纳线段是初中数学教学中的一个重要知识点，也是解决几何问题和实际进一步计算的基础。

本文旨在总结和归纳初中数学中涉及线段的常见题型，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

一、线段的基本概念线段是由两个不同点A和B确定的，用记号AB表示。

其中，点A称为线段的起点，点B称为线段的终点。

线段的长度可以用起点和终点表示为|AB|，也可以用坐标表示为AB。

二、线段的比较1. 线段的比较大小常见于求线段长度的比较问题。

当两个线段的长度不等时，可以直接通过比较线段的长度得出结果；当两个线段的长度相等时，需要通过其他方式进行判断（如利用直角三角形的性质）。

2. 在比较线段大小时，可以利用线段的长度、坐标等信息进行比较，也可以通过等式、不等式等表示进行推导。

三、线段的运算1. 线段的加法与减法：线段的加法是指将两条线段首尾相接，组成一条新的线段。

线段的减法是指从一条线段中截取另一条线段，得到剩余部分。

2. 线段的加法减法可通过线段的长度进行求解，也可以通过坐标运算进行推导。

3. 线段的乘法与除法：乘法运算通常涉及到线段的比例关系，用来解决直角三角形的题型；除法运算则是对线段进行分割，求出给定比例的分割点坐标。

四、线段的平分点线段的平分点是指将一条线段分为两等分的点，可以通过计算线段的中点坐标来求解。

利用线段的平分点，可以进一步进行垂直平分线、角平分线等问题的解析。

五、线段的延长线与中点连线线段的延长线是指将线段向两侧延长形成直线的情况，中点连线是指连接线段的中点与其他点生成新的线段。

利用线段的延长线和中点连线，可以解决等分线段、共线点等题目。

六、线段的角关系1. 垂直线段：当两条线段的交角为直角时，称其为垂直线段。

直角线段的特点是相互垂直，即两条直角线段的斜率的乘积为-1。

2. 平行线段：当两条线段的交角为零度时，称其为平行线段。

平行线段的特点是两条线段的斜率相等。

3. 倾斜线段：当两条线段既不是垂直线段，也不是平行线段时，称其为倾斜线段。

线段的比较与运算线段是几何中常见的一种图形，具有一定的长度和方向。

在线段的比较与运算中，我们可以通过比较线段的长度以及判断它们的相对位置来进行运算。

以下将分别介绍线段的比较和运算的相关知识。

一、线段的比较在几何中，线段的比较主要是比较它们的长度大小。

当给定两个线段AB和CD时，我们可以通过比较它们的长度来确定它们的大小关系。

如果线段AB的长度大于CD的长度，则可以表示为AB > CD。

如果线段AB的长度小于CD的长度，则可以表示为AB < CD。

如果线段AB的长度等于CD的长度，则可以表示为AB = CD。

这种比较关系常用于几何中的问题求解，例如判断两条线段谁更长、谁更短等。

二、线段的运算在线段的比较与运算中，我们可以通过对线段进行加法、减法等运算来得到新的线段。

1. 线段的加法运算对于线段AB和线段BC，我们可以将它们的起点和终点相连，得到一条新的线段AC，即为线段AB与线段BC之和。

2. 线段的减法运算对于线段AC和线段AB，如果线段AC的长度大于线段AB的长度，则可以通过以下步骤进行减法运算：a. 找到线段AB的起点和终点分别记为A和B。

b. 以A为起点，找到线段AC的终点与线段AB的终点相连接，得到线段BC。

c. 线段BC即为线段AC与线段AB之差。

3. 线段的乘法运算在几何中，对线段进行乘法运算并没有明确的定义。

但是可以通过给定的比例关系，利用相似三角形的性质进行线段的等比运算。

例如，如果线段AB与线段AC的比例为m:n，可以通过相似三角形的性质得到线段AB与线段AD的比例也为m:n，其中AD为线段AC的等比线段。

这些线段的运算基本上满足几何中的相应运算规律，可以用于解决一些线段相关的问题。

综上所述，线段的比较与运算主要包括比较线段的长度大小以及对线段进行加法、减法和等比运算等。

通过运用这些运算规则，我们可以更好地理解和应用线段的概念，解决与线段相关的问题。

在实际问题中，我们可以根据具体情况灵活运用线段的比较与运算来求解，推导出更多有意义的几何结论。

4.2.2 线段长短的比较与运算教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第四章“几何图形初步”4.2.2 线段长短的比较与运算，内容包括：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度；理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.内容解析本节知识是本教材第四章的第2节内容，是学习几何知识的开端，对调动学生学习几何的积极性，以及学习以后的几何知识非常重要，必须把握好教学的进度和难度.应充分注重直观认识和操作活动，充分培养学生的几何语言表达能力.立足于学生实际，着眼于中小学的衔接，从他们的生活背景和已有经验出发，鼓励他们的积极参与、动手操作、观察归纳，让他们了解几何学习的基本的操作方法，学习结论获得的策略，对进一步去理解线段本质属性与现实生活的紧密相关都有着较为深刻的意义，也有利于学生图形意识的培养.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：线段比较大小以及线段的性质.二、目标和目标解析1.目标(1)会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 理解线段等分点的意义.(2)能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.(3)体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.(4)了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.目标解析学生能够熟练运用叠合法和度量法比较线段的大小；会表示线段的大小关系；会画一条线段等于已知线段.学生能够分别用图形和符号来表示线段之间的和差关系；能够由等分点确定数量关系，或由数量关系确定等分点，综合运用几何语言的能力有所提高.学生通过思考、探究、比较得到“两点之间，线段最短”的基本事实，并能举例说明其实际应用；理解两点的距离是指连接两点的线段的长度，而不是线段本身.三、教学问题诊断分析虽然学生在小学阶段已经学习了一些几何知识，但将对图形的认识与对数量的认识结合起来，是学生未曾深入体验过的.尤其用作图来表示线段的和、差等数量关系，是文字语言、图形语言与符号语言的综合运用，对于刚刚进入几何语言学习的学生而言，是比较困难的学习任务.学生在前一学段对两点之间，线段最短已有所体会，但学生容易将两点的距离与连接两点的线段混淆，教学中应加强对这两个概念的辨析.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.四、教学过程设计（一）自学导航问题：老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本上作出一条同样大小的线段来吗？尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.作一条线段等于已知线段.则：线段AB就是所求的线段.思考：如何比较两个人的身高？怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到一些启发吗？判断线段AB和CD的大小.(1)如图1，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(2)如图2，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；(3)如图3，线段AB和CD的大小关系是AB___CD.（二）合作探究如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？(1) AB＜AC(2) AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC.如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.解：则：线段AC=2a－b.如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.解：则：线段AB＝2a.如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM；点M叫做线段AB的中点.AB，AB＝2AM＝2BM.因此可得：AM＝BM＝12类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.AB，AM＝MN＝NB＝13AB＝3AM＝3MN＝3NBAB，AM＝MN＝NP＝PB＝14AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB思考：如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计.AB___AC AB___AC AB___AC（二）考点解析例1.如图①，有一张三角形的纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？解法1(度量法)：用刻度尺测量AB=2.0cm，BC=1.7cm，所以AB>BC.解法2(叠合法):(1)如图①，折叠纸片，使线段BC与线段AB在一条直线上，这时点C落在A，B之间，所以AB>BC.(2)如图①，利用圆规在射线BA上截取BC＇=BC.因为AB＞BC＇所以AB＞BC.【迁移应用】1.如图，比较线段a和b的长度，结果正确的是( )A.a＞bB.a＜bC.a=bD.无法确定2.如图，用圆规比较两条线段AB和A＇B＇的长短，其中正确的是( )A.AB＞A＇B＇B.AB=A＇B＇C.AB＜A＇B＇D.没有刻度尺，无法确定3.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四点处，则表示他最好成绩的点是( )A.MB.NC.PD.Q4.如图，比较这两组线段的长短.解：如图①，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，点B与点D在点A的同侧，得点B在C，D之间，所以AB<CD.如图①，把图中的线段AB、线段CD放在同一条直线上，使端点A，C重合，得点D和点B重合，所以AB=CD.例2.如图，已知线段a、b、c，其中a＞b＞c.(1)尺规作图：在射线AP上求作线段AB，使AB=a+cb；(2)若a=4、b=3、c=2，求AB的长.解：(1)如图，在射线AP上作线段AC=a，在AC的延长线上作线段CD=c，在线段AD上作BD=b，则AB=a+cb.(2)因为a=4，b=3，c=2，所以AB=a+cb=4+23=3.【迁移应用】1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤：①在射线AM上截取线段AP=a；①则线段AB=a+2b；①在射线PM上截取PQ=b，QB=b；①画射线AM.你认为正确的顺序是( )A.①①①①B.①①①①C.①①①①D.①①①①2.如图，下列关系式中与图形不符合的是( )A.ADCD=ACB.ACBC=ABC.AB+BD=ADD.AC+BD=AD例3.如图，AC=6cm ， BC=15cm ， M 是AC 的中点，在CB 上取一点N ，使得CN=13BC ，求MN 的长.解：因为M 是AC 的中点，AC=6cm ， 所以MC=12AC=12×6=3(cm)因为BC=15cm所以CN=13BC=13×15=5(cm)所以MN=MC+CN=3+5=8(cm) 【迁移应用】1.下列条件中能确定C 是线段AB 的中点的是( )A.AC=BCB.AB=BCC.AC=BC=12AB D.AC+BC=AB2.如图，C ，D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点.若AB=10cm ，BC=4 cm ，则AD 的长为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm3.如图，点C 在线段AB 的延长线上，且BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=2cm ，求BD 的长.解：因为AB=2cm ，所以BC=2AB=4cm.所以AC=AB+BC=6cm.因为D是AC的中点，AC=3cm.所以AD=12所以BD=ADAB=lcm.4.如图，C，D是线段AB的三等分点，E是线段DB的中点，AB=12cm，求线段CE的长.解：因为C，D为线段AB的三等分点，×12=4(cm)所以CD=DB=13因为E是线段DB的中点，DB=2cm，所以DE=12所以CE=CD+DE=4+2=6(cm).例4.如图，小明家在B处，现在小明要去位于D处的同学家.(1)最近的路线是__________；(2)B，D两点的距离是线段______的长度.【迁移应用】1.若AB=4cm，BC=3cm，则A，C两点的距离( )A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不确定2.小明捡到一片沿直线折断了的银剩下的杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是____________________.3.如图，A，B是公路l两旁的两个村庄，若要在公路上修建一个汽车站Р，使它到A，B两个村庄的距离和最小，试在l上标出汽车站P的位置.解：如图，连接AB与直线l相交，交点即为汽车站Р的位置.例5.如图①，一只蚂蚁要沿着正方体表面从点A爬到点B，画出它爬行的最短路径(下底面不可通行).解：如图①，有4条最短路径，以A→E→B为例进行说明：如图①，将正方体的正面，右面展开，连接AB，与中间的一条边交于点E，则A→E→B即为其中一条最短路径.(其他三条类似)【迁移应用】如图，A，B，C，D为四个居民小区，现要在附近建一个购物中心.应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请确定购物中心的位置，并说明理由.解：如图，连接AC ，BD 相交于点P ，点Р就是购物中心的位置. 理由：两点之间，线段最短.例6.如图，已知线段AB ，延长AB 到点C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求DB 的长.解：因为D 为AC 的中点，DC=3cm ， 所以AC=2DC=2×3=6(cm). 因为BC=12AB ，所以BC=13AC=13×6=2(cm) 所以DB=DCBC=32=1(cm). 【迁移应用】1.如图，已知线段AB=3cm ，延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ，延长线段BA 到点D ，使AD①AC=4①3，M 是BD 的中点.求线段AM 的长.解：因为AB=3cm ，BC=2AB ， 所以BC=6cm ， 所以AC=AB+BC=9cm. 因为AD:AC=4①3， 所以AD=43AC=12cm ，因为M 是BD 的中点， 所以BM=12BD=152cm ，所以AM=BMAB=1523=92(cm).例7.如图，已知C ，D 两点将线段AB 分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M 为AB 的中点，N 为BD 的中点，且MN=5，求AB 的长.解：因为AC:CD:DB=2①3①4， 所以设AC=2x ，CD=3x ，DB=4x. 所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x. 因为M 为AB 的中点，N 为BD 的中点， 所以BM=12AB=92x ，BN=12BD=2x.因为MN=BMBN=5， 所以92x2x=5，解得x=2. 所以AB=9×2=18. 【迁移应用】1.如图，B 和C 为线段AD 上两点，AB①BC:CD=3①1①6，M 是AD 的中点.若MC=2，则AD 的长为________.2.如图，点C ，D 在线段AB 上，且满足CD=14AD=16BC ，E ，F 分别为线段AC ，BD 的中点.如果EF=5cm ，求线段AB 的长度.解：设CD=xcm. 因为 CD=14AD=16BC ，因为E ，F 分别为线段AC ，BD 的中点，所以EC=12AC=12(ADCD)=1.5xcm ， DF=12BD=12(BCCD)=2.5xcm.因为EF=EC+CD+DF=5cm ， 所以1.5x+x+2.5x=5， 所以x=1.所以AB=AD+BCCD=4x+6xx=9x=9(cm).例8.在直线l 上有四点A ，B ，C ，D ，已知AB=24，AC=6，D 是BC 的中点，求线段AD 的长. 解：分两种情况讨论：①如图①，当点C 在线段AB 的反向延长线上时，得 BC=AB+AC=24+6=30.由D 是BC 的中点，得CD=12BC=15.以AD=CDAC=9.①如图①，当点C 在线段AB 上时，得 BC=ABAC=246=18.由D 是BC 的中点，得CD=12BC=9.所以AD=CD+AC=15.综上所述，线段AD 的长为9或15.【迁移应用】1.如图，C 为线段AD 上的一点，B 为CD 的中点，且AD=9，CD=4.若点E 在直线AD 上，且EA=1，则BE 的长为( )A.4B.6或8C.6D.82.A ，B ，C 是直线l 上的点，线段BC 的长为4，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，MN 的长为3，则线段AB 的长为__________.例9.如图，点C 在线段AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. (1)若AC=9cm ，CB=6cm ，求线段MN 的长；(2)若C 为线段AB 上任意一点，AC+CB=acm ，其他条件不变，求线段MN 的长.解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC=12AC ，CN=12BC.因为AC=9cm ，CB=6cm ，所以MN=MC+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12×(9+6)=7.5(cm). (2)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC=12AC ，CN=12BC.因为AC+CB=a cm ，所以MN=MC+CN=12(AC+CB)=12a cm. 【迁移应用】如图，D 为线段BC 的中点，E 为线段AC 的中点.若ED=9，求线段AB 的长度.解：因为D 是线段BC 的中点， 所以CD=BD.因为E 为线段AC 的中点， 所以AE=CE.所以AB=AC+BC=2EC+2CD=2ED=2×9=18.五、教学反思。