2011年全国新课标理一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数2+i1−2i的共轭复数是 A. −35i B. 35i C. −i D. i2. 下列函数中，既是偶函数，又在0,+∞单调递增的函数是 A. y=x3B. y=∣x∣+1C. y=−x2+1D. y=2−∣x∣3. 执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. 13B. 12C. 23D. 345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= A. −45B. −35C. 35D. 456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 A. B.C. D.7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，∣AB∣为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 38. x+ax 2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. −40B. −20C. 20D. 409. 由曲线y=x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为 A. 103B. 4 C. 163D. 610. 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈0,2π3p2:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈2π3,πp3:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈0,π3p4:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈π3,π其中的真命题是 A. p1,p4B. p1,p3C. p2,p3D. p2,p411. 设函数f x=sinωx+φ+cosωx+φ ω>0,∣φ∣<π2的最小正周期为π，且f−x=f x，则 A. f x在0,π2单调递减 B. f x在π4,3π4单调递减C. f x在0,π2单调递增 D. f x在π4,3π4单调递增12. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共4小题；共20分）13. 若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9，则z=x+2y的最小值为．14. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为22,过F1的直线l 交C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O−ABCD的体积为．16. 在△ABC中，B=60∘，AC=3，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 等比数列a n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列1b n的前n项和．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值．19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=−2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,−1，B点在直线y=−3上，M点满足MB∥OA,MA⋅AB=MB⋅BA，M点的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21. 已知函数f x=a ln xx+1+bx，曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为x+2y−3=0．（1）求a,b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f x>ln xx−1+kx，求k的取值范围．22. 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2−14x+mn=0的两个根．（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若∠A=90∘，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα,（α为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求∣AB∣．24. 设函数f x=∣x−a∣+3x，其中a>0．（1）当a=1时，求不等式f x≥3x+2的解集；（2）若不等式f x≤0的解集为x∣x≤−1，求a的值．答案第一部分 1. C 【解析】2+i 1−2i= 2+i 1+2i1−2i 1+2i=5i 5=i2. B3. B【解析】写出每一次循环后的k 和p 的值，第六次循环后k =6和p =720，此时不满足k <N ，退出循环．4. A 【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为"甲1 "，则基本事件为 " 甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3 "，共9个．记事件A 为 " 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组 "，其中事件A 有 "甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3 "，共3个．因此P A =39=13． 5. B6. D 【解析】此几何体为组合体，由半个圆锥和一个三棱锥组合而成．7. B8. D【解析】因为 x +ax 2x −1x 5的展开式中各项的系数和为2，所以令x =1，得a +1=2，从而a =1．2x −1x 5的展开式中的第r +1项为T r +1=C 5r 2x 5−r −1x r=C 5r 25−r −1 r x 5−2r ． 当r =2时，为含x 的项；r =3时，为含x −1的项，所以展开式中的常数项为C 52⋅23−C 53⋅22=40．9. C【解析】因为直线y =x −2与y = x 的交点坐标为 4,2 ，所以所求面积为x−x +2 d x 40= 23x 32−12x 2+2x ∣∣∣04=163．10. A【解析】用p 1举例，若∣a +b∣>1，则两边平方可得2cos θ+2>1，解得0≤θ<2π3，反之也能推得成立，所以充分性和必要性都成立，p 1是真命题；同理可以证明p 4正确． 11. A 【解析】f x = 2sin ωx +φ+π4 ，所以ω=2． 又因为f x 为偶函数，所以φ+π4=π2+kπ,k ∈Z ，又∣φ∣<π2，所以φ=π4， 所以f x = 2sin 2x +π2 = 2cos2x ． 12. D 【解析】如图，两个函数的图象有8个交点，且两个函数的图象都关于点 1,0 对称，故横坐标之和为8． 第二部分13. −614. x216+y28=115. 8316. 2【解析】由正弦定理AB sin C =ACsin B=BCsin A,得AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C+4sin120∘−C=4sin C+23cos C=27sin C+φ.所以AB+2BC的最大值为27．第三部分17. （1）设数列a n的公比为q，由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．由条件可知q>0，故q=13．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13．故数列a n的通项公式为a n=13n．（2）结合（1）可得b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n=−1+2+⋯+n=−n n+12.故1 n =−2=−21−1.所以1 1+12+⋯+1n=−21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=−2n n+1.所以数列1b n 的前n项和为−2nn+1．18. （1）因为∠DAB=60∘，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A1,0,0，B 0,0，C −1,0，P0,0,1，故AB= −1,3,0,PB=0,3,−1,BC=−1,0,0.设平面PAB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AB=0,n⋅PB=0.即−x+3y=0,3y−z=0.因此可取n=3,1,3.设平面PBC的法向量为m，则m⋅PB=0,m⋅BC=0.可取m=0,−1,− 3,所以cos m,n=−427=−27.故二面角A−PB−C的余弦值为−277．19. （1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94，94,102，102,110的频率分别为0.04、0.54、0.42，因此P X=−2=0.04,P X=2=0.54,P X=4=0.42,即X的分布列为X−224P0.040.540.42X的数学期望值EX=−2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.20. （1）设M x,y，由已知得B x,−3,A0,−1．所以MA=−x,−1−y,MB=0,−3−y,AB=x,−2.再由题意可知 MA+MB⋅AB=0，即−x,−4−2y⋅x,−2=0．所以曲线C的方程式为y=14x2−2．（2）设P x0,y0为曲线C:y=14x2−2上一点，因为yʹ=12x，所以l的斜率为12x0．因此直线l的方程为y−y0=12x0x−x0，即x0x−2y+2y0−x02=0．则O点到l的距离d=∣002∣x0+4．又y0=14x02−2，所以d=12x2+42=12x02+4+2≥2,当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21. （1）fʹx=a x+1x−ln xx+12−bx2,由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点1,1，故f1=1,fʹ1=−1 ,即b=1,a−b=−1 ,解得a=1,b=1.（2）由（1）知f x=ln x+1,所以f x−ln xx−1+kx=11−x22ln x+k−1x2−1x.考虑函数ℎx=2ln x+k−1x2−1xx>0,则ℎʹx=k−1x2+1+2xx2.（i）设k≤0，由ℎʹx=k x2+1−x−12x2知，当x≠1时，ℎʹx<0．而ℎ1=0，故当x∈0,1时，ℎx>0，可得12ℎx>0;当x∈1,+∞时，ℎx<0，可得11−x2ℎx>0．从而当x>0，且x≠1时，f x−ln x+k>0,即f x>ln xx−1+kx.（ii）设0<k<1．由于当x∈1,11−k时，k−1x2+1+2x>0,故ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,11−k 时，ℎx>0，可得11−xℎx<0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,+∞时，ℎx>0，可得11−x2ℎx<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为−∞,0．22. （1）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ,即AD =AE. 又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ,所以C ,B ,D ,E 四点共圆．（2）m =4，n =6时，方程x 2−14x +mn =0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD =2,AB =12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．因为C ,B ,D ,E 四点共圆，所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ． 由于∠A =90∘，故GH ∥AB ，HF ∥AC ．HF=AG =5,DF =112−2 =5,DH=5 2.故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 23. （1）设P x ,y ，则由条件知M x 2,y2 ． 由于M 点在C 1上，所以x2=2cos α,y2=2+2sin α, 即x =4cos α,y =4+4sin α,从而C 2的参数方程为x =4cos α,y =4+4sin α,α为参数 .（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1=4sin π, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2=8sin π. 所以∣AB∣=∣ρ2−ρ1∣=2 3.24. （1）当a =1时，f x ≥3x +2可化为∣x −1∣≥2．由此可得x ≥3 或 x ≤−1.故不等式f x ≥3x +2的解集为x ∣x ≥3 或 x ≤−1 .（2）由f x ≤0得∣x −a∣+3x ≤0，此不等式可化为不等式组x ≥a x −a +3x ≤0 或 x ≤a a −x +3x ≤0即x ≥a x ≤a 4 或 x ≤a x ≤−a 2因为a >0，所以不等式组的解集为x ∣x ≤−a . 由题设可得−a 2=−1，故a =2．。
