高考调研高考数学一轮复习第课时

【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业 第三章 专题研究 理 新人教版1．(2012·山东聊城)函数f (x )的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)<－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 B解析 f ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图像上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f－f 3－2，∴f (3)－f (2)是图像上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．(2011·湖南)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像是( )答案 D解析 若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则易得a ＝c .因选项A 、B 的函数为f (x )＝a (x ＋1)2，则[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝a (x ＋1)(x ＋3)e x，∴x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴x ＝－b2a>0，且开口向下，∴a <0，b >0，∴f (－1)＝2a －b <0，也满足条件；选项D 中，对称轴x ＝－b2a<－1，且开口向上，∴a >0，b >2a ，∴f (－1)＝2a －b <0，与图矛盾，故答案选D.4．(2012·江苏无锡)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根答案 B解析 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．5．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调减时，由⎩⎪⎨⎪⎧f，f 得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调增时，f ′(x )＝0中，Δ＝4a 2－4×5≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f，得a ∈[－5，5]∪(5，＋∞)．综上：a 的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．6．(2012·深圳第一次调研)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示．①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个答案 D解析 依题意得，函数f (x )不可能是周期函数，因此①不正确； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在[0,2]上是减函数，②正确；当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，依题意，结合函数f (x )的可能图像形状分析可知，此时t 的最大值是5，因此③不正确；注意到f (2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f (x )的图像向下平移a (1<a <2)个单位后相应曲线与x 轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D.7．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x <2时，f ′(x )＝3(x －2)2>0，说明函数在(－∞，2]上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.8．(2012·沧州七校联考)已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13(x 0∈[0，π])，那么下面命题中真命题的序号是________．①f (x )的最大值为f (x 0)；②f (x )的最小值为f (x 0)； ③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x )在[x 0，π]上是减函数． 答案 ①④解析 f ′(x )＝cos x －13，当f ′(x )≥0，即x ∈[0，x 0]时，函数f (x )为增函数，当f ′(x )≤0，即x ∈[x 0，π]时，函数f (x )为减函数，因此③错，④正确．因此f (x 0)是函数f (x )在[0，π]上的最大值，①正确．综上可得，真命题的序号为①④.9．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0，设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．解析 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同， ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a2x，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝g xfx 0＝gx，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a2x由x 0＋2a ＝3a2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )，由h ′(t )＝0得t ＝e 13 或t＝0(舍去)．列表如下：于是函数h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 3 )＝32e 3 ，即b 的最大值为32e 3.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －ax ＋3ax(x >0)，由F ′(x )＝0得x ＝a 或x ＝－3a (舍去)．列表如下：000故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，即当x >0时，f (x )≥g (x )． 10．已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解析 (1)因为f ′(x )＝2x －8x，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)．即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝x ＋x －x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x－14＝x －x ＋x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.11．(2011·山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建筑费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解析 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －r 2(r 3－20c －2)，0<r <2. 由于c >3，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8πc －r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2.12．(2012·衡水调研)设函数f (x )＝x 2＋2x －2ln(1＋x )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈[1e －1，e －1]时，是否存在整数m ，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立？若存在，求整数m 的值；若不存在，则说明理由．解析 (1)由1＋x >0得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．f ′(x )＝2x ＋2－2x ＋1＝2x x ＋x ＋1.由f ′(x )>0，得x >0；由f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－1,0)．(2)由(1)知，f (x )在[1e －1,0]上单调递减，在[0，e －1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝0.又f (1e －1)＝1e 2＋1，f (e －1)＝e 2－e ，且e 2－3>1e 2＋1，∴x ∈[1e －1，e －1]时，f (x )max ＝e 2－e .∵不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋e 2≥f xmaxm <f x min，即⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋e 2≥e 2－3m <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0m <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3m <0⇒－1≤m <0.∵m 是整数，∴m ＝－1.∴存在整数m ＝－1，使不等式m <f (x )≤－m 2＋2m ＋e 2恒成立．1．已知函数f (x )＝ax －ln(－x )，x ∈[－e,0)，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)当a ＝－1时，确定f (x )的单调性和极值； (2)当a ＝－1时，证明：f (x )＋－xx>12； (3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝－x －ln(－x )，f ′(x )＝－1－1x ＝－x ＋1x，∴当－e≤x <－1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当－1<x <0时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (－1)＝1.(2)由(1)知f (x )在区间[－e,0)上有唯一的极小值1，即f (x )在区间[－e,0)上的最小值为1，即f (x )min ＝1. 所证不等式即f (x )>12－－xx，令h (x )＝12－－xx， 则h ′(x )＝－x －1x2， 当－e≤x <0时，h ′(x )≤0，故h (x )在[－e,0)上单调递减， ∴h (x )max ＝h (－e)＝1e ＋12<12＋12＝1＝f (x )min .∴当a ＝－1时，f (x )＋－xx>12. (3)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln(－x )的最小值为3.f ′(x )＝a －1x(x ∈[－e,0))．①若a ≥－1e ，由于x ∈[－e,0)，则f ′(x )＝a －1x≥0，∴函数f (x )＝ax －ln(－x )在[－e,0)上是增函数，∴f (x )min ＝f (－e)＝－a e －1＝3，解得a ＝－4e <－1e，与a ≥－1e矛盾，舍去．②若a <－1e ，则当－e≤x <1a 时，f ′(x )＝a －1x <0，此时f (x )＝ax －ln(－x )是减函数．当1a <x <0时，f ′(x )＝a －1x >0，此时f (x )＝ax －ln(－x )是增函数．∴f (x )min ＝f (1a)＝1－ln(－1a)＝3，解得a ＝－e 2.由①②知，存在实数a ＝－e 2，使f (x )的最小值为3.2．(2011·天津文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．解析 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(2，－t )．②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t2)．(3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，＋∞)内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在(0，t 2)内单调递减，在(t2，1)内单调递增．若t ∈(0,1]，f (t 2)＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0，所以f (x )在(t2，1)内存在零点．若t ∈(1,2)，f (t 2)＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0，f (0)＝t －1>0.所以f (x )在(0，t2)内存在零点． 所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 3．(2011·江西文)设f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx .(1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式； (2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N *)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )解析 (1)由题得g (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋(n －3)＝(x ＋m －1)2＋(n －3)－(m －1)2，已知g (x )在x ＝－2处取得最小值－5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2n －－m －2＝－5，即m ＝3，n ＝2，即得所要求的解析式为f (x )＝13x 3＋3x 2＋2x .(2)因为f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，且f (x )的单调递减区间的长度为正整数，故f ′(x )＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m 2－4n >0即m 2>n .不妨设为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝2m 2－n 为正整数．故m ≥2时才可能有符合条件的m ，n ，当m ＝2时，只有n ＝3符合要求，当m ＝3时，只有n ＝5符合要求，当m ≥4时，没有符合要求的n .综上所述，只有m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5满足上述要求．4．(2011·山东潍坊)已知函数f (x )＝e x ＋ax ，g (x )＝e xln x .(e≈2.718 28)．(1)设曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与直线x ＋(e －1)y ＝1垂直，求a 的值；(2)若对于任意实数x ≥0，f (x )>0恒成立，试确定实数a 的取值范围；(3)当a ＝－1时，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线C ：y ＝g (x )－f (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解析 (1)由题知，f ′(x )＝e x ＋a .因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为e ＋a ，又直线x ＋(e －1)y ＝1的斜率为11－e， ∴(e ＋a )11－e＝－1. ∴a ＝－1.(2)∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立，∴若x ＝0，a 为任意实数，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立．若x >0，f (x )＝e x ＋ax >0恒成立，即当x >0时，a >－e x x恒成立． 设Q (x )＝－e x x .Q ′(x )＝－e x x －e x x 2＝－x x x 2.当x ∈(0,1)时，Q ′(x )>0，则Q (x )在(0,1)上单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，Q ′(x )<0，则Q (x )在(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时，Q (x )取得最大值．Q (x )max ＝Q (1)＝－e.∴要使x ≥0时，f (x )>0恒成立，a 的取值范围为(－e ，＋∞)．(3)依题意，曲线C 的方程为：y ＝e x ln x －e x＋x ，令M (x )＝e x ln x －e x ＋x ，∴M ′(x )＝e x x ＋e x ln x －e x ＋1＝(1x＋ln x －1)e x ＋1. 设h (x )＝1x ＋ln x －1，则h ′(x )＝－1x ＋1x ＝x －1x ， 当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.故h (x )在[1，e]上为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为h (1)＝ln1＝0，所以h (x )＝1x＋ln x －1≥0， 当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0， ∴M ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1) e x 0＋1>0， 曲线y ＝e x ln x －e x ＋x 在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程M ′(x 0)＝0在x ∈[1，e]上有实数解．而M ′(x 0)>0，即方程M ′(x 0)＝0无实数解．故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝M (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直．5．(2012·河南郑州质测)已知x >12，函数f (x )＝x 2，h (x )＝2eln x (e 为自然常数)． (1)求证：f (x )≥h (x )；(2)若f (x )≥h (x )且g (x )≤h (x )恒成立，则称函数h (x )的图像为函数f (x )，g (x )的“边界”．已知函数g (x )＝－4x 2＋px ＋q (p ，q ∈R )，试判断“函数f (x )，g (x )以函数h (x )的图像为边界”和“函数f (x )，g (x )的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p 、q 的值；若不能同时成立，请说明理由．解析 (1)证明：记u (x )＝f (x )－h (x )＝x 2－2eln x ，则u ′(x )＝2x －2e x， 令u ′(x )>0，因为x >12，所以x >e ， 所以函数u (x )在(12，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． u (x )min ＝u (e)＝f (e)－h (e)＝e －e ＝0，即u (x )≥0，所以f (x )≥h (x )．(2)由(1)知，f (x )≥h (x )对x >12恒成立，当且仅当x ＝e 时等号成立， 记v (x )＝h (x )－g (x )＝2eln x ＋4x 2－px －q ，则“v (x )≥0恒成立”与“函数f (x )，g (x )的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v (x )≥0对x >12恒成立，当且仅当x ＝e 时等号成立，所以函数v (x )在x ＝e 时取极小值，注意到v ′(x )＝2e x ＋8x －p ＝8x 2－px ＋2e x， 由v ′(e)＝0，解得p ＝10e ，此时v ′(x )＝x －ex －e 4x ，由x >12知，函数v (x )在(12，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，即v (x )min ＝v (e)＝h (e)－g (e)＝－5e －q ＝0，q ＝－5e ，综上，两个条件能同时成立，此时p ＝10e ，q ＝－5e.。

方法技巧专题——求函数最值的常用方法1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．例1 已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．【思路】将函数表达式按e x＋e－x配方，转化为关于变量e x＋e－x的二次函数．【解析】y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.令t＝e x＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a<0时，y min＝f(a)＝a2－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x ≤1时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数．x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．∴当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝2. (2)求函数y ＝x ＋4－x 2的值域．【解析】 换元法：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4]∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)；a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．例3 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值． 【解析】 因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.故填3. 【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例4 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值．【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12，a ＝4.故填4.【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f (x )min ＝f (m )，f (x )max ＝f (n )；若函数f (x )在[m ，n ]上单调递减，则f (x )min ＝f (n )，f (x )max ＝f (m )；若函数f (x )在[m ，n ]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )、f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例5 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________． 【思路】 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值． 【解析】 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝1(舍去)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，比较得，f (x )的最大值为3，最小值为－17.【讲评】 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a ，b )内的极值；第二，求函数在端点的函数值f (a )、f (b )；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．6．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例6 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.14 B.12 C.22D.32【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}． 又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3 ＝4＋2－xx ＋.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22； 当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．7．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例7 对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示．由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f (12)＝|12＋1|＝32.8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P (x ，y )的坐标同时满足以下不等式：x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，如果点O 为坐标原点，那么|OP |的最小值等于________，最大值等于________．【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A (2,2)，|OA |＝22；B (1,3)，|OB |＝10；C (1,1)，|OC |＝ 2.故|OP|的最大值为10，最小值为 2.。

课时作业(七十三)1．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A ．(x －1)2(y －1)＝1 B ．y ＝x x －x －2C ．y ＝1－x2－1 D ．y ＝x1－x2＋1答案 B2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线答案 A3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.95 5 D.9510 答案 B4．(2012·海淀区)圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x－y ＋m ＝0相切，则m ＝______.答案2 －1或3解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3.5．(2011·湖南理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)在极坐标系(与直线坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为原点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．答案 2解析 曲线C 1的普通方程是x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2的直角坐标方程是x －y ＋1＝0，由于直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋(y －1)2＝1的圆心，故两曲线的交点个数是2.6．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．答案 75解析 将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos(θ＋π4)分别化为普通方程：3x ＋4y ＋1＝0，x2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 7．(2011·东城区)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ－1y ＝5sin θ＋2(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋6y ＝－3t －2(t 为参数)，则直线l 与圆C 相交所得的弦长等于________．答案 4 6解析 直线l 与圆C 的普通方程分别为3x ＋4y －10＝0，(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，则圆心到直线l 的距离为d ＝|－3＋8－10|5＝1，所以弦长为252－12＝4 6.8．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．答案 (－1,1)，(1,1)解析 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图像可知直线l 和圆C 的交点为(－1,1)，(1,1)．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t ＋1(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1y ＝sin θ(参数θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为________．答案 2解析 直线方程可化为x －y ＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，由点到直线的距离公式可得，圆心C (1,0)到直线l 的距离为|2|12＋－2＝ 2.10．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则yx的取值范围是________．答案 [0，33] 解析 由已知条件可知点P 在圆(x ＋2)2＋y 2＝1的下半圆上，∴－3≤x ≤－1，－1≤y ≤0，y ＝－1－x ＋2，∴y x＝1－x ＋2x 2＝－3x 2－4x －1.令f (x )＝－3x 2－4x－1(－3≤x ≤－1)，则f ′(x )＝6x 3＋4x2＝4x ＋6x3，∴当－3≤x <－32时，f ′(x )>0，当－32<x ≤－1时，f ′(x )<0，∴f (x )的最大值为f (－32)＝13，∵f (－1)＝f (－3)＝0，∴0≤f (x )≤13，∴y x 的取值范围是[0，33]．11．(2011·陕西理)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：{ x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．答案 3解析 消掉参数θ，得到C 1的普通方程(x －3)2＋(y －4)2＝1，表示以(3,4)为圆心，以1为半径的圆；C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1表示的是单位圆，|AB |的最小值为32＋42－1－1＝3.12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解析 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0.因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22θ＋π45，所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2ty ＝1－t (t 为参数)，椭圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．解析 直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0.设P (2cos θ，sin θ)， 点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15[4－22sin(θ＋π4)]．所以当sin(θ＋π4)＝1时，d 有最小值，此时sin θ＝sin[(θ＋π4)－π4]＝sin(θ＋π4)cosπ4－cos(θ＋π4)sin π4＝22，cos θ＝cos[(θ＋π4)－π4]＝cos(θ＋π4)cos π4＋sin(θ＋π4)sin π4＝22.所以点P 的坐标为(2，22)．从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为(2，22)． 14．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．答案 x －2y －4＝0解析 椭圆的普通方程为x 225＋y 29＝1，右焦点为(4,0)，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝3－t(t 为参数)的普通方程为2y －x ＝2，斜率为12，所求直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.15．(2012·东北三校一模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解析 (1)直线l 的普通方程为y －1＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ，①曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，② ①代入②得：2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B (22，7π4)．(2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－33＝1，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝kx ＋k ＋1， ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1，∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．。

课时作业(一)一、选择题1．(·湖南卷)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}答案 C解析由已知得M∩N＝{2,3}，C正确，易知A、B、D错误，故选C.2．(·衡水调研)若集合A＝{x|lg(x－2)<1}，集合B＝{x|12<2x<8}，则A∩B＝()A．(－1,3) B．(－1,12)C．(2,12) D．(2,3)答案 D解析由lg(x－2)<1得0<x－2<10，即2<x<12；由12<2x<8得－1<x<3.所以A∩B＝(2,3)．3．(·启东中学期末)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}，B＝{x|－4<x<4，x∈Z}，则图中的阴影部分表示的集合中所含元素的个数为()A．5个B．4个C．3个D．无穷多个答案 B解析由题意可得B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，图中阴影部分表示的集合为∁U A∩B，所以∁U A∩B＝{－3，－2，－1,0}，阴影部分表示的集合所含元素的个数为4.4．(·苏北四市调研)若全集U＝R，集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|x2＋x－2>0}，则(∁U A)∩B＝()A．∅B．{x|x>1}C．{x|x<－2} D．{x|x>1或x<－2}答案 B解析因为A＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以∁U A＝{x|x≥1}．因为B＝{x|x2＋x －2>0}＝{x|x>1或x<－2}，所以(∁U A)∩B＝{x|x>1}．5．集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则下列关系中正确的是()A．M P B．P MC．M＝P D．M P且P M答案 A解析P＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}，当a＝2时，x＝1，而M中无元素1，P比M多一个元素．6．(·天津改编)设集合A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，集合B＝{x|x<b－2或x>2＋b ，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a －b |≤3C ．|a ＋b |≥3D ．|a －b |≥3答案 D解析 ∵A ⊆B ，∴b －2≥a ＋1或2＋b ≤a －1∴b －a ≥3或b －a ≤－3，即|b －a |≥3.选D7．(·新课标全国卷)已知集合A ＝{}x ||x |≤2，x ∈R ，B ＝{}x |x ≤4，x ∈Z ，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案 D解析 ∵A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，B ＝{x |0≤x ≤16，x ∈Z }，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z }＝{0,1,2}，故选D.二、填空题8．给出下列五个关系：①{1}∈{0,1,2}；②{1，－3}＝{－3,1}；③{0,1,2}⊆{1,0,2}；④∅∈{0,1,2}；⑤∅∈{0}．其中表示不正确的序号是________．答案 ①④⑤9．(·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合A @B 的对应关系如下表：答案 {,}10．已知集合A ＝{x ||x |≤a ，a ＞0}，集合B ＝{－2，－1,0,1,2}，且A ∩B ＝{－1,0,1}，则a 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 A ＝{x |－a ≤x ≤a }，根据题意可知1≤a ＜2.11．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．答案 10解析 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．12．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B ＝{1}，且A∩B＝∅，则A＝________.答案{3,4}解析根据题意画出韦恩图，得A＝{3,4}三、解答题13．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.答案(1)a＝5或a＝－3(2)a＝－3解析(1)∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A.∴2a－1＝9或a2＝9.∴a＝5或a＝±3.而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B.∴a＝5或a＝－3.而当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}≠{9}，故a＝5舍去．∴a＝－3.讲评9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B允许有其他公共元素．而{9}＝A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9.14．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．答案m∈(－∞，3]解∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|－2≤x≤5}，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，解得m<2.当B≠∅时，则{m＋1≤2m－1，－2≤m＋1，m－1≤5.解得2≤m≤3.空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A∪B＝B、A∩B＝A中，容易忽视A＝∅的情况．综上可知，m∈(－∞，3]．15．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)＜0}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．答案(1)43≤a≤2(2)a≤23或a≥4(3)3解析∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}．(1)当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，应满足{ a ≤a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足{ 3a ≤a ≥4⇒a ∈∅ ∴43≤a ≤2时，A B .(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43.∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3. 1．(·《高考调研》原创题)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，那么A ∩B 等于( )A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}答案 D解析 由题意得，集合A 与1对应的元素是1或－1，与2对应的元素是2或－2，所以，集合A 与集合B 至多有一个公共元素1，∴A ∩B ＝∅或{1}，故选D.2．(09·广东)已知全集U ＝R ，集合M ＝{}x |－2≤x －1≤2和N ＝{}x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个答案 B解析 M ＝{x |－2≤x －1≤2}＝{x |－1≤x ≤3}，N ＝{1,3,5，…}，∴M ∩N ＝{1,3}．故阴影部分共2个元素．3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( )A ．P ∪QB ．(∁U P )∪QC ．P ∪(∁U Q )D ．(∁U P )∪(∁U Q )答案 C4．(·山东师大附中)设全集为U ，在下列条件中，是B ⊆A 的充要条件的有________．(1)A∪B＝A(2)∁U A∩B＝∅(3)∁U A⊆∁U B(4)A∪∁U B＝U答案(1)(2)(3)(4)解析由韦恩图知(1)(2)(3)(4)均正确．5．(·重庆卷，理)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析依题意得A＝{0,3}，因此有0＋3＝－m，m＝－3.1．(·全国卷Ⅰ，文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝()A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}答案 C2．设全集U＝{某班的全体学生}，集合M＝{男生}，N＝{注射甲型H1N1流感疫苗的学生}，则集合P＝{注射甲型H1N1流感疫苗的女生}＝() A．(∁U M)∪N B．(∁U M)∪(∁U N)C．(∁U M)∩(∁U N) D．(∁U M)∩N答案 D3．设A、B、U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是() A．(∁U A)∪B＝U B．(∁U A)∪(∁U B)＝UC．A∩(∁U B)＝∅D．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B答案 B解析方法一：具体化法．设A＝{1}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3}．然后逐一检验方法二：利用韦恩图．4．(·江苏卷，理)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．答案 1解析由题意知，a2＋4＞3，故a＋2＝3，即a＝1，经验证，a＝1符合题意，∴a＝1.5．(·湖南，文改编)若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{ai1，ai2，…，ai n}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第11个子集为________．答案5{a1，a2，a5，a7，a8}解析此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝11，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又24大于11，故所求子集不含a5，a6，……，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，4)的值易推导所求子集为{a1，a2，a4}．6．(·四川卷，理)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x ＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①②解析①对，当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的实部与虚部均为整数；②对，当x＝y时，0∈S；③错，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S＝{0}⊆T，T＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此，真命题为①②.7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．若B⊆A，求由实数a的所有可能的值组成的集合，并写出它的所有非空真子集．解析首先化简集合A＝{3,5}，由B⊆A，B＝{x|ax－1＝0}．得：①若B＝∅，则a＝0；②若B≠∅，则a≠0，这时有1a＝3或1a＝5，即a＝13或15.综上所述，由实数a的所有可能的值组成的集合为{0，13，15}，其所有的非空真子集为{0}，{15}，{13}，{0，15}，{0，13}，{15，13}．。

【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业 第六章 专题研究一 理 新人教版1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项之和为( )A ．2n－1 B ．n ·2n－n C ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2答案 D解析 记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1，∴S n ＝n－2－1－n ＝2n ＋1－2－n .2．数列{a n }、{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.512 C.12 D.712答案 B 解析 b n ＝1a n ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2， S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512. 3．已知等差数列公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1可化简为( )A.nda 1a 1＋ndB.na 1a 1＋ndC.da 1a 1＋ndD.n ＋1a 1[a 1＋n ＋d ]答案 B 解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝na 1·a n ＋1，选B4．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2008的值为( )A.20052006B.20062007C.20072008D.20082009答案 D解析 直线与x 轴交于(2n，0)，与y 轴交于(0，2n ＋1)， ∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12008－12009)＝1－12009＝20082009.5．(2011·安徽文)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.6．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________. 答案 5050解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＋2＝5050.7．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1n2－1＝________. 答案n 2n ＋1解析 通项a n ＝1n2－1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 8．(2010·《高考调研》原创题)某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数共有______．答案 255解析 当n 为偶数时，由题易得a n ＋2－a n ＝2，此时为等差数列；当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，此时为常数列，所以该医院30天内因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数总和为S 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255.9．(2012·合肥第一次质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和S n ，求使得S n >21－2n 成立的最小整数n . 解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3·2n －2，a n －1－a n －2＝3·2n －3，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，累加得a n －a 1＝3·2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3·2n －1－2，又当n ＝1时，也满足上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.(2)由(1)利用分组求和法得，S n ＝3(2n －1＋2n －2＋…＋2＋1)－2n ＝3(2n －1)－2n ，由S n ＝3(2n－1)－2n >21－2n ， 得3·2n >24，即2n>8.∴n >3，∴使得S n >21－2n 成立的最小整数n ＝4.10．数列{a n }的前n 项和为S n ＝10n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和．答案 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10nn ；n 2－10n ＋50n解析 易求得a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)． 令a n ≥0，得n ≤5；令a n ＜0，得n ≥6. 记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，则： (1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝10n －n 2. (2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5－a 6－a 7－…－a n＝2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.综上，得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n n ；n 2－10n ＋50n11．(2012·皖南八校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，有2S n ＝2a 2n ＋a n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)2S n ＝2a 2n ＋a n －1,2S n ＋1＝2a 2n ＋1＋a n ＋1－1，两式相减得：2a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋1－a n )⇒(a n ＋1＋a n )(2a n ＋1－2a n －1)＝0.∵a n >0，∴2a n ＋1－2a n －1＝0.∴a n ＋1＝a n ＋12.∴数列{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列，∴a n ＝n ＋12.(2)b n ＝a n 2n ＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋425＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.12．已知数列{a n }的各项均是正数，其前n 项和为S n ，满足(p －1)S n ＝p 2－a n ，其中p 为正常数，且p ≠1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12－log p a n (n ∈N *)，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.解析 (1)由题意知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得a 1＝p ，由⎩⎪⎨⎪⎧p －S n ＝p 2－a n ，p －S n ＋1＝p 2－a n ＋1，得(p －1)(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1.所以(p －1)a n ＋1＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝1pa n ，可见，数列{a n }是首项为a 1＝p ，公比为1p 的等比数列，故a n ＝p (1p)n －1＝p 2－n.(2)∵b n ＝12－log p p 2－n ＝12－－n ＝1n ， ∴b n b n ＋2＝1nn ＋＝12(1n －1n ＋2)， ∴T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2＝12[(11－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34.1．(2011·辽宁理)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列{a n 2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n，所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n2n＝n2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列{a n 2n －1}的前n 项和S n ＝n2n －1.2．(2011·全国新课标)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解析 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.故1b n ＝－2nn ＋＝－2(1n －1n ＋1)．1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.3．已知数列{a n }为等比数列．T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4(1)求{a n }的通项公式； (2)求{T n }的通项公式． 解析 (1)T 1＝a 1＝1，T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2，∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2， ∴a n ＝2n －1.(2)解法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －1①2T n ＝n ·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n② ②－①得T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋－2n1－2＝－n ＋2n ＋1－2＝2n ＋1－n －2.解法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ∴S n ＝1＋2＋…＋2n －1＝2n－1，∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋ (2))－n ＝－2n1－2－n＝2n ＋1－n －2.4．设数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 3，a 5分别是方程x 2－14x ＋45＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋12n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)因为方程x 2－14x ＋45＝0的两个根分别为5、9，所以由题意可知a 3＝5，a 5＝9，所以d ＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝a n ＋12n ＋1＝n ·12n ，∴T n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ·12n ①，∴12T n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ·12n ＋1 ②， ①－②得，12T n ＝12＋12＋12＋…＋12＋12－n ·12＝1－n ＋22，所以T n ＝2－n ＋22.1．已知数列{1n ＋n ＋1}的前n 项和S n ＝9，求n 的值．解析 记a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，则：a 1＝2－1，a 2＝3－2，a 3＝4－3，…，a n ＝n ＋1－n . ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. 令n ＋1－1＝9，解得n ＝99.2．(2011·山东理)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意． 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln2＋(n －1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln3＝3n＋n 2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋(n －12－n )ln3＝3n－n －12ln3－ln2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln3－1，n 为偶数，3n－n －12ln3－ln2－1，n 为奇数.3．(2011·安徽理)在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)， ∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1.另一方面，利用 tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝k ＋－tan k1＋k ＋k，得tan(k ＋1)·tan k ＝k ＋－tan ktan1－1.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式； (2)设数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <14； (3)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝2009？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．分析 本题第(1)问是由已知数列{a n }中S n 与a n 的关系式求a n 的一种基本题型，可利用当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的递推关系求解；第(2)问可先通过裂项相消法求和，再放缩求解，并注意到T n ≥T 1＝15；第(3)问先将S n 变形为S n n的形式(n ∈N *)，求和后再判断n 的存在性．解析 (1)由a n ＝S nn＋2(n －1)， 得S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1n －n ＋＝14[(1－15)＋(15－19)＋(19－113)＋…＋(14n －3－14n ＋1)]＝14(1－14n ＋1)＝n 4n ＋1<n 4n ＝14.又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，于是，15≤T n <14.(3)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S nn＝2n －1(n ∈N *)，∴S1＋S22＋S33＋…＋S nn－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2009，得n＝1005，即存在满足条件的自然数n＝1005.。