高考数学一轮复习 34课时作业

课时作业(三十四) 一元二次不等式A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1} 3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________. 9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)axx －2＞1(a ＜1)．11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17，(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N ＋在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十四)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x . 又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6， 即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4，由题意得a 2＋1＜2a ＋4， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0， ∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 又1＋m ＝6a ，∴m ＝2.答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}． (2)原不等式可化为(a －1)x ＋2x －2＞0，因为a ＜1，所以a －1＜0.故原不等式化为x ＋2a －1x －2＜0，等价于⎝⎛⎭⎫x ＋2a －1(x －2)＜0.当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2＜x ＜21－a ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪21－a ＜x ＜2. 11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1得a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0 或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【原卷版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.183.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.34.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.845.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.9.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A,乙小组研发芯片B,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.8411.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =1612.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________. 13.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.14.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【解析版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P( )=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为() A.78B.34C.14D.18【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,若该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-1- 3=6364,解得p=34.3.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=511,由此知,B正确;P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,由此知A,C 不正确.6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )【解析】选BC.由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件 包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以P( )=P( C)+P(B )+P( ),则P( )>P( C)+P(B ),所以C正确;由题可知,P( C)=1-·1 = -1 ,P(B )=1 ·1-= -1 ,因为a,b∈N*,a>b>1,所以 -1 > -1 ,即P( C)>P(B ),故D错误.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.【解析】设事件A 为“周二晚上值班”,事件B 为“周三晚上值班”,则P (A )=C 61C 72=27,P (AB )=1C 72=121,故P (B |A )= ( ) ( )=16.答案:168.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.【解析】(1)设第一次击中为事件A ,第二次击中为事件B ,则P (A )=45,由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45.(2)设仅击中一次为事件C ,则仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B |C )=15×45825=12.答案:(1)45(2)129.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A ,乙小组研发芯片B ,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【解析】(1)甲小组研发芯片A 成功的概率为p 1=15×12=110,乙小组研发芯片B 成功的概率为p 2=35×23=25,由于甲、乙两个小组的研发相互独立,所以A ,B 两种芯片都研发成功的概率P=p1·p2=110×25=125.(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功,根据对立事件可知获奖的概率: P=1-(1-p1)(1-p2)=1-(1-110)(1-25)=1-910×35=2350.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84【解析】选C.依题意,在这段时间内,甲乙都不去参观博物馆的概率为P1=1-0.6×1-0.5=0.2,所以在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P=1-P1=1-0.2=0.8.11.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =16【解析】选D.将4名志愿者分配到三座体育馆,每座体育馆至少派1名志愿者,共有C42C21A22·A33=36种安排方案;志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心,各有C32A22+A33=12种方案,所以P =P =P(C)=1236=13;志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心,有A22=2种方案,所以P =236=118;志愿者甲派往黄龙体育中心且志愿者乙派往杭州奥体中心,有1+C21C21=5种方案,所以P =536;对于A,因为P ≠P P ,所以事件A与B不相互独立,A错误;对于B,因为P =536≠0,所以事件A与C不是互斥事件,B错误;对于C,P =53613=512,C错误;对于D,P =11813=16,D正确.12.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件有n(A)=C21×C63+C62×C22=55,事件B所包含的基本事件有n(B)=C41×C43=16,所以P | = ( ) ( )= ( ) ( )=1655.答案:165513.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.【解析】由题知,P (A )=13,P (B )=34,P (A + )=P +P -P =12,即13+14-P =12,则P (A )=112.因为P +P P ,所以P =13-112=14,则P (B |A =1413=34.答案:1123414.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P 1=110,P 2=19,P 3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-(1-110)(1-19)(1-18)=310.(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ,“人工抽检合格”为事件B ,则P (A )=910,P (AB )=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )= ( )( )=710910=79.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.【解析】设A i表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(1-0.03)+13×(1-0.02)≈0.973. (2)P(A2|B)= ( 2 ) ( )= ( 2) ( | 2)( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25.。

课时作业(三十四) 第34讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题时间：45分钟 分值：100分基础热身1．已知点P (3,1)、Q (4，－6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－24,7) B ．(7,24)C ．(－7,24)D ．(－24，－7)2．2011·陕西长安一中五测 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝2x ＋4y 的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．143．2011·广东卷 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝·的最大值为( )A ．4 2B ．3 2C ．4D ．34．2011·浙江卷 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19能力提升5．2011·湖南十二校二模 定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图像如图K34－1所示．若两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，13 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，5 D ．(－∞，3)6．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 最小值的取值范围是－2，－1，则目标函数最大值的取值范围是( )A ．1,2B ．3,6C ．5,8D ．7,107．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝xyx 2＋y2的最小值是( ) A ．2 B.12C.103D.3108．2011·江西“八校”联考 已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2确定的平面区域内，则点N (a＋b ，a －b )所在平面区域的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．89．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )A ．500元B ．700元C ．400元D ．650元10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图像经过区域M ，则实数k 的取值范围是________．11．2011·课标全国卷 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．12．2010·安徽卷 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．13．2010·陕西卷 铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产2，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．14．(10分)设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y )所在的平面区域．15．(13分)2010·广东卷 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？难点突破16．(1)(6分)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0D ．(－2,4)(2)(6分)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3>0，2x ＋3y －6<0，3x －5y －15<0的整数解的个数是( )A ．2B ．4C ．5D ．7课时作业(三十四)【基础热身】1．D 解析 由已知(9－2＋a )(12＋12＋a )<0，即(a ＋7)·(a ＋24)<0，解得a ∈(－24，－7)．2．C 解析 不等式组所表示的平面区域，如图中的△ABC ，根据目标函数的几何意义，z 4为直线y ＝－12x ＋z4在y 轴上的截距，故目标函数在点C 处取得最大值，点C 是直线x －y ＝－1，x ＋y ＝4的交点，解这个方程组得C ⎝⎛⎭⎫32，52，故z max ＝2×32＋4×52＝13.3．C 解析 z ＝·＝(x ，y )·(2，1)(如图)，显然当z ＝2x ＋y 经过B (2，2)时，z 取最大值，即z max ＝2＋2＝4.4．B 【解析】 可行域如图所示：联立⎩⎨⎧ x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y过点(4,1)时，有最小值16.【能力提升】5．C 解析 根据导数与函数单调性的关系，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (2a ＋b )<1＝f (4)，即2a ＋b <4且a >0，b >0，点(a ，b )所表示的平面区域如图．求解目标的几何意义是区域OAB 内部的点与点P (－1，－1)连线的斜率，显然这个斜率值介于PA ，PB 的斜率之间，而PA 的斜率为13，PB 的斜率为5，故所求的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，5.6．B 解析 x ，y z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大时．当z 的最小值为－1时，直线为y ＝x ＋1，此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z ＝－2时，直线y ＝x ＋2，此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是5,8．目标函数的最大值在点B (m －1,1)取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数最大值的取值范围是3,6．7．D 解析 如图，实数x ，y 的区域是△ABC ，其中点A 的坐标是(3,1)，点C 的坐标是(1,2)，故t ＝yx的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，2，故u ＝xy x 2＋y 2＝1x y ＋y x ＝1t ＋1t，关于t 的函数f (t )＝t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递减，在1,2单调递增，故其最小值为1＋11＝2，最大值为两个端点值中较大的一个即3＋13＝103，故u 的取值范围是⎣⎡⎦⎤31012，即最小值是310.8．C 解析 令⎩⎨⎧a ＋b ＝u ，a －b ＝v ，则有⎩⎨⎧a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，由点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，确定的平面区域内，得⎩⎪⎨⎪⎧u ＋v ≥0，u －v ≥0，0≤u ≤2，所以点N 所在平面区域为图中的阴影部分．所以该平面区域的面积为S ＝12×4×2＝4.9．D 解析 设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *.利润z ＝30x＋20y .不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线2x ＋3y ＝60和直线4x ＋2y ＝80的交点B 处取得最大值，解方程组得B (15,10)，代入目标函数得z max ＝30×15＋20×10＝650.10.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析 作出平面区域，如图．因为函数y ＝k (x ＋1)＋1的图像是过点P (－1,1)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点A (1,2)时，k 取最大值12，当直线l 过点B (3,0)时，k 取最小值－14，故k ∈⎣⎡⎦⎤－14，12.11．－6 解析 由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入，得z ＝4＋2×(－5)＝－6.12．4 解析 作出平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，如图中的阴影部分，由图知，当直线z ＝abx ＋y 过点A (1,4)时，z ＝abx ＋y 取得最大值8，即8＝ab ＋4，即2ab ＝4，等号当且仅当a ＝b ＝2时取得．13．15 解析 设分别购买铁矿石A ，铁矿石z ＝3x ＋6y . 则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.画出不等式组表示的平面区域(如图)，由⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得A (1,2)．易知当x ＝1，y ＝2时，z min ＝3×1＋614．解答 (1)已知条件即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0，y ＋1－x －y >x >0，化简即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12<y <－x ＋1，0<y <12，0<x <12.(2)区域如下图．15．解答 设为该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y ，且满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，y ≥0，作直线l ：2.5x ＋4y ＝0，平移直线l 至l 0，当l 0经过C 点时，可使z 达到最小值．由⎩⎨⎧3x ＋5y ＝27，x ＋y ＝7⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，即C (4,3)，此时z ＝2.5×4＋4×3＝22，答：午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少为22元． 【难点突破】16．(1)B (2)B 解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2所表示的平面区域如图中的区域M ，目标函数z ＝ax ＋2y 变换为y ＝－a 2x ＋z 2，显然z 是直线系y ＝－a 2＋z2在y 轴上截距的2倍，根据这个几何意义，直线系只能与区域M 在点(1,0)处有公共点，即直线系y ＝－a 2x ＋z 2的斜率－a2∈(－1,2)，故a ∈(－4,2)．但如果具体问题具体分析，本题还有更为简捷的方法，我们知道目标函数取最值的点只能是区域的顶点或边界线上，本题中区域的三个顶点坐标分别是(1,0)，(0,1)，(3,4)，目标函数在这三个顶点的取值分别是a,2,3a ＋8，根据题目要求这三个值应该a 最小，即a <2，a <3a ＋8，即－4<a <2.(2)l 1：2x －y －3＝0，l 2：2x ＋3y －6＝0，l 3：3x －5y －15＝0，且l 1∩l 2＝A ，l 1∩l 3＝B ，l 2∩l 3＝C ，由A ⎝⎛⎭⎫158，34，B (0，－3)，C ⎝⎛⎭⎫7519，－1219，作出不等式组表示的平面区域，如图所示．可以看出区域内点的横坐标在区间⎝⎛⎭⎫0，7519内，取x ＝1,2,3，当x ＝1时，代入原不等式组，有⎩⎨⎧y <－1，y <43，y >－125，得－125<y <－1.∴y ＝－2，区域内有整点(1，－2)． 同理可求得另外有三个整点为(2,0)，(2，－1)，(3，－1)．故不等式组的整数解是(1，－2)，(2,0)，(2，－1)，(3，－1)．。

高考数学总复习 课时作业34 新人教版1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <0C ．－2<a ≤0D ．－2<a <23答案 D解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x ＋a 2)2＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0.∴3a 2＋4a －4<0⇒－2<a <23.2．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.3．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是 A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析∵圆心在抛物线上， ∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A 、B 、C 、D 项， 仅D 项x 、y 前系数符合条件．4．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为 A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)答案 D解析r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．5．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是 A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．6．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 D解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2，选D.7．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13答案 C解析 方法一 (待定系数法)设出圆的方程求解．方法二 (排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.8．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( ) A. 2 B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.9．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1)∪(1,3) B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3)答案 A解析a ≥0时，若存在两点到原点距离为 2. ∴圆上距原点最近点d <2，最远点32<d <5 2. ∴最近点(a －2，a －2)，最远点(a ＋2，a ＋2)． ∴a －22＋a －22<2，32<a ＋22＋a ＋22<5 2.∴a ∈(1,3)．同理a <0时有a ∈(－3，－1)． 综上a ∈(－3，－1)∪(1,3)．10．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C ．(x ＋6)2＋(y ＋73)2＝499D ．(x ＋23)2＋(y ＋73)2＝499答案 A解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由于圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，令x ＝0，得(y －b )2＝b 2－a 2，此时在y 轴上截得的弦长为|y 1－y 2|＝2b 2－a 2，由已知，得2b2－a 2＝25，即b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去)．所以，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.11．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2x上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B两点，则△OAB 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 C解析 设圆心C 的坐标是(t ，2t)．∵⊙C 过坐标原点，∴|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t.∴B 点的坐标为(0，4t)；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴A 点的坐标为(2t,0)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即OAB 的面积为4.12．(2013·衡水调研)从原点O 向圆：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．已知两点A (－1,0)、B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值是________．答案12(4＋5)，12(4－5)解析 如图所示，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到AB 的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52和2－52. 14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2. 即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一 圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1.∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二 2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1. ∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.16．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 答案 (1)(6,8) (2)(x －1)2＋(y －3)2＝10解析 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10.∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.1．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解析 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧－1－1－b2＋D －1－1－b ＋F ＝0，－1＋1－b 2＋D －1＋1－b ＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－b ＋1，F ＝b ，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上． 因此，圆C 过定点．。

课时作业(三十四)一、选择题1．(2012年海淀区一模)在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.116B.18C.14D.12解析：在等比数列{a n }中a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.答案：B2．(2012年新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.若a 4＝4，a 7＝－2⇒a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7；若a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7. 答案：D3．(2013年长春调研测试)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a n －1·a n ·a n ＋1＝a 31·q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.答案：C4．(2012年安徽)公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝ A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：a 3a 11＝16⇔a 27＝16⇔a 7＝4⇒a 16＝a 7×q 9＝32⇔log 2a 16＝5. 答案：B5．(2012年徐州联考)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：设等比数列的项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则S 奇＝85，S 偶＝170，所以q ＝2，因此1－4n1－4＝85，解得n ＝4，故这个等比数列的项数为8. 答案：C6．(2013年厦门质检)设数列{2n －1}按“第n 组有n 个数(n ∈N *)”的规则分组如下：(1)，(2,4)，(8,16,32)，…则第100组中的第一个数是( )A ．24 951B ．24 950C ．25 051D ．25 050解析：前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝4 950，第100组中的第一个数24 950.答案：B 二、填空题7．(2013年济南质检)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则a 11a 7＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 6＝3，a 1q ·a 1q 7＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q2＋q 4＝3， ①a 21q 8＝2， ②由①知a 1>0，又{a n }为递增数列，∴q >1. ①2除以②得：＋q42q4＝92， 解得q 4＝2或q 4＝12(舍)，∴a 11a 7＝q 4＝2. 答案：28．(2012年莆田一模)若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2012年兰州模拟)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2. 由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12(2×54－a 4)＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案：31 三、解答题10．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1－q n1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1－q 41－q＝5×a 1－q 21－q ， ②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，所以q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 所以通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，所以通项公式a n ＝12×(－2)n －1.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．12．(2012年西安质检)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋＋a 3＋2＝3a 2，解得a 2＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1， ∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项是a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n， ∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2， 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴数列{b n }是等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n＋3n 2＝3n n ＋2ln 2.故T n ＝3n n ＋2ln 2.[热点预测]13．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为A.5＋12B.5－12C ．－1－52D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q ，q >0，由已知得a 1＋a 2＝a 3， 即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，q 2－q －1＝0， 解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 4＋a 5a 3＋a 4＝a 3＋a 4q a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案：A14．等比数列{a n }中，q ＝2，S 99＝77，则a 3＋a 6＋…＋a 99＝________. 解析：∵S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1q＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)， ∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝44. 答案：4415．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：证明：(1)∵S n ＝1＋ka n ，S n －1＝1＋ka n －1，①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝kk －1为常数，n ≥2， ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k， ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }为首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .。

专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。

题组层级快练3.3.1导数的应用--极值与最值一、单项选择题1．(2021·辽宁沈阳一模)设函数f(x)＝xe x＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝ae x－sinx在x＝0处有极值，则a的值为() A．－1B．0C．1D．e3．函数f(x)＝12x－sinx在0，π2上的最小值和最大值分别是()A.π6－32，0 B.π4－1，0 C.π6－32，π4－1D．－12，124．(2021·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为()A．0 B.1e C.4e4D.2e25．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝07．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()二、多项选择题8．已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0<a<3D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为159．(2021·山东临沂期末)已知函数f(x)＝x＋sinx－xcosx的定义域为[－2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点三、填空题与解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．11．(2021·内蒙古兴安盟模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．12．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．13．(2021·广东省高二期末)已知函数f(x)＝13x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值与最小值．14．已知函数f(x)＝(x2－2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值．15．(2021·天水一中诊断)若函数f(x)＝ax22－(1＋2a)·x＋2lnx(a>0)a的取值范围是()B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)16．(2016·北京)设函数f(x)3－3x，x≤a，2x，x>a.(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．17．(2020·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．3.3.1导数的应用--极值与最值参考答案1．答案D解析由f(x)＝xe x ＋1，可得f ′(x)＝(x ＋1)e x ，令f ′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；令f ′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以x ＝－1为f(x)的极小值点．故选D.2．答案C解析f ′(x)＝ae x －cosx ，若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意．故选C.3．答案A解析函数f(x)＝12x －sinx ，f ′(x)＝12－cosx ，令f ′(x)>0，解得π3＜x ≤π2，令f ′(x)<0，解得0≤x<π3，所以f(x)在0，π2上单调递增，所以f(x)min ＝＝π6－32，而f(0)＝0，＝π4－1<0，故f(x)在区间0，π2上的最小值和最大值分别是π6－32，0.故选A.4．答案A解析f ′(x)＝1－xe x，当x ∈[0，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1，4]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.故选A.5．答案A解析f ′(x)＝3x 2－3，令f ′(x)＝0，得x ＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0.∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点，（－1）＝2＋a>0，（1）＝a －2<0，∴－2<a<2.故选A.6．答案D解析y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.故选D.7．答案C解析由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0；当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0；当x ＞0时，f ′(x)＞0，则xf ′(x)＞0.故选C.8．答案ABC解析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．y ＝x 3为R 上的奇函数，其图象的对称中心为原点，当a ＝0时，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)，A 正确；由题意知f ′(x)＝3x 2－a ，因为当－1<x<1时，3x 2<3，又a ≥3，所以f ′(x)<0在(－1，1)上恒成立，所以函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，B 正确；f ′(x)＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x)≥0，f ′(x)不恒等于0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意，故a>0.令f ′(x)＝0，解得x ＝±3a3.因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以f ′(x)＝0在(－1，1)上有解，所以0<3a3<1，解得0<a<3，C 正确；令f ′(x)＝3x 2－12＝0，得x ＝±2.根据函数的单调性，f(x)在[－4，5]上的最大值只可能为f(－2)或f(5)．因为f(－2)＝15，f(5)＝64，所以最大值为64，D 错误．故选ABC.9．答案ABD解析A 显然正确；∵f(x)＝x ＋sinx －xcosx ，∴f ′(x)＝1＋cosx －(cosx －xsinx)＝1＋xsinx.当x ∈[0，π)时，f ′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f ′(0)≠0，令f ′(x)＝0，得sinx ＝－1x ，分别作出函数y＝sinx ，y ＝－1x的图象如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上有4个极值点，且只有2个极大值点．10．答案18解析f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 1）＝10，1）＝0，2＋a ＋b ＋1＝10，＋b ＋3＝0，＝4，＝－11＝－3，＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值，故舍去．当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 3＋4x 2－11x ＋16，f(2)＝18.11．答案－37解析由已知可得，f ′(x)＝6x 2－12x ，由6x 2－12x ≥0得x ≥2或x ≤0，因此当x ∈[2，＋∞)，(－∞，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，又因为x ∈[－2，2]，所以当x ∈[－2，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(0)＝m ＝3，故有f(x)＝2x 3－6x 2＋3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.因为f(－2)＝－37＜f(2)＝－5，所以函数f(x)的最小值为f(－2)＝－37.12．答案－3解析令f(x)＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2.令g(x)＝2x ＋1x 2(x>0)，g ′(x)＝2－2x 3>0⇒x>1⇒g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵有唯一零点，∴a ＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x 3－3x 2＋1.求导可知在[－1，1]上，f(x)min ＝f(－1)＝－4，f(x)max ＝f(0)＝1，∴f(x)min ＋f(x)max ＝－3.13．答案(1)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)(2)函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73思路(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，根据单调性可得最大最小值．解析(1)f ′(x)＝x 2－4，由f ′(x)>0，得x>2或x<－2；由f ′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，因为f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝13×23－4×2＋3＝－73，f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋3＝253，f(5)＝13×53－4×5＋3＝743，所以函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73.14．答案略解析(1)f(x)＝(x 2－2x)e x ，求导得f ′(x)＝e x (x 2－2)．因为e x >0，令f ′(x)＝e x (x 2－2)>0，即x 2－2>0，解得x<－2或x> 2.令f ′(x)＝e x (x 2－2)<0，即x 2－2<0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减．即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)①当0<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在区间[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(m)＝(m 2－2m)e m .②当2<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(0)＝f(2)＝0，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.③当m>2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(m)>0＝f(0)，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)＝(m 2－2m)·e m ，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.15．思路把函数f(x)题，然后再通过分离参数的方法求出参数a 的取值范围．答案C 解析由f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0，x ＞0)，得导数f ′(x)＝ax －(1＋2a)＋2x(x ＞0)，∵函数f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0)∴方程ax －(1＋2a)＋2x＝0∴a ＝1x 在区间故a ＝1x∈(1，2)，则a 的取值范围是(1，2)．故选C.评说涉及函数的极值问题，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想．16．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)若a ＝0，则f(x)3－3x ，x ≤0，2x ，x>0，当x>0时，－2x<0；当x ≤0时，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x－1)，令f ′(x)>0，得x<－1，令f ′(x)<0，得－1<x ≤0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，0]上的最大值为f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，由图可知当f(x)无最大值时，a ∈(－∞，－1)．17．答案(1)极小值点为x ＝1e，无极大值点(2)当a ≤1时，g(x)min ＝0，当1<a<2时，g(x)min ＝a －e a －1，当a ≥2时，g(x)min ＝a ＋e －ae 解析(1)f ′(x)＝lnx ＋1，x>0，由f ′(x)＝0，得x ＝1e .所以f(x)所以x ＝1e 是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx －a(x －1)，则g ′(x)＝lnx ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g(x)单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g(x)单调递增．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1<e a－1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a－1)＝a－e a－1.当e a－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)单调递减，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－e a－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练34数学归纳法理新人教B版______年______月______日____________________部门基础巩固组1.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n边形的内角和是(n-2)·180°.A.①②B.①③C.①②④D.②④2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误3.(20xx北京丰台一模,理8)在一次猜奖游戏中,1,2,3,4四扇门里摆放了a,b,c,d四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说:1号门里是b,3号门里是c;乙同学说:2号门里是b,3号门里是d;丙同学说:4号门里是b,2号门里是c;丁同学说:4号门里是a,3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半,那么4号门里是( )A.aB.bC.cD.d〚导学号21500738〛4.①已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为lr;②由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n2,则①②两个推理过程分别属于( )A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理5.(20xx河北石家庄质检)某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( )A.今天是周六B.今天是周四C.A车周三限行D.C车周五限行6.从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )A.2 011B.2 012C.2 013D.2 0147.下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇8.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=,n∈N*,则b2018= .9.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.10.下面图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是.11.(20xx四川成都高三一诊,理15)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,图①是一个形状不规则的封闭图形,图②是一个上底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时,直线y=t被图①和图②所截得的两线段长始终相等,则图①的面积为.〚导学号21500739〛12.36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得100的所有正约数之和为.综合提升组13.(20xx河北衡水中学三调,理9)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起,他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种,有一种语言是三人都会说的,但没有一种语言人人都懂,现知道:①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩都能自由交谈;②四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈;③甲、乙、丙、丁交谈时,找不到共同语言沟通;④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他都能做翻译.针对他们懂的语言,正确的推理是( )A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.(20xx北京海淀期末,理8)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90° ,记Ti(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是( )A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数15.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( )①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.①②B.③④C.①④D.②③16.如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,……,则在第二十个拐弯处的正整数是.〚导学号21500740〛创新应用组17.(20xx山东临沂一模,理12)对于大于1的自然数m的三次方幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,……,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是31,则m的值为.18.(20xx河北邯郸一模)已知三个命题p,q,m中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断:A:p是真命题;B:p∨q是假命题;C:m是真命题.老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,则三个命题p,q,m中的真命题是.参考答案课时规范练34 合情推理与演绎推理1.C ①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.2.C 因为大前提的形式:“有些有理数是无限循环小数”,不是全称命题,所以不符合三段论的推理方式,所以推理形式错误,故选C.3.A 根据题意,若甲同学猜对了1-b,则乙同学猜对了3-d,丙同学猜对了2-c,丁同学猜对了4-a;若甲同学猜对了3-c,则乙同学猜对了2-b,丙同学猜对了4-b,这与2-b相矛盾.综上所述4号门里是a,故选A.4.A ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;②由特殊到一般,此种推理为归纳推理,故选A.5.B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四,故选B.6.B 根据题干图所示的规则排列,设第一层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=2 012,得a=212,是自然数.故选B.7.B 从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理,故选B.8. 由题意b1=1-a1=,bn+1=.∴b2=,b3=,b4=,…,∴bn=,则b2 018=.9.1和3 由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.10. 由题图知第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n=.11. 类比祖暅原理可得两个图形的面积相等,梯形面积为S=(1+2)×3=,所以图①的面积为.12.217 类比36的所有正约数之和的方法,有:100的所有正约数之和可按如下方法得到:因为100=22×52,所以100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)=217.可求得100的所有正约数之和为217.13.A 由条件①知丁会说日语,故B错误;由条件②知会说日语和法语的不能是同一人,故D错误;由条件③知四人不能有共同懂的语言,故C 错误;只有A符合题意,故选A.14.A 根据题意可知:(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)>0,又(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)去掉括号即得:(x1+x2+x3+x4)(y1+y2+y3+y4)=T1+T2+T3+T4>0,所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数,故选A.15.B 经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).16.211 观察题图可知,第一个拐弯处2=1+1,第二个拐弯处4=1+1+2,第三个拐弯处7=1+1+2+3,第四个拐弯处11=1+1+2+3+4,第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5,发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第二十个拐弯处的正整数就是1+1+2+3+…+20=211.17.6 ∵23=3+5,是从3开始的2个奇数的和;33=7+9+11,是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和;……而31之前(包括31)除了1以外的奇数有15个,又2+3+4+5=14,∴63=31+33+35+37+39+41.故m的值应为6.18.m ①若A是错误的,则p是假命题,q是假命题,m是真命题,满足条件;②若B是错误的,则p与q至少有一个是真命题.又m是真命题,不满足条件;③若C是错误的,则p是真命题,p∨q不可能是假命题,不满足条件.故真命题是m.11 / 11。

专题层级快练 3.3.3利用导数研究函数的零点一、单项选择题1．若a>1e，则方程lnx－ax＝0的实根的个数为()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个2．已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为()A．1B．2C．3D．43．(2021·山东高考实战演练仿真卷)若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为()A．[－4，0]B．(1，28]C．[－4，0)∪(1，28]D．[－4，0)∪(1，28)二、解答题4．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．5．(2021·东北四校联考)已知f(x)＝1x＋e xe－3，F(x)＝lnx＋e xe－3x＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．6．(2020·课标全国Ⅰ，文)已知函数f(x)＝e x－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．7．(2021·山东潍坊十月月考)设函数f(x)＝x2－(a－2)·x－alnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点，求正整数a的最小值．8．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)a的取值范围．3.3.3利用导数研究函数的零点参考答案1．答案A 解析由于方程lnx －ax ＝0等价于lnx x＝a(x ＞0)．设f(x)＝lnx x .∵f ′(x)＝1x ·x －lnx x2＝1－lnx x 2(x ＞0)，令f ′(x)＝0，得x ＝e ，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．∴f(x)的最大值为f(e)＝1e.∴f(x)＝lnx x ≤1e(当且仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a>1e，∴原方程无实根．故选A.2．答案D 解析根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1<a<2，所以y ＝f(x)－a 的零点个数为4.3．答案C 解析设f(x)＝2x 3－3x 2＋a ，可得f ′(x)＝6x 2－6x ＝6x(x －1)，x ∈[－2，2]，令f ′(x)≥0，可得－2≤x ≤0或1≤x ≤2，令f ′(x)<0，可得0<x<1，可得函数f(x)的单调递增区间为[－2，0]，[1，2]，单调递减区间为(0，1)，由函数f(x)在区间[－2，2]上仅有一个零点，f(－2)＝a －28，f(0)＝a ，f(1)＝a －1，f(2)＝a ＋4，若f(0)＝a ＝0，则f(x)＝x 2(2x －3)，显然不符合题意，故f(0)≠0，（－2）＝a －28≤0（0）＝a>0（1）＝a －1>00）＝a<0，2）＝a ＋4≥0，可得1<a ≤28或－4≤a<0.故选C.4．答案(1)当a>0时，h(x)1a ，＋∞a ≤0时，h(x)在(0，＋∞)上单调递减(2)ln22，解析(1)h(x)＝ax 2－2lnx ，其定义域为(0，＋∞)，所以h ′(x)＝2ax －2x ＝2（ax 2－1）x(x ＞0)．①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1a ，由ax 2－1＜0，得0＜x ＜1a，故当a ＞0时，h(x)在区间(1a ，＋∞)上单调递增，在区间(0，1a )上单调递减．②当a ≤0时，h ′(x)＜0(x ＞0)恒成立．故当a ≤0时，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2lnx x 2在区间[2，e]上有两个不相等的解．令φ(x)＝2lnx x 2，由φ′(x)＝2x （1－2lnx ）x4易知，φ(x)在[2，e)上为增函数，在(e ，e]上为减函数，则φ(x)max ＝φ(e)＝1e，而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln22.由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln22＝4－e 2ln22e 2＝lne 4－ln2e 22e2＜0，所以φ(e)＜φ(2)．所以φ(x)min ＝φ(e)，如图可知φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需ln22≤a ＜1e.即f(x)＝g(x)在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为ln22，5．答案(1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增(2)3个解析(1)f ′(x)＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －e ex2，令f ′(x)＞0，解得x ＞1，令f ′(x)＜0，解得0＜x ＜1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)F ′(x)＝1x ＋e x e－3＝f(x)(x ＞0)，由(1)得f(x)min ＝f(1)＝－1，则∃x 1，x 2，满足0＜x 1＜1＜x 2，使得f(x)在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，F(x)→＋∞，画出函数F(x)的草图，如图所示．故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．6．答案(1)f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增(2)1e，＋∞解析(1)当a＝1时，f(x)＝e x－x－2，则f′(x)＝e x－1.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．故当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a(1＋lna)．(ⅰ)若0<a≤1e，则f(lna)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在1个零点，不合题意．(ⅱ)若a>1e，则f(lna)<0.由于f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，lna)上存在唯一零点．由(1)知，当x>2时，e x－x－2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝e x2·e x2－a(x＋2)>e ln(2a)x2＋2－a(x＋2)＝2a>0.故f(x)在(lna，＋∞)上存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．综上，a的取值范围是1e，＋∞7．答案(1)见解析(2)3解析(1)f′(x)＝2x－(a－2)－a x＝2x2－（a－2）x－ax＝（2x－a）（x＋1）x(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．当a>0时，由f ′(x)>0，得x>a 2；由f ′(x)<0，得0<x<a 2，所以，函数f(x)(2)由(1)知，如果函数f(x)有两个零点，则a>0，且，这是因为当x →0或x →＋∞时均有f(x)→＋∞.所以－a 2＋4a －4aln a 2<0，即a ＋4ln a 2－4>0，令h(a)＝a ＋4ln a 2－4，可知h(a)在区间(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln 32－1＝ln 8116－1>0，所以存在a 0∈(2，3)，使h(a 0)＝0.当a>a 0时，h(a)>0；当0<a<a 0时，h(a)<0.所以，满足条件的最小正整数a ＝3.8．答案(1)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)(2)[2－3ln3，＋∞)解析(1)当a ＝1时，f(x)＝x －1－2lnx ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝1－2x ＝x －2x ，由f ′(x)＞0，得x ＞2，由f ′(x)＜0，得0＜x ＜2.故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)因为f(x)＜0故要使函数f(x)只要对任意的x f(x)＞0恒成立，即对x a ＞2－2lnxx －1恒成立．令h(x)＝2－2lnx x －1，x 则h ′(x)＝2lnx ＋2x －2（x －1）2，再令m(x)＝2lnx ＋2x －2，x则m′(x)＝－2（1－x）x2＜0，故m(x)于是m(x)＞4－2ln3＞0.从而h′(x)＞0，于是h(x)所以h(x)＜2－3ln3，所以a的取值范围为[2－3ln3，＋∞)．。

课时作业34 数列的综合应用1．已知数列{a n }为等差数列，且满足OA →＝a 3OB →＋a 2 015OC →，其中点A ，B ，C 在一条直线上，点O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017的值为( A )A.2 0172 B ．2 017 C ．2 018 D ．2 015解析：因为点A ，B ，C 在一条直线上，所以a 3＋a 2 015＝1，则S 2 017＝2 017(a 1＋a 2 017)2＝2 017(a 3＋a 2 015)2＝2 0172，故选A. 2．某制药厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝13(n ＋1)(n ＋2)(2n ＋3)吨，但如果年产量超过130吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( C )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题意知第一年产量为a 1＝13×2×3×5＝10； 以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝13(n ＋1)(n ＋2)(2n ＋3)－13n ·(n ＋1)·(2n ＋1)＝2(n ＋1)2(n ∈N *)， 令2(n ＋1)2≤130，所以1≤n ≤65－1， 所以1≤n ≤7.故最长的生产期限为7年．3．定义：若数列{a n }对任意的正整数n ，都有|a n ＋1|＋|a n |＝d (d 为常数)，则称{a n }为“绝对和数列”，d 叫作“绝对公和”．在“绝对和数列”{a n }中，a 1＝2，绝对公和为3，则其前2 017项的和S 2 017的最小值为( C )A ．－2 017B ．－3 014C ．－3 022D ．3 032解析：依题意，要使其前2 017项的和S 2 017的值最小，只需每一项都取最小值即可．因为|a n ＋1|＋|a n |＝3，所以有－a 3－a 2＝－a 5－a 4＝…＝－a 2 017－a 2 016＝3，即a 3＋a 2＝a 5＋a 4＝…＝a 2 017＋a 2 016＝－3，所以S 2 017的最小值为2＋2 017－12×(－3)＝－3 022，故选C. 4．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，并且满足条件：a 1＞1，a 2 015a 2 016＞1，a 2 015－1a 2 016－1＜0.给出下列结论：(1)0＜q ＜1；(2)a 2015a 2 017－1＞0；(3)T 2 016的值是T n 中最大的；(4)使T n ＞1成立的最大自然数等于4 030.其中正确的结论为( C )A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)解析：由a 2 015－1a 2 016－1＜0可知a 2 015＜1或a 2 016＜1.如果a 2 015＜1，那么a 2 016＞1， 若a 2 015＜0，则q ＜0；又∵a 2 016＝a 1q 2 015，∴a 2 016应与a 1异号， 即a 2 016＜0，这与假设矛盾，故q ＞0.若q ≥1，则a 2 015＞1且a 2 016＞1，与推出的结论矛盾，故0＜q ＜1，故(1)正确．又a 2 015a 2 017＝a 22 016＜1，故(2)错误．由结论(1)可知a 2 015＞1，a 2 016＜1，故数列从第 2 016项开始小于1，则T 2 015最大，故(3)错误．由结论(1)可知数列从第2 016项开始小于1，而T n ＝a 1a 2a 3…a n ，故当T n ＝(a 2 015)n 时，求得T n ＞1对应的自然数为4 030，故(4)正确．5．(2019·太原模拟)已知数列{a n }中，a 1＝0，a n －a n －1－1＝2(n －1)(n ∈N *，n ≥2)，若数列{b n }满足b n ＝n ·a n ＋1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1，则数列{b n }的最大项为第 6 项．解析：由a 1＝0，且a n －a n －1－1＝2(n －1)(n ∈N *，n ≥2)，得a n－a n －1＝2n －1(n ≥2)，则a 2－a 1＝2×2－1，a 3－a 2＝2×3－1，a 4－a 3＝2×4－1，…，a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，以上各式累加得a n ＝2(2＋3＋…＋n )－(n －1)＝2×(n ＋2)(n －1)2－n ＋1＝n 2－1(n ≥2)，当n ＝1时，上式仍成立，所以b n ＝n ·a n ＋1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1＝n ·(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1＝(n 2＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1(n ∈N *)． 由⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(n 2＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n －1≥(n 2－n )·⎝⎛⎭⎪⎫811n －2，(n 2＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n－1≥(n 2＋3n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫811n ，解得163≤n ≤193.因为n ∈N *，所以n ＝6， 所以数列{b n }的最大项为第6项．6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数f (n )＝q －p ，例如f (12)＝4－3＝1，数列{f (3n )}的前100项和为 350－1 .解析：当n 为偶数时，f (3n )＝0；当n 为奇数时，f (3n )＝3n ＋12－3n －12，因此数列{f (3n )}的前100项和为31－30＋32－31＋…＋350－349＝350－1.7．(2019·长沙、南昌联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝1，a n ＞0，a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1(n ∈N *)，若不等式4n 2－8n ＋3＜(5－m )2n ·a n 对任意的n ∈N *恒成立，则整数m 的最大值为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，a 2n ＝4S n －1＋4(n －1)＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n ＞0，所以a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)． 对a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，令n ＝1，可得a 22＝4a 1＋4＋1＝9，所以a 2＝3，则a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 故a n ＝2n －1.因为4n 2－8n ＋3＝(2n －1)(2n －3)，n ∈N *，2n －1＞0，所以不等式4n 2－8n ＋3＜(5－m )·2n·a n 等价于5－m ＞2n －32n .记b n ＝2n －32n ，则b n ＋1b n＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，当n ≥3时，b n ＋1b n ＜1，又b 1＝－12，b 2＝14，b 3＝38， 所以(b n )max ＝b 3＝38. 故5－m ＞38，得m ＜378，所以整数m 的最大值为4.8．(2019·南昌调研)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N*,2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a na n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为 9 .解析：∵2S n ＝a 2n ＋a n ，① ∴2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又∵{a n }为正项数列，∴a n ＋1－a n －1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，可得a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝n ，∴b n ＝1n n ＋1＋(n ＋1)n＝(n ＋1) n －n n ＋1[n n ＋1＋(n ＋1) n ][(n ＋1) n －n n ＋1 ] ＝(n ＋1) n －n n ＋1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 要使T n 为有理数，只需1n ＋1为有理数，令n ＋1＝t 2，∵1≤n ≤100，∴n ＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数． ∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.9．(2019·福建漳州模拟)已知数列{a n }满足na n －(n ＋1)·a n －1＝2n 2＋2n (n ＝2,3,4，…)，a 1＝6.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，求证：S n ＜512.解：(1)证明：由na n －(n ＋1)a n －1＝2n 2＋2n (n ＝2,3,4，…)，a 1＝6，可得a n n ＋1－a n －1n ＝2，a 11＋1＝3，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是首项为3，公差为2的等差数列，可得a nn ＋1＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，则a n ＝(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)．(2)证明：由1(n ＋1)(2n ＋1)＜12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤16＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512， 即S n ＜512.10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1cos 2x 2－sin 2x2，函数y ＝f (x )－3在(0，＋∞)上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3πa n(4n 2－1)(3n －2)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1cos 2x 2－sin 2x 2＝sin xcos x＝tan x ，由tan x ＝3及x ＞0得x ＝k π＋π3(k ∈N )，数列{a n }是首项a 1＝π3，公差d ＝π的等差数列，所以a n ＝π3＋(n －1)π＝n π－2π3.(2)b n ＝3πa n(4n 2－1)(3n －2)＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.11．已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 5＝b 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n，是否存在m ∈N *，使得S m ≥3成立，若存在，求出m ，若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，数列{b n }的公比为q ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝1·q ，1·q 2＝1＋4d ，∴d ＝0或d ＝2，∵d ≠0，∴d ＝2，q ＝3，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. (2)由(1)可知，S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝11＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，13S n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，两式相减得，23S n ＝1＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－2n －13n ＝2－2n ＋23n ＜2，∴S n ＜3.故不存在m ∈N *，使得S m ≥3成立．12．(2019·河南洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a 2n ＋4n －2，S n是数列{b n }的前n 项和．若对任意正整数n ，不等式2S n ＋(－1)n ＋1·a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得a 1＝1，d ＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝1a 2n ＋4n －2＝1(2n －1)2＋4n －2 ＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， 依题意，对任意正整数n ，不等式1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0，当n 为奇数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＞－1＋12n ＋1，所以a ＞－23；当n 为偶数时，1－12n ＋1＋(－1)n ＋1a ＞0即a ＜1－12n ＋1，所以a＜45.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，45.。

课时作业(十三)一、选择题1．函数y ＝x 3－3x 的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 C解析 ∵y ′＝3x 2－3，∴由3x 2－3<0得－1<x <1. 故选C.2．(09·广东)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝1·e x＋(x －3)·e x＝(x －2)·e x，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x>0解得：x >2.3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A ．(0，1a)B ．(1a，＋∞)C ．(－∞，1a)D ．(－∞，a )答案 A解析 由f ′(x )＝1x－a >0得0<x <1a，∴f (x )的单调递增区间为(0，1a)．4．(09·湖南)若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )答案 A解析 依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足，故选A.5．已知函数f (x )(x ∈R )的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)答案 C解析 根据函数f (x )(x ∈R )的图象上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．6．设f (x )、g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴[f (x )－g (x )]′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴f (a )－g (a )<f (x )－g (x )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．7．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且f (－3)·g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析 f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数 ∴f (x )·g (x )为奇函数x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0即x ＜0时，[f (x )·g (x )]′＞0∴f (x )·g (x )为增函数，且f (－3)·g (－3)＝0 根据函数性质可知，f (x )·g (x )＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)8．(2011·东北三校)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )可得对称轴为x ＝1，故f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)， 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .二、填空题9．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________． 答案 (π3，5π3)解析 ∵y ′＝1－2cos x ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ′>00<x <2π，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x >0，0<x <2π，得π3<x <5π3. ∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．10．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调递增函数，则b 的范围是________．答案 b <－1或b >2解析 假设y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上是单调递增函数，则f ′(x )＝y ′≥0恒成立．即x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0成立，解得－1≤b ≤2，故所求为b >2或b <－1.11．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________答案 (2，＋∞) 解析 令g (x )＝f (x )－x ∴g ′(x )＝f ′(x )－1由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数 ∵g (2)＝f (2)－2＝0∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)．12．(2011·宁波十校联考)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f (4π3)，f (－5π4)的大小关系为______(用“<”连接)．答案 f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈[5π4，4π3]时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则函数f (x )在x ∈[5π4，4π3]时为减函数，∴f (4π3)<f (4)<f (5π4)，又函数f (x )为偶函数，∴f (4π3)<f (－4)<f (－5π4)．三、解答题13．求函数f (x )＝x (e x－1)－x 22的单调区间．解 f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．14．(2010·湖南卷，文)已知函数f (x )＝ax＋x ＋(a －1)ln x ＋15a ，其中a <0，且a ≠－1.讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－a x 2＋1＋a －1x ＝x ＋a x －x2.①若－1<a <0，则当0<x <－a 时，f ′(x )>0；当－a <x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(0，－a )，(1，＋∞)上单调递增，在(－a,1)上单调递减．②若a <－1，同①可得f (x )分别在(0,1)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(1，－a )上单调递减．15．已知f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝e x －a .(1)若a ≤0，f ′(x )＝e x－a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增． 若a >0，e x－a ≥0，∴e x ≥a ，x ≥ln a . ∴f (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)∵f (x )在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴e x－a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立， ∴a ≤(e x)min .又∵e x>0，∴a ≤0.(3)由题意知e x－a ≤0在(－∞，0]上恒成立， ∴a ≥e x在(－∞，0]上恒成立． ∵e x在(－∞，0]上为增函数， ∴x ＝0时，e x最大为1，∴a ≥1.同理可知e x－a ≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤e x在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上可知：a ＝1即存在a ＝1满足条件．16．(2010·北京卷，理)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0. (2)f ′(x )＝x kx ＋k －1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，f ′(x )＝x kx ＋k －1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－k k，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－k k)上，f ′(x )<0；故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－k k)．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k ＞1时，由f ′(x )＝x kx ＋k －1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－k k，0)．。

课时作业34 等比数列一、选择题1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12B ．1C ．－12或1D.14解析：当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.答案：C2．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．± 2 B ．－ 2 C. 2D ．±2解析：由题意得a 4a 8＝2，且a 4＋a 8＝3，则a 4>0，a 8>0，又{a n }为等比数列，故a 4，a 6，a 8同号，且a 26＝a 4a 8＝2，故a 6＝2，选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n－1 B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，则S n a n ＝a 1[1－12n]1－12a 112n －1＝2n－1.答案：C4．等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.13(4n－1) B.13(2n－1) C ．4n－1D ．(2n－1)2解析：由题意知a 1＝1，q ＝2，数列{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案：A5．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A ．2 B ．3 C.15D.13解析：由题意，a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，d ≠0， ∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d－d＝2. 答案：A6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 013＝( )A ．92 012B ．272 012C ．92 013D ．272 013解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n ，又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 013＝33×2 013＝272 013，故选D.答案：D 二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.解析：∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2408．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：149．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的取值范围是________．解析：因为{a n }是等比数列，所以可设a n ＝a 1q n －1.因为a 2＝2，a 5＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝8－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.因为0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，所以4≤S n <8.答案：[4,8) 三、解答题10．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7， ①a 1＋3＋a 3＋4＝6a 2， ②将①代入②，得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln23n＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln2，故数列{b n }为等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋12ln2.故T n ＝3n n ＋12ln2. 11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∴{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝3－32n.1．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是( )A．若a3>0，则a2 013<0B．若a4>0，则a2 014<0C．若a3>0，则S2 013>0D．若a4>0，则S2 014>0解析：若a3>0，则a2 013＝a3q2 010>0；若a4>0，则a2 014＝a4q2 010>0，故A，B错；当a3>0，则a1＝a3q2>0，因为1－q与1－q2 013同号，所以S2 013＝a11－q2 0131－q>0，C正确．故选C.答案：C2．函数y＝1－x＋22图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是( )A.32B.12C.33D. 3解析：因为y＝1－x＋22⇔(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为圆心，1为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故13≤q2≤3，即33≤q≤3，而12<33，选B.答案：B3．在正项等比数列{a n}中，a5＝12，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为________．解析：设正项等比数列{a n}的公比为q，则由a5＝12，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是a n＝2n－6，则a1＋a2＋…＋a n＝1321－2n1－2＝2n－5－132.∵a 5＝12，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝a 26＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132>a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132<a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n >13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.答案：124．(2014·天津卷)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0,1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1,2,3}． 可得，A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i＝1,2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－qn －1＝q －11－qn －11－q－qn －1＝－1<0.所以，s <t .。

课时作业(十七)一、选择题1．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( ) A ．21 B ．42 C ．135 D ．170答案 D 解析 q 2＝a 3＋a 4a 1＋a 2＝4，又q >0，∴q ＝2， a 1(1＋q )＝a 1(1＋2)＝2，∴a 1＝23，S 8＝23·28－12－1＝170.2．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .3．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)∴S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴778＝14－78q1－q解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1，∴n ＝3，故该数列共5项．4．(2010·广东卷)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 11－q 51－q＝31.5．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n＋b (b 是常数，n ∈N *)，如果这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A解析 等比数列{a n }中，q ≠1时，S n ＝a 1·q n －1q －1＝a 1q －1·q n－a 1q －1＝A ·q n－A ，∴b ＝－16．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是( )A ．第6项B ．第7项C ．第9项D ．第11项答案 A解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255， 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25，又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26，所以a 1·a 2·…·a 11＝a 116， 故有a 116＝255，即a 6＝25， ∴抽出的应是第6项7．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12， a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.58．(2010·辽宁卷，理) 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝41－1251－12＝314. 二、填空题9．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，a 2＝2，则a 1＝________. 解 ∵a 2·a 2n ＋2＝a 2n ＋2＝2a 2n ＋1 ∴a n ＋2a n ＋1＝2，∴q ＝ 2 ∵a 2＝2，∴a 1＝a 2q＝ 2.10．已知数列{a n }，如果a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝________.答案 32(1－13n )解析 a 1＝1，a 2－a 1＝13，a 3－a 2＝(13)2，…，a n －a n －1＝(13)n －1，累加得a n ＝1＋13＋132＋…＋(13)n －1＝32(1－13n )11．数列{a n }为等比数列，已知a n ＞0，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，则该数列的公比q 是__________ 答案5－12解析 由已知可得a n ＝a n ·q ＋a n ·q 2∵a n >0 ∴q 2＋q －1＝0 q ＝－1±52∵q >0 ∴q ＝5－1212．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.解 设公比为q ，S 6＝S 3＋q 3S 3＝4S 3，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝3.13．(2011·山东师大附中)等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q ＝________.答案 2 解析S 6－S 3S 3＝q 3即q 3＝8 ∴q ＝2 三、解答题14．在等比数列{a n }中，S 3＝139，S 6＝3649，求a n . 解析 由已知，S 6≠2S 3，则q ≠1. 又S 3＝139，S 6＝3649，即⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝139①a 11－q 61－q＝3649②②÷①，得1＋q 3＝28，∴q ＝3. 可求得a 1＝19.因此a n ＝a 1q n －1＝3n －3.15．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求{a n }前8项的和S 8. 解析 解法一 设数列{a n }的公比为q ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24 ①a 3·a 5＝a 1q 32＝64∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入到①式，得q 2－1＝－3.∴q 2＝－2，舍去． 将a 1q 3＝8代入到①式得q 2－1＝3.∴q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝1，S 8＝a 1q 8－1q －1＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，S 8＝a 1q 8－1q －1＝85.解法二 ∵{a n }是等比数列，∴依题设得a 24＝a 3·a 5＝64.∴a 4＝±8.∴a 6＝24＋a 4＝24±8. ∵{a n }是实数列，∴a 6a 4>0.故舍去a 4＝－8，得a 4＝8，a 6＝32. 从而a 5＝±a 4·a 6＝±16，∴q ＝a 5a 4＝±2.当q ＝2时，a 1＝a 4·q －3＝1，a 9＝a 6·q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255； 当q ＝－2时，a 1＝a 4·q －3＝－1，a 9＝a 6·q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝85. 16．(09·山东)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值； (2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r ， 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)bn －1，当b ＝2时，a n ＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋1231－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.。

高考数学一轮复习 31课时作业一、选择题1．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≥1，0 x ＜1，下列结论正确的是( )A.lim x →1＋f (x )＝lim x →1－f (x ) B.lim x →1＋f (x )＝2，lim x →1－f (x )不存在 C.lim x →1＋f (x )＝0，lim x →1f (x )不存在 D.lim x →1＋f (x )≠lim x →1－f (x ) 答案 D解析 lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋2x ＝2， lim x →1－f (x )＝lim x →1－0＝0. 故选D2.lim x →1 x 2－12x 2－x －1＝( ) A ．0 B ．1 C.12 D.23答案 D解析 lim x →1 x 2－12x 2－x －1＝lim x →1 x ＋1x －12x ＋1x －1＝lim x →1 x ＋12x ＋1＝233．(2011·湖北八校)lim x →2 x 2＋x ＋a x 2－x －2＝53，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．6 D ．－6答案 D解析 ∵x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1) 由条件知，x 2＋x ＋a 中必有因式x －2 ∴可设x 2＋x ＋a ＝(x －2)(x ＋m ) 由条件知当x ＝2时x ＋m x ＋1＝53∴m ＝3，从而a ＝－6，故选D.4．(2011·衡水调研卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋b ，x ≤0，e x，x >0，若lim x →0f (x )存在，则常数b 的值是( )A ．0B ．－1C ．1D ．e答案 C解析 lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋e x ＝e 0＝1，lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (2x ＋b )＝b ，又lim x →0f (x )存在，∴b ＝1.故选C.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k ，x ＝3，x 2－3x －3，x ≠3，若f (x )在x ＝3处连续，则k 的值等于( )A. 3 B ．3 C ．0 D ．2 3答案 D解析 由于lim x →3x 2－3x －3＝lim x →3(x ＋3)＝23，所以k ＝23，故选D. 6.lim x →π2 sin2x cos π－x ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 A 7．已知lim x →3 f x －2x －3＝－2，则lim x →3 2x －3f xx －3等于( ) A ．－2 B ．－6 C ．8 D ．－8答案 C解析 lim x →3 2x －3f x x －3＝lim x →3 －3[f x －2]＋2x －3x －3 ＝2－3lim x →3f x －2x －3＝2－3(－2)＝8.故选C.8．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′xx ＋1等于( ) A ．6 B ．2 C ．0 D ．－6答案 D解析 依题意，∵f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，∴f ′(x )＝2(x ＋1)(x －2)＋(x ＋1)2＝(x ＋1)(3x －3)，lim x →－1f ′xx ＋1＝lim x →－1 (3x －3)＝－6，选D. 二、填空题9.lim x →πx －πcos xx －π＝________.答案 －2π解析 原式＝lim x →π (x ＋π)·cos x ＝－2π. 三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x －1xx ≠0a x ＝0在x ＝0处连续，求实数a 的值．答案 1211．设f (x )是三次函数，且lim x →－1 f x x ＋1＝6，lim x →－2 f x x －2＝－32，求lim x →3 f xx －3的值． 答案 2解析 由三个极限存在知f (x )＝a (x ＋1)(x －2)(x －3)(a ≠0)． 再由lim x →－1 f xx ＋1＝lim x →－1a (x －2)(x －3)＝12a ＝6， 或lim x →2 f x x －2＝lim x →2a (x ＋1)(x －3)＝－3a ＝－32，得a ＝12. 故lim x →3f x x －3＝lim x →3 12(x ＋1)(x －2)＝2. 12．已知lim x →1 ax 2＋bx ＋1x －1＝3，求lim n →∞ b n ＋a n －1a n ＋b n －1. 分析 当x ＝1时，分母为0，依题意分子也应含x －1因式，以此为突破口．解析 ∵lim x →1 ax 2＋bx ＋1x －1＝3. ∴ax 2＋bx ＋1必含因式x －1，∴lim x →1(ax 2＋bx ＋1)＝0，即a ＋b ＋1＝0，① 这样，lim x →1 ax 2＋bx ＋1x －1＝lim x →1 ax 2－a ＋1x ＋1x －1＝lim x →1x －1ax －1x －1＝lim x →1(ax －1)＝a －1＝3， ∴a ＝4，代入①，得b ＝－5.∴lim x →∞ b n ＋a n －1a n ＋b n －1＝lim x →∞ －5n ＋4n －14n ＋－5n －1＝limx→∞－5＋－45n－14－45n－1＋1＝－5.。