2020高考数学第一轮复习全套讲义

1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。

§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B(或B A)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. 5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2.综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．无数个答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1,0,1,2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1,2,5}，故B 中有3个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 B解析 由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >2D ．a ≥2 答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4 (1)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，则下列关系中正确的是( ) A ．m ⊆P B ．m P C ．m ∈P D ．m ∉P答案 D解析 P ＝[0，2]，m ＝3>2，故选D.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－3，－2，－1,0} B ．{－2，－1,0} C ．{－3，－2，－1} D ．{－2，－1}答案 D解析 因为集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}＝{x |－3<x <0}，所以M ∩N ＝{－2，－1}．6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)，当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意． 当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．。

2020年高三理科数学一轮复习讲义 6.1【数列的概念及简单表示法】最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列 a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23.答案 D3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4.答案 5n －44.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57B.61C.62D.63解析 由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A5.(2019·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π 解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D6.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 ∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，则a 4＝S 4－S 3＝32.∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12. 答案 12考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________.解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n－32n .答案 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理. 【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5，55，555，5 555，….解 (1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1），n ∈N *.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).考点二 由a n 与S n 的关系求通项易错警示【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2 (2)－63规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示. 易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出a n ＝2n (n ∈N *). 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项易错警示【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n ，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *).(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a na n －1＝nn ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1.(3)由a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)A (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.易错警示 本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n－1＋1，则a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1，则a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1 ＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .(2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).答案 (1)2n －1＋n (2)2n （n －1）2(3)2n ＋1考点四 数列的性质【例4】 (1)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.310B.19C.119D.1060(2)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________.解析 (1)令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.(2)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.答案 (1)C (2)25规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练4】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 020＝a 2＝0.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n . 又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)0 (2)(－3，＋∞)[思维升华]1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列. (3)递推公式化简整理后，若为a n ＋1－a n ＝f (n )型，则采用累加法；若为a n ＋1a n ＝f (n )型，则采用累乘法.[易错防范]1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数. (2)数列的通项公式不一定唯一. (3)注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.2.数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥a n －1且a n ≥a n ＋1； 若a n 最小，则a n ≤a n －1且a n ≤a n ＋1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1 C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2， 所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2. 答案 C2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132 B.116 C.14 D.12解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14 B.5 C.45 D.54解析 在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45. 答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A.31B.42C.37D.47解析 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案 D5.(2019·成都诊断)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋4（x ≤1），a x （x >1），数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＝f (n )，且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.(1，3)D.(3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2>2a －1＋4，解得a >3， 则a 的取值范围是(3，＋∞).答案 D二、填空题6.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项. 解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 所以a 10＝0.08.答案 107.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 8.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________. 解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a n n＝ln(n ＋1)－ln n ，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). ∴a 22－a 11＝ln 2－ln 1，a 33－a 22＝ln 3－ln 2，…，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). 累加得a n n －a 11＝ln n ，∴a n n＝2＋ln n (n ≥2)， 又a 1＝2适合，故a n ＝2n ＋n ln n .答案 2n ＋n ln n三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 10.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋a n 2，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( )A.98项B.97项C.96项D.95项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 018得1≤n ≤97，又n ∈N *，故此数列共有97项.答案 B12.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）·⎝⎛⎭⎫67n ≥（n ＋1）·⎝⎛⎭⎫67n －1，（n ＋2）·⎝⎛⎭⎫67n ≥（n ＋3）·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5， 又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 答案 4或513.(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝(－1)n ·a n －12n ，记b n ＝8a 2·2n －1，若对任意的n ∈N *，总有λb n －1>0成立，则实数λ的取值范围为________.解析 令n ＝1，得a 1＝－14；令n ＝3，可得a 2＋2a 3＝18； 令n ＝4，可得a 2＋a 3＝316， 故a 2＝14，即b n ＝8a 2·2n －1＝2n . 由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立，得λ>⎝⎛⎭⎫12n对任意的n ∈N *恒成立，又⎝⎛⎭⎫12n ≤12，所以实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).。

2020年第一轮高考数学专题复习第一讲：集合一、考纲导读（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时 集合的概念一、基础过关 <1>.集合1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：(1) 确定性； (2) ； (3) ．3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．<2>.元素与集合的关系4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．<3>.集合与集合的关系5．集合与集合的关系用符号 表示．6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．二、典型例题例1. 已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.变式训练2：（1）P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？（2）A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

第1讲集合的概念与运算[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性．(2)元素与集合的关系有□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07∉表示．(3)□08列举法、□09描述法、□10图示法．(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔□01B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔□02A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝□03U；A∩(∁U A)＝□04∅；∁U(∁U A)＝□05A；∁U(A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□062个，非空子集个数为□072－1个，真子集有□082－1个，非空真子集的个数为□092－2个．1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}答案 A解析A∩B＝{x|－2<x<－1}．(2)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}答案 D解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．(3)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析∵A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，B⊆A，∴m ＝3或m ＝m ，∴m ＝3或0或1，经检验m ＝0或3. (4)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫8x ，y ，B ＝{0，x 2}，且A ＝B ，则集合A 的子集为________．答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}解析 由题意得8x ＝x 2，y ＝0，解得x ＝2， 所以A ＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型 一 集合的基本概念1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 答案 D 解析 当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意．综上知a ＝0或98.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析 ∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1，所以A 中元素共有9个，故选A.3．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．(2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种情况讨论．1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案 C解析令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k －1，解得k ＝－103∉Z ，故－11∉A ； 令－34＝3k －1，解得k ＝－11∈Z ，故－34∈A ； 对于3k 2－1，因为k ∈Z 时，k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A .所以C 项正确． 题型 二 集合间的基本关系1．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 答案 A解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴a ≠0.∴b ＝0，a 2＝1，又∵a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2018＋b 2018＝1. 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( )A ．M NB ．NMC ．M ＝ND ．以上都不对答案 A解析 ∵k π4＋π4＝2(k ＋1)8π，k ∈Z ， k π8－π4＝k －28π，k ∈Z ，∴任取x ∈M ，有x ∈N ，且π8∈N ，但π8∉M ， ∴M N .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.条件探究1 举例说明3中的集合B 改为“B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}”，其余不变，该如何求解？解 B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，m ＋1≤5，解得－2≤m ≤4.条件探究2 举例说明3中的集合A 改为“A ＝{x |x <－2或x >5}”，如何求解？解 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m >4或⎩⎨⎧m ≥2，m <－12，即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．判断集合间关系的三种方法2．根据集合间的关系求参数的策略(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A 对任意集合A 都成立．如举例说明3中2m －1<m ＋1时，B ＝∅，B ⊆A 也成立．(2)借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A ＝{x |－2<x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}，若B ≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1>－2，2m －1≤5.1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B D ．B A答案 C解析 由题意得A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∴A B .2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a >2C ．a <0D ．a ≤0 答案 A解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2. 3．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________．答案 7解析 集合A 除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型 三 集合的基本运算角度1 集合的并、交、补运算1．(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}答案 C解析 因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．2．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.角度2 知集合的运算结果求参数3．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A . x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0可化为(x ＋1)(x ＋m )＝0， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合题意；当m ≠1时，B ＝{－1，－m }，为使B ⊆A 成立，须有－m ＝－2，即m ＝2. 综上知m ＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明3中，由(∁U A)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件．如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B ＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案 D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]答案 C解析 集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}＝{x |x <－2或x >4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]．题型 四 集合的新定义问题已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④ 答案 C解析 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意．与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.答案{0,6}解析由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲解读] 1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别．(重点)2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题，其中□02判断为真的语句叫做真命题，□03判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有□04相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性□05没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件1．概念辨析(1)“x －3>0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．(3)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题是真命题．逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题．否命题：“若a>b，则ac2>bc2”是假命题．逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题．所以四个命题中真命题有2个．(4)“sinα>0”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析sin π2＝1>0，但π2不是第一象限角，所以sinα>0 ⇒/α是第一象限角，α是第一象限角⇒sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．题型一四种命题及其关系1．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案 C解析原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案 C解析因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题答案 A解析原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>1”是大前提．(3)注意一些常见词语及其否定表示：如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”．2．判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③答案 A解析 由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 答案 A解析 若a n ＋a n ＋12<a n ，则a n ＋1<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列，由此可知原命题为真命题；原命题的否命题为“若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N *，则{a n }不是递减数列”，若a n ＋a n ＋12≥a n ，则a n ＋1≥a n ，则{a n }不是递减数列，所以原命题的否命题是真命题．因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．题型 二 充分、必要条件的判断角度1 定义法判断充分、必要条件1．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a －3b |＝|3a ＋b |等价于|a －3b |2＝|3a ＋b |2，即(a －3b )2＝(3a ＋b )2，等价于a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，又因为a ，b 为单位向量，所以a 2＝1，b 2＝1，所以1＋9－6a ·b ＝9＋1＋6a·b ，即a·b ＝0，等价于a ⊥b .所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．角度2 集合法判断充分、必要条件2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 解⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12得－12<x －12<12，即0<x <1；解x 3<1得x <1，因为(0,1)(－∞，1)，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件．角度3 等价转化法判断充分、必要条件3．已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2得x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3. 记A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x >1或x <－3}，则A B ，所以q 是p 的充分不必要条件， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．判断充分、必要条件的三种方法记条件p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件1．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α D ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α答案 C解析 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1.因为綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/ 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．3．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，∴－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立． 故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A.题型 三 知充分、必要条件求参数的取值范围1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)(x ＋1)<0}，得－1<x <1，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1b －1<1，解得－2<b <2.2．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析 ∵綈q 的一个充分不必要条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴p 是q 的必要不充分条件． 由p ：4x －1≤－1得4x －1＋1≤0，x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1， 记A ＝{x |－3≤x <1}．由q ：x 2＋x <a 2－a 得(x ＋a )[x ＋(1－a )]<0. ∵a >12，∴－a <－(1－a )，故解得－a <x <a －1，记B ＝{x |－a <x <a －1}． 由p 是q 的必要不充分条件可得B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－3a －1≤1a >12，解得12<a ≤2.条件探究1 举例说明2中的“充分不必要”改为“必要不充分”，其余不变，该如何求解？解 ∵綈q 的一个必要不充分条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． ∵p 对应集合A ＝{x |－3≤x <1}，q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}，其中a >12，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a <－3a －1≥1a >12，解得a >3.条件探究2 举例说明2中“4x －1≤－1”改为“4x －10≤－1”，“綈p ”改为“p ”，其余不变，该如何求解？解 由题意得，p 是綈q 的充分不必要条件． 由4x －10≤－1得x －6x －10≤0，解得6≤x <10.∴p 对应集合C ＝{x |6≤x <10}． 又∵q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}， ∴綈q 对应集合∁R B ＝{x |x ≤－a 或x ≥a －1}， 其中a >12，∴C∁R B ，∴⎩⎨⎧a >12－a ≥10或⎩⎨⎧a >12a －1≤6，解得12<a ≤7.1．知充分、必要条件求参数取值范围的步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2中p对应的集合是q对应的集合的真子集．(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2．解题时的三个注意点(1)注意充分条件、必要条件定义的直接应用．如举例说明1.(2)看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断．如举例说明2.(3)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍．如举例说明2.1．(2019·广州模拟)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]答案 C解析由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p ⇒/q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.2．(2018·河北保定模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m 1－m ≥－21＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．思想方法 等价转化思想在充要条件中的应用[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [9，＋∞)解析 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．思想方法 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲解读] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，并理解全称量词与存在量词的含义．(重点、难点)2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定．(重点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考对命题及量词的考查主要有：①判断全称命题与特称命题的真假；②全称命题、特称命题的否定；③根据命题的真假求参数的取值范围.1．简单的逻辑联结词(1)□01或”“□02且”“□03非”叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作□04p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作□05p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作□06綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题1．概念辨析(1)命题“3≤3”是假命题．()(2)命题p与綈p不可能同真，也不可能同假．()(3)p，q中有一个假，则p∧q为假．()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析因为p，q都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．(2)命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是()A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<0答案 C解析由已知得綈p是“∀x∈R，x2－x＋1>0”．(3)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析因为lg 10＝1，所以A是真命题；因为sin0＝0，所以B是真命题；因为(－2)3<0，所以C是假命题．由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．(4)命题“任意末位数字是5的整数都能被5整除”，该命题的否定是________________，该命题的否命题是________________．答案存在末位数字是5的整数不能被5整除末位数字不是5的整数不能被5整除解析命题的否定是否定命题的结论，即“存在末位数字是5的整数不能被5整除”．原命题可以改写为“若整数的末位数字为5，则该整数能被5整除”，其否命题是“若整数的末位数字不是5，则该整数不能被5整除”，简化为“末位数字不是5的整数不能被5整除”．题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是() A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)答案 A解析因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析(綈p)∨q为真命题包括以下情况：p假q假，p假q真，p真q真；p∧(綈q)为假命题包括以下情况：p假q真，p假q假，p真q真．所以“(綈p)∨q”为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件．1．判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2．熟记一组口诀“或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相反．1．(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q答案 B解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，所以命题p是假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．答案②③解析因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q，(綈p)∨q是假命题，p∨q，p∧(綈q)是真命题．故答案为②③.题型二全称命题、特称命题角度1全称命题、特称命题的真假判断1．(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20>x30，则下列命题中为真命题的是() A．(綈p)∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q答案 A解析当x＝－1时，x＋1x<2，故p是假命题；当x0＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫122>⎝⎛⎭⎪⎫123，故q是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)，p∧q都是假命题．角度2含有一个量词的命题的否定2．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________．答案(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等解析(1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)．(2)①改量词，本题中省略了量词“所有”，应将其改为“有的”；②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”．故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等”．1．全(特)称命题真假的判断方法2.对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明2(2)．1．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，故綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .2．命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．所以四个命题中正确的命题有2个．故选B. 题型 三 根据命题的真假求参数的取值范围1．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－2]∪[1,2)解析 若p 为真命题，则Δ＝(2a )2－4×1×4<0，解得－2<a <2，记A ＝{a |－2<a <2}．若q 为真命题，则3－2a >1，a <1，记B ＝{a |a <1}． 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 真q 假或p 假q 真．所以a ∈A ∩(∁R B )或(∁R A )∩B ，所以a ∈[1,2)或a ∈(－∞，－2]，所以a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．2．已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 x 1∈[0,3]时，f (x 1)∈[0，ln 10]，x 2∈[1,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，12－m .因为对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以只需0≥14－m ，解得m ≥14.条件探究 举例说明2中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 当x 2∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.1．根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．如举例说明1.2．根据全称命题、特称命题的真假求参数的取值范围(1)巧用三个转化①全称命题可转化为恒成立问题，如举例说明2.②特称命题可转化为存在性问题．③全(特)称命题假可转化为特(全)称命题真．(2)准确计算通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．1．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 由题意得，若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1＋8a >0f (0)·f (1)＝(－1)·(2a －2)<0或⎩⎨⎧ Δ＝1＋8a ＝00＜14a ＜1，解得a >1，记A ＝{a |a >1}，若命题q 为真命题，则2－a <0，得a >2，记B ＝{a |a >2}，若p 且綈q 为真命题，则p 真q 假，所以a ∈A ∩(∁R B )＝(1,2]．2．(2018·安徽皖南八校三模)若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9<0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 [－5,7]解析 命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9<0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9≥0”，它是真命题，则(a －1)2－36≤0，－5≤a ≤7.高频考点 常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，通常以选择题、填空题形式出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．[典例1] (2018·安徽安庆二模)下列说法中正确的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题C ．若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0D ．x >1是x 2>1的必要不充分条件答案 A解析 B 错误，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题． C 错误，綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0.D 错误，x >1是x 2>1的充分不必要条件．[典例2] (2018·湖北新联考四模)若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]答案 D解析 ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， ∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.[典例3] 若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}答案 A解析 ∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以其否定∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立，为真命题．所以λ≤2x ＋1x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立．因为2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时，等号成立． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ＝22，所以λ≤2 2. 方法指导 1.理解基本概念，重视知识联系,常用逻辑用语在高考题中常以客观题的形式考查，属于中、低档题，因此，复习此部分内容时，首先要重视基本。

2020届【步步高】高考数学大一轮复习讲义第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识点一元素与集合1．集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．2．集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．常用数集及其符号表示1．判断题(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(×)(3)任何集合都有两个子集．(×)2．(1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为1或4.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5.(3)集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为7.(4)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝－2.解析：(1)∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.(2)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．(3)因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.(4)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.知识点二集合间的基本关系3．(必修1P12习题 1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是(D)A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：因为22不是自然数，所以a∉A.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为7.解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.知识点三集合的基本运算1．集合的三种基本运算2.活用集合的三类运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝(B) A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：解法1：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.解法2：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(3，＋∞)．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A⊆B，B＝{x|x<a}，∴a>3.1．集合中子集的性质(1)一个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足)；(4)若A⊆B，则有A＝∅和A≠∅两种可能．2．集合子集的个数：集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n －1个真子集、2n －1个非空子集、2n －2个非空真子集．3．注意补集的两个性质∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．4．在解决含参数的集合问题时，要注意分类讨论和集合的互异性的应用．考向一 集合的概念【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)设A ＝{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}，B ＝{|a －2|,2}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．【解析】 (1)解法1：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为3×3＝9，故选A.解法2：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为4∈A ，即4∈{2,3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7}， 所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4. 若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a ＋2a ＋3＝0，a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1. 故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,2}，所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6.综上所述，a的取值集合为{4}．【答案】(1)A(2){4}(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.(2)依据元素与集合的关系确定参数时，往往要对集合中含参数的元素取值情况进行分类讨论，并要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)设集合A＝{－1,0,2}，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(A)A．{1} B．{－2}C．{－1，－2} D．{－1,0}(2)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(C)A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A解析：(1)若x＝－1，则2－x＝3∉A，此时－x＝1；若x＝0，则2－x＝2∈A，此时不符合要求；若x＝2，则2－x＝0∈A，此时不符合要求．所以B＝{1}．(2)当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k －1，得k＝－103∉Z，所以－11∉A，所以B错误；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．考向二集合的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B A C．A⊆B D．B＝A(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．因此B A.故选B.(2)由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.【答案】(1)B(2)[2 018，＋∞)本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a 的取值范围是(－∞，1]．解析：A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)(2019·中原名校联考)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( B )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 解析：(1)解法1：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝{x |0<x <c }．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，故选B.解法2：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝{x |0<x <1}，取c ＝1，得B ＝{x |0<x <1}，则A ⊆B 成立，可排除C 、D ；取c ＝2，得B ＝{x |0<x <2}，则A ⊆B 成立，可排除A ，故选B.(2)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ， 所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.考向三 集合的基本运算方向1 集合的交、并、补运算【例3】 (1)(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}(2)(2019·山东临沂模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}【解析】(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}．因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，则∁U B＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．【答案】(1)B(2)B方向2利用集合运算求参数【例4】(1)(2019·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是()A．[3,6) B．[1,2)C．[2,4) D．(2,4](2)(2019·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(∁U A)∩B＝∅，则p应该满足的条件是()A．p>1 B．p≥1C．p<1 D．p≤1【解析】(1)集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0,1,2,3,4}，B＝{x |4x >2m}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x >m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2<2，解得2≤m <4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．(2)∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |x >p }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}，又(∁U A )∩B ＝∅，∴p ≥1.【答案】 (1)C (2)B集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn )图.1．(方向1)(2019·江西南昌中学模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，则(∁U B )∩A ＝( D )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1]∪(0,3)C ．[0,3)D ．(0,3)解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，集合B ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}．因为全集U ＝R ，所以∁U B ＝{x |－1<x <3}，所以(∁U B )∩A ＝(0,3)，故选D.2．(方向2)设A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为1<a ≤2.解析：依题设得：⎩⎨⎧ (2－a )2<1，(3－a )2≥1，即⎩⎨⎧ 1<a <3，a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.3．(方向2)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝－1，n ＝1.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.考向四 集合的新定义问题【例5】 (2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21【解析】 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.【答案】D与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x ∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(B)A．7 B．10C．25D．52解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：易错点：忽略空集是任何集合的子集出错勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．典例已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2)B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)【易错分析】集合B为不等式2m－1<x<m＋1的解集，但m 取值不同，解集也不同．当m＋1≤2m－1时，集合B为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B＝∅和B≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．【解析】由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，得－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.(1)当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.【答案】 D 易错警示 当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意对端点值的检验．(2019·吉林长春检测)已知集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}，且A ∩B ＝A ，则a 的所有可能取值组成的集合是( D )A ．∅B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14 解析：由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .∵B ＝{x |1<log 2x ≤2，x ∈N *}＝{x |2<x ≤4，x ∈N *}＝{3,4}．当A ＝∅时，则方程ax －1＝0无实数解，∴a ＝0，此时显然有A ⊆B ，符合题意；当A ≠∅时，则由方程ax －1＝0，得x ＝1a .要使A ⊆B ，则1a ＝3或1a ＝4，即a ＝13或14.综上所述，a的所有可能取值组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，14，故选D. 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件知识点一 命题及四种命题1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是(D)A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：原命题可以改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”．其逆命题为“若函数不是周期函数，则函数是单调函数”，故选项A不正确；其否命题为“若函数不是单调函数，则函数是周期函数”，故选项B不正确；其逆否命题为“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，故选项C 不正确． 2．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数．解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．3．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是3.解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.知识点二 充分条件与必要条件1．若p ⇒q 且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充分必要条件，q 也是p 的充分必要条件．2．若A 、B 为两个集合，满足A B ，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；若A ＝B ，则A 是B 的充分必要条件．4．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“|x －12|<12”是“x 3<1”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：解法1：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1.所以“|x －12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A.解法2：由|x －12|<12，得0<x <1，所以0<x 3<1，所以充分性成立；取x ＝－14，则|－14－12|＝34>12，(－14)3＝－164<1，所以必要性不成立．故选A.5．(选修2－1P12A 组第3题改编)在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b 2R ，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．1．区别两个说法(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．2．充要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．3．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．考向一四种命题及其关系【例1】(1)已知x∈R，命题“若x2>0，则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”【解析】(1)命题“若x2>0，则x>0”的逆命题是“若x>0，则x2>0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上三个命题中真命题的个数是2.故选C.(2)已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，所以C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，所以D 不正确．故选B.【答案】(1)C(2)B(1)四种命题在书写时，要注意词语的否定形式，如“都是”的否定应为“不都是”，“大于”的否定为“不大于”等．(2)命题真假的判断方法①联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．②利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．(1)命题“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题为(D)A．若x2＝4，则x≠2且x≠－2B．若x2≠4，则x＝2且x＝－2C．若x2≠4，则x＝2或x＝－2D．若x2＝4，则x＝2或x＝－2(2)下列命题的逆命题为真命题的是(B)A．若x>2，则(x－2)(x＋1)>0B．若x2＋y2≥4，则xy＝2C．若x＋y＝2，则xy≤1D．若a≥b，则ac2≥bc2解析：(1)“若x2≠4，则x≠2且x≠－2”的否命题是“若x2＝4，则x＝2或x＝－2”．故选D.(2)选项A，“若x>2，则(x－2)(x＋1)>0”的逆命题为“若(x－2)(x ＋1)>0，则x>2”，因为由(x－2)(x＋1)>0得到x>2或x<－1，所以是假命题；选项B，“若x2＋y2≥4，则xy＝2”的逆命题为“若xy＝2，则x2＋y2≥4”是真命题；选项C，“若x＋y＝2，则xy≤1”的逆命，满足xy≤1，但不题为“若xy≤1，则x＋y＝2”；因为x＝2，y＝12满足x＋y＝2，所以是假命题；选项D，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，因为若c＝0，a＝1，b＝2，满足ac2≥bc2，但不满足a≥b，所以是假命题．故选B.考向二充分条件与必要条件的判断【例2】(1)设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由S6＝3S2，得a1(1＋q＋q2＋q3＋q4＋q5)＝3a1(1＋q)，即q5＋q4＋q3＋q2－2－2q＝0，(q＋1)2(q－1)·(q2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选C.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1.因为綈q⇒綈p，但綈⇒/綈q，所以綈q 是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.(3)化简集合A＝{x|0<x<1}，若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅，反之，若A∩B≠∅，则m>0，因(1，＋∞)(0，＋∞)，故选A.【答案】(1)C(2)A(3)A充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C.(2)当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.(3)因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈p⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．考向三 充分条件、必要条件的应用【例3】 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 【解析】 (1)∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.故选A.(2)由4x －1≤－1，解得－3≤x <1；由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，其大致图象如图，则⎩⎨⎧ f (－3)＝－a 2＋a ＋6≥0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0，所以⎩⎨⎧ －2≤a ≤3，－1≤a ≤2，解得－1≤a ≤2.故选C. 【答案】 (1)A (2)C(1)求解充分、必要条件的应用问题时，一般是把充分、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误.(1)下面四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分条件是( B )A ．a －1>bB ．a ＋1>bC ．|a |>|b |D ．a 3>b 3(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( C )A ．－1≤k <3B ．－1≤k ≤3C ．0<k <3D ．k <－1或k >3解析：(1)“a>b”不能推出“a－1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a＋1>b”，但“a＋1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意．故选B.(2)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|<2，解得k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子2集，故充分不必要条件可以是“0<k<3”．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识点一简单的逻辑联结词1．命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．2．命题p且q、p或q、非p的真假判断1．(选修2－1P18B组改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．2．已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ，命题q ：复数1＋i 1＋2i的虚部为－15i ，则下面为真命题的是( C ) A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q解析：由已知可得，复数z 满足(z －i)(－i)＝5，所以z ＝5－i＋i ＝6i ，所以命题p 为真命题；复数1＋i1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，其虚部为－15，故命题q 为假命题，命题綈q 为真命题．所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.知识点二 全称量词与存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．4．含有一个量词的命题的否定3．命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是(C)A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<04．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是[e,4]．解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．1．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．考向一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)(2019·石家庄模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．綈p(2)给定下列命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3 【解析】 (1)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．(2)对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题．【答案】(1)B(2)D含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(2019·陕西质量检测)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(D)A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q解析：由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧綈q是真命题，故选D.考向二 全称命题与特称命题【例2】 (1)若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0，则綈p 为( )A ．不存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0B ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1<0C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0(2)下列命题中为假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点【解析】 (1)命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1<0的否定为綈p ：存在x 0∈R ，使得x 30－x 20＋1≥0.故选D.(2)当α＝0，β＝π2时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 为真命题；当φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 为假命题；对于三次函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又该函数的图象在R 上连续不断，故∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 为真命题；当f (x )＝0时，(ln x )2＋ln x －a ＝0，则有a ＝(ln x )2＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a有零点，D为真命题．综上可知选B.【答案】(1)D(2)B全称命题与特称命题的真假判断及其否定已知f(x)＝e x－x，g(x)＝ln x＋x＋1，命题p：∀x∈R，f(x)>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，g(x0)＝0，则下列说法正确的是(C) A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)<0B．p是假命题，綈p：∃x0∈R，f(x0)≤0C．q是真命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0D．q是假命题，綈q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0解析：f′(x)＝e x－1，由f′(x)>0得x>0，由f′(x)<0得x<0，故当x＝0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值，f(0)＝e0－0＝1－0＝1>0，∴∀x∈R，f(x)>0成立，即p是真命题．g(x)＝ln x＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0.综上，只有选项C 正确．考向三 根据命题的真假求参数的取值范围【例3】 已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．1．本例条件不变，若p 且q 为真，则实数m 的取值范围为(－2,0)． 解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎨⎧ m <0，－2<m <2，可得－2<m <0.2．本例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎨⎧ m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．3．本例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为[0,2]．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎨⎧ m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2]．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题：可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题．(2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围；②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(C)A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．突破双变量任意性与存在性问题的策略典例 (1)已知函数f (x )＝2x x ＋1，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 和g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意x 1∈[－1，＋∞)，总存在x 2∈R 使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________；(3)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________；(4)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2， 由题意得[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2≠∅. 若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－3a 2＝∅， 则2－2a >1或2－3a 2<0，即a <12或a >43.故实数a 的取值范围是12≤a ≤43.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1，所以f (x )∈[a －1，＋∞)．因为g (x )＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，所以g (x )∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．(4)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故实数m 的取值范围是m ≥14.【答案】 (1)12≤a ≤43 (2)(－∞，－1](3)(－∞，0) (4)m ≥14已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围为( A )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2解析：由题意知f (x )min x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])． 因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示知识点一函数与映射的概念1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.2．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(B)A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1 解析：对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．2．(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )解析：A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．知识点二 函数的三要素及表示方法1．函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：由题意得⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2. 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝12. 解析：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.知识点三 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．(2019·陕西质量检测)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( C )解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，故选C.6．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，则f (f (15))2解析：因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx 2，0<x ≤2，|x ＋12|，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22.1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的。

2020届高考数学一轮复习讲义第四章《三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号一＋＋＋二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[小题体验]1．若θ是第二象限角，且满足sin θ2＜0，则θ2的终边在第________象限．答案：三2．若角α的终边过点sin5π6，tan α＝________.答案：－33．α为第一象限角，则sin α＋cos α________1.(填“＞”“＜”“＝”)答案：＞1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.[小题纠偏]1．－1000°是第________象限角，α＝3是第________象限角，72°＝________rad.答案：一二2π52．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是____________．答案：(cos θ，sin θ)考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题中，真命题是()A ．第一象限角是锐角B ．直角不是任何象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390°是第一象限角，但不是锐角，A 错；135°是第二象限角，390°＞135°，C 错；直角不是任何象限角，D 错，B 对．2．若α＝k π－π4(k ∈Z )，则α在()A ．第一象限或第三象限B ．第一象限或第二象限C ．第二象限或第四象限D ．第三象限或第四象限解析：选C当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m π＋3π4，所以α在第二象限；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝2m π－π4，所以α在第四象限．故选C.3．设集合M |x ＝k 2·180°＋45°，k N |x ＝k 4·180°＋45°，k 那么M ________N ．(填“＝”“⊆”“⊇”)解析：法一：由于M |x ＝k2·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N |x ＝k4·180°＋45°，k ∈＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .答案：⊆4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________________．解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x |α＝k π＋π3，k ∈.答案|α＝k π＋π3，k 5．(2018·嘉兴七校联考)设角α是第三象限角，且满足|sinα2|＝－sin α2，则α2是第________象限角．解析：因为角α是第三象限角，所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二或第四象限角．又因为|sin α2|＝－sin α2，所以sin α2＜0，所以α2是第四象限角．答案：四[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为()A ．40πcm 2B ．80πcm 2C ．40cm 2D ．80cm 2解析：选B∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12cm ，则弧长l 等于()A.433πcm B.833πcm C.43cm D ．83cm解析：选B设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝43cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833πcm.3．(2019·瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为________．解析：＋l ＝8，＝4.＝2，4，所以扇形的圆心角的弧度数为|α|＝l r ＝42＝2.答案：24．若扇形的圆心角α＝60°，半径R ＝10cm ，求扇形的弧长l 及扇形的弧所在的弧形的面积．解：∵α＝60°＝π3，R ＝10cm ，∴l ＝Rα＝10×π3＝10π3cm.设弧形的面积为S ，则S ＝12R 2α－12R 2sin π3＝12×102×π3－12×102×32＝2.[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴－52，－sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.答案：－232．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.答案：－35角度二：三角函数值的符号判定3．(2019·湖州六校联考)已知sin 2θ＜0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，sin θ)在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B由|cos θ|＝－cos θ可知cos θ＜0，由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0可知sinθ＞0，所以tan θ＜0.所以点P (tan θ，sin θ)在第二象限．4．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0θ＞0，θ＜0，所以θ为第二象限角．答案：二[通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝()A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为()A.45B ．－45C.35D ．－35解析：选D因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，sin α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D因为点P α＜0，α＜0，所以α的终边在第四象限，故选D.2．(2018·舟山五校联考)若tan α＜0，则()A ．sin α＜0B ．cos α＞0C ．sin αcos α＜0D ．2cos 2α－1＜0解析：选C因为tan α＜0，所以α是第二或第四象限角，所以sin α，cos α的符号不确定，故排除A 、B ；当α是第二象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0；当α是第四象限角时，sin α，cos α符号相反，所以sin αcos α＜0，故选C.3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为()A ．π3B ．π2C ．3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝ 3.4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．(2019·丽水模拟)已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，sin αcos α＝________.解析：因为角α的终边经过点(2，－2)，所以sin α＝－22，cos α＝22，sin αcos α＝－12.答案：－22－12二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．(2019·台州模拟)已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A ．－π3B ．2π3C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以－12，θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于()A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2.4．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为()A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．点A (sin 2018°，cos 2018°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C由2018°＝360°×5＋(180°＋38°)可知，2018°角的终边在第三象限，所以sin2018°＜0，cos2018°＜0，即点A位于第三象限．6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．a－9≤0，＋2＞0，∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________.解析：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝13.综上可得sinβ＝13.答案：139．已知角θ的终边上有一点(a，a)，a∈R且a≠0，则sinθ的值是________．解析：由已知得r＝a2＋a2＝2|a|，sinθ＝ar＝a2|a|＝＞0，a＜0.所以sinθ的值是22或－22.答案：22或－2210．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)＋l ＝8，＝3，＝3，2＝1，6，∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r＝14×＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校(2019·衢州模拟)已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.(1)求x的值；(2)求sinα＋1tanα的值．解：(1)因为角α的终边经过点P(x，－2)，且cosα＝36 x，所以有xx2＋2＝36x.因为x≠0，所以x2＋2＝12，解得x＝±10.(2)若x＝10，则P(10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝－210＝－55，所以sinα＋1tanα＝－66－ 5.若x＝－10，则P(－10，－2)，所以sinα＝－212＝－66，tanα＝210＝55，所以sinα＋1tanα＝－66＋ 5.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.2．诱导公式组序一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限[小题体验]1．已知＝35，αsin(π＋α)＝______.答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________．解析：原式＝(－sin 1071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案：－12132．________，________.答案：(1)22(2)3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选Asin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ()A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝－12.3．已知＝33，则________.解析：－π6＋＝tan π＝－＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)αf解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴＝114π＝1tan π6＝ 3.5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α＝sin(π＋α)·－sin α＝sin αsin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为()A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512.答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θsin θ－cos θ的值为________．解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcosθ＝29.又因为θsin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23.答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tanπ4＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于()A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝yx＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为()A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2ββ－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49.3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)α＜sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知＝32，且|α|＜π2，则tan α＝()A ．－33B ．33C ．－3D ．3解析：选C 因为sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝＝－3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝()A ．sin 2－cos 2B ．cos 2－sin 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|.又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0.∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α()A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α所以α为第三象限的角，cos α＝－45.2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2018)＝5，则f (2019)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B∵f (2018)＝5，∴a sin(2018π＋α)＋b cos(2018π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2019)＝a sin(2019π＋α)＋b cos(2019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos (1009π－2α)的值为()A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B由题意可得tan α＝2，所以cos (1009π－2α)＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是()A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sinθ21.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则(π＋α)()A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为()A ．1＋5B ．1－5C ．1±5D ．－1－5解析：选B由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知a (|a |≤1)，则sin ________．解析：由题意知，cos π＝－a .sin π2＋a ，所以0.答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713.10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)(θ－π)－解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝21＝18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得＝sin 2π2018＋sin 21008π2018＝sin 2π2018＋sin＝sin 2π2018＋cos 2π2018＝1.第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z).[小题体验]1．①y ＝cos 2x;②y ＝sin 2x;③y ＝tan 2x;④y ＝|sin x |四个函数中，最小正周期为π的奇函数是________．答案：②2．(教材习题改编)函数y ＝－2的定义域为________________．|x ≠k π＋π3，k1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是()A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin x 在区间0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈0，π2，得2x －π4∈－π4，3π4，所以x ∈－22，1，故函数f (x )＝sin x 在区间0，π4上的最小值为－22.答案：－2 2考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透] 1．函数y＝log21sin x－1的定义域为________．解析：21sin x－1≥0，x＞0，所以有0＜sin x≤12，解得2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈Z，|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k∈.|2kπ＜x≤2kπ＋π6或2kπ＋5π6≤x＜2kπ＋π，k2．函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为______________．解析：2x＞0，－x2≥0，π＜x＜kπ＋π2，k∈Z，3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为－3答案：－3[谨记通法]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y＝≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3解析：选A∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴∈－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3.2．(2018·浙北联考)函数f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4的最小值为________，最大值为________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－x ＋98.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－9；当sin x ＝1时，f (x )有最大值1.答案：－913．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1.∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2019·平阳模拟)已知函数f (x )＝2a x a ＋b (a ＜0)的定义域为0，π2，值域为[－5,1]，则a＋b ＝________.解析：因为x ∈0，π2，所以2x ＋π6∈π6，7π6，所以x ∈－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.答案：－1[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x|解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x |的最大值为54，最小值为1－22.考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·湖州期末)函数y ＝5sin －π3x()A ．6B ．－6C ．2π3D ．23解析：选A函数的最小正周期为T ＝2π|－π3|＝6.2．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若2，0，且f (x )的最小正周期大于2π，则()A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A∵2，0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ，∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝＋由×5π8＋2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.角度二：三角函数的对称性3．(2018·嘉兴期末)函数f (x )＝sin x ()A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6解析：选A由题可得，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z .所以当k ＝0时，函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12.4．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )角度三：三角函数的单调性5．(2019·浦江模拟)已知函数f (x )＝2sin ＋φ＞0，|φ|π，且是偶函数，则()A ．f (x )B ．f (x )C ．f (x )D ．f (x )解析：选A 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f (x )是偶函数，且|φ|＜π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sinx ＝2cos 2x ，所以函数f (x )[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．(2019·舟山模拟)若函数f (x )＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是()A ．π6B ．π3C ．π2D ．π解析：选D因为函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π(k ∈Z )．对比选项可知，φ的值可能是π.故选D.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________.解析：f (x )＝sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin 又因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.答案：π23．函数y ＝|tan x |－π2，_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |－π2，减区间为－π2，0和π.－π2，0和π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，周期为π的奇函数为()A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D都不正确，选A.2．函数y ＝sin x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为()A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6，故选D.3．函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 解析：选C∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ∈0________．解析：化简可得y ＝23sin 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈0，π2，∴函数的单调递增区间是0，π3.答案：0，π35．函数f (x )＝sin x 在0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈0，π2，∴2x ＋π3∈π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈－32，1.答案：－32，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()A ．3B ．2C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝sinωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32.2．关于函数y ＝x ()A ．是奇函数BD ．最小正周期为π解析：选C函数y ＝tanx A 错；函数y ＝tan x 增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ()A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则()A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈－5π2，π2，∵[－2π，0]⊆－5π2，π2，故A 正确．5．已知ω＞0，函数f (x )＝sinω的取值范围是()A ．12，54B ．12，34C ，12D ．(0,2]解析：选A由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，＋π4，πω⊆π2，3π2，＋π4≥π2，＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.6．若函数f (x )＝2tanT 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或37．已知函数f (x )＝x ∈－π3，a ，若f (x )的值域是－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈－π3，a ，∴x ＋π6∈－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈－π6，π2时，f (x )的值域为－12，1，∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：π3，π8．若函数f (x )＝ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12k ∈Z )，而x 0∈0，π2，所以x 0＝5π12.答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＜φπ.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )×π6＋＝32，即＝32.又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝x 令2k π－π2≤2x ＋π32k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2sinx (1)求函数f (x )图象的对称轴方程；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤x ≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间0，π2上取到最大值1，则实数a 等于()A ．1B ．52C ．32D ．2解析：选Cy x －12a ＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y －12a ＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ＞0，|φ|①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；④在区间－π6，以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝x 当x ＝π3时，x sin π＝0，所以f (x )f (x )在－5π12，π12上是增函数，则f (x )在－π6，⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.。