3.3二阶系统

c(tp) －c(∞) 100% 由σ% = c(∞)
得 tp=
σ% = e
ωd
× 100 %
−
πξ 1− ξ 2
或 σ%
=e
−π tgβ
× 100%
h(t)
由包络线求调节时间t 由包络线求调节时间 s
1+
1 1− ξ 2
e − ξωn t
2∆
由此可得： 由此可得：
1−
1 1− ξ 2
∆ = h(∞)×5% ∆ = h(∞)×2% 1 −ξωnt e =∆ 2 1− ξ
2 C s) ( ωn C s) ( ω = = 2 2 2 R(s) (s + ξω )2 + ωd R(s) s + 2ξω s + ωn n n
2 n
c(t) = 1−
e
−ξω t n 2
j
1− ξ
sin ωdt +β) (
ωn 1 − ξ 2
ωd
−ξω n
ωn
β
0
c(t)=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)
∆ = ±5%
ξω n
l σ%= e z
−ξ (π −ϕ) 1−ξ 2
×100%
K 例3-3 已知系统的闭环传递函 Ф(s)= 2 s +3s+K 数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统 的单位阶跃响应和σ% ,ts 。 的单位阶跃响应和 4 解：（1）K = 2 2）K = 4 （系统性能指标 ） ） ts = ξ ω nn=2.67 ω =2 4 Ф(s)= 2 2 单位阶跃响应 c(t)=1-2e-t+ -2t -ξπ/ 1-ξ2 ωn =e2 Ф(s)= s2 +3s+4 e 得 ξ=0.75<1 100% =2.8% σ%= s +3s+2 -ξ ωnt ξ=1.06>1 系统性能指标 te= 3T1= 3 单位阶跃响应 c(t)=1- s 2 sin(ωdt+β) 2 1-ξ 2 1 1 C(s)= s(s+1)(s+2) = -1.5t sin(1.32t+41.4o) =1-1.5e s s+1 s+2 +
第三章 时域分析法
第三节 二阶系统性能分析 一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、二阶系统的性能指标 四、带零点二阶系统的单位阶跃响应 五、改善二阶系统性能的措施
第三节 二阶系统性能分析
典型二阶系统的数学模型 一、典型二阶系统的数学模型
R(s)
_
ω2 n s(s+2 ξ n) ω
ξ ≤ 0.76 ξ ≤ 0.76
(±5%误差带 ± 误差带) 误差带
(±2%误差带 ± 误差带) 误差带
当ξ>0.76时，可用近似公式计算： 时 可用近似公式计算：
1 ts = (6.45ξ −1.7) ωn
4 已知二阶系统的闭环传递函数, 例3-3 已知二阶系统的闭环传递函数 C(s) = 2 R(s) s +s+4 求系统的动态性能指标及稳态误差. 求系统的动态性能指标及稳态误差 解：
第三节 二阶系统性能分析
不同控制对二阶系统性能的改善 c(t)
1 0 a—二阶系统 二阶系统 b—加比例微分 加比例微分
t
c—加微分负反馈 加微分负反馈
2 n
C(s)
C(s ) ω Φ (s ) = = 2 2 R(s ) s + 2ξωn s + ωn
ξ— 阻尼比 ω n — 无阻尼自然振荡频率
特征根为： 特征根为： s1,2 = −ξω ± ωn ξ2 −1 n
2 ωn Φ(s) = 2 2 s + 2ξω s + ωn n
s1,2 = −ξω ± ωn ξ −1 n
R(s)
τs + 1
2 ωn C(s) s( s + 2ξω n )
ξ′ = ξ +
τωn
2
两 种 方 法 比 较
阻尼比增大了 图3-17 比例微分控制的二阶系统
2 (τs + 1)ωn Φ(s) = 2 2 2 s + (2ξω +τωn )s + ωn n
ξ′ = ξ +
τωn
2
阻尼比增大了
R(s)
2
ξ＞1 ＞
1 T2
1 T1
j 0
ξ＝1 ＝
j 0
过阻尼
临界阻尼
0＜ξ＜1 ＜ ＜
j 0
欠阻尼
ξ＝0 ＝
j 0
零阻尼
欠阻尼二阶系统动态性能分析 欠阻尼二阶系统动态性能分析
j
ωn
β
−ξω n
0
cosβ = ξ
2 ωn Φ(s) = 2 2 s + 2ξω s + ωn n
0 < ξ<1时： 时
2
s1, 2 = − ξωn ± jωn 1 − ξ
e − ξωn t
ts
令c(t ) = 1 −
1 1− ξ
2
e
− ξωn t
tssin(ω t + β)中的sin(ω t + β) = ±1 的计算
d d
第三节 二阶系统性能分析
调节时间t 调节时间 s
求取调节时间可用近似公式： 求取调节时间可用近似公式：
3 ts = ξω n
4 ts = ξω n
Θc(s) Θr(s) 12.25 ω n= K 闭环传递函数 解： K=150 （3） ） _ s(s+34.5)
第三节 二阶系统性能分析
81页 页
随动系统的响应曲线 c(t)
1
0五、改善二阶系统性能的措施
系统的平稳性和快速性对系统结构 和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过 和参数的要求往往是矛盾的 工程中通过 在系统中增加一些合适的附加装置来改 善二阶系统的性能。 善二阶系统的性能。 常用附加装置有比例微分环节和微 分负反馈环节， 分负反馈环节 ， 通过附加的装置改变系 统的结构,从而达到改善系统性能的目的 统的结构 从而达到改善系统性能的目的. 从而达到改善系统性能的目的
c(t) = 1− 1 1− ξ2 e
−ξω t n
sin ωdt +β) (
弧度
π−β tr = ωd
−1
取其解中的最小值， 令c(t)=1取其解中的最小值， 取其解中的最小值
ξ 友情提醒：cos β = ξ 所以 β = cos π 友情提醒： 一阶导数=0， 令c(t)一阶导数 ， 一阶导数
取其解中的最小值
2 ωn C(s) s( s + 2ξω n )
若两个图中的τ取相同的值， 若两个图中的 取相同的值， 取相同的值
τs
图3-19 加微分负反馈的二阶系统
你猜他们的超调量谁大？ 你猜他们的超调量谁大？
若两个图中的τ取相同的值， 若两个图中的 取相同的值， 取相同的值
1 R(s) = 2 ， ss各为 e 多大？ 多大？ s
π π − β° t= = − 75 tr r 1ωd .9
π tp = p ωd 1 .9
3 3 ts = t s = ξω n 0.5
？
ess = 0
σ% e σ% == e
π −− π tg tgβ 75°
第三节 二阶系统性能分析
由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点： 由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点： 决定。 1）平稳性： 主要由 决定。 ）平稳性： 主要由ξ决定 ξ↑→ σ% ↓→平稳性越好 平稳性越好,ξ= 时 2）快速性： 由ξ和 ω n 决定。 0时, ）快速性： 平稳性越好 决定。 和 系统等幅振荡,不能稳定工作 不能稳定工作.ξ一定时 系统等幅振荡和 不能稳定工作 ω n 一定时 一定时,若 较小 决定。 较小,则 3）准确性： 由ξ和 ω n 决定。ts ↑, ）准确性： 若ξ较小 则ξ↓ → 一定时 ω n↑→ ω d↑, 系统平稳性变差 系统平稳性变差. 之后又有ξ↑ 当ξ >0.707之后又有 → ts ↑, 之后又有 ξ的增加和 n的减小虽然对系统的平稳 的增加和ω 的增加和 太小或太大,快速性均变差 即ξ太小或太大 快速性均变差 太小或太大 快速性均变差. 性有利， 性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态 综合考虑系统的平稳性和快速性， 综合考虑系统的平稳性和快速性，一 误差增加。 误差增加。 般取ξ 为最佳。 般取 = 0.707为最佳。 为最佳
K 例3-3 已知系统的闭环传递函 Ф(s)= 2 s +3s+K 数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统 的单位阶跃响应和σ% ,ts 。 的单位阶跃响应和 （2）K = 4 ） 解：（1）K = 2 ωn= 2 ） 4 Ф(s)= 2 ξ=0.75<1 s +3s+4 c(t)=1-2en =e2 2 单位阶跃响应 ω -t+ -2t Ф(s)= 2 得 -ξ ωnt s +3s+2 e ξ=1.06>1t+β) 系统性能指标 sin(ωd 单位阶跃响应 c(t)=11-ξ2 2 1 -1.5t 2 1 - sin(1.32t+41.4o) C(s)= =1-1.5 s(s+1)(s+2) = se s+1 s+2 -ξπ/ 1-ξ2 4 100% =2.8% σ%= e ts = ξ ω n =2.67 +
h( t ) = 1 − 1 1− ξ e 2
− ξωn t
sin( ωd t + β )
二阶系统动态性能指标定义
c(t)
A 超调量σ% = 超调量 A 100% B