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二阶系统的时间响应

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二阶系统的时间响应及动态性能

二阶系统的时间响应及动态性能


（3-7）
当 T1 T2 （或ξ ）很大时，特征根
图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性
λ2 = −1 T2 比 λ1 = −1 T1 远离虚轴，模态 e−t T2
很快衰减为零，系统调节时间主要由 λ1 = −1 T1 对应的模态 e−t T1 决定。此时可将过阻尼二
阶系统近似看作由 λ1 确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图 3-7 曲线体现了这一规律
例 3-6 系统结构图如图 3-19 所示。求开环增益 K 分别为 10，0.5，0.09 时系统的动态
性能指标。
解 当 K =10， K ＝0.5 时，系统为欠阻尼状态，当 K =0.09 时，系统为过阻尼状态，应按相应的公式计算系
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
λ1 = λ2 = − ωn = − 1 T1
系统单位阶跃响应的拉氏变换
C(s)
=
Φ(s)R(s)
=
(s
ωn2 + ωn )2
1 s
67
其单位阶跃响应为
h(t) = 1 − (1 + ωnt)e−ωnt 临界阻尼二阶系统的调节时间 ts 可参照过阻尼二阶系统调节时间的方法计算，只是此时 T1 T2 = 1，调节时间
−
2
ξω n
≈
3.5 ξω n
（ 0.3 < ξ < 0.8 ）
自动控制原理 二阶系统的响应

自动控制原理 二阶系统的响应

欢迎光临
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
3.3 二阶系统的时间响应

3.3 二阶系统的时间响应


由传递函数
1 s
2 X o s n Gs 2 2 X i S s 2n s n
得
2 2 n n 1 X o s Gs X i S 2 2 2 2 s 2n s n s ss 2n s n
下面根据阻尼比的不同取值情况来分析二阶系统的单位阶跃响应。
2 n n 1 1 X o s 2 s s n 2 s n ss n
对其进行拉氏反变换得二阶系统在临界阻尼系统状态下的单位阶跃响应为
t 0 xo t 1 e nt 1 nt ，
其响应曲线如图所示，既无超调，也无振荡。
2s 1 ，试求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 s 2 2s 1
当输入信号是单位阶跃信号时，x1i t 1t ，X 1i s 1 ，则系统在单位阶跃信号作用
下的输出拉氏变换为
s
X 1o s G s X 1i s
故系统的单位阶跃响应为
2s 1 1 1 1 s s 2 2s 1 s s 12 s 1
2
式中
d n 1 2
称为阻尼自然频率。

当ζ=1时，二阶系统称为临界阻尼系统，其特征方程的根是两个相等的负实根，即
s1, 2 n
3.3.1 二阶系统的数学模型（3）

当ζ＞1时，二阶系统称为过阻尼系统，其特征方程的根是两个不相等的负实根，即
s1, 2 n n 2 1
当输入信号是单位阶跃信号时则系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为故系统的单位阶跃响应为当输入信号为单位脉冲信号时根据线性定常系统的性质可得系统的单位脉冲响应tedt
3.3 二阶系统的时间响应
大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应

大学自动控制原理_3.3二阶系统时间响应


1s 5% ts 1.33 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。
Fi (t )
xo (t )
m c
k
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t ) Fk Fc Mo (t ) x Fk kxo (t ) Fc cxo (t )
即：
e
nt 2
1

1 1 1
2
解得： t s
n
ln
4 ln
若 0.02
1 1
2
则t s
n
3 ln
1 1
2
若 0.05
则t s
n
4
0.02) ( 若0 0.7时 ts n ts 32、源自阻尼状态( 0)2
1 X o (s) 2 2 s s n
1 s s s 2 n2
n
xo (t ) 1 cos nt
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
1 X o (s) 2 s (s n )
( 1)
n
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
ts ts N T 2
d
0 0.7时，
0.02时，t s 0.05时，t s 4
n
3
N N
2 1
2

1. 5 1
2
n

振荡次数N随着 而 。
( 2 1) nt ( 2 1) n t e e 2 2 1
3.3二阶系统的时间响应

3.3二阶系统的时间响应


n 2 X 0 ( s) n 2 2 2 (s n jd )(s n jd ) X i (s) s 2n s n
共扼复根:
s1,2 n jn 1 2
j
令:
d n 1 2
称为有阻尼振荡角频率

第三章
控制系统的时域分析
第三章
控制系统的时域分析
3.3.4时域分析性能指标
（4）调整时间 t s （Settling Time） ：响应曲线达到并 一直保持在允许误差范围内的最短时间。 （5）延迟时间 t d （Delay Time） ：响应曲线从零上升 稳态值50％所需的时间。 （6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。 常用的指标:最大超调量、峰值时间、调整时间和振 荡次数。 上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统 的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳 定性。
1.0 2.0
1
2
3
4
5
6 nt
7
8
9
10 11 12
不同ξ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图
第三章
控制系统的时域分析
几点结论： 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：
< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；
0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
但响应愈快;
= 0时，出现等幅振荡。
第三章
控制系统的时域分析
几点结论：
工程中除了一些不允许产生振荡的应用， 如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻 尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间， 以保证系统的快速性同时又不至于产生过 大的振荡。 一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
二阶阶跃响应动态性能指标求取

二阶阶跃响应动态性能指标求取

二阶阶跃响应动态性能指标求取二阶系统是控制系统中常见的一种模型，其阶跃响应动态性能指标是评估系统的性能好坏的重要指标。

本文将从二阶系统的阶跃响应的定义、特点和性能指标的求取方法等方面进行阐述。

首先，二阶系统的阶跃响应是指系统在输入为单位阶跃信号时的响应。

假设二阶系统的传递函数为：G(s)=K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)其中，K为增益，ξ为阻尼比，ω_n为自然频率。

二阶系统的阶跃响应具有以下特点：1.超调量：超调量是指阶跃响应中峰值与系统最终稳定值之间的差值，用百分数表示。

超调量越小，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。

2.响应时间：响应时间是指系统从单位阶跃响应开始到稳定的时间。

响应时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越迅速。

3.调整时间：调整时间是指系统从初始状态到达超调量指定范围内的时间，一般取超调量为5%。

调整时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。

4.峰值时间：峰值时间是指系统对阶跃输入的响应达到其最大值的时间。

5.匀稳态误差：系统在稳态下的输出与输入的差值，反映系统的控制准确性。

若单位阶跃输入的稳态输出为1，则对于系统的阶跃响应不应有静态误差。

有了以上的定义和特点之后，下面将介绍二阶系统阶跃响应动态性能指标的求取方法。

首先，根据传递函数可求得系统的特征方程：s^2+2ξω_ns+ω_n^2=0然后，通过特征方程可以求得系统的根：s_1=-ξω_n+ω_n√(ξ^2-1)s_2=-ξω_n-ω_n√(ξ^2-1)根据系统根的位置可以对系统的动态性能进行评估。

1.超调量的计算：超调量的计算公式为：MP=e^(-πξ/√(1-ξ^2))其中，MP为超调量，ξ为阻尼比。

2.响应时间的计算：响应时间的计算公式为：t_r=π/ω_d其中，t_r为响应时间，ω_d为峰值时的角频率，可通过特征方程得到：ω_d=ω_n√(1-ξ^2)3.调整时间的计算：调整时间的计算公式为：t_s=4/(ξω_n)其中，t_s为调整时间。

机械工程控制基础[3]系统的时间响应分析

机械工程控制基础[3]系统的时间响应分析


动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时 间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。
动 态 过 程
动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入 信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过 程。 由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其他一些原因， 系统输出量不可能完全复现输入量的变化。 根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、 发散或等幅振荡形式。 动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应 速度及阻尼情况等信息，这些信息用动态性能描述。
单位阶跃响应
单位阶跃响应
单位阶跃响应
一 阶 系 统 的 动 态 性 能 指 标 由上表的数据分析可知，一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲 线，一阶系统的响应速度随时间 t 的增大而单调减小。根据动态性能指标 的定义可求出，一阶系统的动态性能指标为：td=0.69T，tr=2.20T，ts=3T。
二阶系统的单位阶跃响应 当ξ=0，系统为无阻尼系统时，特征根为一对共轭纯虚根，由式（4-5 ），有h(t)=1-cosωnt(t≥0)。此时，系统以无阻尼振荡频率ωn作等幅振 荡。 当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时，特征根为一对实部为负的共轭复根 ，由式（4-5），有
1
2
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统0<ξ<1的单位阶跃响应如下图所示。
二阶系统的单位阶跃响应
二、二阶系统的单位阶跃响应
当ξ=0，系统为无阻尼系统时，特征根为一对共轭纯虚根，由式（4-5 ），有h(t)=1-cosωnt(t≥0)。此时，系统以无阻尼振荡频率ωn作等幅振 荡。 当0<ξ<1，系统为欠阻尼系统时，特征根为一对实部为负的共轭复根 ，由式（4-5），有
二阶系统的时间响应

二阶系统的时间响应


xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo (t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
Xo (s)
G(s)Xi (s)
)
0
即： tg(dt p )
1 2 tg
dt p k , k 0, 1, 2,
根据tp的定义解上方程可得：
tp
d
n
12
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一
半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，
tp 越大。
✓ 最大超调量 Mp
100
M
p
xo (t e
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值 的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百 分数表示：
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
若xo(tp) xo()，则响应无超调。
✓ 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。
1 ent 1
12
可以求得：
ln ln 1 2
ts
n
由上式求得的ts包通常偏保守。
当0<<0.7时，
ts
ln ln
n
1 2
4
3n
, ,
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述

控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述

控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。

在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。

本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。

一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。

一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。

单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。

从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。

时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。

二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。

二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。

时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。

对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。

从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。

二阶系统的时间响应及动态性能介绍

二阶系统的时间响应及动态性能介绍

二阶系统的时间响应及动态性能介绍二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，例如二阶电路、二阶机械系统等。

在控制系统和信号处理的领域中，二阶系统有着广泛的应用。

二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标之一在阶跃信号输入时，二阶系统的时间响应可以分为三个阶段：超调阶段、振荡阶段和稳定阶段。

超调阶段是指系统在初期反应过程中，输出信号的幅值超过了稳态值。

振荡阶段是指系统在超调过程之后，输出信号会出现一定的振荡现象。

稳定阶段是指系统输出信号逐渐趋于稳定的阶段。

超调量是指系统在初期反应过程中，输出信号的峰值与稳态值之间的差值，通常用百分比表示。

超调量越小，系统的动态性能越好。

调节时间是指系统从初始状态到达稳态的时间。

当输出信号接近稳态值时，调节时间结束。

调节时间越短，系统的动态性能越好。

上升时间是指系统从初始状态到达信号波形上升至稳定值的时间。

上升时间越短，系统的动态性能越好。

峰值时间是指系统输出信号达到超调量峰值的时间。

峰值时间越短，系统的动态性能越好。

除了上述指标外，二阶系统的频率响应和阶数也是评价系统性能的重要指标之一、频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应特性。

系统的阶数表示系统的自由度，同时也反映了系统的复杂性。

综上所述，二阶系统的时间响应和动态性能是评价系统性能的重要指标。

不同的二阶系统在时间响应和动态性能上有不同的特点和表现。

对于
不同应用场景的二阶系统，我们可以根据需要选择合适的指标和方法进行评估和优化，以提高系统的性能和效果。

第三章二阶系统响应与时域性能指标解析

第三章二阶系统响应与时域性能指标解析

第三章二阶系统响应与时域性能指标解析在控制系统中，二阶系统是指具有二阶传递函数的系统。

二阶系统在工程实践中非常常见，例如机械系统、电子电路系统等。

了解二阶系统的响应和时域性能指标对于设计和分析控制系统非常重要。

二阶系统的传递函数可以表示为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}}$，其中$\omega_n$是系统的自然频率，$\zeta$是系统的阻尼比。

首先我们从系统的阶跃响应来分析二阶系统的时域性能指标。

阶跃响应是系统对阶跃信号输入的响应。

通过对传递函数分母进行因式分解，我们可以将传递函数改写为$G(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+s_1)(s+s_2)}$，其中$s_1 = (-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$，$s_2 = (-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n$。

1. 峰值超调量（Percent Overshoot）：峰值超调量是指系统过渡过程中输出信号的最大超调量与步变幅度之比。

通过阶跃响应曲线可以直观地看出系统的峰值超调量。

2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态所需的时间。

在阶跃响应曲线中，调节时间可以定义为系统的输出信号在峰值超调之后首次进入指定误差范围内所需的时间。

一般来说，稳定误差范围可以选择输出信号与目标信号之差小于目标值的一些百分比，例如5%。

3. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指系统输出信号首次达到峰值超调量的时间。

在阶跃响应曲线中，峰值时间可以直接读取。

4. 上升时间（Rise Time）：上升时间是指系统输出信号从初始状态到达峰值的时间。

在阶跃响应曲线中，上升时间可以定义为系统输出信号从0.1倍峰值超调量到0.9倍峰值超调量之间所需的时间。

二阶系统的阶跃响应曲线具有不同的形态，取决于系统的阻尼比$\zeta$。

自动控制原理--二阶系统的时域响应


y(t ) L-1[Y (s)]
-n
1 - e-nt (cos d t
1 - 2 sin d t )
s2
1-
e - nt (
1- 2
1 - 2 cos d t sin d t )
j jd
0
1-
e - nt 1 - 2 sin(n
1 - 2 t tg-1
1- 2 )
y(t)
单位阶跃响应（ 0<<1 ）
esst
2
a K
K
0.25
a 0.187
比例微分控制与输出微分反馈的比较
1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；
2、对于噪声和元件的敏感程度不同； 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不
同； 4、对动态响应的影响不同。
（1）增加阻尼的来源
• 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；
1)
阶跃响应：y(t) 1
1
-1t
e T1
1
-1t
e T2
T2 T1 -1
T1 T2 -1
yt
j
1
0
0
t
单位阶跃响应（>1）
无振荡、无超调
2、临界阻尼 =1
j 0
两个相同的负实根
闭环系统的极点为 s1,2 -n
闭环传递函数为
GB
Y (s) R(s)
(s
n2 n )2
阶跃响应： y(t) 1- e-nt (1 nt)
阻尼振荡频率
衰减振荡
d 1- 2n
4、零阻尼 0
阶跃响应y(t)=1-cos nt
n --无阻尼振荡角频率
j 0
一对纯虚根

实验三——二阶系统的时域响应及性能分析

实验三——二阶系统的时域响应及性能分析实验三主要研究了二阶系统的时域响应及其性能分析，通过实验得到不同二阶系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应，并对其进行分析和性能评估。

首先，实验中使用的二阶系统是由两个一阶系统串联而成，可以通过两个一阶系统的参数来确定二阶系统的性能。

实验中设置了不同的参数组合来得到不同的二阶系统，并测量了这些系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。

实验中，单位阶跃响应是通过给系统输入一个单位阶跃信号，观察系统的输出得到的。

单位脉冲响应是通过给系统输入一个单位脉冲信号，观察系统的输出得到的。

通过测量这两个响应，可以了解二阶系统在时域的性能。

对于单位阶跃响应，实验中测量了系统的超调量、调整时间和稳态误差。

超调量是指单位阶跃响应中最高峰值与稳态值之差与稳态值的比值，可用来评估系统的动态性能。

调整时间是指从单位阶跃信号开始输入到响应达到其稳态值所需要的时间，反映了系统调整过程的快慢。

稳态误差是指系统最终的输出值与期望值之差，用来评估系统的稳态准确性。

对于单位脉冲响应，实验中测量了系统的峰值和时间常数，用来评估系统的动态特性。

峰值是指单位脉冲响应中的最高值，与系统的阻尼比有关。

时间常数是指单位脉冲响应中曲线从0到达其最大值所需要的时间，与系统的阻尼比和自然频率有关。

通过实验数据的测量和分析，可以得到不同参数组合下的二阶系统的性能指标，进而对系统进行评估。

如果超调量小、调整时间短、稳态误差小，表示系统的动态特性优秀，能够快速、准确地响应输入信号；如果峰值小、时间常数短，表示系统的动态特性好，有较快的响应速度和较小的振荡现象。

综上所述，实验三通过对二阶系统的时域响应进行测量和分析，并对性能指标进行评估，可以得到不同二阶系统的动态特性和稳态准确性信息。

这些信息对于系统设计和参数调整具有重要的参考价值。

通过实验的学习，可以更深入地理解掌握二阶系统的性能分析方法，为系统控制和优化提供理论和实践基础。

二阶系统时域响应

超 调 。 ζ=1 时 系 统 的
响应速度比ζ>1 时快。
④当 1 时：过阻尼系统 s1,2 n n 2 1
系统两个不等负实根：
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
Y (s) R(s)(s) 1
n2
0
t
s (s s1)(s s2 ) 过阻尼系统单位阶跃响应( >1)
1 c1 c2
4
5
6
d n n
(2)峰值时间 tp
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
dy(t) dt
ent
1 2
n
sin(d t
) d
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t
)
1
2
cos(d t
)
ent n 1 2
cos
sin(d t
) sin
cos(d t
)
ent n 1 2
③当 =1时，临界阻尼系统
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
系统两个负实重根： s1 s2 n
Y
(s)
R(s)(s)
1 s
(s
n2 n
)2
1 1 n s s n (s n )2
y(t) 1 ent (1 nt), t 0
0
t
临界阻尼系统单位阶跃响应(
=1)
输出响应无振荡和
1.欠阻尼二阶系统的性能指标
本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。
其单位阶跃响应曲线： 性能指标有：
y(t) 1
ent

二阶系统峰值时间公式

二阶系统峰值时间公式二阶系统峰值时间公式是描述二阶系统阻尼比对系统响应速度的影响的公式。

在控制系统中，二阶系统是指具有两个自由度的系统，常见的例子包括振动系统和滤波器。

峰值时间是指系统响应达到峰值的时间。

对于二阶系统，峰值时间取决于系统的阻尼比和自然频率。

阻尼比是描述系统阻尼程度的参数，自然频率是指系统在没有外界干扰下的固有振动频率。

二阶系统的峰值时间公式可以用以下形式表示：$$T_p = \frac{\pi}{\omega_d}$$其中，$T_p$表示峰值时间，$\omega_d$表示系统的阻尼比。

峰值时间公式的推导是通过解析二阶系统的传递函数得到的。

对于一个二阶系统，其传递函数可以表示为：$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}$$其中，$\omega_n$表示系统的自然频率，$\zeta$表示阻尼比，$s$表示复变量。

在控制系统中，常用的二阶系统是二阶低通滤波器。

峰值时间公式可用于计算滤波器的响应时间。

滤波器的峰值时间表示滤波器响应到达最大幅值所需的时间。

对于一个二阶低通滤波器，其传递函数可以表示为：$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}$$其中，$\omega_n$表示滤波器的截止频率，$\zeta$表示阻尼比。

通过峰值时间公式，我们可以得知阻尼比对滤波器响应速度的影响。

当阻尼比增大时，滤波器的峰值时间减小，响应速度加快；当阻尼比减小时，滤波器的峰值时间增大，响应速度减慢。

峰值时间公式还可以用于评估系统的稳定性。

根据峰值时间公式，当阻尼比小于1时，系统的峰值时间会无限增大，系统失去稳定性。

因此，阻尼比的选择对于系统的稳定性至关重要。

在实际控制系统设计中，我们可以根据系统的要求和性能指标选择合适的阻尼比。

如果需要系统响应速度较快，则可以选择较小的阻尼比；如果需要系统具有较好的稳定性，则可以选择较大的阻尼比。

二阶系统的时间响应及动态性能介绍


表 3-3 二阶系统（按阻尼比ξ ）分类表
分类
特征根
ξ >1
过阻尼
ξ =1
临界阻尼
λ1,2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 λ1,2 = −ω n
特征根分布
模态
e λ1t e λ2t
e −ωnt te −ωnt
0 < ξ < 1 λ1,2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2
欠阻尼
3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类
常见二阶系统结构图如图 3-６(a)所示，其中 K ，T0
为环节参数。系统闭环传递函数为
Φ(s) =
K
T0s2 + s + K
为分析方便起见，常将二阶系统结构图表示成如图 3-６ (b)所示的标准形式。系统闭环传递函数标准形式为
1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10 所示的两种形式表示。 z 直角坐标表示
λ1,2 = σ ± jω d = −ξω n ± j 1 − ξ 2ω n
z “极”坐标表示
（3-8）
⎧ ⎨ ⎩
λ ∠λ
= ωn =β
⎧ cos β = ξ ⎩⎨sin β = 1 − ξ 2
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
性。

实验二 系统时间响应分析

实验二系统时间响应分析实验课时数：2学时实验性质：验证性实验实验室名称：数字化实验室一、实验项目设计内容及要求1.实验目的使学生进一步理解和掌握系统时间响应分析的相关知识2.实验内容完成一阶、二阶和三阶系统在单位脉冲和单位阶跃输入信号以及正弦信号作用下的响应，求取二阶系统的性能指标，记录试验结果并对此进行分析。

3.实验要求要求学生用MA TLAB软件的相应功能，编程实现一阶、二阶和三阶系统在几种典型输入信号（包括单位脉冲信号、单位阶跃信号）作用下的响应，记录结果并进行分析处理：对一阶和二阶系统，要求用实验结果来分析系统特征参数对系统时间响应的影响；对二阶系统和三阶系统的相同输入信号对应的响应进行比较，得出结论。

4.实验条件利用机械工程学院数字化试验室的计算机，根据MATLAB软件的功能进行简单的编程来进行试验。

二、具体要求及实验过程1各种时间输入信号响应的表达（1）单位脉冲信号响应：[y,x]=impulse[sys,t]（2）单位阶跃信号响应：[y,x]=step[sys,t]（3）任意输入信号响应：[y,x]=lsim[sys,u,t]其中，y为输出响应，x为状态响应（可选）；sys为建立的模型；t为仿真时间区段（可选）试验方案设计可参考教材相关内容，相应的M程序可参考（杨叔子主编的《机械工程控制基础》第五版）提供的程序，在试验指导教师的辅导下掌握M程序的内容和格式要求，并了解M程序在MATLAB软件中的加载和执行过程。

2实验的具体内容（1）完成一阶（选用不同的时间常数T）、二阶系统（选择不同的阻尼比ξ和无阻尼固有频率w，n而且阻尼比ξ要有欠阻、临界阻尼和过阻尼三种情况）在典型输入信号（单位脉冲、单位阶跃、正弦信号）作用下所对应的时间响应实验；（2）完成二阶系统性能指标的求取（设计的二阶系统必须是欠阻尼的二阶系统）。

4.实验分析内容（1）分析时间常数对一阶系统时间响应的影响；（2）分析参数对二阶系统的时间响应的性能指标的影响；（3）分析系统稳定性与系统特征值的关系；（4）了解系统频率响应的特点。

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因此：
dt
xo
(t)
d dt
xo1(t)
2et
tet
6、 二阶系统的性能指标
➢ 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的 定量指标，是定量分析的基础。
系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶 跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调 量Mp、振荡次数N。
例题 ➢ 例1
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7
5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
四、二阶系统的时间响应
1、二阶系统
G(s)
T
2s2
1
2Ts
1
s2
n2 2ns
n2
其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期，
为阻尼比；
n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。
二阶系统的特征方程：
s2 2ns n2 0
极点（特征根）： p1,2 n n 2 1
➢ 临界阻尼二阶系统： ＝1 具有两个相等的负实数极点：
但响应愈快；
= 0时，出现等幅振荡。
工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指 示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且 阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快 速性同时又不至于产生过 大的振荡。
一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越
迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应
的快速性越好。
G(s)
2s 1 (s 1)2
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
Xo (s) G(s)Xi (s)
2s 1 s(s 1)2
1 s
(s
1 1)2
1 s 1
从而： xo (t) L[Xo (s)] 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 (t) d [1(t)]
xo(t) 1
1
e( 2 1)nt， t 0
2(1 2 1 2 )
特点
✓ 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长
0
t ✓ xo () = 1，无稳态
误差。
➢
X
无阻尼（=0）状态
o
(s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
xo (t) 1 cosnt, t 0
xo(t) 2 特点
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 ✓ xo() = 1，无稳态误差； ✓ 瞬态分量为振幅等于 e nt 1 2 的阻尼
正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。
阻尼振荡频率 d n 1 2 ；
✓ 振荡幅值随减小而加大。
xo (t) 1
e nt
1 2
sin(dt ),
t0
X o (s)
系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：
e(n jd )t ente jdt
其中， d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
p1,2 n n 2 1
➢ 零阻尼二阶系统： ＝0
p1,2 n n 2 1
具有一对共轭虚极点：
p1,2 jn
系统时域响应含有复指数振荡项：
e jnt
➢ 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
p1,2 n n 2 1
2、二阶系统的单位脉冲响应
G(s)
s2
n2 2n s
n2
xo (t) L1
G(s)
L1
(s wn )2
wn 2 (wn
1 2 )2
➢ 0<<1：
xo (t)
Байду номын сангаас
n 1 2
ent
sin dt,
t0
➢ = 0：
xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
G(s)Xi (s)
s(s2
2 n
2 n s
2 n
)
➢ 临界阻尼（=1）状态
xo(t) 1 (1nt)ent , t 0
xo(t)
特点
1 ✓ 单调上升，无
振荡、无超调；
✓ xo () = 1，无
0
t 稳态误差。
➢ 过阻尼（>1）状态
xo (t) 1
2(1
1
e( 2 1) nt
2 12)
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态 值的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用 百分数表示：
➢ 欠阻尼（0<<1）状态
xo (t) 1
e nt
1 2
s in(d t
),
t0
其中，d n 1 2
arctg 1 2 arccos
2
1.8 1.6 1.4 1.2 1
=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5 t
10
15
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
xo(t)
Mp 1 0.9
允许误差 =0.05或0.02
0.1
0
tr tp
ts
t
控制系统的时域性能指标
评价系统快速性的性能指标
✓ 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需 时间。对无超调系统，上升时间一般定义为 响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需 的时间。
✓ 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
p1,2 n
系统包含两类瞬态衰减分量：
ent , tent
➢ 过阻尼二阶系统： > 1
具有两个不相等的负实数极点：
p1,2 n n 2 1
系统包含两类瞬态衰减分量：
p1,2 n n 2 1
exp n n
2
1
t
➢ 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点：
p1,2 n jn 1 2 n jd
频率为n的等
1
幅振荡。
0
t
➢ 负阻尼（<0）状态 -1<<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。 < -1：输出表达式与过阻尼状态相同。
xo(t)
xo(t)
0
t
-1<<0 特点：振荡发散
0
t <-1
特点：单调发散
➢ 几点结论
二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo(t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n
e
2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
Xi
(s)
1 s
X o (s)
G(s) X i
(s)
s(s2
2 n
2 n s
n2 )