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y(t p ) 1 e 1 2
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
tp
tp
Time (sec.)
%
y(tp )
y() 100% e
1 2
100%
y()
% e 1 2 100%
%的大小完全取决于ζ，ζ越小，%越大； 反映了系统的平稳性, ζ越大，系统平稳性越好。 ζ= 0.4~0.8 % = 25.4%~1.5%。
From: U(1) 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
tp
tp
Time (sec.)
tp
d
n
1 2
峰值时间=阻尼振荡周期的一半
ζ一定时，ωn越大，tp越小； ωn一定时，ζ越大，tp越大。
(3)超调量%
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
阻尼系数
特征根
特征根分布 单位阶跃响应
0,零阻尼
s1,2 jn 一对共轭虚根
一对共轭复根
0 1,欠阻尼 s1,2 n jn 1 2 (左半平面）
1，临界阻尼
s1 s2 n
一对负实重根
1，过阻尼
s1,2 n n 2 1 两个互异负实根
n
ts
3
n
,
5%
4
ts n , 2%
• 典型二阶系统的调节时间ts与阻尼比和自然振荡 频率ωn的乘积成反比。
• 闭环极点离虚轴越远，ts越短，系统响应越快。
(5)振荡次数N
2
2
tf
d
n
1 2
阻尼振荡周期
1.5 1 2 , 5%
N ts tf
),
t
0
tp
d
代入y (t ), 有：
1.4
1.2
1
y(t)max y(t p ) 1
e 1 2 sin( ) 1 2
Amplitude To: Y(1)
0.8 0.6
0.4
Step Response From: U(1)
而sin( ) sin 1 2
第三章 时域分析法
3.1 典型输入信号 3.2 控制系统的时域性能指标 3.3 一阶系统的时域响应 3.4 二阶系统的时域响应 3.5 高阶系统的时域分析 3.6 线性定常系统的稳定性和劳斯判据 3.7 控制系统的稳态误差
1
3.5 二阶系统的时域响应
一、二阶系统的数学模型 二、二阶系统的单位阶跃响应 三、二阶系统的性能指标 四、二阶系统对其他典型输入信号的响应 五、具有零点的二阶系统分析 六、改善二阶系统性能的措施
1 2
sin(d t
)
0
[总结]
1、二阶系统的动态性能由ωn和ζ 决定。
2、增加ζ 降低振荡，减小超调量%和振荡次数N ， 系统快速性降低，tr、tp增加；
3、ζ 一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、 ts越小。
4、 % 、N仅与ζ 有关，而tr、tp、与ζ 、ωn有关， 通常根据允许的最大超调量来确定ζ 。ζ 一般选 择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的 瞬态响应时间。
(4)调整时间 ts
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
按定义： y(ts ) y() y()
包络线 1 ent 1 2
1 ents 1
1 2
ts
ln 1 n
2
或
ln ln 1 2
n2
0
t
s (s s1)(s s2 ) 过阻尼系统单位阶跃响应( >1)
1 c1 c2 s s s1 s s2
系统输出无振荡和
y(t) 1 2
n 2
es1t
1
s1
es2t s2
,
t
0
超调，输出响应最 终趋于稳态值1。
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和 单位阶跃响应如下表所示：
结论： 当ζ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设
计二阶系统，一般选ζ =0.707(β=45°),为最佳阻尼比, 此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。
ζ= 0.707 % = 4.32%≈5%。ts ≈ 3/( ζωn)。
ln ln 1 2
ts
一、二阶系统的数学模型
• 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；
• 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶 系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二 阶系统具有很重要的意义；
• 求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何 二阶系统的动态性能指标。
Rs
• 系统结构图：
n2
s s 2n
③当 =1时，临界阻尼系统
yt
s1,2 n n 2 1
1
1
1
系统两个负实重根：s1 s2 n
Y
(s)
R(s)(s)
1 s
(s
n2 n
)2
1 1 n s s n (s n )2
y(t) 1 ent (1 nt), t 0
时域响应：
y(t)
1
ent
cos d t
ent
n d
sin dt
1 ent (cosdt
1
2
sin dt)
1
ent (
1 2
1 2 cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
cos d t
0
t
临界阻尼系统单位阶跃响应
( =1)
输出响应无振荡和
超 调 。 ζ=1 时 系 统 的
响应速度比ζ>1 时快。
④当 1 时：过阻尼系统 s1,2 n n 2 1
系统两个不等负实根：
yt
1
s1,2 n n 2 1
1
1
Y (s) R(s)(s) 1
[总结]
阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断 一个二阶系统的瞬态品质。在 1的情况下瞬态特性为单调变化
曲线，无超调和振荡，但ts 长。当 0 时，输出量作等幅振荡
或发散振荡，系统不能稳定工作。
在欠阻尼 (0 1) 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振 荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
(1)上升时间tr (2)峰值时间tp (3)超调量σ% (4)调节时间ts (5)振荡次数N (6)稳态误差ess
c(t)
σ%
ess
1
0 tr tp
ts t
(1)上升时间 tr
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
系统两个共轭虚根：s1,2 jn
Y (s)
n2 s(s2 n2
)
1 s
s2
s
n2
y(t) 1 cosnt, t 0
此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以，n 称为无 阻尼振荡角频率。
②当 0 1 时，欠阻尼系统： s1,2 n n 2 1
• 闭环极点坐标与阻尼比的关系：
j
s1
1 等阻尼线
n d n 1 2
n
s2
2 cos 3 横 坐 标 n 4 纵 坐 标 d 5 距 原 点 n
三、二阶系统的性能指标
1.欠阻尼二阶系统的性能指标
本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。
其单位阶跃响应曲线： 性能指标有：
注意到 % e 1 2 100% 与 有关，所以一般根据 % 来选择 。
6
d n n
(2)峰值时间 tp
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
dy(t) dt
ent
1
2
n
sin(d t
)
d
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t
)
1
2
cos(d t
Y (s) R(s)(s)
1
n2
s (s n jd )(s n jd )
1 s
(s
s n n )2 d2
(s
n n )2
d2
1 s
(s
s n n )2 d2
(s
n d
d
n )2 d2
ts
n
ln ln 1 2
ts
n
nts
ln
ln
1 2
当ζ由零增大时， ωnts先减小后增大， ∆= 5%，ωnts的最小值出现在ζ ＝0.69处； ∆= 2%，ωnts的最小值出现在ζ ＝0.78处； 出现最小值后， ωnts随ζ几乎线性增加。
1 s
s2 2ns n2 0
s1,2 2n
2n 2 4n2
2
பைடு நூலகம்
n
n
2 1
ζ值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、 复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不 相同。下面分别讨论。
①当 0 时，零阻尼系统
s1,2 n n 2 1
2
1 2
, 2%
N 仅与有关:越大， N越小，系统平稳性 越好。
(6)稳态误差ess
根据稳态误差的定义
e(t) r(t) y(t)
ent
1 2
sin(d t
)
欠阻尼二阶系统的稳态误差:
ess
lim e(t)
t
lim
t
ent
等幅振荡 衰减振荡 单调上升 单调上升
二阶系统的阻尼响应曲线
随着阻尼系数ζ的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰 减的正弦运动，当ζ>1时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。 ★ 0.707 最佳阻尼比，系统响应较快、超调不大。
cos
sin dt)
1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
y(t) 1
ent
1 2
sin(d t
),
t
0
欠阻尼系统的单位阶跃响应（ 0<ζ<1 ） 系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰 减的周期函数，其振荡频率为：d 1 2n
Y s
• 闭环传递函数：
(s)
s2
2 n
2 ns
2 n
• 闭环特征方程：
s2
2
ns
2 n
0
(s) 为典型二阶系统的传递函数， 为阻尼系数， n 为无阻尼自然振荡角频率或固有频率。
例1：RLC电路的传递函数为
R
G(s) Uc(s)
1
Ur (s) LCs2 RCs 1 ur(t)
s2
n2 2n s
n2
L C uc(t)
2n
R L
n2
1 LC
n
1 LC
R 2
C L
可见：二阶系统 的参数与标准式 的参数之间有着 对应的关系。
二、二阶系统的单位阶跃响应
Y
(s)
(s)R(s)
s2
n2 2n s
n2
)
ent n 1 2
cos
sin(d t
) sin
cos(d t
)
ent n 1 2
sin(d t )
dy(t) dt
ttp
sin dt p
n entp 0 1 2
Amplitude To: Y(1)
Step Response
),
t
0
y(tr ) 1
sin dtr 0
tr
d
n 1
2
Amplitude To: Y(1)
Step Response
From: U(1) 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
tr tr 1
2
3
Time (sec.)
4
5
二阶系统两个共轭复根：
s1 n j n 1 2 j d s2 n j n 1 2 j d
其中： d n 1 2 阻尼振荡角频率
cos1
阻尼角
j
s1
n d
n
s2
s域输出响应：
