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二阶系统的阶跃响应(PPT课件)

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3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应

3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应

1
是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界
o
t
临界阻尼响应
（四）无阻尼（ 0 ）的情况
系统有一对共轭纯虚数极点 p1, 2 j n ,它们在S平面上的位置如 将 0 代入 图所示。
C (t ) 1 e nt (cos d t

C (t ) 1 cos n t
0
2
P 1 n n
1
系统具有实部为正的极点，
P2 n n 2 1
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。
根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特
点。因此阻尼比

是二阶系统的重要特征参数。
若选取
n t为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
j
1
2
sin d t )
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 [s] C(t) 1 o
n
n
P 1
o
P2

(a)
0
(b)
t
无阻尼时的极点分布和响应
综上所述，不难看出频率
n 和
的物理意义。 d
——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 n 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。 —— d 分析
如图所示，此时曲线只和阻尼比

有关。
C (t )
0.1
0.3 0.5 0.7
越小，响应特性振荡得越厉害, 随着 增大到一定程度，响应特
性变成单调上升的。

系统无振荡时，以临界阻尼时过 渡过程的时间最短，此时，系统 具有最快的响应速度。

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

阶跃响应函数为：
C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
n2 s(s n)2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
C(t)
2
1
0
nt
0 2 4 6 8 10 12
10
33..33.2 典二型阶二阶系系统统的的单位阶阶跃跃响响应 应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) ent (1 nt)，t 0
开环传递函数为: 闭环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2
ns
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
2 n
2 ns
n2
(s) 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参
数。
2
3.3 二阶系统的阶跃响应
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
⒋当 1 时，极点为： s1,2 n n 2 1
即特征方程为
两阶系统的瞬态响应
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
2 n
R(s) [s n ( 2 1)][s n ( 2 1)]
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
Step Response 1
0.9
0.8 0.7 0.6
Amplitude

自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt

自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)

自动控制原理第三章 二阶系统PPT

自动控制原理第三章 二阶系统PPT

tr t p
ts
t
第一节 系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落 如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新 系 统 输 出 C∞1 的 最大降落 的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统 值。 的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的 根据系统在负载扰动之后的典型过 时间。 度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节 二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则 根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节 二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析

《阶电路的阶跃响应》课件

《阶电路的阶跃响应》课件
研究RC电路中阶跃响应的特点与行为。
二阶阶跃响应
1
二阶阶跃函数的形式
了解二阶阶跃函数的数学表示。
2
RLC电路的二阶阶跃响应
探索RLC电路中二阶阶跃响应的特性。
3
二阶阶跃响应的周期性
研究二阶阶跃响应的周期性与频率。
数字信号的阶跃响应
1 什么是数字信号？
解释数字信号的基本概 念与定义。
2 数字滤波器的阶跃
响应
探索数字滤波器中阶跃 响应的特征与应用。
3 数字信号的抽样频
率
的应用
剖析阶跃响应在电路设计与 信号处理中的实际应用。
阶电路在滤波器中的应 用
揭示阶电路在滤波器设计与 频谱分析中的重要作用。
阶跃响应在自动控制中 的应用
探索阶跃响应在自动控制系 统设计与反馈控制中的应用。
《阶电路的阶跃响应》 PPT课件
欢迎进入本节课程。今天，我们将深入讨论阶电路的阶跃响应，探索在电子 工程中的应用以及相关实例。
阶跃响应的概念
什么是阶跃响应？
了解阶跃响应定义与概念。
阶电路的定义
理解阶电路的基本概念与组成。
一阶阶跃响应
一阶阶跃函数的形式
学习一阶阶跃函数的数学表达形式。
RC电路的阶跃响应
结论
阶跃响应是电路中的重要概念
强调阶跃响应在电子工程中的核心地位与应用。
阶电路的阶跃响应是电子工程中常用的基本理论之一
提醒理解与掌握阶电路的阶跃响应理论对电路设计与分析的重要性。
对阶跃响应的掌握和应用能提高电子工程的设计和实现水平
鼓励学员深入理解阶跃响应的原理，并将其应用于实际项目中。

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。

2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。

了解电路参数对环节特性的影响。

3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。

4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。

二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。

2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。

3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。

三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。

研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。

典型二阶系统的结构图如图所示。

不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。

当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。

当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。

A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。

它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。

该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。

当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。

这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。

抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。

4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。

脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。

单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。

第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件

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第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）

《阶电路的阶跃响应》课件

《阶电路的阶跃响应》课件

03
更为直观和常用。
主题展望
01
02
03
随着电子技术的不断发 展，阶跃响应的研究和 应用将更加广泛和深入
。
未来研究可以探索更复 杂电路模型的阶跃响应 特性，以及如何优化电 路设计以提高其性能和
稳定性。
此外，还可以研究阶跃 响应与其他电路性能指 标之间的关系，以更好 地理解和评估电路性能
。
实践应用建议
阶跃响应分类
零状态响应与零输入响应
根据系统是否受到初始状态的影响，阶跃响应可以分为零状态响应和零输入响应。零状态响应是指系统受到外部 激励作用而产生的动态过程，不受到初始状态的影响；零输入响应则是指系统在没有外部激励作用下的自由振荡 过程，受到初始状态的影响。
一阶、二阶、高阶响应
根据系统阶数不同，阶跃响应可以分为一阶、二阶、高阶响应等不同类型。不同阶数的系统具有不同的动态特性 ，其阶跃响应也具有不同的特点。
对于一阶RC电路
i(t) = I_0 * (1 - e^(-t/RC))
对于一阶RL电路
i(t) = I_0 * e^(-t/RL)
一阶电路的阶跃响应特性
初始状态
在t=0时，电流或电压从0开始 变化。
动态过程
电流或电压随时间变化而逐渐 接近稳态值。
稳态值
当时间趋于无穷大时，电流或 电压达到稳态值。
3
研究高阶电路的阶跃响应特性有助于优化电路设 计，提高系统的稳定性和可靠性。
CHAPTER 06
结论
主题总结
01
阶电路的阶跃响应是电路从稳定状态到另一个稳定状态的变化 过程，涉及到动态特性和瞬态响应。
02
通过分析阶跃响应，可以了解电路在不同激励下的性能表现和

第二章二阶系统阶跃响应第二部分

第二章二阶系统阶跃响应第二部分

➢ 峰值时间tp：单位阶跃响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。
➢稳态时间ts：也叫过渡过程时间，指响应曲线最后进入偏离稳态值的误差为±5 ％（或者±2％）的范围并且不再越出这个范围的时间。
➢ 稳态误差ess：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应稳态 值与期望值（即输入量）之差，定义为稳态误差，即: ess＝1－y(∞)
100%
(式2)
显然， σ% 和ts都是以小为好，通常σ%认为不宜超过50％，而ts的值根据被控对象本身特 征有很大差别，超调量表明系统的平稳性。
二阶系统阶跃响应实验就是研究ξ 和 ωn取值不同对σ% 和ts的影响。
二、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1、系统动态性能指标计算
（1）上升时间 tr ： （2）峰值时间 t p ：
1− 2
100%
（式5）
2、二阶系统阶跃响应曲线分析
由前面分析，系统输出：
Y(s )
=
(s )R(s )
=
s(s 2
+
n2 2ns
+
n2 )
（1）无阻尼 （ξ=0 ）
y(t) = 1 − cos nt, t 0
特点：曲线为频率 n的等幅振荡。
y(t)
2
1
0
（2）欠阻尼 0< ξ<1 二阶系统的单位阶跃响应
tr
=
− arccos d
tp
=
d
=
n
1− 2
（3）稳态时间 ts ：当阻尼比 ξ<0.8 时:
其中 d = n 1− 2 （式3）
为阻尼振荡频率 （式2）
ts
=
3.5

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应
4 6 8 10 12
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
Step Response
e(t ) r (t ) y (t ) 1 y (t )
Amplitude
1
=0.3,n=10
0.8

e nt 1
2
sin(n 1 2 t )，t 0
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应 1 当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) ，有： s 2 1 n 1 C ( s ) ( s ) 2 2 s s 2 n s n s 2 1 n 1 1 1 c(t ) L [( s) ] L [ 2 ] 2 s s 2 n s n s
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 2 C ( s) n R( s ) s( s 2 n ) 典型结构的二阶系统如图所示。 2 n 开环传递函数为: G( s) 2 s 2 n s 2 n G( s ) 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n ( s ) 称为典型二阶系统的传递函数， n 称为 称为阻尼系数， 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为：
阶跃响应函数为：
2
s1, 2 n
1 n n2 1 1 n C ( s) 2 s s 2n s n 2 s( s n )2 s s n ( s n )2

二阶电路阶跃响应

二阶电路阶跃响应

二阶电路是指由两个电感和两个电容构成的电路，常用于滤波、放大和振荡等应用。

在二阶电路中，阶跃响应是指当电路输入为阶跃信号时，电路输出的响应情况。

对于一个二阶系统，其阶跃响应可以分为三种情况：
1.无阻尼振荡：当系统存在无阻尼时，即无阻尼系数ζ=0时，系统会出现无阻尼振荡。

此时，系统的输出将会产生一系列周期性的波形，幅值振荡并逐渐趋向于稳定状态。

2.欠阻尼：当系统存在欠阻尼时，即0<ζ<1时，系统的输出将会发生震荡，并逐渐衰
减至稳定状态。

此时，系统的输出将会出现多次衰减的振荡，振荡的频率取决于系统的固有频率ωn和阻尼系数ζ。

3.过阻尼：当系统存在过阻尼时，即ζ>1时，系统的输出将不会发生震荡，而会快速
衰减至稳定状态。

此时，系统的响应将会非常迅速地趋向于稳定状态，但是衰减的速度取决于系统的阻尼系数ζ和固有频率ωn。

总之，二阶电路的阶跃响应会受到阻尼系数ζ、固有频率ωn等多个因素的影响，而不同的参数组合将会导致不同的响应情况。

因此，在实际应用中，需要根据具体的应用需求选择合适的参数组合以及相应的响应方式。

第三节 二阶系统的阶跃响应图文演示课件.ppt

第三节 二阶系统的阶跃响应图文演示课件.ppt

1、二阶系统的传递函数
我们称二阶微分方程描述的系统为二阶系统，如 图3-10所示的位置随动系统的开环传递函数为：
WK

KK s(Tms 1)
系统的闭环传递函数为：
WB
(s)

Tm s 2
KK s
KK
二阶系统闭环传递函数的标准形式为：
WB (s)

s2
KK 1
/ Tm s
KKΒιβλιοθήκη Tm Tm2019/11/17
3
式中：Tm 二阶系统的时间常数，单位为秒
1 二阶系统的阻尼比，无量纲
2 Tm KK
引入参数n
KK , 称作二阶系统的自然振荡角频率 Tm
或无阻尼振荡频率，单位为rad / s, 则得：
WK

n2 s(s 2n )
WB (s)

Xc (s) Xr (s)

s2
n2 2ns n2
)
sin 1 2 cos arctg 1 2 (阻尼角)
2019/11/17
第三章 控制系统的时域分析
11
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t) 的第一项是稳
态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正 弦振荡，其振荡频率为：
d n 1 2
Cx(ct()t )
单位阶跃输入时，R(s) 1 ，输出的拉氏变换为： s
Xc (s)
1 s

s
2
n2 n2

1 s
s2
s
n2
xc (t) 1 cosnt
响应为等幅振荡，n 为系统的无阻尼自然频率。
2019/11/17
d 称为阻尼自然振荡频率。

二阶系统的阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

二阶系统阶跃响应一. 实验目的1. 研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响，定量分析ζ和ωn与最大超调量σp和调节时间t s之间的关系。

2. 进一步学习实验系统的使用3. 学会根据系统的阶跃响应曲线确定传递函数4. 学习用MATLAB仿真软件对实验内容中的电路进行仿真。

二.实验原理典型二阶闭环系统的单位阶跃响应分为四种情况：1）欠阻尼二阶系统如图1所示，由稳态和瞬态两部分组成：稳态部分等于1，瞬态部分是振荡衰减的过程，振荡角频率为阻尼振荡角频率，其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率ωn决定。

图1 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线（1）性能指标：调节时间t S: 单位阶跃响应C(t)进人±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再超出该误差带的最小时间。

超调量σ% ；单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

峰值时间t P ：单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

结构参数ξ：直接影响单位阶跃响应性能。

（2）平稳性：阻尼比ξ越小，平稳性越差（3）快速性：ξ过小时因振荡强烈，衰减缓慢，调节时间t S长，ξ过大时，系统响应迟钝，调节时间t S 也长，快速性差。

ξ＝0.7调节时间最短，快速性最好。

ξ＝0.7时超调量σ%<5％,平稳性也好，故称ξ＝0.7为最佳阻尼比。

2）临界阻尼二阶系统（即ξ＝1）系统有两个相同的负实根，临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是无超调的，无振荡单调上升的，不存在稳态误差。

3）无阻尼二阶系统（ξ＝0时）此时系统有两个纯虚根。

4）过阻尼二阶系统（ξ>1）时此时系统有两个不相等的负实根，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无振荡无超调无稳态误差，上升速度由小加大有一拐点。

三.实验内容1.启动MA TLAB7.0，进入Simulink后新建文档，在文档里绘制二阶系统的结构框图。

双击各传递函数模块，在出现的对话框内设置相应的参数。

二阶系统PPT课件

二阶系统PPT课件
s
第3页/共40页
分析：
1、过阻尼ξ>1的情况
系统闭环特征方程有两个不相等的实根
特征方程为：
s2
2wns
wn2
(s
1 T1
)( S
1 T2
)
0
其中：T1
wn (
1
2
1)
T2
wn (
1
2
1)
则：
C(s) R(s)
1/ T1T2 (S 1 )(S
1)
(T1S
1 1)(T2s 1)
T1
T2
且T1>T2, Wn2=1/T1T2
h(t) 1 (1 nt)ewnt
3、零阻尼ξ=0的情况
这时系统极点为，s1,2=±jWn
C(s)
2 n
s(n2
s2)
1 s
s2
s
n2
c(t) 1 cosnt,t 0
第7页/共40页
4、欠阻尼0<ξ<1的情况
系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰 减振荡特性，故又称为振荡环节。一对共轭复根为：
tp
0, d
, 2 d
,.......
由于tp定义为第一次到达峰值的时间，所以应该取：
tp
d
n
1 2
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3、超调量σ%
将t=tp代入代入系统阶跃响应的表达式，且h(∞)=1,
h(t p ) 1 e 1 2
所以
%
h(t
p
)
1
e
1 2
100%
1
σ
ζ
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4、调节时间ts
Ka在取不同值时，系统的阶跃响应曲线如下所示：

第四讲 二阶系统.ppt

第四讲 二阶系统.ppt

Va
Km
m
Ls + R
3. 电机转矩：

C J － －
m
1
m
m
m
m

C J －
2
l
l
l
l
/ N,
l
m
N
2
1
ωl = ωm / N, τ2 = N τ1
m


Jm

Jl N2

m


Cm

Cl N2

NR
ζ= 2
K p Ka Km J
R
ω2 n
C
s ω ω 2 + 2ζ
s+ 2
n
n
图.4.14 一般闭环传递函数
◆ 阶跃响应
当阶跃输入作用于二阶系统时，
ω C(s) = (s ω ω S
2
n
2
+ 2ζ
ns+
2n)
=
1 S
－
(S
+ζ
S + 2ζ ωn
ωn)2
+
ω2 n
(1－ζ
2
)
c t L1 C s 1
1

s2

1 LC
Rs
1
L LC
ω2 = 1
n LC
ωn =
1 LC
2ζ
ωn
=
R L
闭环传递函数为:
R
ω2 n
s ω ω 2 + 2ζ
ns+
2 n
图.4.14 一般的闭环传递函数
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三、二阶系统的其他输入响应

即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
一、二阶系统的阶跃响应

当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)

e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
R(s)
-
K s ( s 1)
C(s)
1 s
三、二阶系统的其他输入响应
线性定常系统的重要特性 1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为 r (t ) 其对应的输出为 c (t ) ，拉氏变换为 C ( s) R( s)G( s) dr (t ) 2、若输入变为 r1 (t ) ，其拉氏变换为
e ntr sin( d t r ) 0
解之得 t r d
arccos
二、二阶系统的动态过程分析
n t 2 d
3、峰值时间tp的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将 c(t )求一阶导并另其为零。 1 整理得 1 2 tan( d t p ) 解之得


二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1

n t 2 d
n t d
1

ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
第三章 时域分析法
第二节 二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的动态性能分析
（动态指标求取） 二阶系统的其他输入响应
一、二阶系统的阶跃响应

典型二阶系统的结构图

闭环传递函数为
一、二阶系统的阶跃响应

特征方程

特征根

显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响 应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时， 对系统的影响作出讨论。
可见，阻尼比越大，超调量 越小，反之亦然。一般取 阻尼比在0.4-0.8时，超调量介于1.5%-25.4%之间。
二、二阶系统的动态过程分析
5、调节时间 t s 的计算 1 c ( t ) 1 e t sin( d t )中， 在 2
n
1
是对称于 c() 1 的 一对包络线， 整个响应过程都是在这一对包络线内进行的，为计算 方便，常采用包络线代替实际响应曲线，来估算调节 1 时间则 e t 0.05或0.02 1 2 3.5 3.5 1 2 ln( 0.05 1 ) ，近似为 t s 解之得 t s n n
c(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成: 稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差； 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频 率为 d ，称为阻尼振荡频率，瞬态分量 的衰减速度取决于指数函数的幂，称 为 衰减系数。
s 2 n 1 1 s 2 2 2 2 2 s s 2 s s ( s ) d ( s ) 2 d
n n
拉氏反变换得
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin( d t )
其中 arccos
/ 1 2
e
/ 1 2
sin( )
解之得 c(t p ) 1 e
则超调量为
，因为 c() 1
% e
/ 1 2
100%
二、二阶系统的动态过程分析
由上式表明， %仅是阻尼比 的函数， 与自然频率 n 无关。 超调量与阻尼比的关系曲线 如图。

t dr (t ) R1 ( s) L[ ] sR ( s) t 这时系统输出为 C1 (S ) G(s) R1 (s) G(s)sR(s) sC (s) dc(t ) 则拉氏反变换为 c1 (t ) t
即，当输入为原来输入的导数时，输出也变为原来输出 的导数
1 3、当输入变为 r2 (t ) r (t )dt时，拉氏变换为R2 ( s ) R ( s ) s 1 对应的输出变为 C2 ( s) G ( s) R2 ( s) C ( s) s 对上式拉氏反变换为 c(t ) c(t )dt
tp d
d n 1 2
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将t t p 代入得 1
n t 2 d
c(t p ) 1
1
因为 cos
1 2 则 sin( ) 1 2
s1, 2 n jn 1
2
对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为 衰减振荡过程，此时系统为 欠阻尼 情况。（后面将继 续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）
一、二阶系统的阶跃响应

当
特征方程有两个相等的实根 1 2 s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
一、二阶系统的阶跃响应

当 1 0系统有两个正实部虚根 单位阶跃响应为
h(t ) 1
e
n t 2
2 1
sin( n 1 t )
2
arctan( 1 2 )
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态 过程为发散正弦振荡的形式 总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定
1 2
n
1
1
e nt
若误差带为0.02，则
ts
4.5
n
4.5ຫໍສະໝຸດ 二、二阶系统的动态过程分析
n 越大，t s 越小，若 n一定，则调节 由此可见， 时间 t s 与 成反比。这与 t d ，t p ，t r 与 的关系是 不一样的。
根据以上分析，如何选取 和 n，来满足系统设计要求， 总结如下： 1、当 n一定时，要减小 t r 和 t p ，必须减小 的值，要 减小 t s 则应增大。但注意 是有一定范围的。 2、增大 n，能使 t r ， t p 和 t s 减小。 3、超调量 %只由 决定； 越小， %越大。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应

具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应

当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
单位阶跃响应时
1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s s n
2 n

可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应

当
0 1系统有一对具有负实部的共轭复数根

当
1
系统有两个不相等的负实根
2
s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
e e c(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
t / T1
t / T2
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周 期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此 时系统为 过阻尼 情况。
二阶系统的阶跃响应

经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
2
2 若令 n , d n 1