第3章3.1知能优化训练

1．a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是________．(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析：由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①，④，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52.可知③可能成立．答案：③2．(2011年镇江调研)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ， 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．下列结论正确的是________． ①当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 ②当x >0时，x ＋1x ≥2 ③当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：①中，当x >0且x ≠1时，lg x 不一定是正数；③中，当x ≥2时，x ＋1x ≥2x ×1x ＝2中的等号不成立；④中，当0<x ≤2时，可以证明y ＝x －1x 是增函数，则其最大值为f (2)＝32. 答案：②4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，则a 2＋b 2________22(a ＋b )．(填“>”“＝”或“<”) 解析：由不等式a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞)，可得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 又∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>22(a ＋b )． 答案：>一、填空题1．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)． 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 2 2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2，则P 、Q 、R 的大小关系为________． 解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R3．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________． 解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 答案：104．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab2，即ab ≤1，由①知成立． 答案：①③⑤5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)6．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，取等号． 答案：37．已知a >0，b >0，1a ＋2b1，则a ＋2b 的最小值为________． 解析：a ＋2b ＝(a ＋2b )(1a ＋2b )＝1＋2a b ＋2b a ＋4≥5＋22a b ×2b a＝9， 当且仅当⎩⎨⎧2a b ＝2b a 1a ＋2b＝1，即a ＝b ＝3时，取“＝”． 答案：98．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ；2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 答案：q ≤a ＋b 29．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2， ∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵够用且浪费最少，∴应选③.答案：③二、解答题10．判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12； (2)x ＞0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x ， 所以当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值； (3)x ＞0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2. 解：(1)错误．∵x 的正负不知，∴应分x ＞0与x ＜0两种情况进行讨论．当x ＞0时，f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12， 当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x ＞0时，f (x )有最小值12.当x ＜0时，f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]．∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x)·(－3x )＝12， ∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立，∴当x ＜0时，f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)， 不能运用基本不等式． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x，即(x ＋1x )2＝1时成立， 又x ＞0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x＞2.11．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．已知函数f (x )＝lg x ，若a >0，b >0，试判断12[f (a )＋f (b )]与f (a ＋b 2的大小，并加以证明． 解：12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)． ∵f (a )＋f (b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )，f (a ＋b 2)＝lg a ＋b 2. 又∵a ，b >0，∴a ＋b 2≥ab >0. 而函数f (x )＝lg x 在定义域内单调递增，∴lg a ＋b 2≥lg ab ＝12lg(ab ) ＝12(lg a ＋lg b )， 即12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．。

指出下列事件是必然事件、不可能事件， 指出下列事件是必然事件、不可能事件， 还是随机事件． 还是随机事件． (1)2010年亚运会在广州举行； 年亚运会在广州举行； 年亚运会在广州举行 (2)甲同学今年已经上高一，三年后他被北大自 甲同学今年已经上高一， 甲同学今年已经上高一 主招生录取； 主招生录取； (3)A地区在十二五规划期间会有 条高速公路 地区在十二五规划期间会有6条高速公路 地区在十二五规划期间会有 通车； 通车； (4)在标准大气压下且温度低于 ℃时，冰融 在标准大气压下且温度低于0 在标准大气压下且温度低于 化． 思路点拨】 根据三种事件的定义判定． 【思路点拨】 根据三种事件的定义判定．
2 提示：不可以． 只是 提示：不可以．“ ”只是 3 次抛掷时正面朝 3 上的频率，不是大量试验下的概率． 上的频率，不是大量试验下的概率．
课堂互动讲练
考点突破 必然事件、不可能事件、 必然事件、不可能事件、随机事件 的判定 要判断事件是哪种事件， 首先要看清条件， 要判断事件是哪种事件 ， 首先要看清条件 ， 条件决定事件的种类， 随着条件的改变， 条件决定事件的种类 ， 随着条件的改变 ， 其 结果也会不同． 结果也会不同．
例1
必然事件： 【解】 (1)必然事件：因事件已经发生． 必然事件 因事件已经发生． (2)(3)是随机事件，其事件的结果在各自的条 是随机事件， 是随机事件 件下不确定． 件下不确定． (4)是不可能事件，在本条件下，事件不会发 是不可能事件， 是不可能事件 在本条件下， 生． 思维总结】 在给定的条件下， 【思维总结】 在给定的条件下，判断是一 定发生，不一定发生，还是一定不发生， 定发生，不一定发生，还是一定不发生，来 确定属于哪一类事件． 确定属于哪一类事件．

1．下面关于力和运动的说法中正确的是()A．力是维持物体运动速度的原因B．力是使物体运动速度发生改变的原因C．物体不受外力作用时，一定处于静止状态D．物体不受外力作用时，可以任意改变其运动状态解析：选B.力是改变物体运动速度的原因，物体不受力时，运动状态不变．2．下列所述正确的是()A．如果地球突然停下来，那么地球上的一切建筑将被毁灭B．人在电梯启动的时候，会有一种特殊的内在感觉，由此可知，人在状态改变时才有惯性C．一辆汽车撞上前面停着的汽车，若这两辆汽车的司机受了伤，他们受伤的部位会截然不同D．在沿水平轨道上匀速行驶的封闭车厢内，人竖直跳起，落下后仍落到地板原处答案：ACD3．一个物体保持静止或匀速直线运动状态不变，这是因为()A．物体一定没有受到任何外力B．物体一定受两个平衡力的作用C．物体所受合外力一定为零D．物体可能受两个平衡力的作用解析：选CD.因为根本不存在不受任何外力的物体，所以A是错误的．物体受平衡力作用时，它所受合力为零，但合外力为零时，并不一定只受两个平衡力的作用，故B项是错误的．4．在水平的直线轨道上匀速行驶的车厢内，乘客手持小球在地板O点的正上方将球释放，若车厢的门窗均关闭，则下列说法中正确的是()A．小球落在O点前面，因为放开球时，手对球有一个向前的力B．小球落在O点，因为放开球时，小球具有与车厢相同的水平速度C．小球落在O点后面，因为空气对小球有向后的力D．小球落在O点后面，因为放开球时，车在向前运动解析：选B.小球离开手时，具有与车厢相同的速度，小球在下落过程中水平方向不受外力，因而水平方向的速度不变，与车厢相同．在小球下落的时间内，车在水平方向的位移与小球在水平方向上的位移相同，故小球应落在O点．5．如图3－1－2所示，将一玻璃瓶装水后密闭，并平放在水平桌面上，在瓶的中部有一小气泡处于静止状态，现用力突然将瓶子向前推动，使其在桌面上向前运动一段距离后停止，可看到气泡相对瓶子的运动情况是()图3－1－2A．向前B．向后C．先向前，再向后，最终回到原来位置D．先向后，再向前，最终回到原来位置解析：选C.当瓶子向右加速运动时，由于惯性，瓶中水要保持原来的静止状态．气泡左边的水由于瓶底的作用随瓶一起向右加速运动．而气泡右边的水将相对瓶向左移动，气泡向右移动．当瓶子运动起来后，最终静止，因此瓶子必然要减速运动，这时气泡右边的水受瓶的作用随瓶一起减速运动，而气泡左边的水将相对瓶向前(右)运动，气泡将相对瓶向后移动，最后回到原来的位置，应选C.6．一天，下着倾盆大雨，某人乘坐列车时发现，车厢的双层玻璃窗内积水了，列车进站过程中，他发现水面的形状如图3－1－3中的()图3－1－3解析：选C.列车进站时速度减小，由于惯性，水向前涌，液面形状和选项C一致．7．(学科内综合)如图3－1－4所示，在一辆表面光滑的小车上，有质量分别为m1、m2的两个小球(m1>m2)随车一起匀速直线运动，当车突然停止时，如不考虑其他阻力，设车足够长，则两个小球()图3－1－4A．一定相碰B．一定不相碰C．不一定相碰D．难以确定是否相碰，因为不知小车的运动方向解析：选 B.当小车突然停止时，由于惯性，两小球将以原速度继续做匀速直线运动，一定不相碰．8．(创新应用题)如图3－1－5所示，斜面体M的各表面光滑，上表面水平，放在固定的斜面上，在M的水平上表面放一光滑小球m，后释放M，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是()图3－1－5A．沿斜面向下的直线B．竖直向下的直线C．无规则的曲线D．抛物线解析：选 B.由于各接触面光滑，故小球在水平方向上不受力，只在竖直方向上受到力的作用，由于惯性，小球保持水平方向的静止状态不变，小球只能在竖直方向上运动，故其运动轨迹只能是竖直向下的直线．9．如图3－1－6所示，在前进的小车上放一竖直木块，突然发现木块倾倒，则造成倾倒的原因是什么？图3－1－6解析：从木块倾倒情况来看，其上端向左倾，造成这种状况的原因是：(1)下部向右的速度突然增大，而下部运动与车的运动情况相同，故小车应是向右加速；(2)下部向左的速度突然减小，即小车向左减速．答案：向右加速或向左减速。

1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，用不等式表示为________．解析：“不少于”即“≥”，故f ≥2.5%.答案：f ≥2.5%2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >453．(2011年无锡高二检测)设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式： (1)a 2<b 2；(2)ab 2<a 2b ；(3)1ab 2<1a 2b；(4)b a <a b . 其中成立的是________．解析：由a ，b 非零，知a 2b 2>0，又a <b ，则两边同乘以1a 2b 2，解得1ab 2<1a 2b. 答案：(3)4．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则M 与N 的大小关系为________．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5＞－5＝N ，∴M ＞N .答案：M ＞N一、填空题1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 在什么范围内________．解析：“限速”指的是“不超过”．答案：v ≤402．观察右图，用不等式表示出图中函数图象之间的关系为：________. 解析：g (x )的图象恒在f (x )的图象上方，即g (x )＝x 2＋1的函数值总是大于f (x )＝x 2的函数值，故不等关系为x 2＋1>x 2. 答案：x 2＋1>x 23．某班学生合影留念，冲洗胶片需22.5元，冲洗一张照片需2.5元，如果每人冲洗一张照片并且每人付款不超过3元，那么这个班至少有________名学生．解析：设这个班有x 名学生，依题意，得22.5＋2.5x ≤3x .解得x ≥45.答案：454．若m ≠3，且n ≠－2，则M ＝m 2＋n 2－9m ＋4n 的值与－13的大小关系为________． 解析：∵m ≠3，且n ≠－2，∴M ＝(m －3)2＋(n ＋2)2－13>－13.答案：M >－135．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则满足条件的不等式组为________．解析：设铅笔买x 支，练习本买y 本，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，y ≥6，0.6x ＋0.7y ≤10，x ，y ∈N *. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x ＋0.7y ≤10x ，y ∈N *6．(2010年高考江苏卷)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 答案：277．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4.解析：∵x 2＋y 2＋z 2－[2(x ＋y ＋z )－4]＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋1>0，∴x 2＋y 2＋z 2>2(x ＋y ＋z )－4.答案：>8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式是________．答案：a ＋m b ＋m >a b9．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则x 1，x 2与x 3的大小关系为：________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝50＋(x 3－55)x 2＝30＋(x 1－20)x 3＝30＋(x 2－35)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3－5x 2＝x 1＋10x 3＝x 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 3<0x 2－x 1>0x 3－x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2 答案：x 2>x 3>x 1二、解答题10．2010年春节期间，某夫妇打算利用年终奖进行外出旅游，丈夫的假期为20天，年终奖2.8万元；妻子的假期为25天，年终奖2.3万元．两人向旅行社咨询得知：去一个非洲国家平均要6天，1.5万元；去一个欧洲国家平均要花5天，1.2万元．若两个人在春节假期共去了x 个非洲国家，y 个欧洲国家，且足迹遍及两大洲，写出所有满足上述不等关系的不等式．解：用关于x 、 y 的不等式表示题中的不等式关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤201.5x ＋1.2y ≤2.8＋2.31≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤205x ＋4y ≤171≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N .11．已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．解：M －N ＝a ＋1－a 1－a －a －11＝(a ＋1)2－(a )2a ＋1＋a －(a )2－(a －1)2a ＋a －1＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1). ∵a ≥1，∴a ＋1＋a >0，a ＋a －1>0，又a －1－a ＋1<0，∴M －N <0.∴M <N .12．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1(1)当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )<f (b )．(2)当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.(3)当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )>f (b )．。