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数学模型第四版简单的优化模型

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简单的优化模型

简单的优化模型

整数规划模型的基本概念
整数规划定义
整数规划是一类要求决策变量取整数值的数学优化问题。在 实际应用中，由于某些决策变量可能要求取整数值，如设备 数量、人员分配等，因此整数规划具有广泛的应用背景。
整数规划分类
根据决策变量的限制条件，整数规划可分为纯整数规划（所 有决策变量均取整数值）和混合整数规划（部分决策变量取 整数值）。
多目标优化模型的求解方法
权重法
通过给每个目标函数分配一个权 重，将多目标问题转化为单目标 问题进行求解。权重的确定可以
根据实际情况或专家经验。
ε约束法
将多个目标中的一个作为主目标， 其他目标作为约束条件，通过不断 调整约束条件的参数ε来求解多目 标问题。
遗传算法
通过模拟生物进化过程中的选择、 交叉和变异等操作，搜索帕累托最 优解集。遗传算法适用于复杂非线 性多目标问题的求解。
线性规划模型的应用案例
生产计划优化
利用线性规划模型确定各 种产品的生产数量，以最 大化利润或最小化成本。
资源分配问题
在有限资源的条件下，通 过线性规划模型实现资源 的最优分配，满足需求并 最大化效益。
投资组合优化
投资者可以通过线性规划 模型，根据预期收益和风 险约束，求解最优投资组 合。
03
整数规划模型
多目标优化模型的应用案例
水资源分配问题
在水资源规划中，需要同时考虑供水、灌溉、发电、防洪等多个目标。通过构建多目标优 化模型，可以寻求水资源分配方案，使得各个目标在整体上达到最优。
投资组合优化问题
在金融领域，投资者需要在多个投资项目中选择合适的投资组合，以最大化收益并最小化 风险。这是一个典型的多目标优化问题，可以通过多目标优化模型求解得到帕累托最优解 集，供投资者决策参考。

简单的优化模型

简单的优化模型
01
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。

简单的优化模型

简单的优化模型
目标函数
多目标规划问题通常有多个目标函数，用于描述 不同目标之间的权衡关系。
决策变量
决策变量是问题中可以控制的变量，通过调整决 策变量的取值来达到优化目标的目的。
约束条件
约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束 或不等式约束，用于保证求解结果的可行性。
多目标规划求解方法
线性加权法
将多个目标函数通过加 权求和转化为单目标函 数进行求解，权重可以 根据实际情况进行调整 。
解。
03
整数规划模型
整数规划问题描述
实际问题的离散性
01
某些优化问题中，决策变量只能取整数值，如设备数量、人员
分配等。
约束条件的整数性
02
某些约束条件要求决策变量为整数，如资源分配、时间划分等
。
目标函数的整数要求
03
某些问题要求目标函数取整数值，如项目收益、成本等。
整数规划数学模型
整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP）：决策变量限制 为整数的线性规划问题，数学模型包括 目标函数、约束条件和整数变量。
优化模型应用场景
01
工业生产
通过优化生产计划和调度，提高生 产效率，降低成本。
金融投资
通过优化投资组合，实现风险最小 化和收益最大化。
03
02
物流运输
通过优化运输路径和方式，缩短运 输时间，减少运输成本。
城市规划
通过优化城市规划和交通布局，提 高城市运行效率和居民生活质量。

动态规划数学模型
阶段
动态规划问题可以划分为若干 个阶段，每个阶段对应一个决
策过程。
状态
状态表示每个阶段的起始条件 和结束条件，通常用一个变量 或一组变量来描述。

数学建模简单的优化模型

数学建模简单的优化模型

q T1 时， t 0, 故有 Q rT1 . 在 T1 到 T 这段缺货时间内需求率
量，当 t
⑻
q
q 不变， t 按原斜率继续下降，
Q
由于规定缺货量需补足，所以在
R A r
T1
t T 时数量为 R 的产品立即达，
B
T
t
使下周期初的存储量恢复到Q. 与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是c2 乘以图中三角形 A 的面积，缺货损失费是 c3乘以三角形 面积B, 加上准备费，得一周期内的总费用为
2
⑷
而
2c1r Q rT . c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
⑸
C 2c1c2 r .
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
⑹
结果解释 由⑷，⑸式可以看到，当 c1（准备费用）提高时，生 产周期和产量都变大；当 c2存储费增加时，生产周期和 产量都变小；当需求量 r 增加时，生产周期变小而产量 变大。这些结果都是符合常识的。
从而赢得竞争上的优势。
模型假设 为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 T ， 产量Q 均为连续变量. 1.每天的需求量为常数 r； 2.每次生产的准备费用为 c1 ,每天每件的存储费为 c2 ,
Q 3.生产能力无限大，即当存储量为零时， 件产品可以
立即生产出来.
建模 设存储量为 q t , q 0 Q. q t 以 r 递减，直到
0.1不变，研究 r 变化
40r 60 t r
r 1.5
⑶
t 是 r 的增函数，下图反映了t 与 r 的关系。
t 20
15
10
5
1.5

数学建模中的优化模型

数学建模中的优化模型

建模时需要注意的几个基本问题
1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量 2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求 最大/最小值、四舍五入、取整函数等 3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变 量的个数（如x/y <5 改为x<5y） 4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 5、模型中使用的参数数量级要适当(如小于103)
20
t 对r 的（相对）敏感度
t
15 10 5 0 1.5
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
60 S (t , r ) 3 40 r 60
2
2.5
r
3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对 钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量.
小型
钢材（吨） 劳动时间（小时） 1.5 280
中型
3 250
大型
5 400
现有量
600 60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大. • 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值 z=629，与LP最优值632.2581相差不大. 2 ）试探：如取 x1=65 ， x2=167 ； x1=64 ， x2=168 等， 计算函数值z，通过比较可能得到更优的解. • 但必须检验它们是否满足约束条件. 为什么？ 3）模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解.

简单的优化模型

简单的优化模型

整数规划模型的求解方法
穷举法
通过列举所有可能的解来找出最优解。适用于小规模问题，但对于 大规模问题效率低下。
分支定界法
通过不断分割问题空间并排除不可能的解来逼近最优解。适用于大 规模问题，但需要较高的计算复杂度。
启发式算法
通过设计一些启发式规则来加速搜索过程，如贪心算法、遗传算法等 。适用于一些特定类型的问题，但可能无法保证找到全局最优解。
通过动态规划可以求解资源分配问题 ，如任务调度、生产计划等，以实现 资源利用的最优化。
背包问题
通过动态规划可以求解0/1背包问题 、完全背包问题等，避免重复计算物 品的价值和重量。
05
模拟退火算法
模拟退火算法的定义与特点
定义
模拟退火算法是一种启发式搜索算法 ，通过模拟物理退火过程来寻找问题 的最优解。
运输问题
线性规划模型可以用于解决运输问题，如货 物运输、车辆调度等。
投资组合优化
线性规划模型可以用于优化投资组合，降低 风险并提高收益。
03
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊类型的线性规划，其中一部分或全部变量被约束为整数。
特点
整数规划的变量取值范围受到限制，通常用于解决资源分配、组合优化等问题 。
特点
遗传算法具有全局搜索能力，能够处理多维、非线性、非凸问题；同时，它还具有很好的鲁棒性和自适应性，能 够处理大规模、复杂的问题。
遗传算法的求解方法
编码方式
遗传算法需要对问题 进行编码，通常采用 二进制编码、实数编 码等。
适应度函数
适应度函数用于评估 个体的优劣，根据问 题的不同，适应度函 数也会有所不同。
简单优化模型的特点

简单的优化模型


04
模拟退火模型
定义和概述
1
模拟退火是一种优化算法，它通过引入类似于 物理中的退火过程来尝试找到问题的全局最优 解。
2
在模拟退火中，我们开始从一个初始解，并在 每一步都随机选择一个邻域内的解，然后比较 新旧解的优劣。
3
如果新解更好，我们接受新解；如果新解更差 ，我们以一个小的概率接受新解，这个概率随 着时间的推移而逐渐降低。
在定义了状态和状态转移方程之 后，需要确定边界条件。边界条 件是问题的初始条件或结束条件
04
计算最优解
在确定了边界条件之后，就可以使 用递归或迭代的方法来计算最优解 。递归方法是从问题的最后一步开 始向前推导，直到找到最优解。迭 代方法是通过多次迭代来逐渐逼近 最优解。
动态规划的应用案例
背包问题
背包问题是动态规划中最经典的问题之一。在这个问题中，给定一组物品，每个物品都有自己的重量 和价值。目标是选择一些物品，使得背包的总重量不超过背包的容量，同时最大化背包中物品的总价 值。通过使用动态规划，可以找到最优解，避免陷入局部最优解的陷阱。
模拟退火的应用案例
在旅行商问题（TSP）中，模 拟退火可以找到最优路径，避 免陷入局部最优解。
在生产调度问题中，模拟退火 可以优化生产计划，降低生产 成本。
在图像处理中，模拟退火可以 应用于图像恢复和去噪等问题 。
感谢您的观看
THANKS
概述
线性规划模型在管理科学、社会科学、生物科学等领域都有 广泛的应用，它可以帮助决策者解决资源分配、生产计划、 物流调度等问题。
线性规划的求解方法
定义
线性规划的求解方法包括图解法、 单纯形法、对偶单纯形法等。
图解法
图解法是一种直观的线性规划求解 方法，它通过在坐标系中绘制可行 域和目标函数来求解最优解。

简单的优化模型


智能优化算法
对于难以用数学规划方法求解的混合 型优化问题，可以考虑采用智能优化 算法，如遗传算法、粒子群算法、模 拟退火算法等。这些算法通过模拟自 然界的演化过程，利用群体搜索的方 式寻找最优解。
05
应用案例：简单的生产计 划问题
问题描述
01
02
03
生产计划问题
某制造企业需要制定一周 的生产计划，以满足客户 需求并最大化利润。
客户需求限制
每天的生产量需满足客户需求，超过需求会造成库存 积压，低于需求会损失销售机会。
库存水平限制
周一至周日每天的库存水平不能低于设定的最低库存 水平，也不能高于设定的最高库存水平。
建立数学模型
原材料供应限制
每天的生产量需考虑原材料的供应情况 ，超过供应量会造成原材料短缺，低于 供应量会影响生产计划。
在线性优化模型中，我们通常用线性不等式、等式约束以及线性目标函数来表示问 题。
线性优化模型在现实生活中的许多场景中都有广泛的应用，如资源分配、成本效益 分析等。
线性优化模型的特点
线性优化模型的一个显著特点是它的严格性，即所有的约束条件和目标函数都是 线性的。
线性优化模型的另一个特点是它的可解性，即对于给定的线性优化问题，我们可 以通过特定的算法在有限的时间内找到最优解。
02
简单整数优化模型
定义与概念
定义
简单整数优化模型是指在约束条件下，求解整数变量的最优化问题。整数变量是指取值只能为整数的 变量。
概念
整数优化模型是数学优化领域的一个重要分支，其主要目标是找到满足一定约束条件下，整数变量的 最优解。这个最优解通常是一个或多个整数变量的组合，可以最大化或最小化某个目标函数。
深度学习是一种基于神经网络 的机器学习方法，具有强大的 表示能力。它可以用于许多复 杂的优化问题，如图像识别、 自然语言处理等。

姜启源编《数学模型》第四版第三章简单的优化模型


C C 0, 0 T Q
为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T´, Q记作Q´.
T
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 T ' 2c1 c2 c3 rc2 c3 缺货 2c1r c3 模型
Q'
不允许 缺货 模型
T
要 求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用2550元
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
60 S (t , r ) 3 40 r 60
2
2.5
r
3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
4r 40g 2 t 估计r=2， g=0.1 rg
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 3 20g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
r B
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结

数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。

建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。

然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。

整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。

整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。

多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。

目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。

目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。

设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。

设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。

在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。

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为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
模 型 建 立 离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
Q r
需求速率r递减，q(T)=0.
2
2
3
r R
注意：缺货需补足
O
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量
R rT
2c1r
c 2
c 3
R （或订货量）
c2
c3
R Q Q Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
存贮模型
• 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用.
• 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑(习题1)?
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.
• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
T T 2rT
2rT
（目标函数）
求 T ,Q 使 C(T ,Q) min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
T
Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许
T'
2c1
c 2
c 3
缺货
rc2 c3
模型 Q' 2c1r c3 c2 c2 c3
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
• 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(大于需求量的常数), 应作怎 样的改动(习题2)?
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.
市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售?
模型应用
• 回答原问题
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
经济批量订货公式（EOQ公式）
不允许缺货的存贮模型
允许缺货的存贮模型
q
当贮存量降到零时仍有需求r, Q
出现缺货，造成损失.
r
原模型假设：贮存量降到零时 A
Q rT1
Q件立即生产出来(或立即到货). O T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量降到零
第三章 简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输
简单的优化模型(静态优化)
• 现实世界中普遍存在着优化问题. • 静态优化问题指最优解是数(不是函数). • 建立静态优化模型的关键之一是根据
不允许 缺货 模型
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T , Q Q
不 允
1 T T , Q Q c3
许 缺
c3 1
T T , Q Q
货
允许 缺货
T
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
q Q
模型 Q
2c r 1
c3
c c c
一周期
贮存费
c2
T1 q(t)dt
0
c2 A
一周期
缺货费
c3
T T1
q(t ) dt
c3B
一周期总费用
C
c1
c2
QT1 2
c3
r(T
T1)2 2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 C c 1 c QT 1 c r(T T )2
2 2 1
2
1
3
1
每天总费用 平均值
C(T ,Q) C c1 c2Q2 c3 (rT Q)2
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
10天生产一次,平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
模型解释
Q rT 2c1r c2
定性分析 c1 T,Q
c2 T,Q
r T ,Q
敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
S(T , c1)
ΔT Δ c1
/T / c1
dT c1 增加0.5%
S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
~ C(T ) C c1 c2rT
TT 2
模型求解 求 T 使C(T ) c1 c2rT min
T2
dC 0 dT
T 2c1 rc2