第3章简单的优化模型

10级数学模型期末复习一 作业总结（仅供参考）：1、 列举符合logistic 阻滞增长模型的实例，并阐述其符合的机理。

2、（第二章习题 7）在超市购物时你注意到大包装的商品比小包装的商品便宜这种现象了么？（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的；（2）给出单位重量价格c 与w 的关系。

参考解答：（1） 生产成本主要是与重量w 成正比，包装成本主要是与表面积s 成正比，其他成本也包含与w 和s 成正比的部分上述三种成本中都含有与w,s 均无关的成分。

又因为形状一定时一般有32w s ∝，故商品的价格可表示为λβ++=32w aw c（2） 单位重量价格131−−++==w w a w C c λβ,c 是w 的减函数，同时该函数是下凸函数，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，并不是追求过大的包装。

2、 人文科学模型，一名律师为其当事人辩护的问题在模型中我们通过建立模型解决了辩护人在30英尺高度下跳落地瞬间是会受伤的。

但是该辩护是否合理？参考解答：我们需要继续考虑犯罪现场的地势情况，地面的软硬度直接决定了犯罪嫌疑人是否受伤，因此我们考虑建立的参考模型为221=mv FS 3、 钓鱼比赛问题在钓鱼比赛过程中我们只考虑鱼的长短，如果要考虑鱼的胖瘦该如何建立该问题的数学模型，并给出参赛选手一个简洁的方法。

参考解答：参考建立模型：其中s 表示腰围，l 表示鱼长l ks M 2=方法是给每个参赛选手发一卷皮尺和一个对照卡，实现选手对所吊鱼重量的确定4、 核军备竞赛问题参考解答：【1】 甲方提高导弹导航系统的性能；甲方提高导弹系统的导航能力，即甲方的打击精度提升。

则乙方导弹的残存率变小，同时引起乙方的威慑值变大，则乙方曲线整体上移且变陡，从而平衡点向右上方移动；【2】 甲方增加导弹爆破的威力；甲方增加导弹爆破的威力，则甲方的威慑值相应变小，乙方的导弹残存率变小，甲方导弹曲线向左平移，从而平衡点向左下方平移；【3】 甲方发展电子干扰系统；甲方发展电子干扰系统，则乙方的威慑值变大，甲方的残存率变大，则乙方的曲线上移，甲方的曲线变陡。

第四节多维无约束优化方法4.1最速下降法（梯度法）x，使f(x)minf(x+α对于多元函数，求极小点k+1k+1)=minf(x k kS k)，需要确定两个内容：步长αk，方向S k，不同的搜索方向导致了不同的优化方法。

主要有：梯度法、共轭导致了不同的优化方法主要有：梯度法共轭梯度法、牛顿法、变尺度法、坐标轮换法、Powell法。

z思想函数值变化最快的方向是其梯度方向，而且负梯度方向是函数值下降最快的方向。

故沿负梯度方向搜索。

方向是函数值下降最快的方向故沿负梯度方向搜索z迭代格式z步骤1）给定初始点，迭代精度，维数。

2）置0→k。

3）确定搜索方向：计算迭代点x k的剃度，以及剃度的模，进而确定搜索方向s k。

4）求最优步长αk：从x k点出发，沿负剃度方向进行维搜索求最优步长α，f(xαS)min f(xαS)。

一维搜索求最优步长k k+k k＝min f(x k+k5）检验是否满足终止条件，若满足，终止迭代，输k→x*k)→f(x*)，否则，进入下一步出最优解x x，f(x f(x)，否则，进入下步。

6）计算新的迭代点x k＋1＝x k+αk S k。

z搜索路线z特点1）迭代过程简单，存储量小，对初始点的选择要求低；2）在远离函数极小点的地方，函数值下降较快。

但是，由于所谓的最速下降方向函数在某点的负剃度方是，由于所谓的最速下降方向－函数在某点的负剃度方向，仅是对该点而言，一旦离开了这点，其方向就不再是最速方向了。

因而在这个优化过程中，沿某点的负剃是最速方向了因而在这个优化过程中沿某点的负剃度方向寻优，并不总是具有最速下降方向的性质。

因此，从局部看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体从局部看在点附近函数的下降是最快的但从整体看，函数的下降并不算快，而且越是接近极值点，收敛越慢。

越慢3）应用该方法可使目标函数在头几步下降很快，因此可以与其他无约束优化方法配合使用。

例子z目标函数f(x)=60-10x1-4x 2+x 12+x 22-x 1x 2，设初始点[00]精度001用梯度法求极小点和极小x 0=[0 0]T ，精度ε=0.01，用梯度法求极小点和极小值。

《数学建模》课程教学大纲课程编号： 90907011学时：32学分：2适用专业：本科各专业开课部门：各学院一、课程的性质与任务数学建模是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

本课程主要介绍初等模型、简单优化模型、微分方程模型、概率统计模型、数学规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。

通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。

三、实践教学的基本要求（无）四、课程的基本教学内容及要求第一章数学模型概述1.教学内容数学模型与数学建模、数学建模的基本方法和步骤、数学模型的特点和分类。

2.重点与难点重点：数学模型与数学建模。

难点：数学建模的基本方法和步骤。

3.课程教学要求了解数学模型与数学建模过程；了解数学建模竞赛规程；掌握几个简单的智力问题模型。

第二章初等模型1.教学内容双层玻璃窗的功效、动物的身长与体重。

2.重点与难点重点：初等方法建模的思想与方法。

难点：初等方法建模的思想与方法。

3.课程教学要求了解比例模型及其应用。

第三章简单的优化模型1.教学内容存贮模型、最优价格。

2.重点与难点重点：存贮模型。

难点：存贮模型。

3.课程教学要求掌握利用导数、微分方法建模的思想方法；能解决简单的经济批量问题和连续问题模型。

第四章数学规划模型1.教学内容线性规划建模、非线性规划建模，奶制品的生产与销售、接力队的选拔与选课策略、钢管和易拉罐下料。

2.重点与难点重点：线性规划方法建模、非线性规划建模。

难点：非线性规划方法建模、Lingo软件的使用。

3.课程教学要求掌握线性规划建模方法；了解对偶单纯形的经济意义；了解Lingo数学软件在解决规划问题中的作用。

数学建模组合优化模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。

在实际应用中，很多问题都可以使用组合优化模型来描述和解决。

组合优化模型主要研究如何在给定的约束条件下，找到最优的组合方式。

组合优化模型最早出现在20世纪50年代，当时主要应用于军事领域。

随着计算机技术的发展和应用范围的扩大，组合优化模型的研究逐渐扩展到了经济、交通、电力、通信等各个领域。

组合优化模型的基本思想是将问题抽象为一个图或者网络，通过定义合适的目标函数和约束条件，寻找使得目标函数最优的节点或者路径。

在组合优化模型中，最常见的问题包括最短路径问题、旅行商问题、背包问题、任务调度问题等。

在组合优化模型中，最常见的方法是枚举法、贪心法、动态规划法和分支定界法等。

枚举法是最简单的方法，它逐个考虑每种组合情况，然后计算出目标函数的值，并找出最优解。

贪心法是一种局部最优的方法，它每次都选择使得目标函数最优的节点或者路径，然后不断迭代直到找到最优解。

动态规划法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解得到原问题的最优解的方法。

分支定界法是一种通过将问题划分成若干个子问题，并剪枝掉不可能成为最优解的子问题，从而找到最优解的方法。

为了解决组合优化模型，需要建立合适的数学模型，并采用适当的求解方法。

建立数学模型的过程主要包括以下几步：明确问题目标、确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件。

在建立模型的过程中，需要根据实际问题的特点选择合适的模型和方法。

总之，组合优化模型是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行求解的技术。

组合优化模型已经广泛应用于各个领域，并取得了很多重要的成果。

未来，随着计算机技术的进一步发展和应用需求的不断增加，组合优化模型将会发挥越来越重要的作用。

第三章最终理想解TRIZ理论，在解决问题之初，首先抛开各种客观限制条件，通过理想化来定义问题的最终理想解(idealfinal result，IFR)，以明确理想解所在的方向和位置，保证在问题解决过程中沿着此目标前进并获得最终理想解，从而避免了传统创新设计方法中缺乏目标的弊端，提升了创新设计的效率。

如果将TRIZ创造性解决问题的方法比作通向胜利的桥，那么最终理想解就是这座桥的桥墩。

3.1理想化简介理想化是科学研究中创造性思维的基本方法之一。

它主要是在大脑之中设立理想的模型，通过思想实验的方法来研究客体运动的规律。

一般的操作程序为:首先要对经验事实进行抽象，形成一个理想客体，然后通过想象，在观念中模拟其实验过程，把客体的现实运动过程简化和升华为一种理想化状态，使其更接近理想指标的要求。

理想化方法最为关键的部分是思想实验，或称理想实验。

它是从一定的原理出发，在观念中按照实验的模型展开的思维活动，模型的运转完全是在思维中进行操作的，然后运用推理得出符合逻辑的实验结论。

思想实验是形象思维和逻辑思维共同作用的结果，同时也体现了理想化和现实性的对立统一。

诚然，思想实验还不是科学实践活动，它的结论还需要科学实验等实践活动来检验，但这并不能否认思想实验在理论创新中的地位和作用。

新的理论往往与常识相距甚远，人们常常为传统观念所束缚，不易走向理论创新，因此，借助于思想实验来进行理论创新以及对新理论加以认同，不失为一种有效的手段。

理想化方法的另一个关键部分是如何设立理想模型。

理想模型建立的根本指导思想是最优化原则，即在经验的基础上设计最优的模型结构，同时也要充分考虑到现实存在的各种变量的容忍程度，把理想化与现实性结合起来。

理想中的优化模型往往具有超前性，这是创新的天然标志。

但是，超前行为只有在现实条件所容许的情况下，其模型的构造才具有可行性。

应当指出的是，理想模型的设计并不一定非要迁就现实的条件，有时候也需要改造现实，改变现实中存在的不合理之处，特别是需要彻底扭转人们传统的落后的思维方式和生活方式，为理想模型的建立和实施创造条件。