1.1.4投影与直观图

z
D′
C′
y
画空间几何体的直观图的步骤简记为：
横（轴）竖（轴）不变，纵（轴）减半.
A′
B′
D
Q
C
M
O
A
P
N
B
x
新课讲授
例题5
空间几何体的直观图的画法的应用
如图，已知几何体的三视图，用斜
二测画法画出它的直观图．
[分析]
由几何体的三视图知道，
这个几何体是一个简单组合体，
它的下部是一个圆台，上部是一个圆锥，
与这条线段平行且等长
③平行于投射面的线段，它的投影___________________________；
与这个图形全等
④与投射面平行的平面图形，它的投影________________________；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于
这两条线段的比
_____________________．
过F上任一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′
________________________________________________，
则点M′叫做点M的在平面α内关于直线l的平行投影(或
象)．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行
投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的
D
F
图(1) B′
G′
C′
E′
O′
F′ D′
图(2)
H′
x′
典例精析
例题3
一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四
边形的面积等于(
A.
解：
水平放置的平面图形的直观图的画法的应用

三、平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有下列性质. 1 、直线或线段的平行投影仍是直线或线段. 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
3、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长. 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等. 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
L
F
L
A
B
C F’
A’
B’
C’

练习1：下列说法是否正确？
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行. （×） (3) 互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂 直.
（1）水平放置的正方形的平行投影可能是梯形. （×）
（×）
（4）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰 三角形. （×） 思考：当图形中直线或线段平行于投射线时，它 的平行投影是什么图形？
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x ' 轴 y '轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半.
练习、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的
长方体的直观图.
D1
z'
C1
y'
O
D
x
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoy=900，且∠xoz=900 ；
（2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x' , o' y' , o' z ' 轴，使 x' o' y' 450 或135 0 , x' o' z ' 90 0. x' o' y' 所确定 的平面表示水平平面；

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8
中心投影
投影面

中心投影形成的直观图能非常逼真地反映 原来的物体,因此主要运用于绘画领域.
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M
F
平行投影的性质：

l
M'
F'
1、直线或线段的平行投影 仍是直线或线段。 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线。 3、平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长。 4、与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图 形全等。 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影 的比 等于这两条线段的比。
2画直观图时把它们画成对应的 x`轴、y`轴和z`轴,它们相
交于O`, 并使x`O`y` 450 或 1350 , x`O`z ` 900 , x`轴和 y` 轴所确定的平面表示水平面 .


3已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段, 在直观图中分
别画成平行于x`轴、y`轴或z `轴的线段.
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思考3:用灯泡照射一个与投射面平行的不透明物体， 在投射面上形成的影子与原物体的形状、大小有什 么关系？
光源
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思考4:用手电筒照射一个与投射面平行的不透明 物体，在投射面上形成的影子与原物体的形状、 大小有什么关系？
1 MN= MN .以点N 为中心,画BC平行于x轴, 2 并且等于BC;再以M为中心,画EF平行于x轴, 并且等于EF.
y
F
M
E D
C
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y
A
F M E
N C
A

y
y'
O
x
y
O'
y'
x'
O
x O'
x'
变式2：用斜二测法画出水平放置的任意三角形直观图
y
y'
O
x
O'
x'
总结：
平行于 x 轴的线段，仍平行 x，轴，且长度不变 平行于 y 轴的线段，仍平行 y’ 轴，且长度变为原来的0.5
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是5cm、4cm、 3cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
1.1.4 投影与直观图
请看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念 在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做
投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕 叫做投影面．
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角 度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
斜投影：投射线 倾斜于投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便， 在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作图比 较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种 辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
中心投影后的图形与原图形相比，虽然 改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉 效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时， 经常使用这种方法，但在立体几何中很少用 中心投影原理来画图．
三、平行投影
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投射线为平行线时的投影称为平行投影．