特殊方程的解法

特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法特殊形式的⼀元⼀次⽅程及解法⽅程是初中代数的主线之⼀，现在所学⼀元⼀次⽅程是以后所学⽅程的基础，我们在学习中会遇到⼀些特殊形式的⼀元⼀次⽅程，利⽤转化思想化成⼀般形式，再解⼀元⼀次⽅程。

特殊的形式有以下⼋种，列出以供同学们参考。

形式⼀：两个⾮负数的和为0或两个⾮负数互为相反数。

两个⾮负数互为相反数可以转化为其和为0，有仅有均为0时才成⽴。

例1 已知（a+3）2与1-b 互为相反数，且关于x 的⽅程4x a +-3y=21x+b 的解为x=-1,求2y 2-3的值。

解析：由已知有（a+3）2+1-b =0 ∴（a+3）2=0，1-b =0，则a=-3,b=1；把a=-3,b=1，x=-1代⼊到⽅程中有413---3y=21×（-1）+1，解得y=-21 2y 2-3=2×（-21）2-3=21-3= -221 形式⼆：连等转化成⼏个⽅程，再分别解⽅程例2 已知a+2=b-2=2c =2008，且a+b+c=2008k,求k 的值。

解析：已知条件可转化为三个⽅程①a+2=2008；②b-2=2008；③2c =2008；分别解得a=2006；b=2010；c=4016。

代⼊到后⼀个等式中，2006+2010+4016=2008k 解得：k=4形式三：分母是⼩数利⽤分数的基本性质，分别把每个式⼦分⼦、分母扩⼤适当的倍数。

例3 解⽅程2.188.1x --03.002.003.0x +=25-x 解析：第⼀个式⼦分⼦、分母同时乘以10，第⼆个式⼦分⼦、分母同时乘以100，原⽅程可变形为：128018x --323x +=2 5-x 两边同乘以12，得：18-80x-4（3+2x ）=6（x-5）去括号、移项合并得：-94x=-36 解得：x=4718 形式四：两个⽅程同解同解即解相同，其中⼀个⽅程可以解出来，再代⼊到另⼀个⽅程中。

例4 关于x 的⽅程3x-（2a-1）=5x-a+1与⽅程212+x +34-x =8有相同的解，求（8a ）2009+a 2-21的值。

数学篇配方法是一种重要的数学方法，不仅可以用于因式分解、求解函数最值等，还在求解特殊方程方面有着广泛应用.它能够使方程化繁为简，解答过程化难为易.本文分析了配方法在求解二元二次方程和根式方程中的应用方法，供同学们学习与参考.一、活用配方法巧解二元二次方程二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数项的最高次数是2的整式方程.通常二元二次方程的解有无限个，但是特殊的二元二次方程可以利用配方法配凑成完全平方的形式，再利用非负数的性质求解出其唯一一组解.例1解方程x 2+y 2+2x -4y +5=0.分析：按照常理二元二次方程有无数组解，但该方程中未知数x 和y 都是单独的，没有乘积项，可以利用配方法分别将x 项和y 项配成完全平方式来求解.解：∵x 2+y 2+2x -4y +5=0，∴(x 2+2x )+(y 2-4y )+5=0，∴(x 2+2x +1)+(y 2-4y +4)=0，∴（x +1）2+（y -2）2=0，∵（x +1）2和（y -2）2都是非负数，∴（x +1）2≥0且（y -2）2≥0，∴（x +1）2=0且（y -2）2=0，∴x +1=0且y -2=0，∴x =-1，y =2即{x =-1，y =2，∴该方程的解为{x =-1，y =2.运用配方思想解二元二次方程，要重点关注各项的系数，可以将其拆分、拼凑，使其成为平方数，以便运用完全平方和公式a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2进行配方.本题中的“5”也很特殊，可以分为“1”和“4”，刚好供x 与y 配方使用.所以，同学们一定要学会仔细观察数据，对特殊的数据进行特别的处理.变式：解方程x 2+2xy +6x +2y 2+4y +10=0.分析：此题也是二元二次方程，但含有xy 项.所以需要先配凑含有x 和y 的完全平方式，剩余的再单独配凑.x 2+2xy +6x +2y 2+4y +10可化为(x 2+2xy +y 2)+(y 2+6x +4y +10)，前括号含有(x +y )项，所以后括号也尽量配凑出(x +y )项，即(y 2+6x +4y +10)可化为6(x +y )+(y 2-2y +10).再结合前括号继续配凑成完全平方项.解：∵x 2+2xy +6x +2y 2+4y +10=0，∴(x 2+2xy +y 2)+(y 2+6x +4y +10)=0，∴(x +y )2+6(x +y )+y 2-2y +10=0，∴[(x +y )2+6(x +y )+9]+(y 2-2y +1)=0，∴(x +y +3)2+(y -1)2=0，∵(x +y +3)2和(y -1)2都是非负数，∴x +y +3=0且y -1=0，∴y =1且x =-4，∴方程的解为{x =-4,y =1.评注：解题时同学们很容易想到对2xy 的处理方法，但处理后出现“y 2+6x +4y +10”的情况就比较棘手了.此时，同学们需要继续认真观察处理后的数据与前面数据之间的关系.同时要考虑到“y 2+6x +4y +10”中只有y 有二次项，所以需要将x 与y 的一次项处理掉，只剩y ，这样才可以更好地配凑.二、活用配方法巧解根式方程根式方程往往比较复杂，难以直接求解.但是对于特殊的根式方程，可以通过观察，找出根式（数）与整式（数）之间的关系，再利用配方法配凑成完全平方式，结合非负数的性质，从而求得其解.例2解方程x +x +5+2x 2+5x =25-2x .分析：该方程是根式方程，而且三个根式被开根数有一次的，有二次的.但仔细观察发解法荟萃活用配方法，巧解特殊方程盐城景山中学朱慧31数学篇解法荟萃现三个根式被开根数之间有数量关系：x 2+5x =x (x +5)，然后以此来配凑完全平方式.解：2x 2+5x =2x ∙x +5,将所有项移到“=”左侧，有：2x +x +x +5+2x 2+5x -25=0,x +(x +5)+x +x +5+2x 2+5x -30=0,[x +(x +5)+2x 2+5x ]+(x +x +5)-30=0,(x +x +5)2+(x +x +5)-30=0,∴x +x +5=5或x +x +5=-6（舍去），解方程x +x +5=5得x =4，∴原方程的解为x =4.评注：此题有3个根式，直接解题很困难.利用“x 2+5x =x (x +5)”转变后配凑完全平方式是解题的关键.另外，需将“x +x +5”视为整体，进一步利用“十字相乘法”解题.变式：解方程a +b =4a -2+2b +1-4.分析：此题中a -2和b +1都是独立的项，可以考虑分别配凑成完全平方式，然后根据非负数的性质，得出a 和b 的值.解：∵a +b =4a -2+2b +1-4,∴(a -2)+(b +1)=4a -2+2b +1-5,∴(a -2)2-4a -2+4+[(b +1)2-]2b +1+1=0,∴(a -2-2)2+(b +1-1)2=0,∴a -2-2=0，且b +1-1=0,解得a =6，b =0.评注：利用配方法避免了两边平方去根号的繁琐计算.通过观察算式特征，灵活运用配方法可将等式左边配成完全平方式，等式右边为零，最后利用非负数的性质即可求解.运用配方法求解二元二次方程、根式方程等特殊方程时，我们需要牢牢记住“完全平方公式”，利用现有的“局部”配凑出公式的“全部”，最后利用“非负数大于等于零”的性质，求解出特殊方程的唯一解.对于“局部”的观察一定要多方尝试，找出最合适的一种配凑方法来求解.上期《<一次函数>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.B ；4.C ；5.（5，7）；6.1或37；7.x ＜13；8.y =1000-7.92x ；9.（1）直线l 2的解析式为y =-2x +6．（2）①n ＞1；②M 的坐标为：（3，6）．10.（1）0.25，0.75．（2）路程y 与x 之间的函数解析式为ìíîïïy =34x -30(40≤x ≤60),y =15(60<x ≤80).（3）根据题意，乙再次出发以原来速度行驶，乙的速度为0.75km/min ，∴行驶的路程为30-15＝15（km ），∴15÷0.75＝20（min ），∴乙从80min 时出发到B 地用时20min ，即点坐标为（100，30），且乙第二次出发点的坐标为（80，15），设乙第二次出发所在直线的解析式为y 乙＝k 乙x+b 乙，∴ìíî100k 乙+b 乙=30,80k 乙+b 乙=15,解得ìíîïïk 乙=34,b 乙=-45,∴乙第二次出发所在直线的解析式为y 乙=34x -45，甲所在直线的解析式为y 甲＝k 甲x ，过点（120，30），∴k 甲=14，∴甲所在直线的解析式为k 甲=14x ，∵甲、乙相遇，∴联立方程组得ìíîïïy =34x -45,y =14x ,解得ìíîx =90,y =22.5,∴乙再次追上甲时距离A 地22.5km ，故答案为：22.5．32。

二元一次方程的特殊解法
二元一次方程是指形式为ax+by=c的方程，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数，且a和b不同时为0。

在解二元一次方程时，我们通常使用消元法或代入法来求解。

但是，对于一些特殊的二元一次方程，我们可以使用一些特殊的解法来求解。

第一种特殊解法是通过因式分解来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+ay=b时，我们可以将方程进行因式分解，得到a(x+y)=b，
然后将方程两边同时除以a，得到x+y=b/a，即可求出方程的解。

第二种特殊解法是通过图像法来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为一条直线的形式：y=(-a/b)x+c/b。

然后，我们可以将方程转化为y=mx+n的形式，其中m=-a/b，n=c/b。

此时，我们可以根据直线的斜率和截距来绘制出方程的图像，然后通过图像交点的坐标来求解方程的解。

第三种特殊解法是通过矩阵法来求解方程。

当二元一次方程形式为ax+by=c时，我们可以将其表示为矩阵的形式：[a b][x]=[c]，然后使用矩阵的逆矩阵求解方法来求解方程的解。

具体方法为，将系数矩阵[a b]求逆矩阵[a^-1 b^-1]，然后将方程转化为[x]=[a^-1
b^-1][c]的形式，即可求解方程的解。

以上三种特殊解法可以帮助我们更快速、更准确地求解一些特殊的二元一次方程。

但是，在实际应用中，我们仍然需要选择最适合问题的解法，并注意判断方程是否有唯一解、无解或无穷解的情况。

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解两类特殊方程的独门法摘要：数学里有两类方程：一类是多项式未知数指数是正分数的方程称根式方程或无理方程，解法复杂。

个人对这类方程进行了特别处理，解法简洁。

另一类是超越方程，采用泰勒级数整合来求解，这种方法，能够解决许多类型的超越方程，下文对这两类方程进行讨论。

关键词：根式方程；分指数；超越方程；终定义域一、根式方程根式方程是多项式未知数含有根号的方程，称分指数方程或无理方程，种类比较多。

为解这类方程，先从简单的根式方程入手，以下面方程未知数的最高次数是1，系数都是1，常数项是1。

用常规的方法去解，首先要去掉根号，把有根号的移到一边两边平方去根号方程变为这就是一元二次方程，解这个方程得再来看第二个方程这个方程多比上一方程多了一项含根号的未知数，且两项根号的开方次数不同。

对两项以上的根号开方次数不同的方程，如果用常规的方法把有根号的移项去一边去根号比较繁琐。

为了讨论方便把它写成分指数的形式用常规的解法试试首先移项，把有根号和没有根号的各方在一边去根号展开两项整理得来到这一步，右边的根号项是5项比前一式多了3项，虽然是用去根号的方法。

接着再使用这个方法越来越复杂，开始用二项式定理展开，现在要用到多项式展开，根号项越去越多，无法去掉根号，解不了方程。

于是另劈路径，通过观察发现，可以用换元法。

令方程式变成这个方程是六次多项式方程，大于三次的多项式方程能用因式分解法分解成一次和二次不可约因式乘积，分解过程略。

并解各因式而得到解。

把解出的代入,得到就是原方程的解。

对于这种形式的方程只有一项大于2的3次开放根，可以用常规方法去根号移项，得等式两边立方，得就去掉了根号。

总之，在根式方程中只有一个项根号的或数项同次开方根的，都能用常规去根号的方法去解。

对于大于等于两项的不同次开方根的要使用换元法去根号去解。

使用换元法来去根号，有两种类型。

一类是方程的各项未知数指数分母相同的用替换元的指数和方程未知数分母相等化成整指数方程来求解，第一个方程如果用这种方法的话就属于这种情况，解法略。

分式方程的特殊解法举例解分式方程的基本思想，是通过去分母，化分式方程为整式方程。

其常规解法有“去分母法”和“换元法”两种。

但对一些结构较特殊的分式方程，若仍用这两种常规方法求解，往往会使未知数的次数增高，或使运算变繁，增大解题难度，甚至无法解出。

因此，我们应针对题目的结构特征，研究一些非常规解法。

1. 分组通分例1 解方程65327621--+--=--+--x x x x x x x x 分析：通过移项，将方程两边变形为两分式的差，通分后的分子中含未知数的项可相互抵消，从而降低了解题难度。

解：移项，得21653276-----=-----x x x x x x x x 两边分别通分，得)2)(6(4)3)(7(4--=--x x x x 所以)2)(6()3)(7(--=--x x x x 解得29=x 经检验，知29=x 是原方程的根。

2. 用“带余除法”将分子降次例2 解方程x x x x x x x 211112323=+--++++ 分析：方程左边是两个假分式的和的形式，所以可将它们分别化成整式与真分式之和的形式，从而降低未知数的次数，简化运算。

解：原方程可化为x x x x x x x 212112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-所以121222+-=++x x x x 即1122+-=++x x x x所以002==x x ，经检验，知x=0是原方程的根。

3. 拆项相消例3 解方程 1011009900199165123112222=+++++++++++x x x x x x x x 分析：表面不易发现题目特点，但将各分母因式分解后，便发现各分式同时都具有AB A B -的形式。

因此，可用BA AB A B 11-=-将每个分式都拆成两个分式差的形式，这样除首末两项外，中间的项从左往右依次抵消。

解：将原方程变形，得101100)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1=+++++++++++x x x x x x x x 拆项得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-100199131212111111x x x x x x x x 101100= 化简得10110010011=+-x x 即01011002=-+x x 解得101121-==x x ， 经检验，知11=x 和1012-=x 都是原方程的解。