一元高次方程解法

高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。

其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。

我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。

其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。

比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。

因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。

其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。

如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。

那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。

通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。

所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。

比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。

所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。

高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

解方程的方法解方程是数学中的基本技能之一，它在我们的日常生活和学习中都有着广泛的应用。

解方程的过程可以帮助我们理清问题的思路，找到问题的解决方法。

在解方程的过程中，我们需要运用一些基本的数学知识和技巧，下面我将为大家介绍一些解方程的常用方法。

一、一元一次方程的解法。

一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。

解一元一次方程的方法主要有逆运算法、等式性质法和代入法。

其中，逆运算法是指通过逆运算将方程中的未知数单独求解出来，等式性质法是指通过等式两边同时进行相同的运算来简化方程，代入法是指将一个变量的值代入另一个变量的表达式中，从而求解方程。

二、一元二次方程的解法。

一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。

解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法、因式分解法和图像法。

其中，公式法是指利用一元二次方程的求根公式来求解方程的根，配方法是指通过配方的方式将一元二次方程化简为完全平方的形式，因式分解法是指将一元二次方程进行因式分解，从而求解方程，图像法是指通过一元二次方程的图像来求解方程。

三、多元一次方程组的解法。

多元一次方程组是指方程组中含有多个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程组。

解多元一次方程组的方法主要有代入法、加减消去法和等式性质法。

其中，代入法是指将一个变量的值代入另一个变量的表达式中，从而求解方程组，加减消去法是指通过加减的方式将方程组中的某些变量消去，从而简化方程组，等式性质法是指通过方程组的等式性质来简化方程组，从而求解方程组。

四、不等式的解法。

不等式是数学中常见的一种关系式，解不等式的方法主要有图像法、逆运算法和区间法。

其中，图像法是指通过不等式的图像来求解不等式，逆运算法是指通过逆运算将不等式中的未知数单独求解出来，区间法是指通过区间的概念来求解不等式。

总结。

解方程是数学中的基本技能之一，掌握好解方程的方法对我们的学习和生活都有着重要的意义。

高次方程求解技巧高次方程是指多项式方程中最高次项的次数大于1的方程。

求解高次方程有很多技巧和方法，本文将介绍几种常用的高次方程求解技巧。

一、根的性质在求解高次方程时，首先可以利用根的性质来推导方程的解。

多项式方程的根是指使方程成立的数值，也就是多项式方程的解。

根的性质有以下几点：1. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)是方程P(x)的一个因式。

2. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)是方程P(x)的一个因式。

3. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)^2是方程P(x)的一个因式。

4. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)^2是方程P(x)的一个因式。

利用这些根的性质，可以将高次方程进行因式分解，从而求解方程。

二、二次方程求解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式是：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，可以得到二次方程的两个实根或共轭复根。

三、配方法对于形如ax^2+bx+c=0的二次方程，如果无法直接使用求根公式求解，可以使用配方法进行转化。

配方法的基本思想是通过添加或减少一个合适的数使得方程左边变成一个完全平方。

具体步骤如下：1. 如果a不等于1，可以将方程两边同时乘以1/a，得到x^2+(b/a)x+c/a=0。

2. 将方程右边的常数项移到左边，得到x^2+(b/a)x=-c/a。

3. 添加一个数，使得方程左边变成一个完全平方，即加上(b/2a)^2，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。

4. 将方程左边进行因式分解，得到(x+b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。

5. 平方根运算，得到x+b/2a=±√(-c/a+(b/2a)^2)。

6. 移项，得到x=-b/2a±√(-c/a+(b/2a)^2)。

通过配方法，可以将二次方程转化为一元二次方程，进而求解方程。

高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。

高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。

本文将介绍高次方程的解法。

一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。

对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。

例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。

而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。

然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。

这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。

对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。

常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。

这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。

除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。

例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。

对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。

对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。

除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。

通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。

这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。

综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。

对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。

通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。

解方程的公式解方程的公式是指用于解决一个或多个未知数的公式，通常这些未知数形成了方程中的变量。

解方程的公式可以让人们计算出不同的参数值，从而找到一个满足方程的解。

解方程的公式有很多种，但它们都是基于某种数学原理和技巧，如代数法、因式分解、特殊公式等。

它们可以用来解决各种复杂的数学问题，包括一元方程、二元方程、三元方程、高次方程等。

一元方程的解法有直接代入法、翻转乘除法、因式分解法、移项法和幂次法等。

直接代入法是指将未知数代入方程中，然后计算出结果，从而求得该方程的解。

例如，求解2x-3=5的解，可以将x代入方程，即2x-3=5，然后计算出结果，x=4。

翻转乘除法指的是先将方程中的等式两边的系数翻转，然后再将相应的系数相乘或相除，从而求得方程的解。

例如，求解7x+2=6的解，可以将等式两边的系数翻转，即7x+2=6，然后将系数7和2相除，x=1/3。

因式分解法是指将复杂的方程拆分成若干个简单的方程，然后按照先后顺序解决，最终解出该方程的解。

例如，求解2x^2-3x+5=0的解，可以将方程分解成2x^2=3x-5和x=3/2两个方程，然后依次解决，最终得到x=3/2。

移项法是指将方程中的等式两边的变量和系数移动，从而使方程变为一元一次方程，然后根据一元一次方程的求解公式求得未知数的值。

例如，求解x^2+2x-5=0的解，可以将等式两边的x^2移到右边，即x^2+2x-5=0，然后根据一元一次方程的求解公式，计算出x=1或-5。

幂次法是指将方程化为幂次形式，然后利用幂次公式计算出未知数的值。

例如，求解x^3-2x^2+3x-4=0的解，可以将方程化为x^3-2x^2+(3x-4)=0，然后利用幂次公式计算出x=-1,2,-2 三个解。

解方程的公式也可以用来解决更复杂的问题，例如求解二次方程、三次方程等。

二次方程的解法有因式分解法、移项法、平方根法、特殊公式法等，而三次方程的解法有Vieta公式法、特殊公式法等。

一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。

若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。

于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。

有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。

当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。

如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。

这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。

”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。

一元高次方程解法
一元高次方程的解法有多种方法，最常用的方法是配方法、因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法等。

配方法：将一元高次方程转化为一个多项式乘积等于零的形式，再分别解出每一个因式，即可得到方程的解。

因式分解法：将一元高次方程进行因式分解，再分别解出每个因式，即可得到方程的解。

求根公式法：对于二次以上的高次方程，可以使用求根公式求出方程的根。

例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求出方程的根。

牛顿迭代法：通过对方程进行迭代计算，不断逼近方程的解，最终得到方程的解。

这种方法通常需要预先估计方程的解，在这个基础上进行迭代计算。