特殊的高次方程的解法1

高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。

其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。

我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。

其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。

比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。

因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。

其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。

如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。

那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。

通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。

所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。

比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。

所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。

高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

特殊的高次方程的解法1特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计一、 情景引入1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ；(7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9)010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？二、学习新课1．概念辨析（1）一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为(0≠≠=+ax n,0,0bn是正整数）ab注①n ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x，（2）01224=-+x x 如何求解上述方程？3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x，01224=-+x x 具有共同的特点？（1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x这类方程有什么共同的特点？二、学习新课1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。

转化与化归一■特殊方程,方程组阅读与思考特殊方程、方程垣通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解待殊方程、方程蛆的基本策略，而降次与消元的常用方法是：1、因式分解；2、稣；3、平方；转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗“.例题与求解【例1】已知方程绢";侦,?二23的两组解是（而5）与巧），贝勺冲+矽i的值是（北京市竞赛题）解裁思踣：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值，【例2］方程组栏］富笠的正龄豚的砌是（）A.1组B.2组C.3组D.4组解黑单踏:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分忻常数的特征入手.【例3】解下列方程：13丫一/13-r（1）—―O+——）=42;（“祖冲之杯”12清赛试题）A+1X+1f x 2 +3x x'+x - 4 11(Z) —i ------+ -----=—2 疽+2x-8 3x+9x 12(3) (1999-对3 十(尤一1998)3=1；（河南省竞赛畋（山东省竞赛试题）(4) (W 3 +3x-4): +(2x 2-7x + 6)2 = (3： -4x+2)2（“祖冲之杯“邀请赛试题）解题思路：注意到方程左i右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】解下列方程组;⑵x(x+lK3x+5y) = 144' ' ，+4x+5y = 24;)(3)、尸='一3】十2与⑴ ]/二丈一3." + 2尹（山东省竞赛理（西安市意赛试题）（全苏数学奥林匹克瞄）解题思踣：观察发现方程组中两个方程的特点和联系.用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程毛一、一只有—4＜解（相等的解也算一＞b ）.试求Ar 的值与方程X —1 XX —X 的解.g 省竞赛趣）【例61方程Zv 〕一Ay+3x+j ，+ 2006=0的正做解有多少对?（江苏省竞赛试题）解题思路：确定主元，综合利用I 余及分解因帝知炭行瞄能力训练A级方程2（/+%）一Xx+-）=1的实数根是X X2.（/+3入・一4『+（2疽一7x+6）'=（3J-4x+2）\逮个方程的解为》=3.实数芯M二海足昨：?一3*八则/七的®^.（上海市竞赛题）[x十3y一2x\'+2r=O s-----------ax2+&v+l=O,4,设方程缩况2十工十a=0「有实数解，5W〃十3+]=.x+av4-6=0（武汉市嬖赛皿5.使得（/一4缶-1）=（/+3》+2]，一软十7）成立的、的值得个数为（）A.4个B.3个C. 2个D.1个（“五羊杯“意赛试匙）6.已知方程钏"?指七有实数根，月眼它有（）A.一球B。

高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。

对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。

本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。

一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。

下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。

1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。

一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。

根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。

当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。

2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。

一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。

求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。

该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。

二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。

下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。

1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。

一般形式为：f(x, y) = 0。

求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。

消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。

代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。

2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。

方程的主要解法
在数学中，解方程是求出满足方程式的未知数值的过程。

方程的主要解法取决于方程的类型和次数。

以下是常见的方程主要解法：
1. 一元一次方程的解法：
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。

解法：通过移项和合并同类项，将方程化简为x = -b/a的形式，即可得到方程的解。

2. 一元二次方程的解法：
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

解法：可以使用配方法、因式分解、求根公式（二次方程的根公式）等方法来求解方程的解。

3. 一元高次方程的解法：
对于一元高次方程（三次及以上），一般没有通用的代数解法。

在一些特殊情况下，可以使用因式分解、降阶等方法进行求解。

4. 二元一次方程组的解法：
二元一次方程组的一般形式为：
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知数。

解法：可以使用消元法、代入法或Cramer法则等方法求解方程组的解。

5. 高阶多元方程组的解法：
对于高阶多元方程组，解法往往较为复杂，可以使用线性代数的知识和数值计算方法来求解。

需要注意的是，解方程的过程可能涉及代数运算、因式分解、开方等数学技巧，解方程时应根据方程的具体形式选择合适的解法，并注意验证解的合法性。

在实际问题中，解方程是数学在各个领域的基础和关键步骤，具有重要的应用价值。

一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。

若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。

于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。

有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。

当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。

如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。

1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。

根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。

这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。

”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。

要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。

高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。

换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。

6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。

【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。

令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。

2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。

其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。

y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。

7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。

高次方程解法 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因∴（x3+3x2-6x-8）÷ (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方式（x+1），∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。